（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）非線性分?jǐn)?shù)階微分方程dirichletneumann型邊值問題的正解的存在性.pdf

獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得 的研究成果據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含 其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得東北師范大學(xué)或其他教 育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任 何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝意 學(xué)位論文作者簽名：堆玲 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解東北師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 即：東北師范大學(xué)有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件 和磁盤，允許論文被查閱和借閱本人授權(quán)東北師范大學(xué)可以將學(xué)位論文的全 部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其它復(fù)制手段 保存、匯編學(xué)位論文 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名：越指導(dǎo)教師簽名：塹勇 日 期：劾f 亞：選12y 日期：迎也：旦c - 紗 電話： 郵編： 摘要 本論文討論了帶有分?jǐn)?shù)階的非線性微分方程關(guān)于d i r i c h l e t n e u m a n n 型邊值問題的正解 的存在性首先，求解方程滿足邊值條件下的g r e e n 函數(shù)，并研究了g r e e n 函數(shù)的正性；其次， 結(jié)合錐不動(dòng)點(diǎn)理論進(jìn)而得出該非線性分?jǐn)?shù)階微分方程d i r i c h l e t n e u m a n n 型邊值問題的正解 存在時(shí)的充分性條件；最后，再通過應(yīng)用實(shí)際例子對(duì)本論文所得出的結(jié)論加以驗(yàn)證說明 關(guān)鍵詞：非線性微分方程；分?jǐn)?shù)階；d i r i c h l e t n e u m a n n 型邊值問題；g r e e n 函數(shù)；錐不動(dòng) 點(diǎn)定理 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rd i r i c h l e t n e u m a n nt y p eb o u n d a r y 。 v a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i r s t ，i ts o l v e s t h eg r e e nf u n c t i o n f o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dr e s e a r c h e st h e p o s i t i v ep r o p e r t yo ft h eg r e e nf u n c t i o n n e x t ，i t s o l v e st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h i c hi su s e dt o c e r t i f y t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o r d i r i c h l e t n e u m a n nt y p eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so fn o n l i n e a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h t h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s a tl a s t ，a t y p i c a le x a m p l ei sg i v e nt oe x p l a i nt h ec o n c l u s i o nw e d e r i v e di n t h i sp a p e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；f r a c t i o n a l ；d i r i c h l c t - n c u m a n nt y p eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ；g