圓的有關性質 (2).doc

第十八講 圓的基本性質 到定點(圓心)等于定長(半徑)的點的集合叫圓,圓常被人們看成是最完美的事物,圓的圖形在人類進程中打下深深的烙印. 圓的基本性質有:一是與圓相關的基本概念與關系,如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等;二是圓的對稱性,圓既是一個軸對稱圖形,又是一中心對稱圖形.用圓的基本性質解題應注意: 1.熟練運用垂徑定理及推論進行計算和證明; 2.了解弧的特性及中介作用; 3.善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關系的轉化.熟悉如下基本圖形、基本結論:【例題求解】【例1】在半徑為1的O中,弦AB、AC的長分別為和,則BAC度數(shù)為 . 作出輔助線,解直角三角形,注意AB與AC有不同的位置關系.注: 由圓的對稱性可引出許多重要定理,垂徑定理是其中比較重要的一個,它溝通了線段、角與圓弧的關系,應用的一般方法是構造直角三角形,常與勾股定理和解直角三角形知識結合起來.圓是一個對稱圖形,注意圓的對稱性,可提高解與圓相關問題周密性. 【例2】 如圖,用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形,則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A. B. C. D. 思路點撥 所作最小圓圓心應在對稱軸上,且最小圓應盡可能通過圓形的某些頂點,通過設未知數(shù)求解. 【例3】 如圖,已知點A、B、C、D順次在O上,AB=BD,BMAC于M,求證:AM=DC+CM.思路點撥 用截長(截AM)或補短(延長DC)證明,將問題轉化為線段相等的證明,證題的關鍵是促使不同量的相互轉換并突破它. 【例4】 如圖甲,O的直徑為AB,過半徑OA的中點G作弦C EAB,在CB上取一點D,分別作直線CD、ED,交直線AB于點F,M. (1)求COA和FDM的度數(shù); (2)求證:FDMCOM; (3)如圖乙,若將垂足G改取為半徑OB上任意一點,點D改取在EB上,仍作直線CD、ED,分別交直線AB于點F、M,試判斷:此時是否有FDMCOM? 證明你的結論.思路點撥 (1)在RtCOG中,利用OG=OA=OC;(2)證明COM=FDM,CMO=FMD;(3)利用圖甲的啟示思考.注:善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉化是解決圓的問題的重要技巧,此處,要努力把圓與直線形相合起來,認識到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路,而在解與圓相關問題時常用到直線形的知識與方法(主要是指全等與相似). 【例5】 已知:在ABC中,AD為BAC的平分線,以C為圓心,CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E,交AD于點F,交AE于點M,且B=CAE,EF:FD4:3.(1)求證:AFDF;(2)求AED的余弦值;(3)如果BD10,求ABC的面積. 思路點撥 (1)證明ADEDAE;(2)作ANBE于N,cosAED,設FE=4x,FD3x,利用有關知識把相關線段用x的代數(shù)式表示;(3)尋找相似三角形,運用比例線段求出x的值.注:本例的解答,需運用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想,綜合運用直線形相關知識方法思想是解與圓相關問題的關鍵. 學歷訓練1.D是半徑為5cm的O內一點,且OD3cm,則過點D的所有弦中,最小弦AB= .2.閱讀下面材料:對于平面圖形A,如果存在一個圓,使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑,則稱圖形A被這個圓所覆蓋. 對于平面圖形A,如果存在兩個或兩個以上的圓,使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑,則稱圖形A被這些圓所覆蓋.例如:圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋,圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋. 回答下列問題:(1)邊長為lcm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (2)邊長為lcm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (3)長為2cm,寬為lcm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm. (2003年南京市中考題)3.世界上因為有了圓的圖案,萬物才顯得富有生機,以下來自現(xiàn)實生活的圖形中都有圓:它們看上去多么美麗與和諧,這正是因為圓具有軸對稱和中心對稱性. (1)請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有 ,是中心對稱圖形的有 (分別用下面三個圖的代號a,b,c填空). (2)請你在下面的兩個圓中,按要求分別畫出與上面圖案不重復的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫或徒手畫均可,但要盡可能準確些,美觀些).a.是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形. b.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.4.如圖,AB是O的直徑,CD是弦,若AB=10cm,CD8cm,那么A、B兩點到直線CD的距離之和為( )A.12cm B.10cm C. 8cm D.6cm 5.一種花邊是由如圖的弓形組成的,ACB的半徑為5,弦AB8,則弓形的高CD為( )A.2 B. C.3 D. 6.如圖,在三個等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF,如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大小關系是( )A.AB+CDEF B.AB+CD=F C. AB+CDAC,D為BAC的中點,DEAB于E,求證:BD2-AD2=ABAC. 17.將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內,則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素,精確到0.1cm)18.如圖,直徑為13的O,經過原點O,并且與軸、軸分別交于A、B兩點,線段OA、OB(OAOB