數(shù)學(xué)運(yùn)算之排列組合問題.doc

一、排列組合問題 （一）基本概念 （1）加法原理：分類的用加法 乘法原理：分步的用乘法 排列：與順序有關(guān) 組合：與順序無關(guān) （2）主要解題技巧：逆向考慮法，特殊位置先排，隔板法，插空法，分類法，捆綁法等。 因?yàn)檫@部分內(nèi)容比較多，所以抽屜原理另外在下一個(gè)專題里單獨(dú)講。 （二）習(xí)題與解析： 1、用1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ 解析： 這是一個(gè)從8個(gè)元素中取5個(gè)元素的排列問題，由排列數(shù)公式，共可組成： P85=8*7*6*5*4=6720 2、由數(shù)字0、1、2、3可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)？ 解析：分類法 注意到由四個(gè)數(shù)字0、1、2、3可組成的偶數(shù)有一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)這四類，所以要一類一類地考慮，再由加法原理解決. 第一類：一位偶數(shù)只有0、2，共2個(gè)； 第二類：兩位偶數(shù)，它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取0，則十位可有C13種取法；若個(gè)位取2，則十位有C12種取法.故兩位偶數(shù)共有（C13C12）種不同的取法； 第三類：三位偶數(shù)，它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取0，則十位和百位共有P23種取法；若個(gè)位取2，則十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2種取法，十位也有2種取法，由乘法原理，個(gè)位為2的三位偶數(shù)有22個(gè)，三位偶數(shù)共有（P2322）個(gè)； 第四類：四位偶數(shù).它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取 0，則共有P33個(gè)；若個(gè)位取 2，則其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2種取法，百位和十位在剩下的兩個(gè)數(shù)中取，再排成一列，有P22種取法.由乘法原理，個(gè)位為2的四位偶數(shù)有2P22個(gè).所以，四位偶數(shù)共有（P332P22）種不同的取法. 由加法原理知，共可以組成 2（C13C12）（P2322）（P332P22） 251010 27個(gè)不同的偶數(shù). 3、從5幅國畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種選法？ 解析：分類法。首先考慮從國畫、油畫、水彩畫這三種畫中選取兩幅不同類型的畫有三種情況，即可分三類，自然考慮到加法原理.當(dāng)從國畫、油畫各選一幅有多少種選法時(shí)，利用的乘法原理.由此可知這是一道利用兩個(gè)原理的綜合題.關(guān)鍵是正確把握原理. 解：符合要求的選法可分三類： 設(shè)第一類為：國畫、油畫各一幅，可以想像成，第一步先在5張國畫中選1張，第二步再在3張油畫中選1張.由乘法原理有 5315種選法.第二類為國畫、水彩畫各一幅，由乘法原理有 5210種選法.第三類油畫、水彩各一幅，由乘法原理有326種選法.這三類是各自獨(dú)立發(fā)生互不相干進(jìn)行的. 因此，依加法原理，選取兩幅不同類型的畫布置教室的選法有 1510 631種. 運(yùn)用加法和乘法原理時(shí)要注意： 抓住兩個(gè)基本原理的區(qū)別，千萬不能混. 不同類的方法（其中每一個(gè)方法都能各自獨(dú)立地把事情從頭到尾做完）數(shù)之間做加法，可求得完成事情的不同方法總數(shù). 不同步的方法（全程分成幾個(gè)階段（步），其中每一個(gè)方法都只能完成這件事的一個(gè)階段）數(shù)之間做乘法，可求得完成整個(gè)事情的不同方法總數(shù). 在研究完成一件工作的不同方法數(shù)時(shí)，要遵循“不重不漏”的原則.請看一些例：從若干件產(chǎn)品中抽出幾件產(chǎn)品來檢驗(yàn)，如果把抽出的產(chǎn)品中至多有2件次品的抽法僅僅分為兩類：第一類抽出的產(chǎn)品中有2件次品，第二類抽出的產(chǎn)品中有1件次品，那么這樣的分類顯然漏掉了抽出的產(chǎn)品中無次品的情況.又如：把能被2、被3、或被6整除的數(shù)分為三類：第一類為能被2整除的數(shù)，第二類為能被3整除的數(shù)，第三類為能被6整除的數(shù).這三類數(shù)互有重復(fù)部分. 在運(yùn)用乘法原理時(shí)，要注意當(dāng)每個(gè)步驟都做完時(shí)，這件事也必須完成，而且前面一個(gè)步驟中的每一種方法，對于下個(gè)步驟不同的方法來說是一樣的. 4、一學(xué)生把一個(gè)一元硬幣連續(xù)擲三次，試列出各種可能的排列. 解析：畫圖 由此可知，排列共有如下八種： 正正正、正正反、正反正、正反反、 反正正、反正反、反反正、反反反. 5、參加會議的人兩輛都彼此握手，有人統(tǒng)計(jì)共握手36次，到會共有多少人？（） A、9 B、10 C、11 D、12 解析：兩人握手與順序無關(guān)，（甲與乙握手和乙與甲握手是一樣的），假設(shè)共有N個(gè)人，兩兩彼此握手可以握C2N次，有C2N=N(N-1)/2*1=36.解得N=9，選A 6、五個(gè)瓶子都貼了標(biāo)簽，其中恰好貼錯(cuò)了三個(gè)，則錯(cuò)的可能情況共有多少種？（） A、6 B、10 C、12 D、20 解析：第一步：從五個(gè)瓶子中選出三個(gè)瓶子 共有C35=10種方法 第二步：對這三個(gè)瓶子進(jìn)行錯(cuò)位排列，共有D3=2種方法 第三步：根據(jù)乘法原理，所有可能的方法數(shù)為10*2*1=20種 PS：有關(guān)錯(cuò)位排列問題。請看下一題。將有比較詳細(xì)的解釋。 7、甲乙丙丁四個(gè)人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，則所有可能的站法數(shù)為多少種？（） A、6 B、12 C、9 D、24 解析：甲不能站在第一位，因此甲必然站在后三個(gè)位置中的某一個(gè)位置。 如果甲站在第二位，則共有三種可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙 如果甲站在第三位，則共有三種可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙 如果甲站在第四位，則共有三種可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲 因此一共有9種可能 總結(jié)：錯(cuò)位排列問題：有N封信和N個(gè)信封，則每封信都不裝在自己的信封里，可能的方法的種數(shù)記作Dn。則D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265。 8、A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排，其中A、B兩個(gè)人不站在一起，共有（）種排法。 解析：采用插空法。 第一步：CDE排成一排，共有P33=6種排法 第二步：口C口D口E口 ，共有4個(gè)空，將A、B插入這4個(gè)空中，共有P24=12種排法 根據(jù)乘法原理，共有不同的排法6*12=72種 9、A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排，其中A、B兩人必須站在一起，共有（）種排法。 解析：采用捆綁法。 第一步：將A、B捆綁在一起，共有P22=2種捆法。 第二步：用它們的整體和CDE一起拍，共有P44=24種排法 根據(jù)乘法原理，共有不同排法2*24=48種。 總結(jié)：相鄰問題-捆綁法。 不鄰問題-插空法。 10、有10顆糖，每天至少吃一粒，直到吃完為止，共有多少種不同的吃法？ 解析：10片藥并成一排，內(nèi)部形成9個(gè)空。想象每個(gè)空上方都有一塊隔板，如果隔板放下了，就是把那部分的糖果分成2天來吃了。每個(gè)隔板都有放下