（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）dynkin型cluster傾斜代數(shù)及mcluster傾斜代數(shù).pdf

y 1 刪7 刪9 刪4 刪3 刪胛8 f 8 棚 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研 究工作所取得的成果除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何 他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的科研成果對(duì)本論文的研究作出重要貢 獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明本人完全意識(shí)到本聲明的 法律責(zé)任由本人承擔(dān) 論文作者簽名： 日朔 1 6 f 萬(wàn) 日期：三：! ：絲 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明 本人完全了解山東大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留 或向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和 借閱；本人授權(quán)山東大學(xué)可以將本學(xué)位論文全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù) 庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文和匯編本學(xué)位 論文 ( 保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 論文作者簽名：期：坐廠乃 ， 目錄 中文摘要i 英文摘要v 第一章引言及預(yù)備知識(shí)1 1 1 引言1 1 2 預(yù)備知識(shí)6 第二章d 。型c l u s t e r 傾斜代數(shù)9 2 1 預(yù)備知識(shí)9 2 2d n 型c l u s t e r 傾斜代數(shù)的箭圖1 3 2 3d n 型c l u s t e r 傾斜代數(shù)的同構(gòu)類2 0 第三章a n 型m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)2 7 3 1 預(yù)備知識(shí)2 7 3 2a n 型m - c l u s t e r 范疇的傾斜圖3 1 3 3 連通的a n 型m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)的同構(gòu)類3 5 參考文獻(xiàn)4 1 讀博期間完成的論文4 8 致謝4 9 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t v c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s 1 1 1i n t r o d u c t i o n 1 1 2p r e l i m i n a r i e s 6 c h a p t e r2 c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n 9 2 1p r e l i m i n a r i e s 9 2 2q u i v e r so fc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n 1 3 2 3i s o m o r p h i s mc l a s s e so fc h s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p e 隊(duì)2 0 c h a p t e r3 m - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n 2 7 3 1p r e l i m i n a r i e s 2 7 3 2t i l t i n gg r a p ho fm - c l u s t e rc a t e g o r yo ft y p ea n 3 1 3 3i s o m o r p h i s mc l a s s e so fm - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n 3 5 b i b l i o g r a p h y 4 1 a c c e p t e da n dc o m p l e t e dp a p e r s 4 8 a c k n o w l e d g e m e n t s 4 9 d y n k i n 型c l u s t e r 傾斜代數(shù)及m - c l u s t e r 傾斜代數(shù) 戈文旭 ( 山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，山東，濟(jì)南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 2 0 0 2 年，f o m i n 和z e l e v i n s k y 在文【f z i ，f z 2 】中引入了c l u s t e r 代數(shù)的概念，用 來(lái)研究量子群的典范基和代數(shù)群的整體正性之間的聯(lián)系這種理論很快就和數(shù)學(xué)中的 許多分支產(chǎn)生了密切的聯(lián)系( 參見【f z 3 ) 特別是近幾年，c l u s t e r 代數(shù)及其組合理論 給有限維代數(shù)表示理論帶來(lái)了很大的影響文f b m r r t 引入了c l u s t e r 范疇和c l u s t e r 傾斜理論的概念，成為更好的理解f o m i n 和z e l e v i n s k y 的c l u s t e r 代數(shù)的一個(gè)范疇化 模型設(shè)是代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù)，秒( ) 是日的有界導(dǎo)出范疇，c