（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）bergman空間上小hankel算子的代數(shù)性質(zhì).pdfVIP

復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 v 4 6 5 1 5 0 3 摘要 本文研究t b e r g m a n 空問上具有調(diào)和指標(biāo)的小h a n k e l 算子的代數(shù)性 質(zhì)，給出了d x h a n k e l 算子與t e o p l i t z 算子交換的一些條件以及d 、h a n k e l 算 子什么時(shí)候是代數(shù)算子和其最小多項(xiàng)式。對(duì)算子方程s x x s = a x 和s + x x s = a x 什么時(shí)候具有非平凡的有界線性解的問題給出了部分回 答。 關(guān)鍵詞：b e r g m a n 空間，小h a n k e l 算子，t e o p l i t z 算子，單向移位算 子 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a hw i t h a l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft h el i t t l eh a n k e lo p e r a t o r s 0 nt h eb e r g m a n s p a c e ，g e t ss o m e c o n d i t i o n so ft h eq u e s t i o nt h el i t t l eh a a k e l o p e r a t o r sa n dt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hh a r m o n i cs y m b o l so nt h eb e r g m a n s p a c ea r ec o m m u t a t i v ea n dw h e na l i t t l eh a n k e l o p e r a t o r si sa l g e b r a i ca n di t s r e s p e c t i v em i n i m a lp o l y n o m i a l t h e n ，w ew i l lp a r t l ya n s w e rt h eq u e s t i o nw h e n t h e r ea r en o n t r i v i a ls o l u t i o n st ot w o o p e r a t o re q u a t i o n s s x x s = a xa n d s + x x s = a x k e y w o r d s ：t h eb e r g m a n s p a c e ，t h el i t t l eh a n k e lo p e r a t o r ，t h et e o p l i t z o p e r a t o r ，t h es h i f to p e r a t o r 1 1 第一章緒論及預(yù)備知識(shí) 近年來，r u b e nm a x t i n e za v e n d a n o 在系列文 章( 【2 】，【3 】和【4 ) 對(duì)h a r d y 空間中的小h e r k e l 算子進(jìn)行了研究，得到了對(duì) t | 、h e r k e ! 算予的結(jié)構(gòu)以及代數(shù)性質(zhì)非常完備的刻劃。眾所周知，由 - t - b e r g r n a n 空間是一個(gè)i ：e h a r d y 空間大的多的解析函數(shù)空間，其上的 z j 、h a n k e l 算子的結(jié)構(gòu)與代數(shù)性質(zhì)也l l h a r d y 空間上的更為復(fù)雜。本文在第 二章中，研究了具有有界調(diào)和指標(biāo)的小h a n k e l 算子的一些代數(shù)性質(zhì)，給出 了具有有界調(diào)和指標(biāo)的小h a n k e l 算子和t e o p l i t z 算子交換的充分條件。在第 三章，研究d 、h a n k e l 算子什么時(shí)候是代數(shù)算子以及其最小多項(xiàng)式的問題。 完全刻劃t b e r g m a n 空間中具有形如z 2 一k 的最小多項(xiàng)式的有界線性算子 以及回答了一類t j 、h a n k e l 算子是否是代數(shù)算子的問題。在第四章中，對(duì)算 子方程s x x s = a x 和s + x x s = 腿什么時(shí)候具有非平凡的有界線 性解的問題得到了部分回答。