r e e nf u n c t i o n ；f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s 目錄 中文摘要i 英文摘要 目錄i i i 1 引言1 2 預(yù)備知識(shí)和g r e e n 函數(shù)3 2 1 基本定理3 2 2g r e e n 函數(shù)的正性_ 4 3 非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的正解8 3 1d i r i c h l e t - n e u m a n n 型邊值問題正解的存在性8 3 2 正解存在性的典型例子1 9 參考文獻(xiàn)2 l 致謝2 3 i i i 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 l 引言 分?jǐn)?shù)微積分發(fā)展至今已有很長(zhǎng)時(shí)間回顧歷史，許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域里都做出了巨大 貢獻(xiàn)，如：l a p l a c e ，f o u r i e r ，l i o u v i l l ，r i e m a n n ，l e t n i k o v 等，他們對(duì)早期分?jǐn)?shù)微積分理論的形 成起到了重要的作用【1 1 如今，分?jǐn)?shù)微積分與分?jǐn)?shù)階微分方程理論發(fā)展迅速，有關(guān)分?jǐn)?shù)微 積分與分?jǐn)?shù)階微分方程的諸多問題也越來越受到人們的關(guān)注它已從最初在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng) 用逐步擴(kuò)展到物理、生物、信號(hào)處理等多個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中，并在理論分析和實(shí)際應(yīng)用中扮演了重 要角色，起到了一定作用在最近的數(shù)十年里，有關(guān)分?jǐn)?shù)微積分、分?jǐn)?shù)階微分方程的論文和 著作相繼出現(xiàn)例如：文獻(xiàn) 1 】- 【5 1 在許多論文與著作當(dāng)中，也有很多是關(guān)注不同邊值條件和 不同階數(shù)范圍下分?jǐn)?shù)階微分方程正解存在性和唯一性問題的例如：文獻(xiàn) 6 】- 【1 2 】在文獻(xiàn)【6 】 中作者考慮的是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題 jd g + u ( t ) + f ( t ，“( f ) ) = 0 ，0 t 1 ， iu ( o ) = z ，( 1 ) = 0 ， 1 口2 的正解的存在性問題；在文獻(xiàn)【7 】中作者考慮的是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題 d a u “+ a ( t ) f ( ：u i 0 0 t l - l 口2 的正解的存在性及正解個(gè)數(shù)的問題；在文獻(xiàn)【8 】中作者考慮的是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題 jd o l u ( t ) + 八f ，甜( f ) ) = 0 ， i “( o ) = 0 ，成+ “( 1 ) = 口瑤+ z ，( 鼉) ， 0 t 1 1 o r 2 的正解的存在性問題；在文獻(xiàn) 9 】中作者考慮的是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題 jd 缸“( f ) = f ( t ，z ，( 力) ，0 t 1 ， iu ( o ) = u ( 1 ) = u 。( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 3 口4 的正解的存在性問題；在文獻(xiàn)【l o 】中作者考慮的是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題 d 玉“( f ) + f ( t ，甜( f ) ) = 0 ，0 t 1 ， i 甜( o ) = “( o ) = z ，”( o ) = l ，”7 ( 1 ) = 0 ， 3 口4 的正解的存在性問題，等等在不同的邊值條件和不同的階數(shù)范圍下，可以采用不同的方法 來求解分?jǐn)?shù)階微分方程的解以及證明其正解的存在性已知的求解方法中較多是采用各種 推廣的特殊函數(shù)來直接求解，其中又以分?jǐn)?shù)g r e e n 函數(shù)較為常用同時(shí)不同的邊值問題和階 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 數(shù)范圍也可導(dǎo)致求解g r e e n 函數(shù)所采用的方法及相應(yīng)的g r e e n 函數(shù)值的不同，進(jìn)而導(dǎo)致在后 