l u s t e r 范疇夠( 日) 定義為軌道范疇砂( h ) r - 1 【1 】，其中1 - 是砂( 日) 中的a u s l a n d e r - r e i t e n 變 換，【1 】是砂( 日) 中的平移函子c l u s t e r 范疇夠( ) 中的c l u s t e r 傾斜對(duì)象與c l u s t e r 代數(shù)的c l u s t e r 對(duì)應(yīng) c l u s t e r 范疇的c l u s t e r 傾斜理論完善了有限維代數(shù)表示理論中的經(jīng)典傾斜理論， c l u s t e r 傾斜對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)稱為c l u s t e r 傾斜代數(shù)近年來(lái)，對(duì)這類代數(shù)的大量 研究表明，它們具有很多好的性質(zhì)，例如這是一類非平凡的1 - g o r e u s t e i n 代數(shù)參見 文【b m r l ，b m r 2 ，a b s i ，k r i 在d y n k i n 型c l u s t e r 范疇和c l u s t e r 傾斜代數(shù)方面，p c a l d e r o ，f c h a p o t o n 和 r s c h i t t i e r 在文【c c s l 】中建立了a n 型c l u s t e r 范疇的幾何模型，為我們研究c l u s t e r 范疇提供了個(gè)新的思路隨后，r s c h i f f l e r 在文【s c h 】中構(gòu)造了d n 型c l u s t e r 范疇 的幾何模型 作為c l u s t e r 范疇的推廣，h t h o m a s 在文【t h 】引入了m c l u s t e r 范疇的概念 m - c l u s t e r 范疇( 日) 定義為軌道范疇秒( h ) r _ 1 【仇】隨后，m - c l u s t e r 傾斜對(duì)象和 m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)也被引入若m - c l u s t e r 范疇，( 日) 上的一個(gè)對(duì)象丁滿足以下條 件： h o m ( 日) ( zx 【l 】) = 0 ，1 i m ，當(dāng)且僅當(dāng)x a d d ( t ) ， 山東大學(xué)博士學(xué)位論文 h o m ( 日) ( x ，丁f i 】) = 0 ，1 i m ，當(dāng)且僅當(dāng)x a d d ( t ) ， 則稱t 為m - c l u s t e r 傾斜對(duì)象m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)e n d ( 日) ( t ) o p 為m - c l u s t e r 傾斜 對(duì)象丁的自同態(tài)代數(shù)在這方面的研究，參見文【b a m l ，b a m 2 ，h j l ，h j 2 ，k r l ，k r 2 ， ，p ，w r ，z h 3 ，z z 本文分兩部分：第一部分，我們研究了d 。型c l u s t e r 傾斜代數(shù)，分類了所有的d n 型c l u s t e r 傾斜代數(shù)的箭圖，并給出了兩個(gè)d n 型c l u s t e r 傾斜代數(shù)同構(gòu)的充要條件 第二部分，我們研究了a 。型m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)，給出了a n 型m - c l u s t e r 傾斜代數(shù) 連通的充要條件，進(jìn)步得到了兩個(gè)連通的a n 型仇一c l u s t e r 傾斜代數(shù)同構(gòu)的充要條 件 第一章給出引言和預(yù)備知識(shí)介紹了與本論文有關(guān)的基本概念和結(jié)果，并闡述了 論文的工作背景和思路 第二章利用r s c h i i f l e r 在文 s c h l 構(gòu)造的幾何模型進(jìn)步對(duì)風(fēng)型c l u s t e r 傾斜代 數(shù)進(jìn)行研究首先，我們給出了穿刺多邊形p 。中由標(biāo)記弧構(gòu)成的三角的等價(jià)分類 進(jìn)步，我們得到了隊(duì)型箭圖的m u t a t i o n 等價(jià)類和所有的d n 型c l u s t e r 傾斜代數(shù) 的箭圖，并且我們還給出了它們的關(guān)系理想最后我們給出了兩個(gè)隊(duì)型c l u s t e r 傾斜 代數(shù)同構(gòu)的充要條件主要結(jié)果如下， 定理2 2 5 箭圖q 是d 。型c l u s t e r 傾斜代數(shù)的箭圖當(dāng)且僅當(dāng)箭圖q 屬于2 2 節(jié)描述的四種類型中的一種 定理2 3 1 設(shè)r 和r 是隊(duì)( 佗5 ) 型c l u s t e r 范疇v ( h ) 中的兩個(gè)c l u s t e r 傾斜對(duì)象， r = e n d v ( h ) ( t ) o p 與r ，= e n 曲( 胃) ( r ) o p 是相應(yīng)的c l u s t e r 傾斜代數(shù)則 r 和r 7 同構(gòu)的充要條件是存在整數(shù)i 和歹使得t = 7 - r 或t = 盯一r ，其中7 是 a u s l a n d e r - r e i t e n 變換，盯是y ( h ) 的個(gè)自同構(gòu)函子( 仃的定義見2 3 節(jié)) 第三章，我們利用k b a u r 和r m a r s h 建立的a n 型m - c l u s t e r 范疇的幾何模型 進(jìn)步對(duì)月n 型m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)進(jìn)行研究我們討論了由m - c l u s t e r 傾斜對(duì)象構(gòu)成 的傾斜圖的連通性，給出了a n 型m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)連通的充要條件，并且還證明了 兩個(gè)連通的a n 型m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)同構(gòu)的充要條件主要結(jié)果如下t 定理3 2 7 設(shè)n 是( n + 1 ) m + 2 多邊形，m 是由n 中的脅對(duì)角線分割構(gòu) 山東大學(xué)博士學(xué)位論文 成的m - m u t a t i o n 無(wú)向圖則m 是連通的即。