下面介紹相關(guān)的預(yù)備知識(shí)：令c 表示復(fù)平 面，d = z c ：h 1 ) 表示c a 的單位圓盤d a ( z ) 表示d 上的正規(guī)化 面積測(cè)度。在極坐標(biāo)下，d a ( z ) = ；r d r d o ，這里z = t e 拍。l 2 ( d ，d a ) 表示 由滿足條件： r， 刪= ( fy ( z ) f 2d a ( z ) p + o 。 j d 的d 上的l e b e 8 9 1 l e 函數(shù)構(gòu)成的b a n a c h 空間。l 。( d ，d a ) 表示滿足條件： o 。= e s s s u p ( i f ( z ) i ：z d ) 0 ，b 一。= 0 a l l n 0 ，即，g 是解析的。 反之，若對(duì)所有的n o , b 一。= 0 。等式( 2 1 ) 顯然成立。 口 定理2 2 ，設(shè)，妒是有界調(diào)和函數(shù)，而且妒= 9 ，珥0 ，如果巧耳= 耳礙，則妒是常函數(shù)。 證明：因?yàn)槎? 9 ，那么( 9 ) = 妒。而且，t ，= ( t 9 ) 。所以，h ，t 9 = 巳h ，當(dāng)且僅當(dāng)( 置) h ，= h ，t 。由定理2 i ，9 是解析的，因此p 也是解 析的，那么妒是常函數(shù)?？?定理2 3 ，工9 都是有界調(diào)和函數(shù)，則甄巧= 乃甄當(dāng)且僅當(dāng)瑪= t i h p 。 證明? 令，= 墨一。8 ，g = 墨一o o k 。 ( t i h 9 e 。，e n ) = ( h g e 。，e j ：) ( t e k e n ) = 薹殺觜毪篙k2 吣舡m 砷嗣臺(tái) m + 七+ 1 ( | 禮一七1 + n + + ) ”“十叫、。叫、 。叫 ( h ，t ，e ，) = h 9 e k ，e r i ) ( t ，e 。，釓) = 妻殺糯需羔面吣以時(shí)目廁- t -11(1m 2 = = 7 ；= = 2 ；= = = = ，0 一m 0 ，上、，i m l 】i 九+】 考； 他+ 島+ 一憊l + m + 菇+ ) “1 “十馴” 叫。7 復(fù)旦盔堂亟堂魚途塞7 ( 1 ，e 。) = ( h 。，鍬) ( t 產(chǎn)k ，e 。) =喜殺端鞲at-。ob-(，、k 1 ( t i n k2麗 = ，；= = = ：= = = = = 一 r 。l 、i 仃z + ll l 幾+ ll 乏墨、朊+ + 一南l + 仃l + ) 一”1 “+ 州。吖。叫 ( h ，t 加，) = ( h 9 靠，) ( 1 矗，e k ) =妻高觜器an-kb-(m+k)k k2麗 乏孑 m + + l “n 一七j + n + + ) 一。 因此，對(duì)任意的n ，m 0 ，( t y h 9 ，) = ( h 9 t 加，) ，( h g t e 。，) = ( t h g e n ，島n ) 。從而，h ，t = 町b 當(dāng)且僅當(dāng)h 9 弓= t 蘆9 。 口 推論2 2 若對(duì)d 上的有界調(diào)和函數(shù)，t t h 9 = 丑；霸島非零，貝燈+ 7 是常函數(shù)。 簍嬰j t ，h 92h g t ，當(dāng)且僅當(dāng)1 j h 92 h 9 巳，所以1 7 蘆9 = h 9 t ，+ 7 因?yàn)椋? 于= ，+ 由定理2 2 ，+ 于是常函數(shù)。 口 推論2 1 是建立在定理2 1 2 3 的基礎(chǔ)上，證明的思路遵循m a r t i n e z a v e n d a n o ( a v e n d a n o 3 ) 。下面我們提供一個(gè)推論2 1 的建立在直接運(yùn)算基 礎(chǔ)上的證明。 復(fù)旦盔堂亟堂焦迨塞 g 證明：令，= ：a k e k ，g = e 。- o ob k e k ( h ，t ，e 。，) = ( h f ( ? ，e 。 k = 0 e k ) e k ，島) = ( 騙，吼) ( h 9 ，) k = o 一2 n m 一。狐f 可可饑再可而兩b - ( n + k ) 譏再可雨可 臺(tái) i k m i + k + m + 2 萬：日f 訂 =壹而攔蔫ak-rab-(,。+k)k 麗 - = 0 、札+ k + l ( i k m i 十+ m + 2 ) ”。 o 。 ( 7 f 蘆g ，) = ( t i ( h 9 k = o 記 e k ) e k ，e n ) = ( t 件，) ( h 9 e 。，吼) k = o ：! ! ! = ! 跡三亞近墮巫亟互! = ! 竺i 盟近堅(jiān)亟亟互 乏看l k n l + 女+ 扎+ 2 、并f f 麗 =壹而糕嚳an-kb-(m+k)廁k厶= 0 m + 女+ l ( i k n i + + n + 2 ) 一“ 卜薹擊黼甓鼉b 吣扭時(shí)q 。