（理論物理專業(yè)論文）量子圍欄的模擬和計算.pdf

張正中：量子圍欄的模擬和計算 揚州大學學位論文原創(chuàng)性聲明和版權(quán)使用授權(quán)書 學位論文原創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的學位論文是在導師指導下獨立進行研究工作所取得的研 究成果。除文中已經(jīng)標明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表 的研究成果。對本文的研究做出貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。 本聲明的法律結(jié)果由本人承擔。 學位論文作者簽名： 簽字日期： 毋年 學位論文版權(quán)使用授權(quán)書 日 本人完全了解學校有關保留、使用學位論文的規(guī)定，即：學校有權(quán)保留并向 國家有關部門或機構(gòu)送交學位論文的復印件和電子文檔，允許論文被查閱和借閱。 本人授權(quán)揚州大學可以將學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索， 可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編學位論文。同時授權(quán)中國科學 技術(shù)信息研究所將本學位論文收錄到中國學位論文全文數(shù)據(jù)庫，并通過網(wǎng)絡向 社會公眾提供信息服務。 學位論文作者簽名：乙援 簽字日期： dg 年己月晌 導師簽名： 簽字日期： 壇 月 ， y ，修 張正中：量子圍欄的模擬和計算 摘要 隨著新技術(shù)特別是微電子技術(shù)的發(fā)展，傳統(tǒng)的電子器件已經(jīng)深入到微觀量級， 量子效應逐步顯現(xiàn)。因此，量子效應的出現(xiàn)不僅是電子器件制造面臨的必須解決 的問題，同樣也是量子器件研究的主要方向。1 9 9 3 年5 月，美國加州圣荷塞阿瑪?shù)?i b m 研究中心的c r o 姍i e 等人在液氮溫度下，將鐵原子蒸發(fā)到清潔的c u ( i i i ) 表 面，然后用掃描隧道顯微鏡操縱這些鐵原子使它們逐個地定位在銅表面上，從而構(gòu) 造出這些形狀各異的閉合圖樣，由這些原子排列而成的閉合圖樣即所謂的“量子 圍欄 對于處在圍欄內(nèi)金屬表面費米態(tài)電子而言，這個由原子筑成的圍欄便成了 一個橫向的閉合勢壘，它們被束縛在勢壘內(nèi)形成束縛態(tài)電子，試驗上，在量子圍欄 中可明顯觀察到二維電子分布在不同條件下的駐波圖樣，這也是微觀粒子具有波 動性的一個直接證明。 在理論上，我們可以采用量子臺球系統(tǒng)來近似“量子圍欄”，通過研究量子臺 球系統(tǒng)的本征行為來研究處于“量子圍欄 內(nèi)部的束縛態(tài)表面電子的特征行為。 對各種量子臺球系統(tǒng)的研究是一個過去研究較多的課題，因為一般的量子臺球系 統(tǒng)都是不可積系統(tǒng)，一般都是通過各種數(shù)值、近似方法進行研究計算。本文中， 筆者主要采用了一種較為有效的計算閉合深勢阱量子系統(tǒng)本征行為的數(shù)值計算方 法邊界積分方法( b o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o d 簡稱b i m ) 。該方法在分析計算 上，傳統(tǒng)的作法一般存在著對本征值判斷粗糙、精度差的問題，筆者通過引入一 種改進的判斷條件“邊界殘量 ，從而達到了有效的提高判斷精度和提高計算效率 的目的。另外，為了通過引入“邊界殘量 和波函數(shù)分布關聯(lián)度的概念，我們解 3 揚州大學碩士學位論文 決了計算系統(tǒng)簡并度的問題，實際的計算結(jié)果顯示，我們提出的方法非常簡單有 效，這為研究其他復雜邊界的量子臺球系統(tǒng)提供了一種可行的路徑。 筆者利用改進了b i m 方法分別求解研究了s i n a i 臺球模型系統(tǒng)和1 4s i n a i 臺球系統(tǒng)內(nèi)電子的本征能級和本征態(tài)波函數(shù)。一般認為，由于對稱性的原因，s i n a i 臺球和1 4 s i n a i 臺球有著幾乎相同的物理性質(zhì)，出于簡化計算量的考慮，故一般 只須研究1 4s i n a i 臺球即可得到對整個臺球的物理特征的描述。但我們的計算 結(jié)果顯示，由于s i n a i 臺球系統(tǒng)和1 4s i n a i 臺球系統(tǒng)有著不同對稱性，雖然兩 者在經(jīng)典行為上是完全一致的，但在微觀下，兩者的本征行為還是存在較大的差 異，從對稱性上來說，1 4s i n a i 臺球系統(tǒng)的本征態(tài)只是s i n a i 臺球系統(tǒng)的子集， s i n a i 臺球系統(tǒng)的很多本征態(tài)在1 4s i n a i 臺球系統(tǒng)上是不存在的。