（計算數學專業(yè)論文）隨機利率下生存年金理論的研究.pdf

大連理工大學碩士學位論文 摘要 傳統(tǒng)的保險精算理論為了簡化計算，往往假定利率是確定的。但由于生存年金是一 種長期的經濟行為，投保期間的政府政策、經濟周期等因素都會造成利率的不確定性， 從而隨機利率下生存年金理論的研究逐漸成為保險精算學研究的重點與熱點問題之一。 目前，隨機利率模型分為連續(xù)和離散兩種。本文分別在這兩種模型下，研究了生存 年金現值的一些統(tǒng)計性質，取得的結果可概括如下： ( 1 ) 討論了連續(xù)利率模型下的生存年金。首先，對利息力分別采用w i e n e r 過程和 0 r n s t e i n u h l e n b e c k 過程建立模型，研究了相應利率模型下在保單各年度末等額給付的 定期生存年金保險，當保單數目趨于無窮時，每張保單平均成本的極限，證明了這一極 限隨機變量依概率收斂于年給付額為1 的定期生存年金的現值，并得出了該現值分布函 數的近似表達式。然后，對利息力累積函數采用w i e n e r 過程建模，利用幾何b r o w n i a n 運動積分的一些基本結果，給出了該利率模型下連續(xù)型生存年金現值各階矩的一般表達 式，并在某些死亡分布下給出了現值各階矩的簡單表達式。 ( 2 ) 討論了離散利率模型下的生存年金。為了使利率模型更加符合實際，本文利 用時閾序列理論，將已有的a r ( p ) 利息力模型和m a ( q ) 利息力模型進行推廣，對各年的利 息力4 ( i = 1 ，2 ，) 建立條件穩(wěn)定a r m a ( p ，q ) 模型以及廣義a p d “a ( p ，q ) 模型，得出了這兩類 模型下生存年金的精算現值。最后，根據所建立的模型和所得到的精算現值進行了實例 分析。 美麓調：隨機利率：生存年金；現值；精算現值 隨機利率下生存年金理論的研究 s t u d yo nt h et h e o r yo f l i f ea n n u i t i e su n d e r r a n d o mr a t e so fi n t e r e s t a b s t r a c t u s u a l l yt h et r a d i t i o n a la c t u a r i a lt h e o r yi sb u s e do naf i x e di n t e r e s tr a t ew i t hap u r p o s et o s i m p l i f yc a l c u l a t i o n s h o w e v e r ，s i n c et h el i f ea n n u i t yi sal o n g - t e r me c o n o m i ca c t i o n ，t h e f a c t o r so fg o v e r n m e n tp o l i c ya n de c o n o m i cc y c l e sm a yc a u s ei n t e r e s tr a t et ob eu n c e r t a i n d u r i n gt h ep e r i o do fi n s u r a n c e s ot h es t u d yo nt h et h e o r yo f l i f ea n n u i t i e su n d e rr a n d o mr a t e s o f i n t e r e s th a sg r a d u a l l yb e c o m eo n eo f t h eh e a t e da n dm a j o r p r o b l e m so f a c t u a r i a ls c i e n c e c u r r e n t l y ，t h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t em o d e li sd i v i d e di n t ot w o ，c o n t i n u o u sa n dd i s c r e t e ， s o m es t a t i s t i c sp r o p e r t i e so ft h ep r e s e n tv a l u eo fl i f ea n n u i t i e su n d e rb o t hm o d e l sa r es t u d i e d i nt h i st h e s i s t h em a i nw o r k so b t a i n e dh e r ec a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) l i f ea n n u i t i e su n d e rc o n t i n u o u si n t e r e s tr a t em o d e la r ed i s c u s s e d f i r s t l y t 1 1 i st h e s i s d i s c u s s e st e m p o r a r y1 i f ea n n u i t i e s i m m e