續(xù)估計(jì)分?jǐn)?shù)階微分方程正解存在的條件以及在證明正解存在性的方法上出現(xiàn)顯著差別這 些都使得對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程不同邊值問題下正解存在性的研究更加有趣且具有很大的應(yīng)用 潛力 本論文著重研究的是d i r i c h l e t n e u m a n n 型邊值問題下，階數(shù)范圍在( 1 ，2 】之間的非線性 分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性問題，即研究： d 備“( 門+ ，f c 和) = o ，0 7 1 ，( 1 1 ) iu ( o ) = “( 1 ) = 0 ， 1 0 ，若函數(shù)“c ( o ，1 ) nl ( o ，1 ) ，則微分方程d g + u ( t ) = 0 有唯一的 一個(gè)解“( d ，且滿足 “( f ) = c l t 瑾一1 + c 2 尸一2 + + c f 口一，c f r ，i = 1 ，2 ， ， 這里是大于或等于口的最小整數(shù) 引理2 2 6 對(duì)于所有讓 0 ，若函數(shù)u c ( o ，1 ) l ( 0 ，1 ) ，則有 磊0 d 盤z ，( 力= “( f ) + c 1 t a - 1 + c 2 t 口一2 + + c 尸- ， c i r ，i = 1 ，2 ， 這里 ，是大于或等于o f 的最小整數(shù) 3 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 2g r e e n 函數(shù)的正性 接下來，我們介紹一下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題( 1 1 ) 中的g r e e n 函數(shù) 引理2 3 若函數(shù)h c o ，l 】，且1 0 ，t ，s ( o ，1 ) ( 3 ) t s ( 1 一s ) 。一2 r ( a ) g ( f ，s ) t 2 一口s ( 1 一s ) 口。2 ，t ，s ( 0 ，1 ) 證明：當(dāng)s t 時(shí)， r ( 口) g ( f ，j ) = ( 1 一s ) 。2 f 。7 1 一( t s ) o 。1 。 = t ( t f s ) 口一2 一( t s ) o 一1 t ( t t s ) 口一2 一( f f s ) 口一1 = 0 一f s ) a - 2 ( f t + t s ) = t s ( t f j l 扣2 = 尸一1 s ( 1 一s ) o 一2 ，f s ( 0 ，1 ) 另一方面： 當(dāng)占t 日寸， 另一方面： 結(jié)合( 2 3 ) 一( 2 6 ) 可知： f ( c r ) a ( t ，s ) = ( 1 一s ) p 2 t a 一1 一( t s ) 口一1 = t ( t t s ) 。一2 一( t s ) o 一2 ( f s ) t ( t t s ) o 一2 一( t 一，s ) 。一2 ( f j ) = o t s ) a - 2 ( f t + s ) = 嚴(yán)一2 s o s l o 一2 ：；f - l ( 1 一s ) 一2 t a - 1 ( 1 一s ) 口 r ( o ) g ( f ，j ) = ( 1 一s ) 8 2 t a 一1 尸一1s o s ) 口一2 r ( a ) g ( t ，s ) = ( 1 一s ) 口一2 尸 尸一1 s ( 1 一s ) 。一2 r ( 。) g ( f ，s ) 尸一1 ( 1 一j ) 。一2 ，t ，s ( 0 ，1 ) 由( 1 ) 成立，可知( 2 ) 顯然成立 以下證明性質(zhì)( 3 ) 成立； 當(dāng)s ，時(shí)， r ( a ) g ( t ，s ) f f r s ( 1 一s ) “以， 5 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 于是， r ( a ) g ( t ，j ) f 2 一d = 【( 1 一s ) 口一2 t a - 1 一( f s ) 。一1 】產(chǎn)一口 f 口一1s o s ) “一2 t z 一“( 2 3 ) +1 = t s ( 1 一s ) 口 另一方面，由( 1 ) 的證明過程可知： f ( o t ) g ( t ，d f 2 一口s ( 1 一s ) 內(nèi)， 則： 當(dāng)s f 時(shí)，由( 1 ) 可知： 則： r ( a ) g ( t ，j ) 產(chǎn)一口i t - 2 s ( 1 一s ) a 一2 】產(chǎn)“= s ( 1 一s ) 。2 ( 2 4 ) r ( a ) g ( t ，s ) 嚴(yán)s o s ) 。， r ( a ) g ( t ，s ) t 2 一口t s ( 1 一s ) 。一2 另一方面， r ( 口) g ( 六s ) f 2 口= ( 1 一s ) 口一2 嚴(yán)一1 t z 一口 = t o 二。s 1 口一2 s ( 1 一s 1 口 結(jié)合( 2 3 ) 一( 2 6 ) 可知，性質(zhì)( 3 ) 成立 口 接下來，設(shè) 滅力= t 2 - ( t ) ，g ( f ，s ) = g ( t ，s ) t 2 - 口 由甜( f ) = f og ( t ，s ) 廳( s ) d s ，可得： y ( 力= j = 1 產(chǎn)一。g ( s ) 辦( s ) d s = 1 1 g ( 瓦5 ) 廳( s ) d s 這里 g + ( f ，s ) = 根據(jù)引理2 4 ( 3 ) 可知： ( 1 - $ ) a - 2 t a - ；i 蘆- x ( l - s ) a - 1 t 2 一- o r ， 0 s z 1 ， r ( 口) 一 t ( 1 ：- 了s w - 2 ， 0 f s 1 r ( 仃) 一 6 ( 2 5 ) 7 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 i _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ 。_ _ _ _ _ - - _ - 。_ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 。- _ _ _ - _ - - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 。- _ 一 以下的引理和定義在證明本文的主要結(jié)論的過程中有著重要作用 引理2 6 【1 3 】x 是b a n a c h 空間，pcx 是錐，q l ，q 2 是x 中開集，0 q ic q lcq 2 ，s ：p 一尸 全連續(xù)，則若 s ui m i 叫， u p na q l ；i is ui i l lu ，山p na q 2 ， 或 仞j ls ul i _ l l 。山l i ， u p na q l ； l lsc l jl l l lu1 l ， pn0 d - 2 ， 則s 在j p n ( - 2 q 1 ) 內(nèi)有不動(dòng)點(diǎn) 定義2 3d 3 設(shè)x 為實(shí)b a n a c h 空間，k 是x 中的閉凸子集，如果它滿足： ，“j 若x k ，l 0 ，則a x k ； 仞若x k 一工k ，則工= 0 ， 則稱k 是x 中的閉錐 定義2 4 1 4 】設(shè)x ，y 為線性賦范空間，dcx ，a ：d _ y ，如果a 將d 中的任何有界集s 映成y 中的相對(duì)緊集么( s ) ，即甭可是y 的緊集，則稱映射a 為緊映射進(jìn)一步，如果映射a 還是連續(xù)的，則稱彳為緊連續(xù)映射，或全連續(xù)映射 引理2 7 4 1 ( a r z e l a _ a s c o l i ) 設(shè)置y 為線性賦范空間，dcx ，a ：d 一】，連續(xù)，若么) 為y 中的一個(gè)閉子集，并且a 是一致有界和等度連續(xù)的，則么是全連續(xù)的 7 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的正解 3 1d i r i c h l e t n e u m a n n 型邊值問題正解的存在性 在這一部分，我們要證明方程( 1 1 ) 的正解的存在性 為了方便證明，使證明過程簡(jiǎn)潔，在這里我們首先定義幾個(gè)記號(hào)的含義如下： g o = l i y m i n f ?？?- - - - 二、 ， 踟= 粵毒等， 其中y c ( 0 ，1 】， 0 ，+ o o ) ) ，g c ( 0 ，+ o o ) ，【0 ，+ o o ) ) m = ( o 警， 丙一f j ：l ( 1 - 1 ) s ( 1 、- ，s ) a - z v l ( s ) 其中v l ( ，) ，v 2 ( t ) 的含義將會(huì)在下方條件中給出 通過以上定義，結(jié)合( 2 1 2 ) 式可知： g o ：l i m s u p 型， y - o + y 曠：l i ms u p 業(yè) y + + o oy 丙：( r j o t s ( 1 一s ) 。之r ( a ) g + ( f ，s ) s ( 1 一s ) 口- 2 1 ( 1 一三) s 2 ( 1 一j ) 帕，l ( s ) 口 在以下定理3 1 和定理3 2 的證明過程中，將會(huì)反復(fù)用到此不等式 i 一( a ) ( 3 1 ) 在這一部分討論非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的正解的存在性的過程中，首先給出以下5 個(gè) 條件： ( 竹f ( t ，甜) 在 0 ，q x o ，+ ) 上連續(xù)，存在g c ( o ，+ o o ) ， o ，+ ) ) ，以及v l ，v 2 c ( ( o ，1 ) ，( o ，+ o o ) ) ， 使得： ，l ( f ) g ( y ) s 八f ，尸一勺力v 2 ( t ) g ( y ) ，t ( o ，1 ) ，y 【0 ，+ o o ) ， ( 3 2 ) 成立，這里fv i ( s ) d s n ，g 。 ； 似2 ) g o 西 【注1 】：如果存在p 0 ，使得當(dāng)0g y p 時(shí)，有g(shù) o , ) o ，使得當(dāng)去p y 冬p 時(shí)，有g(shù) ( y ) 而，則。4 ) 成立 設(shè)“是方程( 1 1 ) 的一個(gè)解，則： 刪= 上1 g 瓴s 小州枷出，。f 0 ，使得對(duì)于所有y d 有，刪 三 令q = m 徹a x 1 9 0 ) l + 1 ，則對(duì)于所有y d 有： ( f ) i y 0 1i g ( f ，s ) f ( s ，s 。一z y ( s ) ) l d s eg + ( f ，s ) l v 2 ( s ) g f y ( s ) ) l d s 以坐掣幽 0 ，當(dāng) i t 2 一t l i r l 時(shí)，有： 1 6 弋紅d “弋n 訓(xùn) 赤1 于是，當(dāng)y d ，t l ，t 2 0 ，1 】，且i t z t l i 刁時(shí)，有： 9 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 l a y ( t 2 ) a y ( t 1 ) i = i 以g ( 如，s 小s ，一玖s ) ) 如一g 。( t i ，s 小s ，一2 y ( s ) ) d s l ei g + ( t 2 ，j ) 一g + ( ms ) l l f ( s ，s 口一項(xiàng)s ) ) l d s 弋。 弋、 i f ( s ，s 。 - 2 y ( ) ) l d s v 2 ( s ) 以y ( s ) ) l d s ，l i v 2 ( s ) d s j0 于是，彳等度連續(xù) 綜上，由a r z e l a a s c o l i 定理可知：a ：k k 是全連續(xù)的 引理3 1 在b a n a c h 空間壩c o ，1 】，”1 1 ) 中，k = u xlz ，( 力fi l u l l ，t 【0 ，1 】) 為一個(gè) 錐，a ：k - x 是全連續(xù)映射，若條件( p ) 成立，則a ( k ) ck 證明：由( 2 8 ) 式，對(duì)于所有y k ，有： ( d = 口g ( 厶s ) f t s ，s ”2 y ( s ) ) d s - v f 竽m s a - 2 y ( 呦出 可知， i 圳s 1 1 專m ，印肌 于是， ) ( 力= fg + ( f ，s ) f ( s ，s - 2 y ( s ) ) d s f 0 1t s ( 1 f ( c r ) - s ) - 2f ( 是s ”欽s ) ) 幽 藝ff o i s ( 1 u - 。s v ，- 2 八j ，s 滬項(xiàng)s ) ) 如 t l l a yl i 則x y k 顯然，彳( 幻ck 定理3 1 假設(shè)條件( 尸) ，似1 ) 、似3 ) 均成立，則方程矽至少存在兩個(gè)正解u l 和u 2 證明：條件( 尸) 成立，則a t ，“) 在【0 ，1 】【0 ，+ o o ) 上連續(xù)，且存在g c ( 【0 ，+ 0 0 ) ， 0 ，+ ) ) 以及 1 ，l ，v 2 c ( ( o ，1 ) ，( 0 ，+ ) ) ，使得： y 1 ( t ) g c y ) f ( t ，t 2 y ) v 2 ( t ) g ( y ) ，y t ( o ，1 ) ，y 【0 ，+ o o ) ( 3 2 ) 1 0 票志六 一方面：由g o 丙，可知對(duì)于所有s 0 ，存在，0 ，0 r o p ，使得g t y 2 甭+ s ，即： j ， g o , ) ( + e ) y ，y ( o ，r 0 ) 現(xiàn)在，我們令，( o ，r 0 ) ，q r = 涉k ii l yi i yl i ，0 0 ，存在h 0 ，使得幽 丙+ ，即； y g t y ) ( + e ) y ， y h 令r r o ：m a x i n _ ，p ，：抄kii l yi i - p 曠 當(dāng)y 似na q 月) 時(shí)，我們有： j ，( f ) fi i y 。i i 丟| | y 等y ：，f 【三，互3 】 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 因此，當(dāng)y 訛足時(shí)，咖( 力) 圓+ 甸， f 【丟，百3 】 結(jié)合( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 5 ) 式，有： ( 1 一丟) = 0g 一1 q ，s 小s ，廣玖呦幽 盱g 一l 口, s ) f ( s , ：- 2 y ( 媯出 廳旦可r 一出 ；( 1 - 1 ) s ( 1 - s 、) 。