函數(shù)的來(lái)源與發(fā)展應(yīng)用.doc

函數(shù)的來(lái)源與發(fā)展應(yīng)用姓名：梁鈺坤 學(xué)號(hào)：19120112202927指導(dǎo)老師：譚忠一、 函數(shù)的產(chǎn)生 馬克思曾經(jīng)認(rèn)為，函數(shù)概念來(lái)源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究由于羅馬時(shí)代的丟番圖對(duì)不定方程已有相當(dāng)研究，所以函數(shù)概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽 自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問(wèn)題，人們?cè)谒妓鳎杭热坏厍虿皇怯钪嬷行?，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運(yùn)行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達(dá)到的高度，以及炮彈速度對(duì)于高度和射程的影響等問(wèn)題，既是科學(xué)家的力圖解決的問(wèn)題，也是軍事家要求解決的問(wèn)題，函數(shù)概念就是從運(yùn)動(dòng)的研究中引申出的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來(lái)源十六、十七世紀(jì)，歐洲資本主義國(guó)家先后興起，為了爭(zhēng)奪霸權(quán)，迫切需要發(fā)展航海和軍火工業(yè)。為了發(fā)展航海事業(yè)，就需要確定船只在大海中的位置，在地球上的經(jīng)緯度；要打仗，也需知道如何使炮彈打的準(zhǔn)確無(wú)誤等問(wèn)題， 這就促使了人們對(duì)各種“運(yùn)動(dòng)”的研究，對(duì)各種運(yùn)動(dòng)中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究，這就為函數(shù)概念的產(chǎn)生提供了客觀實(shí)際需要的基礎(chǔ)。二、 函數(shù)的發(fā)展歷程1.早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù)十七世紀(jì)伽俐略(GGalileo，意，15641642)在兩門新科學(xué)一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，15961650)在他的解析幾何中，已注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但因當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時(shí)還沒(méi)有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的。 1673年，萊布尼茲首次使用“function”（函數(shù)）表示“冪”，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來(lái)表示變量間的關(guān)系。2.十八世紀(jì)函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量?！彼囊馑际欠沧兞縳和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來(lái)表示。1755，歐拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！?8世紀(jì)中葉歐拉(LEuler，瑞，17071783)給出了定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。”他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。3.十九世紀(jì)函數(shù)概念對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式。不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限。1822年傅里葉（Fourier，法國(guó)，17681830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新層次。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！边@個(gè)定義避免了函數(shù)定義中對(duì)依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。等到康托(Cantor，德，18451918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象。4.現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合論綱要中用不明確的概念“序偶”來(lái)定義函數(shù)，其避開了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念。庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)?。”三、函?shù)理論1、定義：函數(shù)（function）表示每個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)唯一輸出值的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)f中對(duì)應(yīng)輸入值的輸出值x的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)為f(x)。包含某個(gè)函數(shù)所有的輸入值的集合被稱作這個(gè)函數(shù)的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。若先定義映射的概念，可以簡(jiǎn)單定義函數(shù)為，定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。2、函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集X包含于D。如果存在數(shù)K1，使得f(x)=K2對(duì)任一xX都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而K2稱為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界。