d i a t ep o l i c i e su n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ef o r c eo f i n t e r e s ti sm o d e l e db yw i e n e rp r o c e s so ro m s t e i n u h l e n b e c kp r o c e s s ，p r o v e st h a tt h el i m i to f a v e r a g ec o s to ft h ep o l i c i e st e n d si nd i s t r i b u t i o n t ot h ep r e s e n tv a l u eo ft e m p o r a r yl i f e a n n u i t i e s i m m e d i a t ew h e r ep a y m e n t sa r eo n ew h e nt h en u m b e ro ft h ep o l i c i e sa p p r o a c h e s i n f i n i t y ，a n dm e a n w h i l eo b t a i n st h ea p p r o x i m a t ef o r m u l ao fd i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h e p r e s e n tv a l u e s e c o n d l y ，u n d e rt h ef o r c eo fi n t e r e s ta c c u m u l a t i o nf u n c t i o nm o d e l e db yw i e n e r p r o c e s s ，t h r o u g h a p p l y i n gt h ef u n d a m e n t a lr e s u l t so nt h ei n t e g r a lo fg e o m e t r i cb r o w n i a n m o t i o n a l lo r d e r sm o m e mo fp r e s e n tv a l u eo fc o n t i n u o u si i f ca n n u i t i e sa l ec a l c u l a t e da n dt h e c o n c i s ee x p r e s s i o n so fa l lo r d e r sm o m e n to fp r e s e n tv a l u ea r eg i v e nu n d e rc e r t a i nm o r t a l i t y d i s t r i b u t o n ( 2 ) l i f ea r m u l t i e su n d e rd i s c r e t ei n t e r e s tr a t em o d e la r ed i s c u s s e d i no r d e rt om a k et h e i n t e r e s tr a t em o d e lm o r er e a l i s t i c ，t h ee x i s t i n ga r ( p ) m o d e lo ff o r c eo fi n t e r e s ta n dm a ( q ) m o d e lo ff o r c eo fi n t e r e s ta r ei m p r o v e du s i n gt i m es e r i e st h e o r y c o n d i t i o n a ls t e a d y a r m a ( p ，q ) m o d e la n dg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a la r m a ( p ，q ) m o d e la r ep r o v i d e df o rt h ef o r c e o fi n t e r e s to fe v e r yy e a r4 ( i = l ，2 ，) a n dt h ea c t u a r i a lp r e s e n tv a l u eo fd i s c r e t el i f e a n n u i t i e sa r ed e r i v e du n d e rb o t hm o d e l so ff o r c eo fi n t e r e s t f i n a l l y ，ac a s ea n a l y s i si s p r e s e n t e db a s e do nt h ea b o v em o d e l sa n d a c t u a r i a lp r e s e n tv a l u e k e yw o r d s ! r a n d o mr a t e so fi n t e r e s t t l i f ea n n u i t i e s ：p r e s e n tv a l u e * a c t u a r i a l p r e s e n tv a l u e 獨創(chuàng)性說明 作者鄭重聲明：本碩士學位論文是我個人在導師指導下進行的研究工 作及取得研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外， 論文中不包含其他人已經發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得大連理 工大學或者其他單位的學位或證書所使用過的材料。與我一同工作的同志 對本研究所做的貢獻均己在論文中做了明確的說明并表示了謝意。 作者簽名： 犬連理工大學碩士研究生學位論文 大連理工大學學位論文版權使用授權書 本學位論文作者及指導教師完全了解“大連理工大學硬士、博士學位論文版權使用 規(guī)定”，同意大連理工大學保留并向國家有關部門或機構送交學位論文的復印件和電子 版，允許論文被查閱和借閱。本人授權大連理工大學可以將本學位論文的全部或部分內 容編入有關數據庫進行檢索，也可采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編學位論 文。 作者簽名：塑查竺 導師簽名：圭疊墮! ! ! ! ! 年立月血日 大連理工大學碩士學位論文 緒論 0 1 利率波動性概述 利率波動是市場經濟國家所具有的普遍金融現象。 就我國來說，利率市場化是當前經濟發(fā)展的客觀要求，同時也是適應加a w t o 的 需要。我國利率波動與國際市場利率變化的趨同性將進一步增強，這對我國的利率政策 提出了挑戰(zhàn)。 利率波動無疑會帶來利率風險，然而，在我國內地，無論是各級政府財政、企業(yè)， 還是金融機構，利率風險長期不受重視。客觀上，由于帶息資產和帶息負債數量不大， 加上國家長期實行固定利率制度，每次利率都由國務院決定，通過中國人民銀行公布， 且利率變動幅度都較小。因此，人們往往不考慮利率風險。 但是，近l o 年來，特別是最近幾年，隨著經濟的發(fā)展和金融改革的深入，我國內地 的帶息資產大幅度增加，其中重要的一部分是保險資產和社會保險基金。與此同時，利 率調整次數增加，幅度加大。我國自1 9 9 0 年實行利率浮動以來，活期存款利率已出現了 九次重大的調整，從2 1 6 降至0 9 9 ，波動較大。而保險公司屬于利率敏感型的行業(yè)， 利率的波動必然會對保險公司產生一定的影響，怎樣避免利率風險以及利率波動對保險 公司究竟會產生怎樣的影響成為保險業(yè)的敏感話題。 業(yè)務發(fā)展和資金運作是壽險公司運營的兩個輪子，而利率在這兩個輪子中都發(fā)揮著 決定性的作用。正如利率是資金的價格，費率是保險這種特殊商品的價格。既然壽險純 費率是以預定利率為貼現率計算而得的現值，這意味著壽險經營一開始就引進了利率因 素，而且這一因素以直貫穿于壽險經營的全過程。所以，利率的波動必然影響壽險經營。 利息率是人壽保險和社會養(yǎng)老保險制度設計所需要考慮的重要因素，因此，作為儲 蓄性機構之一的人壽保險公司，始終面臨利率波動所帶來的風險。事實上，隨著中央銀 行啟用利率杠杠調節(jié)經濟運行，我國壽險公司一直面對相當大的利率風險：1 9 8 5 年到 1 9 9 5 年1 1 年間，一年期銀行存款年利率均值為8 7 7 ，標準差為2 4 5 ，利率最高水 平與最低水平之間的極值達6 3 0 個百分點；三年期存款年利率均值為1 0 0 4 ，標準差為 2 5 2 ，極值達6 6 6 個百分點。我國目前壽險預定利率水平為年復利8 8 0 ，這是個相 當高的利率，無疑增強了壽險的儲蓄功能，加強了壽險的吸引力，但即便如此，也很難 抵御銀行利率調整帶來的影響，具體體現在對保費收入存量和流量的影響上。 由以上分析可知，現實中的利率確實是波動的。利率的波動不僅會對經濟發(fā)展產 生影響，而且對保險精算理論也產生了影響。因此，隨機利率下的精算理論的研究也成 隨機利率下生存年金理論的研究 為精算學的研究熱點之一。 o 2 隨機利率下生存年金理論在國內外的研究現狀 傳統(tǒng)的壽險精算理論為了簡化計算，假定利率是確定的，但人壽保險是一種長期的 經濟行為，投保期間，政府政策、經濟周期等因素都會造成利率的波動，利率的波動意 味著利率的不確定性，因此采用固定利率有可能會帶來預期與實際之間的較大誤差。人 們開始注意到，對保險組織者( 保險公司和社會保險機構) 而言，由利率隨機性產生的 風險可能是相當大的。根據傳統(tǒng)的精算理論，利用大數定律，由死亡率隨機性產生的風 險可以通過出售大量的( 充分多的) 保單來分散。但如果保險公司出售的每張保單采用 與實際十分接近的利率，這樣利率的風險只單一的存在于保險公司一方，一旦發(fā)生，可 導致保險公司破產。保險公司為了減少因利率的調整而可能導致的損失，往往在費率計 算時將保險中使用的年利率定的較實際為低，這樣勢必造成投保人增加保費負擔，又導 致了參加保險人數的減少。因此由利率產生的風險不可能通過增加保單的銷量來分散， 從這個意義上說，利率風險要比死亡率風險更為重要o 】。所以，減少利率不確定性更好 的辦法就是采用隨機利率模型。隨著精算理論研究的深入，利率隨機性的研究在近2 0 年 來逐步受到重視，隨機利率下的精算理論的研究已成為當前保險精算學研究的重點與熱 點問題之一。 