a 。型m - c l u s t e r 范疇的傾斜圖是連 通的 定理3 2 9 設(shè)r 是月。型m - c l u s t e r 范疇中的一個(gè)c l u s t e r 傾斜對(duì)象，b= e n d ( 日) ( t ) o p 是相應(yīng)m - c l u s t e r 傾斜代數(shù)則b 是連通的充要條件是對(duì)t 中任意一 個(gè)不可分解直和項(xiàng)m 都存在丁中的另個(gè)不可分解直和項(xiàng)使得肘和在同一 個(gè)r a y 或c o r a y 中 定理3 2 1 0 設(shè)乞是由a n 型m - c l u s t e r 范疇中連通的m - c l u s t e r 傾斜對(duì)象構(gòu) 成的傾斜圖，則幺是連通的 定理3 3 3 設(shè)t 和r 是a n 型m - c l u s t e r 范疇( 日) 中的兩個(gè)連通的m - c l u s t e r 傾斜對(duì)象，b = e n d v m ( h ) ( t ) 。p 與b 7 = e n d ( 日) ( r ) 叩是相應(yīng)的m - c l u s t e r 傾 斜代數(shù)則b 和b 7 同構(gòu)的充要條件是存在整數(shù)i 使得t = r h 其中【i 】是平移函子 【1 】的i 次冪 關(guān)鍵詞：c l u s t e r 范疇，c l u s t e r 傾斜代數(shù)，三角，m c l u s t e r 范疇，m - c l u s t e r 傾 斜代數(shù)，m - 對(duì)角線分割 1 1 1 ， 山東大學(xué)博士學(xué)位論文 d y n k i nc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a sa n d7 n - c l u s t e r t i l t e d a l g e b r a s w b n x ug e ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i n2 0 0 2 ，c l u s t e ra l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e db yf o m i na n dz e l e v i n s k y ( f z i ，f z 2 ji n o r d e rt oe x p l a i nt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h ec a n o n i c a lb a s i so faq u a n t i z e de n v e l o p i n g a l g e b r aa n dt o t a lp o s i t i v i t yf o ra l g e b r a i cg r o u p s t h e r ea r ei n t e r e s t i n gc o n n e c t i o n s t ot h e i rt h e o r yi nm a n yd i r e c t i o n s ( s e e 【f z 3 i ) a sac a t e g o r i c a lm o d e lf o rb e t t e r u n d e r s t a n d i n go fc l u s t e ra l g e b r a s ，c l u s t e rc a t e g o r i e sa n dc l u s t e r - t i l t i n gt h e o r yw e r e i n t r o d u c e di n 【b m r r t l e thb eaf i n i t ed i m e n s i o n a lh e r e d i t a r ya l g e b r ao v e ra l l a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l da n d 秒( 日) b et h eb o u n d e dd e r i v e dc a t e g o r yo fh t h e nt h e c l u s t e rc a t e g o r y 夠( 日) i st h eo r b i tc a t e g o r y 秒( h ) 7 - 1 【1 】，w h e r e7 - i st h ea n s l a n d e r - r e i t e nt r a n s l a t i o ni n 矽6 ( 日) a n df 1 】i st h es h i f tf u n c t o ro fd 6 ( 日) t h e r ei sa o n et oo n e c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nc l u s t e rt i l t i n go b j e c t si nc l u s t e rc a t e g o r i e sa n dt h ec l u s t e r so f c l u s t e ra l g e b r a s c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e di n 【b m r l ，w h i c ht o g e t h e rw i t hc l u s t e r c a t e g o r i e sp r o v i d ea l la l g e b r a i cu n d e r s t a n d i n go fc o m b i n a t o r i c so fc l u s t e ra l g e b r a s h e r e ，c l u s t e r - t i l t e da l g e b r ai st h ee n d o m o r p h i s ma l g e b r ao fac l u s t e rt i l t i n go b j e c t ，i s t h ef o r me n 曲( 日) ( 丁) 叩al a r g en u m b e ro fr e s e a r c ho fs u c ha l g e b r as h o wt h a tt h e r e a r em a n yg o o dp r o p e r t i e s ，s e e 【b m r l ，b m r 2 ，a b s l ，k r i i nt h et y p eo fd y n k i n ，p c a l d e r o ，f c h a p o t o na n dr s c h i f f i e r 【c c s l 】h a v e a s s o c i a t e dac a t e g o r yt ot h ec l u s t e ra l g e b r ao ft y p ea n ，a n dp r o v e dt h a tt h i sc a t e g o r y i se q u i v a l e n tt ot h ec l u s t e rc a t e g o r yo ft y p ea n l a t e r ，r s c h i f f l e rc o n s t r u c t e da g e o m e t r i cm o d e lf o rc l u s t e rc a t e g o r yo ft y p cd ni nf s c h v 山東大學(xué)博士學(xué)位論文 a sag e n e r a l i z a t i o no fc l u s t e rc a t e g o r i e s ，m c l u s t e rc a t e g o r i e s ( 何) w e r ei n t r o - d u e e di n 【w h t h e ya r ed e f i n e da st h eo r b i tc a t e g o r y 砂( h ) t 一1 【m 】a no b j e c tti n ( 日) i sa l lm - c l u s t e rt i l t i n go b j e c ti fa n do n l yi ft h ef o l l o w i n gh o l d ： h o m b r e ( h ) ( t , 馴司) = 0 ，1 i 仇，i f a n do n l yi f x a d d ( t ) ； h o m w m ( h ) ( x ，丁= 0 ，1 i m ，i fa n do n l yi fx a d d ( t ) l e ttb ea nm - c l u s t e rt i l t i n go b j e c t b = e n d y 。( h ) ( t ) o pi st h em - c l u s t e r - t i l t e d a l g e b r a r e c e n t l y , t h e r ea r eal o to fr e s e a c ha b o u tt h e s ek i n d so fa l g e b r a s ，, s e e 【b a m l ， b a m 2 ，h j l ，h j 2 ，k r l ，k r 2 ，i y ，p w r ，z h 3 ，z z i nt h i st h e s i s ，f i r s t ，w ei n v e s t i g a t ec l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n ，c l a s s i f yt h e q u i v e r so fc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n ，a n dm o r e o v e r ，w eg i v ean e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt w oc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p e d n s e c o n d ，w ei n v e s t i g a t em - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n ，g i v ean e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt w oc o n n e c t e dm - c l u s t e r - t i l t e d a l g e b r a so ft y p ea n t h i st h e s i si sa r r a n g e da sf o l l o w s i nc h a p t e rl ，w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t sn e e d e df o ro u rr e s e a c h ， g i v es o m er e c e n td e v e l o p m e n t si nt h i sd i s s e r t a t i o na n dm a k eas y s t e m i ce x p o s i t i o no f o u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h eg e o m e t r i cm o d e lf o rc l u s t e rc a t e g o r yo ft y p e 隊(duì)b yr s c h i f f i e ri n 【s c h 】，w ei n v e s t i g a t et h ec l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n f i r s t ，w eg i v ea n e x p l i c i td e s c r i p t i o no ft h ee q u i v a l e n c ec l a s so ft r i a n g u l a t i o n so ft h ec a t e g o r yo ft a g g e d a r c e so fp u n c t u r e dp o l y g o np n a sa na p p l i c a t i o n ，w eo b t a i nt h em u t a t i o nc l a s s e so f q u i v e r so ft y p ed n ，a n dd e d u c ea l lt h eq u i v e r so fc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n ， a n dm o r e o v e r ，w ea l s og i v ea ne x p l i c i td e s c r i p t i o nf o rt h er e l a t i o ni d e a l n e x t ，w eg i v e an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt w oc l u s t e r - t i l t e d a l g e b r a so ft y p ed n o u rm a i nr e s u l t sa x ea sf o l l o w s t h e o r e m2 2 5 t h eq u i v e rq i s 口q u i v e ro ic l u s t e r - t i l t e da l g e b r a s 巧t y p ed n 霹a n do n l y 對(duì)qb e l o n g st oo n eo | t y p el ，t y p e2 ，t y p e3o rt y p e4 仇s e c t i o n2 2 一 山東大學(xué)博士學(xué)位論文 t h e o r e m2 3 1 l e tta n drb et w oc l u s t e rt i l t i n go b j e c t si nt h ec l u s t e r c a t e g o r y 夠( 仃) o t y p ed 。( 禮5 ) ，r = e n d 曾( h ) ( t ) 。pa n dr = e n d 管( 日) ( r ) o pb et h e c o r r e s p o n d i n gc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a s t h e nfi si s o m o r p h i ct of fi fa n do n l y 寸t = t i t i o rt = o t jt if o rs o m ei n t e g e r sia n dj ，w h e r eti st h ea u s l a n d e r - r e i t e nt r a n s l a t i o n oi st h ea u t o m o r p h i s m0 v ( h 、d 幣n e di ns e c t i o n2 3 i nc h a p t e r3 ，w eu s et h eg e o m e t r i cm o d e lf o rm - c l u s t e rc a t e g o r yo ft y p ea n 坶k b a u ra n dr m a r s ht oi n v e s t i g a t et h em - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n w ep r o v et h a tt h et i l t i n gg r a p ho fm - c l u s t e rc a t e g o r yo ft y p ea ni sc o n n e c t e d ，a n d o b t a i nan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o n n e c t e dm - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a s o ft y p ea n ，a n dm o r e o v e r ，g i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei s o m o r p h i s m b e t w e e nt w oc o n n e c t e dm - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n o u rm a i nr e s u l t sa l ea s f o l l o w s t h e o r e m3 2 7 l e t mb et h et i l t i n gg r a p h 巧a nm c l u s t e rc a t e g o r yo ft y p e a n t h e n mi sc o n n e c t e d t h e o r e m3 2 9 l e ttb ea nm c l u s t e rt i l t i n go b j e c ti nm c l u s t e rc a t e g o r yo t y p ea t l ，b = e n d ( 日) ( 丁) 0 pb et h ec o r r e s p o n d i n gm c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a t h e nbi s c o n n e c t e di fa n do n l yi ff o 下a n yi n d e c o m p o s a b l ed i r e c ts u m m a n dm o t t h e r ee x i s t s a n o t h e ri n d e c o m p o s a b l e 出r e c ts u m m a n dno yts u c ht h a tna n dm 此eo ras a m er a y d rc o r a y t h e o r e m3 2 1 0 l e tr i mb et h et i l t i n gs u b g r a p hc o m s i s t i n go ，c o n n e c t e dm c l u s t e rt i l t i n go b j e c t si nt h em c l u s t e rc a t e g o r yo t y p ea n t h e n 幺i sc o n n e c t e d t h e o r e m3 3 3 l e tta n dra r et w oc o n n e c t e dm c l u s t e rt i l t i n go b j e c t s 撫t(yī) h e c l u s t e rc a t e g o r y 它( 日) o yt y p ea n ，b = e n d ) ( t ) o pa n db = e n d ( 日) ( r ) o pb e t h ec o r r e s p o n d i n gm c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a s t h e nbi si s o m o r p h i ct ob 討a n do n l yi f t = ，吲o rs o m ei n t e g e r i k e yw o r d s ： c l u s t e rc 曲e g o 隅c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a ，t r i a n g u l a t i o n ，m - c l u s t e r c a t e g o r y , m - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a 仇一d i a g o n a ld i v i s i o n 、n l 第一章引言及預(yù)備知識(shí) 1 1引言 2 0 0 2 年，為了研究量子群的典范基和代數(shù)群的整體正性之間的聯(lián)系，f o m i n 和 z e l e v i n s k y 在文 f z l ，f z 2 】中引入了c l u s t e r 代數(shù)的概念設(shè)f = q ( u l ，u 2 ，“3 ) 是 有n 個(gè)變?cè)挠欣砗瘮?shù)域，x f 是q 上的一組超越元基， b = ( ) x , y e x 是行和 列以x 為標(biāo)記的n n 符號(hào)反對(duì)稱整數(shù)矩陣也就是說(shuō)，對(duì)任意的z ，y x ，我們有 k 掣= 0 = o ；6 切 0 0 x e x ，b 2 0 表示頂點(diǎn)i 到j(luò) 的箭向數(shù)若集合x 是有限集，那么 我們說(shuō)c l u s t e r 代數(shù)a b 是有限型的在【f z 2 】中，證明了有限型c l u s t e r 代數(shù)中存在 一個(gè)s e e d 對(duì)應(yīng)的箭圖是d y n k i n 圖 山東大學(xué)博士學(xué)位論文 關(guān)于c l u s t e r 代數(shù)及其組合的相關(guān)知識(shí)可參見文獻(xiàn)【c f z ，f z 3 ，f z 4 ，f r i 這種理 論很快就和數(shù)學(xué)中的許多分支產(chǎn)生了密切的聯(lián)系特別是近幾年，c l u s t e r 代數(shù)及其組 合理論給有限維代數(shù)表示理論帶來(lái)了很大的影響文【m r z 首先給出了c l u s t e r 代數(shù) 及其組合理論與箭圖表示的關(guān)系接著，當(dāng)c l u s t e r 代數(shù)中存在一個(gè)s e e d ( x ，b ) 決定 的箭圖q b 為某個(gè)遺傳代數(shù)日的箭圖時(shí)，即h = k q b ，文【b m r r t 】引入了c l u s t e r 范疇和c l u s t e r 傾斜理論的概念，成為更好的理解f o m i n 和z e l e v i n s k y 的c l u s t e r 代數(shù) 的一個(gè)范疇化模型 c l u s t e r 范疇的定義如下設(shè)日是代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù)，秒( 日) 是日 的有界導(dǎo)出范疇，r 是秒( 日) 中的a u s l a n d e r - r e i t e n 變換， 【1 】是秒( ) 中的平移 函子令f = t - 1 1 1 ，c l u s t e r 范疇夠( 日) 定義為軌道范疇z ) 6 ( h ) i f ，對(duì)象是秒( 日) 中 對(duì)象的n 軌道，態(tài)射定義為： h o m 夠( h ) ( 2 ，礦) = oh 0 m 砂( 胃) ( x ，y ) ， 詎z 這里x ，y 是砂( 日) 中的對(duì)象，賈，礦分別是x ，y 的n 軌道( 為了方便，我們有時(shí) 將x ，y 簡(jiǎn)記為x ，y ) 由文【k 】，c l u s t e r 范疇是三角范疇，而且是c a l a b i y a u 維數(shù)為 2 的c a l a b i - y a u 范疇c l u s t e r 范疇夠( ) 中的c l u s t e r 傾斜對(duì)象丁滿足如下兩個(gè)條 件。 e x t , ( m ( 正t ) = o ； 對(duì)c l u s t e r 范疇v ( h ) 中任意不可分解對(duì)象m ，若脯參( 日) ( zm ) = 0 ，則m 是 丁的直和項(xiàng) 現(xiàn)在c l u s t e r 范疇已經(jīng)成為a c y c l i c 型c l u s t e r 代數(shù)及其組合的個(gè)成功的模型，參 見文【b m r ，c c ，c k l ，c k 2 在這個(gè)范疇化的模型中，c l u s t e r 范疇中的不可分解例 外對(duì)象對(duì)應(yīng)于文【f z l 】中定義的c l u s t e r 變量，而c l u s t e r 傾斜對(duì)象對(duì)應(yīng)于c l u s t e r 代數(shù) 中的c l u s t e r ，參見文【c k l ，c k 2 特別的，對(duì)應(yīng)于c l u s t e r 代數(shù)的c l u s t e r - m u t a t i o n ，文 【b m r r t 】定義了c l u s t e r 范疇中的c l u s t e r 傾斜對(duì)象上的一種m u t a t i o n 簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就 是c l u s t e r 范疇中的個(gè)幾乎c l u s t e r 傾斜對(duì)象亍恰好有2 個(gè)互不同構(gòu)的不可分解補(bǔ) m 和m + ，而且它們通過(guò)下面的三角相聯(lián)系。 