a - ，2 v l ( s ) g ( y ( s ) ) 凼 ，( 1 一三) s ( 1 一s ) a 一2 v i ( s ) ( + 曲“s ) 一序4 - - j l 百1i , c ：r - ) 一幽 融譬遷學(xué)o = r n ( 丙) 一l 所以，當(dāng)y 砸尺時(shí)，有： i l a y yi i ， r 只 因?yàn)樗? ) 成立，所以存在p 0 ，使得當(dāng)0 y p 時(shí)，有： g o , 、 m p ( 3 6 ) ( 3 7 ) 現(xiàn)在，我們令= 杪kl i i y p1 當(dāng)y 岱n a ) 時(shí)，有0 t l l yi i y ( f ) p ，t 【o ，l 】 于是，當(dāng)y a 時(shí)，如( f ) ) m p ，t 之 o ，l 】 再結(jié)合( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 7 ) 式，有： 于是，當(dāng)y a 時(shí)，有； l a y0 = p m h f l = p = y | i 1 a y 0 ，存在r o ，0 r o 丙+ s y 令廠( o ，r o ) ，珥= l y k ii l yi i i b ，0 0 ，使得當(dāng)y h 時(shí)，有 幽 丙+ y 令尺 j r 。：= m a x h 盯, p l ，q 只= l y k ii l y i l v l l ，r p 13 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 于是，( 4 ：) 條件與似i ) 條件等價(jià) 又由于口3 ) 條件成立，因此存在p 0 ，使得當(dāng)0 y p 時(shí)，有 g o , ) m p 令= l y k y p1 仿照定理3 1 的證明可知：當(dāng)y o n p 時(shí)，有 i i a yi i yl i 綜上所述，結(jié)合引理2 6 可知：映射4 在kn ( 瓦q r ) 以及kn ( 虱) 上至少分別存在 一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y l , y 2 ，使得r i i y l l l p i l y 2 1 l r ，且 咒( f ) = j = 1g ，s 小s ，一鋤( 呦幽 再結(jié)合定理3 1 最后一部分的證明可知在推理3 1 的條件下，邊值問題( 1 1 ) 也至少存在兩個(gè) 正解 1 ( 力= 嚴(yán)一2 y l ( f ) ，u 2 ( 0 = t a - 2 y 2 ( t ) ， f 【o ，l 】 口 定理3 2 假設(shè)條件p ) ，0 2 ) 、似4 ) 均成立，則方程矽至少存在兩個(gè)正解u l 和u 2 證明：由p ) 條件成立，知( 3 2 ) 式成立 由“2 ) 條件成立，知g o mg o o m 一方面，由于g o 0 ，存在r o ，0 r o p ，使得當(dāng)0 少r o 時(shí)，有 g o , ) ( m 一6 ) y ， 令r ( o ，r o ) ，d - r = l y k ii l y ，1 顯然0 ， p 當(dāng)y ( kna q ，) 時(shí)，有ti l yi i y ( f ) ，t o ，1 由于ti l yi i = tr 0 且， r o ，因此對(duì)于所有t 【o ，1 】有 0 tr y ( 力r r o 顯然，當(dāng)y a q ，時(shí)，g t y ( f ) ) ( m e ) y ( d ， ，【o ，l 】 再結(jié)合( 3 0 ( 3 2 ) ( 3 9 ) 式，有： 1 4 ( 3 9 ) 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 于是，當(dāng)y 訛，時(shí)，有： ，) ( f ) = j 5 1g 。( 厶s ) f ( s ，f - 2 y ( s ) ) d s j 5 1g ( f ，s ( s ) g t y ( s ) ) d s , 1 s ( 1 - s ) a - 2 、v 。2 ，( s ) g ( y ( $ ) ) d $ r 坐豎等等型幽 r r 坐專筍幽 脅f 坐篙塑幽 = r m 廣l = r = i i1 ，i i i l a yi i i l yi i ， 。0 ， 0 ，使得當(dāng)y 日時(shí)，有 g o ) 0 ，使得 酊) p + 缶，= 杪k i l y _ ，且尺 乞 對(duì)于所有y ( kna q 月) ，結(jié)合( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 1 2 ) 式，有： l a y m 0 且滿足r m a x r + p ，日j ，使得當(dāng)y ( o ，r 】時(shí)，有 g ( y ) m a x g ( r ) 令= 抄kl | | j ， r ) ，于是對(duì)于所有y a ，有fr y ( f ) sr ，t o ，1 】 所以，當(dāng)y a q 月時(shí)，g o ( f ) ) m a xj g ( 尺) ，t 【0 ，1 】 1 5 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 腓 似 吣一，摹 壅! 豎墮蕉盔堂亟堂魚迨窒 再結(jié)合( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 11 ) ( 3 1 3 ) 式，有： 俐i f 孚他s 口- 2 y ( s ) ) a s c 叢! 二堅(jiān)塑蘭避型出 1 $ ( 1 - - $ ) r - 2 v 2 ( $ ) m a x g ( r ) d s o 坐竺筍出 p ，使 得： 砂i i o ，使得當(dāng)丟p y p 時(shí)，有 反力 m y 令q p ：杪k i i yi i 譬口( 1 一喜，s 小郵”( 媯出 2e g + ( 1 - 吉，s ) v 1 ( s 鼬( s ) ) 凼 ，f 】一三) s ( 1 一j ) 鏟2 v l ( s ) 雙y ( j ) ) 鬈衛(wèi)幣廠一幽 牙生1 酉一幽 ? 2 _ n pi ；, 1 ( 1 - 1 ) v l 霜( s ) s - ( 1 - 一s ) 口- 2d s 所以，當(dāng)。y a 時(shí)，有： = p 丙( t o 一1 = p = yi | u a y i l y i i 1 6 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 聃 f 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 因此，根據(jù)引理2 6 ( 1 ) ，結(jié)合( 3 1 0 ) ( 3 1 6 ) 式可知： a ：k _ k 在kn ( 瓦q ，) 中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y l ，即a y l = y 1 ，且，ib ，l p ； 根據(jù)引理2 6 ( 2 ) ，結(jié)合( 3 1 4 ) ( 3 1 6 ) 式可知： a ：k k 在kn ( 1 ) 中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y 2 ，即鋤= y 2 ，且p i b ，：l l r 綜上所述，映射a 在kn ( 五八q r ) 以及kn ( 礫r i p ) 上至少分別存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y l , 妮， 使得，i b ，l l l p i 忱i i r ，且： ，l y i ( t ) = fg 4 ( f ，s ) f ( s ，s 口- 2 y i ( s ) ) d s “t 【o ，1 】，i 二1 ，2 j 0 又由于i v i l l r ，且蜥( 力= t a y i ( f ) ( i = 1 ，2 ) ，因此u i ( t ) ( i = 1 ，2 ) 為原方程( 1 1 ) 的兩個(gè)解 最后，仿照定理3 1 的證明過程可知：邊值問題( 1 1 ) 至少存在兩個(gè)正解 甜1 ( f ) = t 8 - 2 y l ( 0 ，u 2 ( t ) = f ( 鋤( f ) ，t 【0 ，1 】 口 推論3 2 定理3 2 中的條件似2 ) 可替換成： 0 ；) g o = o ，曠= 0 ，此時(shí)結(jié)論仍然成立 證明：由g o = 0 ，可知對(duì)于所有s 0 ，存在r o ，0 r o p ，使得當(dāng)y ( o ，r o ) 時(shí)，有 趔 m s y 令，( o ，) ，q ，= 杪k ii l y ，1 仿照定理3 1 的證明可知：當(dāng)y a g 時(shí)，有i l 砂0 i l y ，0 0 ，當(dāng)y h 時(shí)，有 型 0 ，使得當(dāng)y 【0 ，+ o o ) 時(shí)，有刪 p + 云，= y k ii i yi i 0 ，且滿足r m a x r + p ，h i ，使得當(dāng)y ( o ，r 時(shí)，有 g ) m a x 甄r ) 令= 杪k | y o ，使得當(dāng)去p y p 時(shí)，有 氧” n y 令q 口= 杪ki l y l | j ，1 1 于是，結(jié)合引理2 6 可知：映射4 在kn ( 瓦n r ) 以及kn ( 礫啤) 上至少分別存在一個(gè) 不動(dòng)點(diǎn)y l ，y 2 ，使得，p i t v 2 | | r ，且； ，l 。y i ( t ) 二f g + ( f ，s ) f ( s ，s a - 2 y i ( s ) ) d s ， f 【o ，1 】，i = l ，2 j o 此時(shí)，再仿照定理3 1 最后一部分的證明可知，在推理3 2 的條件下，邊值問題( 1 1 ) 也至少 存在兩個(gè)正解 u l ( 力= 廣l ( 力，u 2 ( t ) = 廣鋤( 力，t 【0 ，1 】 口 “ 將定理3 1 和定理3 2 中的部分條件稍加更改，還可以得出以下結(jié)論： 定理3 3 在條件p ) 成立的前提下，若g o _ 曠 m ，則方程“矽至少存在一個(gè)正解 推論3 3 在條件p ) 成立的前提下，若g o = + o o ，曠= o 伏線性j ，則方程口至少存在 一個(gè)正解 定理3 4 在條件p ) 成立的前提下，若礦 n 一，則方程“至少存在一個(gè)正解 推論3 4 在條件( 力成立的前提下，若g o = 0 ，g o o = o o 陡線性) ，則方程“矽至少存在一 個(gè)正解 1 8 - 蠢 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 2 正解存在性的典型例子 為了對(duì)我們?cè)诒菊撐闹兴贸龅慕Y(jié)論加以說明，在此特別舉出一個(gè)典型的分?jǐn)?shù)階微分 方程d i r i c h l e t n e u m a n n 型邊值問題的例子，通過它來說明此類方程正解的存在性 例3 1 邊值問題 材( 弩緲+ 吩= o ，o 所 1 1 0 ，y r ， 。 