7 0 年代起，一批學者開始研究利率隨機性問題。對于隨機利率，他們一般采用時間 序列方法建模。1 9 7 1 年j h p o l l a n d 首次把利率視為隨機變量，對精算函數進行了研究 ” 。其后一批學者開始采用各種隨機模型來模擬隨機利率。1 9 7 6 年b o y l e 考慮了壽險與 年金中死亡率與利率均為隨機的情況，即所謂的“雙隨機性” 3 1 。z a k s ( 2 0 0 1 ) 研究了 利率獨立且同正態(tài)分布下年金現值以及終值的一、二階矩 4 1 。b u r n e c k i 、m a r c i n i u k 和 w e r o n ( 2 0 0 3 ) 對z a k s 的論文【4 1 中的一些結果進行了更正，并對其進行了推廣【”。f r e e s ( 1 9 9 0 ) 研究了可逆m a ( 1 ) 利息力模型下生存年金的精算現值【6 】。h a b e r m a n 和s u n g ( 1 9 9 4 ， 1 9 9 7 ) 將f r e e s 1 的可逆m a ( 1 ) 利息力模型推廣到投資利息力為m a ( 2 ) 可逆滑動平均模型。 并研究了該模型下生存年金現值的一、二階矩【“l(fā) 。高建偉和丁克詮( 2 0 0 4 ) 利用時間 序列理論將可逆m a ( 1 ) 、姒( 2 ) 利息力模型推廣為可逆淞( q ) 利息力模型和一般姒( q ) 利 息力模型，在推廣的利息力模型下，分別給出了繳費預定型企業(yè)年金保險中生存年金的 精算現值 9 1 。p a n j e r 和b e l l h o u s e ( 1 9 8 0 、1 9 8 1 ) 以利率為a r ( 2 ) 過程建立了人壽保險的 雙隨機模型”“”】。h a b e r m a n ( 1 9 9 7 ) 在企業(yè)年金保險中得到了利息力滿足穩(wěn)定自回歸a r ( 1 ) 模型時的生存年金精算現值模型 1 2 1 。d h a e n e ( 1 9 9 8 ) 在h a b e r m a n 的基礎上進一步研究了 大連理工大學碩士學位論文 利息力滿足二階穩(wěn)定自回歸a r ( 2 ) 模型時的利息力的矩母函數的性質，得到了相應利率 模型下生存年金現值的一、二階矩【1 ”。高建偉和李春杰( 2 0 0 4 ) 利用時間序列將投資利 率為條件穩(wěn)定a r ( 1 ) 、a r ( 2 ) 模型推廣為條件穩(wěn)定a r ( p ) 利息力模型和廣義a r ( p ) 利息力模 型，得出了相應利率模型下生存年金的精算現值1 1 。 9 0 年代起，部分學者采用攝動法對隨機利率建模，得到了具有“雙隨機性”的確定 年金、定期壽險和生存年金的一系列結果：立i b e e k m a n 和f u e l l i n g 在1 9 9 0 年和1 9 9 1 年對 利息力分別采用o r n s t e i n u h l e n b e c k 過程和w i e n e r 過程建模，得到了某些年金現值的前 二階矩。1 9 9 3 年對利息力分別采用o r n s t e i n u h l e n b e c k 過程和w i e n e r 過程建模，得到了 終身壽險給付現值的一、二階矩 15 - 1 7 。1 9 9 2 年d es c h e d p e r 、g o o v e r t s 等對利息力采用 w i e n e r 過程建模，得到了某些年金的矩母函數、分布函數和l a p l a c e 變換口8 。1 。蔣慶榮 ( 1 9 9 7 ) 研究了隨機利率下終身壽險的純保費和責任準備金的計算方法【2 0 】。何文炯、 蔣慶榮( 1 9 9 8 ) 對隨機利率采用g a u s s 過程建模，得出了該模型下一類即時給付的增額 壽險現值的各階矩，并在死亡均勻分布假設下得到了矩的簡潔表達式口”。劉凌云、汪榮 明( 2 0 0 i ) 考慮到突發(fā)事件對利率的影響，采用g a u s s 過程和p o i s s i o n 過程對利息力累 積函數聯合建模，給出了該模型下一類即時給付的增額壽險現值的各階矩拉”。歐陽資 生、鄢茵( 2 0 0 3 ) 對利息力分別采用w i e n e r 過程和o r n s t e i n u h l e n b e c k 過程建模，得出 了這兩種利息力模型下增額壽險的各階矩【2 ”。g a r yp a r k e r ( 1 9 9 4 ，1 9 9 7 ) 發(fā)表了他博 士論文中的一些結果，研究了在死亡所在保單年度之末等額給付的定期壽險和生死兩全 保險給付現值的分布函數 2 4 - 2 5 1 。楊靜平和吳嵐( 1 9 9 7 ) 對利息力采用自噪聲過程建模， 給出了此模型下n 年期壽險給付現值的密度函數準確的遞推式【2 “。張奕，何文炯( 2 0 0 1 ， 2 0 0 2 ) 對利息力累積函數采用w i e n e r 過程和p o i s s o n 過程分別建模，利用w i e n e r 過程和 p o i s s o n 過程的獨立增量性，得到了這兩類模型下離散型生存年金現值的各階矩1 2 7 - 2 8 。 