k 小薹嘉等隔享辱一吣趵 因?yàn)閔 9 t i = t i n 9 ，則c m ，m ) = d m ，m ) 對(duì)任意禮，m20 成立。 當(dāng)n 三m 時(shí)，有 m 一1 c ( n ，m ) = k = o = k = o 嶄殺磊峨 c n + 一幺k = 壹v 、， 麗k - m + 1 ：吣以砷 i 萬刁再需百。一”6 一( 州) + 生而麗o 一m 6 一( n + 砷 而k + l 了v r m 需- k + l a k - , n b - ( 州薹篆磊一 再雨焉i 麗蚪砷+ 色礪亍蓀j i 加一( m 十。) 復(fù)旦盔堂亟堂魚迨皇 同時(shí)，當(dāng)r n n 時(shí)，有 。扯白 - i 而k + l 而衙麗吣止m 一薹需磊吣以m 塒 =萎鬻蒹器吣舡c一塞籌需止”k 2 2 一= o 再了麗零雨“虬一之麗麗百“虬 特別的， c ( o ，m ) d ( o ，m ) = c ( m ，0 ) = d ( m ，0 ) = 喜熹需a j ：- , b - k + h 妻v f k 、，- m + 1 0 臺(tái)而弋7 霹fh 、，。一虬 k 妻= m 丐孚。礎(chǔ)t k 壹= m 篆挈毗以t m 篆- 1 并需- 。b - k + 塞篆孚一e 因?yàn)閏 ( n ，m ) = d ( n ，m ) 對(duì)任意札，m o 成立，當(dāng)曦c ( o ，m ) = d ( o ，m ) ，c ( o ，m ) = d ( o ，m ) 對(duì)所有m o 成立。 因此， k 妻= m 等孚c - - k - - o - | k - m 肌t = 這意味著 手坐逝型 盤m + l 譏+ 1 a k m 6 一女 k + 1 m 一七十1 ， 石孑1 勱于亍r 一一* 6 一t 咐= 薹篇需c a t ：- m + a m - k m 一 一腳 一 = 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 因?yàn)閔 9 非零，故存在m o 0 使得b o = b - 1 = = 6 一( 啪一1 ) = 0 并且6 一m 0 。那么 b ( t o o + 1 ) = 群志( a - l - f a l ) b 一。= 。 因此。一1 + a 1 = 0 。歸納下去，i 1 確- a 一。+ a 。= o ，即，+ 7 是常數(shù)。 口 第三章代數(shù)h a n k e l 算子 定義3 1 對(duì)一個(gè)算子a ，如果存在一個(gè)多項(xiàng)式p ( z ) ，使得p ( a ) = 0 ，那么a 稱為代數(shù)算子，p ( z ) 稱為a 的化零多項(xiàng)式。如果我們只考慮正規(guī) 化的多項(xiàng)式，即最高次項(xiàng)的系數(shù)為的情形，則對(duì)任意的代數(shù)算子存在唯 一的最小次數(shù)的化零多項(xiàng)式p ，稱為a 的最小多項(xiàng)式。 例3 1 對(duì)秩一算子j 毛0j l ， ( 蠔圓琢) 2 = f ( 蠔固蠔) 蠔 o = ( 蠔，蠔) 璉0 = ( f 1 面) 2 。k j 毛。甄具有形為。2 一( 南) 2 z 的最小多項(xiàng)式。 下面定理的證明來a v e n d a n o 【3 】。 定理3 1 令a 是一個(gè)有界算子滿足配r an r a n a = o ) ，則a 不是 一個(gè)具有形為p ( z ) = 礦口( z ) 的最小多項(xiàng)式的代數(shù)算子，這里g 是一個(gè)多項(xiàng) 式。 證明? 我們不妨假定a 0 ，若p ( z ) = 石2 9 ( z ) 是a 的最小多項(xiàng)式，則 對(duì)任意，砭( d ) ，a 2 q ( a ) f = 0 。也就是說a g ( a ) ，k e r a ，而且， a q ( a ) f r a n a 。由定理?xiàng)l件，k e r a n r a n a = o ) 。我們有a 口( a ) = 0 ， 這和。2 口( 。) 是a 的最小多項(xiàng)式矛盾。 口 1 l 復(fù)旦盔堂亟堂垡迨塞1 王 在g u om a dz h e n g 1 ，郭坤宇和鄭德超證明了以下結(jié)果： 引理3 1 若r ，r ，。= o ，這里妒1 ，妒2 是解析函數(shù)并且都不為零，則存 在某個(gè)a n m 是儼上的一個(gè)有界對(duì)稱域j 及常數(shù)c l ，c 2 使得妒l = c 1 h 以 及妒2 = c 2 h 。 由這個(gè)結(jié)果，我們?cè)谙旅娴亩ɡ碇薪o出t h 是- - 個(gè)具有形為z 2 一k 的 最小多項(xiàng)式的充分必要條件。 定理3 2 日，= 丑“9 是+ 個(gè)具有形為囂2 一b 。的最小多項(xiàng)式的代數(shù)算 子當(dāng)且儀當(dāng)存在n d 及一個(gè)常數(shù)c 使得妒= c k 。