如果存在正數(shù)M，使得|f(x)|=M對(duì)任一xX都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在X上無(wú)界。函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界。3、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I包含于D。如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f(x1)f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。4、函數(shù)的奇偶性設(shè)f(x)為一個(gè)實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，則f為奇函數(shù)若下列的方程對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立：f(x) = - f( - x) 或f( -x) = - f(x) 幾何上，一個(gè)奇函數(shù)與原點(diǎn)對(duì)稱，亦即其圖在繞原點(diǎn)做180度旋轉(zhuǎn)后不會(huì)改變。奇函數(shù)的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。設(shè)f(x)為一實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，則f為偶函數(shù)若下列的方程對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立：f(x) = f( - x) 幾何上，一個(gè)偶函數(shù)會(huì)對(duì)y軸對(duì)稱，亦即其圖在對(duì)y軸為鏡射后不會(huì)改變。偶函數(shù)的例子有|x|、x、x2、cos(x)和cosh(sec)(x)。偶函數(shù)不可能是個(gè)雙射映射。5、反函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(xA)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x= f(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= f(y)(yC)叫做函數(shù)y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作x=f-1(y).。反函數(shù)y=f-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。6、復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(u),u=g(x),當(dāng)x在u=g(x)的定義域Dg中變化時(shí)，u=g(x)的值在y=f(u)的定義域Df內(nèi)變化，因此變量x與y之間通過(guò)變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為y=f(u)=fg(x)稱為復(fù)合函數(shù)（composite functions)，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量(即函數(shù))7、六類基本初等函數(shù)初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所得的函數(shù)稱為初等函數(shù)，否則稱為非初等函數(shù)我們將六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)。它們是：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。(1) 常值函數(shù) ， (2) 指數(shù)函數(shù) ， ， (，)函數(shù)的值域是，圖形總經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)當(dāng)時(shí)， 函數(shù)嚴(yán)格單凋上升；（實(shí)線）當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)下降（虛線）與 的圖形關(guān)于軸對(duì)稱(見(jiàn)圖2-9)。(3) 對(duì)數(shù)函數(shù) ，(，)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，由反函數(shù)性質(zhì)知對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱。對(duì)數(shù)函數(shù)的值域是，圖形總經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)上升；當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)下降與的圖形關(guān)于軸對(duì)稱(見(jiàn)圖2-10)。（4） 冪函數(shù) ，其中。冪函數(shù)的定義域根據(jù)值的不同而不同當(dāng)是有理數(shù)時(shí)(其中、是整數(shù)，且、互質(zhì))，其定義域見(jiàn)下表：定義域?yàn)槠鏀?shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為偶數(shù)當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)，定義為，故定義域?yàn)椤？梢?jiàn)不論()為何值，冪函數(shù)在總有定義。冪函數(shù)的圖形當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖形在第一象限，總經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)上升；當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)下降函數(shù)和互為反函數(shù)，圖形關(guān)于直線對(duì)稱(見(jiàn)圖2-11和圖2-12)(5) 三角函數(shù)正弦函數(shù) ，；余弦函數(shù) ，；正切函數(shù) ，0，l，2，；余切函數(shù) ，0，1，2，正弦和余弦函數(shù)的周期為，值域?yàn)?，1。正切和余切函數(shù)的周期為，值域?yàn)椋⒁?