d a v i dp e r r y 和w o l f g a n gs t a d j e ( 2 0 0 1 、2 0 0 3 ) 采用反射b r o w n i a n 運動過程對利息力建 模，得到了該模型下生存年金的一些結果 2 93 0 。 o 3 本論文主要研究的內容 本文在上述工作的基礎上，研究隨機利率下生存年金現值的各種統(tǒng)計性質，主要完 成了以下幾個方面的工作： 第一章介紹了精算學的一些基礎知識，給出了確定利率下年金、生存年金的定義以 及目前對隨機利率建立模型的幾種常用方法。 隨機利率下生存年金理論的研究 第二章是本文的一個核心部分。本章研究了連續(xù)利率模型下的生存年金：前半部分， 對利息力采用w i e n e r 過程和o r n s t e i n u h l e n b e c k 過程建立模型，研究了相應利率模型 下在保單各年度末等額給付的定期生存年金，當保單數目趨于無窮時，每張保單平均成 本的極限，證明了這一極限隨機變量依概率收斂于年給付額為l 的定期生存年金的現值， 并得出了該現值的分布函數近似的表達式；本章后半部分，對利息力累積函數采用 w i e n e r 過程建立建模，利用幾何b r o w n i a n 運動積分的一些基本結果，給出了該利率模 型下給付額隨指數變化的連續(xù)型生存年金現值各階矩的一般表達式，并在某些死亡分布 下給出了現值各階矩的簡單表達式。 第三章足本文另一個核心部分?？紤]到現實生活中利率在一年內一般是固定不變 的，而且各年的利率在受到過去數年經濟因素影響的同時，又受到市場、政治等多種外 界因素和投資結構的影響，因此，為了使利率模型更加符合實際，本文利用時間序列理 論，將已有的a r ( p ) 利息力模型和m a ( q ) 利息力模型進行推廣，對各年的利息力 4 ( 1 ：l ，2 ，) 分別建立條件穩(wěn)定a r m a ( p ，q ) 模型以及廣義a r m a ( p ，q ) 模型，得出了這兩類 模型下生存年金的精算現值，并進行了實例分析。 大連理工大學碩士學位論文 1基礎知識 1 1 利率的基本概念 1 1 1 利息的定義 利息可以定義為使用資本的代價或報酬。資本使用者不一定擁有資本的所有權，他 可借入資本來使用。對資本借入者來說，利息就是因他使用資本借出者的資本而支付給 后者的代價。對資本借出者來說，利息就是他暫時轉讓資本的使用權而從資本借入者處 得到的報酬。例如，銀行需付存款人一定利息，因其在存款期間可自由使用存款人的資 本。存款人得到利息，是因其在存款期間內轉讓了資本的使用權。 1 1 2 利率，積累值，積累函數 我們把每項業(yè)務開始時投資的金額稱為本金，而把業(yè)務開始一定時間后回收的總金 額稱為該時刻的積累值( 或終值) 。積累值與本金的差額就是這一時期的利息金額。 在初始時刻t = 0 投資的1 單位本金，我們定義該投資在時刻t 的積累值為積累函數 d ( f ) ，那么d ( o ) = 1 ，并且( f ) 通常為遞增函數，積累函數口( f ) 有時也稱作r 期積累因子。 把從投資日期第一個時期所得到的利息金額記為l ，則： i n = a ( n ) 一a ( n 一1 ) ， 月1 某一度量期的實際利率是指該度量期內得到的利息金額與此度量期開始時投資的 本金金額之比。實際利率是利息的一種度量方式。通常，實際利率用字母f 表示。對于 有多個度量時期的情形可以分別定義各個度量期的實際利率。這時，用記從投資日算 起第”個度量期的實際利率，則： f ：a ( n ) - a ( n - 1 ) ：l ，h 1。 d 0 1 )a ( n 一1 ) 那么有： a ( n ) = ( 1 + f 。) a ( n 一1 ) ，n 1 因此有： a ( n ) = ( 1 + ) ( 1 + 一。) ( 1 + ) 隨機利率下生存年金理論的研究 特別的，若每個度量期的利率都相同，記為f ，這樣就有： 口0 ) = ( 1 + 礦 口( n ) 就是利率為i 下，初始時刻投資1 單位本金在時刻n 的積累值。那么利率為i 下，初 始時刻投資k 單位本金在時刻”的積累值為女一a ( n 1 。 1 1 3 現值，折現因子，貼現率，利息力 我們把為了在t 期末得到某個積累值，而在開始時投資的本金金額稱為該積累值的 現值( 或折現值、貼現值) 。而積累函數口( f ) 的倒數口1 ( t ) 稱為t 期折現函數。顯然，口t ( f ) 是f 期末支付l 的現值，在t 期末支付女的現值為_ j 口。1 ( f ) 。特別的，把一期折現因子口一t f l l 簡單的稱為折現因子，并記為v 。 在利率為i 下， l 1 + f 貼現率記為d ，它也是利息的一種度量方式，定義為： d ：上 1 + f 考慮n 年末給付c 元，設其現值為x ，假設每年的利率為i ，那么根據 x g t - n ”= c 得到現值 x ：c l ：c v n ( 1 + f ) “ ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 前面定義的i 、d 都是用來度量規(guī)定時間區(qū)間內利息的度量方式，在很多情形下 大連理工大學碩士學位論文 我們還希望能度量每一時間點上的利息，也就是在無窮小時間區(qū)間上的利息。這種對利 息在各個時間點上的度量方式叫做利息力( 或者稱利息強度) 。 t 時刻的利息力記為蘸，定義為： 。口( r ) q5 麗 將上式變形，有： 4 ：車l i l 。( f ) a t 用，代替f ，然后將上式兩端在o 到t 上積分，得 e 肛“= 器u 訓口ij 那么，折現函數口。( f ) 為： 口一( f ) ：p 一陟 ( 1 - 1 5 ) ( 1 1 6 ) 其中我們將y ( f ) = f 4 咖稱為時刻f 的利息力累積函數。 如果利息強度在某時間區(qū)間上為常數，那么，該時間區(qū)間上的實際利率也為常數， 并且在利息強度點= 5 為常數的情況下，有： 5 = 1 n ( 1 + f ) 根據折現因子和利息力的定義，可得： ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 隨機利率下生存年金理論的研究 1 2 確定利率下的年金 年金是在相等的時間間隔上作的一系列支付的款項。年金在經濟生活中是非常常見 的，如房屋的租金，抵押付款，定期存入銀行的存款，及分期償還的債務等，這些都屬 于年金的形式。年金支付的時間間隔可以是年，也可以是月、季，或者其它，只要間隔 相等就行，理論上甚至可以是連續(xù)支付，無時間間隔。年金支付的期限也分為定期和永 久。年金每次的支付額可以是固定不變的，也可以是不斷變化的。我們把付款時間間隔 相等、每次付款額度相等、整個付款期間內利率不變且計息頻率相等的年金稱為年金的 標準型。年金的各種變化的形式稱為年金的一般型。付款期內固定不變的利率稱為固定 利率。因為年金是在固定的時期內支付確定金額的款項，所以在特定情況下我們將年 金也稱為確定年金。按支付頻率的不同，我們將年金分為離散型和連續(xù)型。 1 2 1 確定利率下的離散型年金 離散型年金是指每次給付金額是按一定的時間間隔( 如年、半年、季、月) 來進行給 付的年金。下面我們就來介紹幾種常見的離散型年金。 ( 1 ) 期末付年金 在每個付款期間末付款的年金稱為期末付年金。假設一筆年金，付款期限為月期， 每期期末付款額為1 元，每期利率都為i ，那么第一期期末給付的1 元現值為v ，第二期 期末給付的1 元的現值為v 2 ，依此類推，第n 期期末給付的1 元現值為v ”，使用n 來表 示這種n 期期末付年金的現值和，即： l v “ z ( 1 2 1 ) 而第一期期末給付的1 元在時刻n 的積累值為( 1 + 礦一，第二期期末給付的1 元在時 刻n 的積累值為( 1 + 礦一，依此類推，第一期期末給付的l 元在時刻f 的積累值為1 ，使用 s 7 來表示這種n 期期末付年金在時刻n 的積累值和，即： s ，= ( 1 + f ) ”】+ ( 1 + f ) “一2 + + ( 1 + f ) + 1 = 里二! ：生 由a 7 ，和s 7 ，的定義及計算公式可以得到它們之間的關系 ( 1 2 2 ) 大連理工大學碩士學位論文 嘲，= a q ，( 1 + 礦 ( 2 ) 期初付年金 在每個付款期間初付款的年金為期初付年金。假設一筆年金，付款期限為n 期， 每期期初付款額為1 元，每期利率為i ，那么第一期期初給付的l 元現值為l ，第二期期初 給付的1 元的現值為v ，依此類推，第n 期期初給付的1 元的現值為v ”1 ，使用q 來表示 這種n 期期初付年金的現值和，即： n q i = i + v + v 2 + - i - v n - i = 1 - d v ( 1 2 ，3 ) 而第一期期初給付的1 元在時刻n 的積累值為( 1 + f ) 1 ，第二期期初給付的1 元在時刻 t 1 的積累值為( 1 + f ) ”1 ，依此類推，第n 期期初給付的l 元在時刻的積累值為1 + i ，使用 南來表示這種n 期期初付年金在時刻”的積累值和，即： 南，= ( 1 + f y + ( 1 + f ) ”- i + + ( 1 + d = 1 三筍 由南，和南，的定義及計算公式可以得到它們之間的關系 南。= 勘( 1 + f ) ” ( 1 2 4 ) 1 2 2 確定利率下的連續(xù)型年金 付款頻率無限大( 即連續(xù)給付) 的年金叫連續(xù)型年金。雖然這種年金在實務中不存 在，但它在年金的理論分析以及其它各個方面如精算數學中的應用極為廣泛。 連續(xù)付款n 個記息期，且每個計息期的付款額之和為1 ，每期的利息力都固定為萬的 連續(xù)型年金的現值記為西，在時刻”的積累值記為弓，于是有： 弓= m = p 出= 等 ( 1 2 5 ) 隨機利率下生存年金理論的研究 碭：n 礦1 出= p 一”出= 等 ( 1 2 6 ) 可以將確定利率下的連續(xù)型年金推廣到利息力非固定的情況，假設t 時刻的利息力 為點，則有以下計算公式： 瓦：廠p 一| 0 恥m n 1 h 兩= 渺礬 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 1 3 確定利率下的生存年金 生存年金是指按預先約定的金額，以一定時間為周期，連綿不斷地進行一系列給付， 且這些給付必須以原指定領取人生存為前提條件，一旦領取人死亡，給付即宣告結束。 生存年金在人壽保險、退休金體系、殘疾保險及撫恤保險中均起著重要的作用。如 人壽保險的保費通常是以生存年金的方式分期繳付的。類似于確定年金，生存年金按支 付頻率的不同也可以分為離散型和連續(xù)型。 在系統(tǒng)地介紹生存年金之前，我們先來介紹生存模型中一些常用的精算符號。 1 3 1 生存模型常用的精算符號 壽險保單其保險金的給付是以被保險人的生存或死亡為前提條件的，所以，被保險 人的生存和死亡狀況，是壽險精算的主要基礎。我們視投保人的死亡時間為隨機變量， 而保費、生存年金的計算都是在此前提下進行的。 以x 記為新生兒的死亡年齡，則x 是一隨機變量，記巴( j ) 為x 的分布函數，那么： b ( x ) = p r ( x x ) x 0 而將s ( x ) = 1 一毛( x ) 稱為生存函數( s u r v i v a lf u n c t i o n ) ，即： s ( x ) = p r ( x x ) 工0 ( 1 3 1 ) ( 1 3 - 2 ) 大連理工大學碩士學位論文 s ( x ) 表示新生一嬰兒能活到x 歲( 即x 歲以后死亡) 的概率。我們一直假定以( 0 ) = 0 ， 則s ( o ) = 1 。 我們用符號( x ) 表示年齡為x 歲的人，也稱為x 歲的生命( 1 i f e a g e x ) ，而工為新 生兒的死亡年齡，則新生嬰兒在x 歲活著的條件下，未來仍生存的時間( 或生存期) 是 x x ，那么鼻一石稱為新生嬰兒在x 歲時的未來壽命，簡稱( x ) 的未來壽命( 或未來余 命) ，并用符號r ( x ) 表示。即新生嬰兒在x 歲時仍生存的條件下，有t ( x ) = x x 。 用概率來反映生存者的未來壽命，( 柏是精算學中的一項基本內容。我們引入精算學 的符號，記： 吼= p r ( t ( x ) s t ) ：耳( f ) ，p ，= 1 一，q x = o r ( t ( x ) t ) v t 0 v t 0 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 其中，q ，可解釋為( 工) 將在未來f 年內死亡的概率，它是r ( x ) 的分布函數；而，p ，表 示( x ) 將至少活到x + f 歲的概率，它是關于t ( x ) 的生存函數。通常情況下，當t = l 時， 可以把( 1 3 3 ) 式與( 1 3 4 ) 式中符號的前綴省略，也就是“) 在一年內死亡的概率可 以表示為q ，同樣( x ) 活過一年的概率可以表示為p ，。 r ( x ) 的概率密度函數記為l ( t ) ，并且再( r ) 可以表示為： 五( f ) = ，p ，u 。， ( 1 _ 3 5 ) 其中“。定義為時刻x + f 的死亡力，且“。，= 一乏筍。 ( x ) 生存t 年后，在x + f 歲與工+ f + u 歲之間死亡這一事件的概率，可用精算函數符 號。吼表示，即： 山吼2 p r ( t r ( x ) t + t t ) 2 f + 。gz c q ；2r p x f u p z 2 t p 。q w 特別的，當“= 1 時，m 吼可以簡寫成，q ，。 ( 1 3 6 ) 隨機利率下生存年金理論的研究 令k ( x ) 表示( x ) 未來壽命的周年數或( 工) 在未來生存的整年數，即足( x ) 2 r ( z ) 】，那 么k ( x 1 的概率分布律可以表示為： p r ( k ( x ) = k ) = p r ( k t ( x ) k + 1 ) = p r ( k t ( x ) 曼i + 1 ) 2 k + l q j - - k q 。女p z k + l p j ?！皅 ， ( 女20 ，1 ，2 ，) ( 1 3 7 ) 1 3 2 確定利率下的離散型生存年金 離散型生存年金是指每次給付金額是按一定的時間間隔( 如年、半年、季、月) 來進 行給付的生存年金。類似于離散型年金，離散型生存年金也分為“期初付”和“期末付” 兩種情形，期限可以是定期也可以是永久。其中，期初付生存年金在個人壽險中得到廣 泛應用，大多數個人壽險的保險費就是按期初付生存年金的方式分期繳納的。而這些保 費的計算都是基于生存年金的精算現值。所謂精算現值是指現值的期望值，又稱期望現 值。精算現值與現值不同的地方在于：精算現值考慮了人的生死概率，是從一個概率的 角度來討論生存、死亡保險的。 下面，我們對期初付終身生存年金、期初付n 年定期生存年金、期末付終身生存年 金以及期末付”年定期生存年金的精算現值公式分別給予介紹。 ( 1 ) 期初付終身生存年金 指的是( z ) 在未來每個年度初領取款項為1 個單位，直至其死亡的生存年金，其精算 現值用符號j 。表示。 我們假設生存年金領取者在第k + 1 年內死亡( k = o ，1 ，2 ，) ，并且假定給付額的現值 是隨機變量y ，那么： p r ( k ( x ) = 女) = k l q ，于是，有 a ，= 研，r 】= a 而咖q ( 1 _ 3 8 ) 大連理工大學碩士學位論文 交換求和的順序，則( 1 3 8 ) 式可轉化為 = v 。n ( 1 3 9 ) ( 2 ) 期初付h 年定期生存年金 指的是( x ) 在未來n 年內，每個年度初領取款項為1 個單位，直至其死亡的生存年金， 其精算現值用符號，i 表示。 我們假設生存年金領取者在第k + 1 年內死亡( k = 0 ，l ，2 ，) ，并且假定給付額的現值 是隨機變量夕，那么： p ： 。? 口 o k k ) = 。p 。，于是，有 月一l 喲= 研力= 石廁q + 鋤。p ， k = 0 交換求和的順序，則( 1 3 1 0 ) 式可轉化為： ：a = 。p ， ( 1 3 1 0 ) ( 1 _ 3 1 1 ) ( 3 ) 期末付終身生存年金 指的是( 茗) 在未來每個年度末領取款項為1 個單位，直至其死亡的生存年金，其精算 現值用符號a ，表示。 我們假設生存年金領取者在第k + 1 年內死亡( = 0 ，l ，2 ，) ，并且假定給付額的現值 是隨機變量 ：，那么： v 。閂 j j 嗣 口 f f e 隨機利率下生存年金理論的研究 而p r ( k ( x ) = k ) = 。q ，于是，有 a x = 研r 】= a 習q 交換求和的順序，則( 1 3 1 2 ) 式可轉化為： q = v 。；p ， ( 1 - 3 1 2 ) 1 3 ，1 3 ) ( 4 ) 期末付1 7 年定期生存年金 指的是( x ) 在未來n 年內，每個年度末領取款項為1 個單位，直至其死亡的生存年金， 其精算現值用符號a ，：a 表示。 我們假設生存年金領取者在第k + 1 年內死亡( 尼= 0 ，l ，2 ，) ，并且假定給付額的現值 是隨機變量p + ，那么： 2 嚼 0 k k ) = + p ，于是，有 h t j = 研e = d 習h q ，+ 。j 。p ， 女= 0 交換求和的順序，則( 1 3 1 4 ) 式可轉化為 a j = v 女p 。 ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) 1 3 3 確定利率下的連續(xù)型生存年金 連續(xù)型生存年金是指付款頻率無限大，即每時每刻連續(xù)不斷地進行支付的生存年 金。這類生存年金一般也分為定期和終身。我們主要介紹連續(xù)型終身生存年金和連續(xù)型 大連理工大學碩士學位論文 n 年期生存年金的精算現值。 ( i ) 連續(xù)型終身生存年金 指的是對( x ) 在未來每個年度的任意時刻給付率為1 ，直至其死亡的生存年金，其精 算現值用符號瓦表示。( x ) 的未來壽命丁= t ( x ) ，假定給付額的現值是隨機變量，那 么： y = a t 7 = r v d t f f i r ( x ) 概率密度函數是：辦( f ) = ，p ，- “。，于是，有 瓦= 日】1 = _ 弓t l ( t ) a t = e f f , 7 ，n u + t d t 使用分部積分，則( 1 3 1 6 ) 式轉化為 五x = e 。以d l ( 1 _ 3 1 6 ) ( 1 3 1 7 ) ( 2 ) 連續(xù)型年期生存年金 指的是對( x ) 在未來”年內的任意時刻給付率為1 ，直至其死亡的生存年金，其精算 現值用符號t j 表示。( x ) 的未來壽命為t = 丁( x ) ，假定給付額的現值是隨機變量l ，那 么： p ：f 9 叼 o r f ) = r p ，于是，有 一a i = e i q = r 弓肌d t + d 7 。p ， 使用分部積分，則( 1 3 1 8 ) 式可以轉化為 t j = r v 7 ，n 研 ( 1 3 1 8 ) ( 1 3 1 9 ) 隨機利率下生存年金理論的研究 1 4 隨機利率模型 近年來，關于隨機利率本身的研究進一步受到重視，國內外的很多學者對隨機利率 建立了各式各樣的利率模型，但這些隨機利率模型也不外乎兩種：一種是連續(xù)的；一種 是離散的。我們就兩種利率模型分別加以介紹。 1 41 連續(xù)利率模型 所謂連續(xù)利率模型，就是將每個時刻的利率視為一個連續(xù)變化過程的利率模型。在 連續(xù)利率模型中，一般采用隨機過程對利率建模。大量的隨機過程已經被使用去模擬利 率的隨機性，并且這些隨機過程還被不同的方法所使用。 前面已經介紹了覆表示時刻s 的利息力，y ( t ) 表示時刻t 的利息力累積函數，并且： ，( f ) = f 正出 目前，在連續(xù)利率模型中，對利率隨機性的建模，有兩種方法：一種是對利息力建 模，即假設利息力覆是一隨機過程；另一種是對利息力累積函數建模，即假設利息力累 積函數y ( f ) 是一隨機過程”】。 ( 1 ) 利息力累積函數建模 考慮利率隨機性的一種方法是用隨機過程去模擬利息力累積函數y ( t ) 。其中w i e n e r 過程和o r n s t e j n u h l e n b e c k 過程( 簡稱0 一u 過程) 是這類方法中使用最多的兩種隨機過 程，并且這兩類隨機過程都是g a u s s 過程的特殊形式。 利用w ie n e r 過程建模 在這類模型中，令： y ( t ) = j t + 口，彬 其中艿，盯為常數，盯0 ，形是個標準的w i e n e r i ! 立程。 這類模型下，y ( t ) 的期望和協(xié)方差分別為： e 【_ y ( f ) 】- 占f ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 大連理工大學碩士學位論文 c o v y ( s ) ，y ( r ) 】= 盯2m i n ( s ，t ) ( 參見文獻”】，s e c t i o n3 ) 利用o r n s t e i n u h e n b e c k 過程建模 在這類模型中，令： y ( f ) = 占- t + x ( t ) 其中x ( t 1 滿足下列隨機微分方程 f d x