m 與r 上m m f 1 1和 m 二r 與m 一m i l l ， ， 2 山東大學(xué)博士學(xué)位論文 其中，r a d d 亍，p a d d t ，g 是極小右a d d - - 逼近，+ ，g 是極小左a d d - - 逼近 c l u s t e r 范疇與有限維代數(shù)表示理論中的經(jīng)典傾斜理論相結(jié)合，促成了c l u s t e r 傾 斜代數(shù)理論的產(chǎn)生，參見文【b m r l ，這里c l u s t e r 傾斜代數(shù)定義為c l u s t e r 傾斜對(duì)象的 自同態(tài)代數(shù)，即為e n d v ( z ) ( t ) 。p 近年來(lái)，對(duì)這一類代數(shù)的大量研究表明，它們具有 很多好的性質(zhì) 文【b m r l 】證明了c l u s t e r 傾斜代數(shù)的模范疇很大程度上是由它所對(duì)應(yīng)的c l u s t e r 范疇確定的若丁是c l u s t e r 范疇夠( ) 的個(gè)c l u s t e r 傾斜對(duì)象，那么存在范疇等價(jià) h o m 夠( 日) ( e 一) ：夠( h ) a d d ( r t ) _ m o de n d 夠( 日) ( 丁) o p 文【b m r 2 】給出了c l u s t e r 傾斜代數(shù)理論和c l u s t e r 代數(shù)理論之間的聯(lián)系證明 了。若亍是c l u s t e r 范疇中的一個(gè)幾乎傾斜對(duì)象，m 和m + 是它的兩個(gè)補(bǔ)，記r = e n 如( 日) ( 亍o ，) 叩，r ，= e n d 夠( 日) ( 亍0m + o p ，k 是m 在r 中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，那么箭圖 釘和q r ， 或者等價(jià)的說(shuō)，矩陣b r = ( 幻) 和b r ，= ( 6 ：，) 存在下面的關(guān)系式 ， 。，j 一幻 若i = k 或j = k ； v i 幻+ ( i b , k l b k j + b i k l b k j l ) 其它 文【a b s l 】給出了c l u s t e r 傾斜代數(shù)和經(jīng)典的傾斜代數(shù)之間的關(guān)系，證明了一個(gè)代 數(shù)c 是個(gè)c l u s t e r 傾斜代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在個(gè)傾斜代數(shù)c 使得c 是c 的關(guān)系擴(kuò)張 代數(shù) 文【k r l l 考查了c l u s t e r 傾斜代數(shù)的同調(diào)性質(zhì)，特別是證明了c l u s t e r 傾斜代數(shù)是 g o r e n s t e i n 維數(shù)至多為1 的g o r e n s t e i n 代數(shù)c l u s t e r 傾斜代數(shù)理論也為經(jīng)典的傾斜 理論帶來(lái)了新的視角，比如廣義a p r - 傾斜，參見文【b m r l d y n k i n 型( a n ，d 。，島，歷，b ) 遺傳代數(shù)作為最經(jīng)典的一類有限維遺傳代數(shù)， 在有限維遺傳代數(shù)的發(fā)展中起到舉足輕重的作用同樣由d y n k i n 型遺傳代數(shù)生成的 c l u s t e r 范疇在c l u s t e r 范疇和c l u s t e r 傾斜代數(shù)的發(fā)展中也起到了很好的推動(dòng)作用，因 此對(duì)d y n k i n 型的研究成為我們研究c l u s t e r 范疇及c l u s t e r 傾斜代數(shù)的個(gè)重要突破 點(diǎn) 3 山東大學(xué)博士學(xué)位論文 文【b m r 3 1 證明了d y n k i n 型c l u s t e r 傾斜代數(shù)由其箭圖唯一確定，從而對(duì)d y n k i n 型我們可以把c l u s t e r 范疇中的c l u s t e r 傾斜對(duì)象的m u t a t i o n 轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的c l u s t e r 傾 斜代數(shù)箭圖的m u t a t i o n ，即通過(guò)對(duì)箭圖的m u t a t i o n 我們可以實(shí)現(xiàn)c l u s t e r 代數(shù)上的 c l u s t e r - m u t a t i o n 文 c c s l 】獨(dú)立構(gòu)造了一個(gè)幾何化的厶型的范疇，并且證明了這個(gè)范疇等價(jià)于 a n 型c l u s t e r 范疇緊接著， h t o r k i l d s e n 在【w o d 中利用【c c s l 】中的幾何化模型 給出了兩個(gè)a 。型c l u s t e r 傾斜代數(shù)同構(gòu)的等價(jià)條件，并算出了其個(gè)數(shù) 同時(shí)，a b u a n 和d v a t n e 運(yùn)用組合的方法給出了a n 型c l u s t e r 傾斜代數(shù)的導(dǎo) 出等價(jià)分類； j b a s t i a n 和t h o l m 在【b h 】中給出了e 型c l u s t e r 傾斜代數(shù)的