，在微積分中，三角函數(shù)的自變量一般總是用弧度。(6) 反三角函數(shù)因?yàn)槿呛瘮?shù)不是一一對(duì)應(yīng)的，因此我們只能分別在它們的一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)分支上來(lái)討論反函數(shù)反正弦函數(shù) ，1，1，；反余弦函數(shù) ，1，1，；反正切函數(shù) ，；反余切函數(shù) ，反正弦和反正切函數(shù)在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)上升且是奇函數(shù)，而反余弦和反余切函數(shù)在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)下降它們的圖形分別見(jiàn)圖215圖218四、 函數(shù)在當(dāng)今科學(xué)和行業(yè)中的應(yīng)用例：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中要用到很多的函數(shù)，這里我們分析解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的一些函數(shù)1、需求函數(shù)一般情況下，一種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量與該產(chǎn)品的價(jià)格密切相關(guān) ，產(chǎn)品價(jià)格越高，需求量越小。如果我們只考慮價(jià)格的變動(dòng)對(duì)需求量的影響，價(jià)格以外的其它因素不予考慮，在這種情況下，產(chǎn)品價(jià)格與需求量有關(guān)系。需求量可以看成是價(jià)格的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，它們的關(guān)系可以記作：.一般來(lái)說(shuō), 需求函數(shù)為價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù).常見(jiàn)的需求函數(shù)有以下幾種類型:(1) 線性需求函數(shù) (2) 二次需求函數(shù) (3) 指數(shù)需求函數(shù) 需求函數(shù)的反函數(shù),就是價(jià)格函數(shù), 記作：它反映產(chǎn)品的需求與價(jià)格的關(guān)系.在需求函數(shù)中最簡(jiǎn)單的是線性需求函數(shù).一般形式為： 最大需求量為（當(dāng)時(shí)），最高銷售價(jià)為2、供給函數(shù)供給函數(shù)是站在產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的立場(chǎng)上，在其他情況不變的條件下，只考慮銷售價(jià)格與供給量之間的關(guān)系。一般情況下，供給量是價(jià)格的函數(shù)，一般都假設(shè)供給函數(shù)為線性函數(shù)，稱為供給函數(shù)，記為：供給函數(shù)為價(jià)格的單調(diào)增加函數(shù).常見(jiàn)的供給函數(shù)有線性函數(shù), 二次函數(shù), 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)等.其中線性供給函數(shù)為使某種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量與供給量相等的價(jià)格,稱為均衡價(jià)格.當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí), 供給量將增加而需求量相應(yīng)地減少,這時(shí)生產(chǎn)的“供大于求”的現(xiàn)象必然使價(jià)格下降; 當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格低于均衡價(jià)格時(shí), 供給量將減少而需求量增加, 這時(shí)會(huì)產(chǎn)生“物資短缺”現(xiàn)象,從而又使得價(jià)格上升. 市場(chǎng)價(jià)格的調(diào)節(jié)就是這樣來(lái)實(shí)現(xiàn)的.例1 當(dāng)大米收購(gòu)價(jià)為每千克2.5元時(shí), 某收購(gòu)站每天能收購(gòu)3000.若收購(gòu)價(jià)每提高0.1元,則收購(gòu)量可增加500,求大米的線性供給函數(shù).解 設(shè)雞蛋的線性供給函數(shù)為則有 解得 所求供給函數(shù)為 3、總成本函數(shù)、收入函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)在生產(chǎn)和產(chǎn)品的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中,成本、收入和利潤(rùn)這些經(jīng)濟(jì)變量都都可以看作是產(chǎn)品的產(chǎn)量或銷售量的函數(shù)，分別稱為總成本函數(shù)，記為：收入函數(shù)，記為：利潤(rùn)函數(shù)，記為：總成本由固定成本和可變成本兩部分組成，固定成本與產(chǎn)量無(wú)關(guān)；可變成本隨產(chǎn)量的增加而增加，即 總成本函數(shù)是的單調(diào)增加函數(shù).要評(píng)價(jià)企業(yè)的生產(chǎn)狀況的好壞情況,需要計(jì)算產(chǎn)品的平均成本, 即生產(chǎn)件產(chǎn)品時(shí),單位產(chǎn)品成本平均值, 記作：,則其中 稱為平均可變成本.如產(chǎn)品的單位售價(jià)為,銷售量為,則總收入函數(shù)為總利潤(rùn)等于總收入與總成本的差,于是總利潤(rùn)函數(shù)為例3 已知某廠生產(chǎn)燈泡的總成本函數(shù)為求當(dāng)生產(chǎn)10個(gè)燈泡時(shí)的總成本和平均成本.解 由題意,產(chǎn)量為10個(gè)時(shí)的總成本為產(chǎn)量為10個(gè)時(shí)的平均成本為參考書目及網(wǎng)頁(yè)：1張志強(qiáng).期權(quán)理論與公司理財(cái).北京：華夏出版社，20002鄭明川.等期公交易的理論與實(shí)務(wù)M.杭州：浙江大學(xué)出版社，19993王志偉.希克斯經(jīng)濟(jì)思想研究M.北京:北京大學(xué)出版社,1996.4閻達(dá)五社會(huì)會(huì)計(jì)M.北京:中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社,1989./view/bdccfc868762caaed