當(dāng)0 y ，+ 時(shí)，至少存在兩個(gè)正解i l l 和u 2 其中y + 為一個(gè)固定的正值 在方程( 3 1 7 ) 中以柚f ) = y ( 礦+ 礦) 設(shè)( 力= t a - ，于是， 八厶f 口一2 y ) = y ( f ( a - 2 ) m y ”+ t ( a - 2 ) n y ”) 現(xiàn)在，我們令v l ( t ) = t ”( a - ，v 2 ( t ) = t ”( a - 2 ) ，g o , ) = y ”+ y ”) 由于： l i m i n f g c ，v _ _ 2 ：l i m i n f yy m l + y ”一1 ) ：o o ， v 一0 + vv - 0 + l i m i n f g c v _ _ 2 ：l i m i n f y 肌一l + y ”一1 ) ：o o ， ，_ + o oyy _ + o o 因訾，條件似：) 成立 又因?yàn)?f 1v t ( s ) 出= f o i $ r e ( a - 2 ) 凼 o o ， 1 y 2 ( s ) 凼= 1 $ n ( a - 2 ) 出 0 ；當(dāng)y ( ( 上等) 一一，+ ) 時(shí)，f o ，顯然p = ( 等署) ” 1 ：厶蘭：垮，( 0 ，+ ) 目t f 0 ，1 1 時(shí)，有 g o ( f ) ) = y p ( 力”+ y ( f ) ”) y ( p + p ”) y ( p ”+ 礦) = m ，p ) ( 礦+ p ”) = m 歹( 礦+ 川p h + p i = m p ， 其中y ( f ) o ，p 】 所以，條件“3 ) 成立 于是，根據(jù)推論3 1 可知：當(dāng)。 y 。時(shí)，方程 ( 3 1 7 ) 至少存在兩個(gè)正解u l 和u 2 口 2 0 i 簟 - ， 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 參考文獻(xiàn) 【l 】鄭祖庥分?jǐn)?shù)微分方程的發(fā)展和應(yīng)用 j 】徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)f ，自然科學(xué) ，2 0 0 8 ，2 6 ( 2 ) ： 1 1 0 【2 】k i l b a saa ，t r u j i l l ojj d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ff r a c t i o n a lo r d e r ：m e t h o d s ，r e s u l t sa n dp r o b l e m s i i 【j 】m a t h a n a la p p l ，2 0 0 2 ，8 1 ：4 3 5 - 4 9 3 【3 】s a m k osg ，k i l b a saa ，m a r i c h e voi f r a c t i o n a li n t e g r a l a n dd e r i v a t i v e s ( t h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s ) 【m s w i t z e d a n d ：g o r d o na n db r e a c h ，1 9 9 3 4 】d i e t h e l mk ，f o r dnj a n a l y s i so f f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】m a t h a n a la p p l ，2 0 0 2 ， 2 6 5 ：2 2 9 - 2 4 8 5 】b a ic ，f a n gj t h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o nf o ras i n g u l a rc o u p l e ds y s t e mo fn o n l i n e a r f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】a p p lm a t h c o m p u t ，2 0 0 4 ，1 5 0 ( 3 ) ：6 11 - 6 2 1 6 b a iz ，l vh p o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n j 】zm a t h a n a l a p p l ，2 0 0 5 ，3 11 ：4 9 5 5 0 5 7 e r i crk a u f m a n n ，e b e n em b o u m i p o s i t i v es