，這里妒，妒是有界解析函 數(shù)并且妒( 0 ) = 0 。 證明：因?yàn)閔 ，= h 9 = r ；。若h = b h f ，則r ；= 5 r p 。因此由引 理3 1 ，存在某個(gè)口d 以及常數(shù)c ，使得妒= c 如。 反之，不難驗(yàn)證f 。h = c o k m 若，= 妒+ 也，h ，= 口毛，則 盈 h ；= 矛( k a 。k a ) 2 = 已2 ( k 訕k o ) k a 。k = 南h ， n 當(dāng)c o 的時(shí)候，我們?nèi)匀徊恢朗裁磿r(shí)候一個(gè)帶有界調(diào)和符號(hào)的 - , b h a n k e i 算子h ，是一個(gè)具有形為z 2 + b x + c 的最小多項(xiàng)式的代數(shù)算子。但 是若這個(gè)符號(hào)在閉單位圓盤西上是連續(xù)的，那么z j 、h a n k e l 算子是緊的( g u o a n dz h e n g 【1 1 ) ，這時(shí)，它不可能是一個(gè)具有形為2 + 6 z + c 的最小多項(xiàng)式的代 數(shù)算子。 召f a v e n d a n o 2 ，m a r t i n e z a v e n d a n o 證明了在h a r d y 空間上，沒有具有形 為p ( 。) = t 2 9 ( z ) 的最小多項(xiàng)式的代數(shù)h a n k e l 算子。同樣的，我們也想知 道是否一個(gè)b e r g m a n 空間上的小h a n k e l 算子h ，具有形為z 2 q ( x ) 的最小多項(xiàng) 式。當(dāng)對(duì)于n o20 ，妒一罌16 女驢是解析的時(shí)候下面的定理回答了這個(gè) 問題。 復(fù)里盔堂亟堂焦迨皇 l ； 命題3 1 對(duì)小 0 n e 薄子王b ，= 妒+ 巧是一個(gè)有界調(diào)和函數(shù)且妒= 器l5 一k z 是一個(gè)多項(xiàng)式，則對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式p ，目不可能是具有形為p ( z ) = z 2 q ( z ) g j 最小多項(xiàng)式的代數(shù)算子。 證明對(duì)任意9 = 。0 0 ：o 。e r i l ：( d ) ， h i ( g ) = p j m i g = ( p j m f g ，) = a m ( p j m f e m ，島) 一。娟麗可i 再可 = ，n 抽枷) 等殺畿半 n m = o 。 若h l ( g ) = 0 ，則對(duì)任意n 0 ， 至o o 山川需= 。 ( 3 ，) 特別的，當(dāng)n = n o ，由公式( 3 1 ) ，有a o b 一。= 0 ，則o o = 0 。 當(dāng)n = n 0 1 ，( 3 1 ) 的左邊等于 m 。磊= 。 得到o l = 0 。 繼續(xù)這個(gè)過程知道n = 0 ，歸納得到咖= o - = = n 。= 0 。 所以k e r h ， 夕l ：( d ) i g = ：。+ 。a 。e n r 另外， h i ( g ) = 。妻帥巾州鐮 = 啪- ( m + n ) 半籌當(dāng)墨 n m = 0 。 。 =熹b-(m+n)需n=o = 掣籌群 m + 。一 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 這意味著r a n h ! 至 g l ：( d ) 舊= 罌on 。 。 自然k e r h ! nr a n h f = o ，由定理3 2 ，h ，不可能是具有形為p ( 。) = z 2 q ( z 1 的最小多項(xiàng)式的代數(shù)算子。 口 定理3 3 對(duì)于，= 妒+ 巧是有界調(diào)和函數(shù)，并且中= e n 括o1b k z 是一個(gè) 多項(xiàng)式，若日，是代數(shù)算子，其最小多項(xiàng)式必然具有z ( g ( z ) + b ) 的形式，這 里g ( z ) 表示一個(gè)次數(shù)大于一的多項(xiàng)式，6 是非零常數(shù)。 證明j 首先，h ，= r ；，并且砂= n k 。0 1b k z 是多項(xiàng)式( 當(dāng)然在單位閉 圓盤上連續(xù)) ，所以h ，是緊算子。因此h ，不可能是具有形如z q ( z ) + b 的 最小多項(xiàng)式的代數(shù)算子。而且，由定理3 2 和命題3 1 ，h j 不可能是具有形 如z 2 + b x 或蘆( z ) = x 2 9 ( 。) 的最小多項(xiàng)式的代數(shù)算子。我們立刻得到定理的 結(jié)論。口 埠 第四章兩個(gè)算子方程的解 在本節(jié)中1 我們研究?jī)蓚€(gè)算子方程：s x x s = ) 、x 和s x x s = a x 的 解。