我們計算結(jié)果 說明，s i n a i 臺球在高能態(tài)下的能譜結(jié)構(gòu)以及本征態(tài)波函數(shù)要比1 4s i n a i 臺球系 統(tǒng)復雜的多，這說明，利用1 4s i n a i 臺球系統(tǒng)的研究結(jié)果來推測s i n a i 臺球系 統(tǒng)的量子行為不是一個好的方法，這里遺漏了許多s i n a i 臺球系統(tǒng)所獨有的特征 行為。 在文章的最后，筆者模擬了圓型圍欄，方型圍欄和橢圓行圍欄內(nèi)的電子波函 數(shù)分布，得到了很多與試驗上符合極好的結(jié)果。但在試圖用類似方法模擬橢圓臺 球內(nèi)部的“量子鬼影 時，沒有觀察到期待中應該出現(xiàn)的對稱映像。筆者認為， 這與用利用臺球系統(tǒng)進行簡單近似有關，后期工作我們準備利用有限高勢壘近似 更加逼近實際的“量子圍欄”，期待可以重現(xiàn)在橢圓焦點上出現(xiàn)“量子鬼影現(xiàn)象。 本文通過應用改進的b i m 方法研究了幾種二維臺球系統(tǒng)的本征行為，并用臺 4 張正中：量子圍欄的模擬和計算 球系統(tǒng)近似模擬了不同形狀的量子圍欄內(nèi)表面電子態(tài)分布，有助我們對試驗中所 觀察到的現(xiàn)象加以理解，了解這類系統(tǒng)的微觀行為特征。筆者希望通過我們的工 作，能為以后關于量子圍欄和量子點的工作提供一些借鑒和參考。 關鍵字：量子臺球，量子圍欄，表面態(tài)波函數(shù)，本征態(tài) 5 揚州大學碩士學位論文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn e ws c i e n c ea n dm i c i o - e l e c t r o n i c st e c h n i q u e s ，t h e t r a d i t i o n a le l e c t m nd e v i c ec a nb em a d em o r ea n dm o 弛s m a l l e be v e ni n t ot h e m i c r o c o s m i c6 e l d t h eq u a n t u me f f e c tg e n e 豫l l ys t a n d so u ti ns u c hc i r c u m s t a n c e a dc a nn o tb ei g n o r e d s o m e t i m e st h i s p m b l e m i sn o ta n i m p o r t a n t e m b a i i a s s m e n tw h i c ht h em a n u f a c t u r e rs h o u l do v e rc o m eb u tai n t e r e s tn s e a r c h d o m a i n i nm a yo f1 9 9 3 ，t h ec r o m m i ea n dh i sg r o u pu s es t i 訌e q u i p m e n tf i x s e v e r a li r o na t o m i c so nt h ec u ( i i i ) s u i ? f a c ew i t hh e l po fu q u i dn i t r o g e n t h e s ei r o n a t o m i c sg e tt o g e t h e ri nac i r c l ew h i c hm a d ei tu k eab a m e r ，a n dt h e nt h es c i e n t i s t f o u n dt h ev i s i b l ed i ：f f r a c t i o nd e s i g ni ni tw h i c hm a d eb yt h ee l e c t r o n t h i ss y s t e mi s c a l l e dq u a n t l i mc o r r a lb e c a u s et h ee i e c t r o nw a sc o n 6 n e di n at i n yb a r r i e r c o n s t 陽c tb yt h ei n n e ri 陽n se l e c t m n s i t i saf o r c e f u l l ye v i d e n c ew h i c hc a np m v e t h em i c r o - a r t i c l e sn u c t u a t ep m p e r t y i nt h e o r y w ec a nu s eaq u a n t u mb m i a r ds y s t e mt os i m u l a t e q u a n t u mc o r r a l s a n dt h ed i s t r i b u t i o no fw a v ef u n c t i o nc a nb er e g a r d e da st h ed i s t r i b u t i o no f e l e c t i o ni nq u a n t u mc o r r a l s i nt h i sp a p e bt h eb o u n d a r y i n t e g r a lt 訌e t h o d ( s h o r t f o rb i m ) ，w h i c hi sap o w e r f u lm e t h o df o rs o l v et h ee i g e np r o b l e mo fq u a n t l l m b n l i a r ds y s t e m ，i sa d o p t e da n ds o m ei m p r o v e m e n t sw e r ei n t r o d u c e dt oe n h a n c et h e n u m e r i c a le f n c i e n c ya n da c c u r a c y n b yu s i n gn e wd e n n e dq u a n t i z a t i o m e a s u r e 6 張j 下中：量子圍欄的模擬和計算 f o rb i m ，e i g e n e n e i 。g i e sc a nb ed e t e r m i n e da c c u r a t e l ya dq u i c y ：i nt h i sp a p e ba s i m p l ea n de m c i e n td e f m i t i o n ， c o r r e l a t i o nn l n c t i o na b o u tw a v e 矗i n c t i o n ， i s i n t r o d u c e dt od e t e r m i n et h e d e g e n e r a t ed e g r e eo fe i g e n - s t a t e s t h e s en e w i m p m v e m e n t sc a np r o v i d ean e wa c c e s s e sf o rt h ef u t l i w o r ki nt h i s6 e l d 1 秒u s et h en e wq u a n t i z a t i 蚰m e a s u 心f o rb i m ，t h ew r i t e rs i m u l a t e 鉀oi 【i n d s o fb i l l i a r d ss y s t e m ：t h es i n a ib i l h a r da n dt h el 4s i n a ib n k a r d t h ep a s tw o r k b e l i e v e dt h a tb o t ho ft h es i n a ib m i a r da n dt h e1 4s i n a ib m i a r dh a v et h es a m e p h y s i c sp r o p e i 吼b u to u rr e s u ns u g g e s t ，t h e r ea r ee x i s t e ds o m ee i g e n s t a t e si nt h e s i 眥i b m i a r ds y s t e mw h i c ha r e 舯te i g e n s t a t e si nt h el “s i n a i b m i a r d t h es e to f a i le i g e n - s t a t e so f1 4s i n a ib i l l i a r di so n l yt h es u b s e to fs i n a ib i n i a r d t h ei e a s o n s h o u l db et h ed i 仃e 陽n c eo fs p a t i a ls y m m e t r yb e 鉀e e n 佃os y s t e m s t h a “st os a y w ec a n ts i m p l ym g a r dt h e1 4s i n a ib i l k a r da st h el 4 p a nc u t t e df h ms i n a i b i l u a r d i na d d i t i o n ，t h ew r i t ef i n dt h a tt h es i n a ib i l l i a r d sw a v ef h n c t i o no fh i g h e i g e n s t a t ei sm o r ec o m p l e xt h a nt h e1 “s i n a ib m i a r d i nt h e4 t hs e c t o ro ft h i s p a p e bt h ea u t h o ru s eb i mt oc a l c u l a t e t h e e l e c t m n - w a v ed i s t r i b u t i o n n s p e c t i v e l yi n c i r c l eq u a n t i i mb a r n e ra n de l l i p s e q u a n t u mc o r r a l ， t h en u m e r i c a lr e s u l tm a t c h e sw e uw i t ht h e p u b l i s h e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t b u tt h er e s u l to fs i m u l a t i o ni nt h ee l l i p s eq 岫n t l l mc o r 豫1 w i t has m a l lc i r c l ew a l lo ni t sr i g h tf o c u sp o i n ti sn o tt h ee x p e c t e do n eo f p u b l i s h e d e x p e r i m e n t s m a y b ei ti sc a u s e db yu s i n gas m a hc i r c l ew a l l t oa p p m x i m a t eaa t o m 7 揚州大學碩士學位論文 a tt h ef o c u s ，t h ea p p m x i m a t ei sr o u g h i nt h ef o u 們r i n g ，w ew i ur e p l a c et h es m a u c i r c i ew a l lw i mac i r c l e6 n i t es t e p p e dp o t e n t i a l ，w ee x p e c tt o f i n dt h ea t o m s “q u a n t u mg h o s t a ta n o t h e rf o c u s ，t h ep h e n o m e n ah a sb e e nf o u n di np u b l i s h e d e x p e r i m e n t k e yw o r d s ：q u a n t l i mb m i a r d ，q u a n t l l mc o r r a l ，s u r f a c e e l e c t m n - w a v e d i s t r i b u t i o n ，e i g e n e n e i 罾e s 8 張正中：量子圍欄的模擬和計算 第一章：緒論 1 1 引言 自有人類文明以來，人們就一直為探索宏觀宇宙世界和微觀物質(zhì)結(jié)構(gòu)世界的 奧秘而不懈努力。而對于微觀世界的研究，由于受限于當時的觀測手段，直到近 代，才出現(xiàn)了迅速的發(fā)展。1 6 7 4 年，荷蘭人列文虎克( a v a n l e e u w e n h o e k ) 發(fā) 明了世界上第一臺顯微鏡，首次觀察到血紅細胞，為人類打開了豐富多彩的微觀世 界大門，到了1 9 世紀中葉，通過原子的散射試驗，人們也開始在原子的尺度上認 識我們身邊身邊的微觀世界，2 0 世紀7 0 年代末，掃描隧道顯微鏡( s t m ) 的誕生更 是使人類從直觀上觀察到了原子尺度下的世界，使人類對微觀世界的觀察能力一 下子飛躍到千分之一的納米級，并使人類可以在原子尺度下自由地操作特定原子， 這些技術(shù)在提高人類認識世界能力的同時，也大大刺激了微型電子器件和微加工 技術(shù)的迅猛發(fā)展。通過新的半導體工藝和加工技術(shù)，人類開始進入納米時代。 掃描隧道顯微鏡( s t m ) 的誕生是人類對原子世界進行研究的一個突破，它不 僅可以用來觀察原子的分布，還可以實現(xiàn)在二維平面上對原子進行搬遷。在s t m 的 探針針尖上加很微弱的電流，就會在針尖上產(chǎn)生一個梯度電場，當原子與針尖的距 離非常接近( 距離為幾十納米) 的時候會，就會互相吸引，這時把針尖提起，針尖就 能夠從樣品表面吸取一個孤立原子并轉(zhuǎn)移到別處，然后撤去電場，就可以將原子放 置到新的位置上，從而實現(xiàn)原子和分子的搬遷。1 9 9 3 年5 月，美國加州圣荷塞阿瑪 丹i b m 研究中心的c r o 咖i e 等人在液氮溫度下，將鐵原子蒸發(fā)到清潔的c u ( i i i ) 表 9 揚州火學碩十學位論文 面3 ，然后用掃描隧道顯微鏡操縱這些鐵原子使它們逐個地定位在銅表面上，從而 構(gòu)造出這些形狀各異的閉合圖樣，由這些原子排列而成的閉合圖樣即為所謂的“量 子圍欄”心1 對于處在圍欄內(nèi)金屬表面費米態(tài)電子而言，這個由原子筑成的圍欄便 成了一個橫向的二維勢壘，電子被束縛在勢壘中。由于微觀電子的波動性，在量子 圍欄中，可以明顯地觀察到電子分布的駐波形式這是微觀粒子具有波動性的直 接的實驗證明。 由于量子搬遷技術(shù)，人們可以隨意的用s t m 改變圍欄的形狀，于是，又誕生各 種不同外型的量子圍欄：有三角的，橢圓的，矩形的臺球型的量子圍欄。 其中，值得一提的主要是運動場型的量子圍欄和橢圓量子圍欄。運動場型的 量子圍欄，由于其邊界的特殊性，決定了其電子波函數(shù)的分布特性可以由運動場 邊界的量子臺球系統(tǒng)來模擬。同時，二維運動場量子臺球模型是過去人們用來研 究量子混沌常用的模型之一。這就為實驗上研究觀測混沌現(xiàn)象提供了一條切實的 途徑。 張正中：量子圍欄的模擬和計算 說起量子混沌，我們得回顧一下對混沌科學發(fā)展的歷史。早在1 0 0 多年之前 的玻爾茲曼在推導他的著名的h 定理時，就曾經(jīng)提出過分子混沌的假設。但那時 的混沌一詞只是被用來表示與宏觀系統(tǒng)統(tǒng)計性質(zhì)有關的無序特征。而到了1 9 世紀 末，著名的數(shù)學家龐加萊在研究三體問題的穩(wěn)定性的時候發(fā)現(xiàn)，即使是只有兩個 自由度的保守系統(tǒng)也能做出難以想象的復雜運動。雖然他沒有使用混沌這個詞， 但從現(xiàn)在看來，三體問題就是一個典型的混沌問題。1 9 6 3 年，氣象學家洛侖茲發(fā) 表了他用數(shù)值方法研究的大氣熱對流模型方程時發(fā)現(xiàn)的確定性非周期流。1 9 6 4 年， 天文學家埃農(nóng)和海耳斯在關于星系中星體軌道的數(shù)值研究中，再次發(fā)現(xiàn)了當年龐 加萊用定性方法研究過的保守系統(tǒng)的中不規(guī)則運動。7 0 年代以后是混沌科學的蓬 勃發(fā)展時期?；煦缈茖W已經(jīng)引起專家學者的廣泛關注，混沌已經(jīng)對自然科學，社 會各個領域產(chǎn)生重大影響。 在認識到混沌在經(jīng)典力學中的重要地位之后，人們很自然地會想到確定性混 沌的概念推廣到量子力學中去，量子混沌是7 0 年代出現(xiàn)的量子力學研究中的一個 新方向。其目標是要弄明白，在經(jīng)典世界里極為普遍的混沌現(xiàn)象，在量子世界里 會有什么樣的表現(xiàn)形式。經(jīng)過二十多年的研究，人們從能譜統(tǒng)計描述，定態(tài)波函 數(shù)的形式等各種量子現(xiàn)象中，辨認出了一系列與經(jīng)典混沌有關的行為特征。其中 揚州大學碩+ 學位論文 某些特征，已在實驗中被觀測到，為了從理論上闡明這些特征，人們還建立了一 套半經(jīng)典理論，這一理論推廣了玻爾一索末菲的舊量子理論，把混沌系統(tǒng)的量子 力學行為與其經(jīng)典的周期軌道行為聯(lián)系在了一起。事實上，按照玻爾的對應原理， 將量子力學應用到宏觀運動上所得到的結(jié)果。應該與經(jīng)典力學的結(jié)果一致，力學 系統(tǒng)的混沌特征，也必然在其量子性質(zhì)上有所表現(xiàn)。進入8 0 年代，討論量子混沌 的文獻4 51 數(shù)量迅速增長，其大部分文章都致力于闡明經(jīng)典混沌系統(tǒng)對應的量 子系統(tǒng)所具有的特征。 對于經(jīng)典可積的量子系統(tǒng)已有不少研究，最早的是周期驅(qū)動的振子k r 6 刀。 對比較簡單的經(jīng)典混沌系統(tǒng)對應的量子系統(tǒng)的混沌行為具有很大的興趣，這對于 進一步清楚地研究經(jīng)典混沌系統(tǒng)所對應的量子力學系統(tǒng)具有重要的意義，在許多 光學和微波實驗上有了很好驗證8 們。b a o w e nl i ，b a n b ih u 等在臺球系統(tǒng)的經(jīng) 典和量子行為均已有不少研究，如混沌擴散行為，經(jīng)典局域化現(xiàn)象，不穩(wěn)定周期軌 道疤痕等，這方面做出了巨大貢獻1 0 1 糾。臺球系統(tǒng)是上個世紀8 0 年代以后 在量子非線性領域廣為研究的系統(tǒng)，對于不同邊界形式的臺球系統(tǒng)的經(jīng)典及量子 行為的研究工作已經(jīng)作了許多。對靜態(tài)的臺球系統(tǒng)，許多研究表明其經(jīng)典和量子的 混沌有很重要的對應性1 羽。 在這種背景下，筆者首先改進了一種數(shù)值構(gòu)造閉合系統(tