生活中的的數(shù)學---數(shù)列(一).doc

生活中的的數(shù)學-數(shù)列（一）以數(shù)列知識作為背景的應用題是高中應用題中的常見題型，要正確快速地求解這類問題，需要在理解題意的基礎上，正確處理數(shù)列中的遞推關系。一、儲蓄問題對于這類問題的求解，關鍵是要搞清：(1)是單利還是復利；(2)存幾年。單利是指本金到期后的利息不再加入本金計算。設本金為P元，每期利率為r，經(jīng)過n期，按單利計算的本利和公式為Sn=P(1+nr)。復利是一種計算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計算下一期的利息。設本金為P，每期利率為r，設本利和為y，存期為x，則復利函數(shù)式為y=P(1+r)x。例1、（儲蓄問題）某家庭為準備孩子上大學的學費，每年6月30日在銀行中存入2000元，連續(xù)5年，有以下兩種存款的方式：(1)如果按五年期零存整取計，即每存入a元按a(1+n6.5%)計本利(n為年數(shù))；(2)如果按每年轉(zhuǎn)存計，即每存入a元，按(1+5.7%)na計算本利(n為年數(shù))。問用哪種存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利較高？分析：這兩種存款的方式區(qū)別在于計復利與不計復利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。解：若不計復利，5年的零存整取本利是2000(1+50.065)+2000(1+40.065)+2000(1+0.065)=11950；若計復利，則2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+2000(1+5%)11860元。所以,第一種存款方式到期的全部本利較高。二、等差、等比數(shù)列問題等差、等比數(shù)列是數(shù)列中的基礎，若能轉(zhuǎn)化成一個等差、等比數(shù)列問題，則可以利用等差、等比數(shù)列的有關性質(zhì)求解。例2、（分期付款問題）用分期付款的方式購買家用電器一件，價格為1150元。購買當天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%。若交付150元以后的第一個月開始算分期付款的第一日，問分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貨款付清后，買這件家電實際花了多少錢？解：購買時付出150元，余欠款1000元，按題意應分20次付清。設每次所付欠款順次構(gòu)成數(shù)列an，則a1=50+10000.01=60元，a2=50+(1000-50)0.01=59.5元，a3=50+(1000-502)0.01=59，an=60-(n-1)0.5所以an是以60為首項，-0.5為公差的等差數(shù)列，故a10=60-90.5=55.5元20次分期付款總和S20=20=1105元，實際付款1105+150=1255(元)答：第10個月該付55.5元，全部付清后實際共付額1255元。例3、（疾病控制問題）流行性感冒（簡稱流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。分析：設11月n日這一天新感染者最多，則由題意可知從11月1日到n日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列；從n+1日到30日，每天新感染者構(gòu)成另一個等差數(shù)列。這兩個等差數(shù)列的和即為這個月總的感染人數(shù)。略解：由題意，11月1日到n日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人數(shù)an=50n30；從n+1日到30日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列bn,b1=50n-60,d2=30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人數(shù)為b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.故共感染者人數(shù)為：=8670，化簡得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日這一天感染者人數(shù)最多，為570人。例4（住房問題）某城市1991年底人口為500萬，人均住房面積為6 m2，如果該城市每年人口平均增長率為1%，每年平均新增住房面積為30萬m2，求2000年底該城市人均住房面積為多少m2？(精確到0.01)解：1991年、1992年、2000年住房面積總數(shù)成AP a1 = 6500 = 3000萬m2，d = 30萬m2，a10 = 3000 + 930 = 32701990年、1991年、2000年人口數(shù)成GPb1 = 500 , q = 1% , 2000年底該城市人均住房面積為：點評：實際問題中提煉出等差、等比數(shù)列。例5 （濃度問題） 從盛有鹽的質(zhì)量分數(shù)為20%的鹽水2 kg的容器中倒出1 kg鹽水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg鹽水，然后再加入1 kg水，問：1.第5次倒出的的1 kg鹽水中含鹽多少g？ 2.經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時加1 kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分數(shù)為多少？解：1.每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為an，則： a1= 0.2 kg , a2=0.2 kg , a3= ()20.2 kg 由此可見：an= ()n-10.2 kg , a5= ()5-10.2= ()40.2=0.0125 kg 2.由1.得an是等比數(shù)列 a1=0.2 , q= 點評：掌握濃度問題中的數(shù)列知識。例6（減員增效問題）某工廠在1999年的“減員增效”中對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領取工資的100，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的領取工資，該廠根據(jù)分流人員的技術特長，計劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該經(jīng)濟實體預計第一年屬投資階段，第二年每人可獲得元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎上遞增50，如果某人分流前工資的收入每年元，分流后進入新經(jīng)濟實體，第年的收入為元，（1）求的通項公式；（2）當時，這個人哪一年的收入最少？最少為多少？（3）當時，是否一定可以保證這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入？解：（1）由題意得，當時，當時，（2）由已知，當時，要使得上式等號成立，當且僅當，即，解得，因此這個人第三年收入最少為元（3）當時，上述等號成立，須且因此等號不能取到，當時，這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入例7（等差等比綜合問題）銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計算利息的方法叫做復利現(xiàn)在有某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元兩種方案的期限都是10年，到期一次行歸還本息若銀行貸款利息均以年息10的復利計算，試比較兩個方案哪個獲得存利潤更多？（計算精確到千元，參考數(shù)據(jù)：） 解：甲方案10年獲利潤是每年利潤數(shù)組成的數(shù)列的前10項的和：（萬元）到期時銀行的本息和為（萬元）甲方案扣除本息后的凈獲利為：（萬元）乙方案：逐年獲利成等差數(shù)列，前10年共獲利：（萬元）貸款的本利和為：（萬元）乙方案扣除本息后的凈獲利為：（萬元）所以，甲方案的獲利較多三、an- an-1=f(n),f(n)為等差或等比數(shù)列有的應用題中的數(shù)列遞推關系，an與an-1的差（或商）不是一個常數(shù)，但是所得的差f(n)本身構(gòu)成一個等差或等比數(shù)列，這在一定程度上增加了遞推的難度。例8、（廣告問題）某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知，在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件。若作廣告宣傳，廣告費為n千元時比廣告費為（n-1）千元時多賣出件，（nN*）。（1）試寫出銷售量s與n的函數(shù)關系式；（2）當a=10,b=4000時廠家應生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，做幾千元廣告，才能獲利最大？分析：對于(1)中的函數(shù)關系，設廣告費為n千元時的銷量為sn,則sn-1表示廣告費為(n-1)元時的銷量，由題意，snsn-1=，可知數(shù)列sn不成等差也不成等比數(shù)列，但是兩者的差構(gòu)成等比數(shù)列，對于這類問題一般有以下兩種方法求解：解法一、直接列式：由題，s=b+=b(2-)（廣告費為1千元時，s=b+；2千元時，s=b+；