部分回答這兩個(gè)方程什么時(shí)候有非平凡解，這里s 表示b e r g m a n 空間 上的單向移位算子，s + 表示其伴隨算子。即，對(duì)，= ：o a n l ：( d ) ， s f = 。0 0 ；o o 。+ l 。在h a r d y 空間的情形，m a r t i n e z - a v e n d a n o 研究了這兩個(gè) 方程的解( 請(qǐng)參考a v e n d a n o 2 ，【4 】) 。 引理4 。1 若 1 ，f e 定( d ) ，對(duì)所有的n ，滿足| ( s a ) 啊l k 這里k 是一個(gè)正常數(shù)，則，= 0 。 證明j 對(duì)，= 甚o e m ， ”妒，= 喜( 抄妒咱， 其中s ，= 憊od 。州 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 那么 ( ( s a ) - 抽) = ( ：) ( 叫“( ( s t = 0 、7 = ( ：) ( 叫”訊n m 晰) 川 ；= o 、7m = 0 2 萎( 弘妒“m = o n 如m 崩) 2 蕃n ( c 。r 饑 i i ( s - 朋卜互l i = 0 ( 沙矽。酬2= 0 、7 = i 妻i = 0 ( 妒饑1 2 1 月j j b o = ( 一a ) ”0 0 j 2sk 2 對(duì)所有n 成立。因?yàn)?1 ，當(dāng)然口o = 0 。 b l = l ( 一a ) “n 1 1 2 k 2 對(duì)所有n 成立。類似的，有口l = 0 一 如果o o = a l ；= a j 一1 = 0 對(duì)j o ，貝l j b j = l ( 一a r a j i 2 k 2 對(duì)所有n 成 立。 故a j = 0 歸納得到，a n = 0 對(duì)所有禮o 成立，即，= 0 。 口 下面定理證明來i 芻a v e n d a m o i 。 定理4 1 令 1 - 若x 是方程s x 一鄹= a x 或釅x 一夏9 = 礎(chǔ)鏟一個(gè)有界解，則x = 0 。 復(fù)旦大學(xué)碩士學(xué)位論文 證明j 設(shè)對(duì)a ( 1 ) ，x 是s x x s = a x 的一個(gè)有界解。就有( s a ) “x = x s ”，當(dāng)然對(duì)所有r l ，有( s a ) “x e o = x e 。因?yàn)閤 有界，貝u i i ( s a ) “x e 0 | 1 i i x l l 。由前面的引理，x e o = 0 。但這意味著對(duì)所有n ，x e = 0 ，即x = 0 。 若x 是方程s + x x s = a x 的解，取自伴得到前面的情形。證畢。 口 定理4 2 令 2 ，則算子方程釅x x 8 = a 賄非平凡解。 證明：因?yàn)?2 ，則有a = a l 一工2 ，這里 0 m i 1 ，0 l a 2 i c f , e 1 ) = ( 天2 ) 1 ( a 1 ) ( ( ，og ) e k ，e i ) = ( e k ，坊似e 1 ) = ( 五2 ) ( a 1 ) ( ( s + ( ，o9 ) 一( ， 9 ) s ) e k ，e 1 ) = l i 2 ) ( 兄) ( a 1 ) 2 = a ( ( ，og ) e k ，e 1 ) 即，s + ( ，0 們一c f 0g ) s = a 盯09 ) 。 口 參考文獻(xiàn) 【1 】1k u n y ug u o a n dd e c h a oz h e n g ，i n v a r i a n ts u b s p a c e s ，q u a s i - i n v a r i a n t s u b s p a c e ，a n d h a n k e l o p e r a t o r s j o u r n a l o ff u n c t i o n a l a n a l y s i s 1 8 7 ，3 0 8 3 4 2 ( 2 0 0 1 ) 2 r u b e na m a x t i n e z - a v e n d a n o ，ag e n e r a l i z a t i o no fh a n k e lo p e r a t o r s j f u n c t a n a l 1 9 0 ( 2 0 0 2 ) ，n o 2 ，4 1 8 - 4 4 6 3 】r u b e na m a r t i n e z a v e n d a n o ，w h e nd ot o e p l i t za n d h a n k e lo p e r a t o r s c o m m u t e ? i n t e g r a le q u a t i o n so p e r a t o r st h e o r y3 7 ( 2 0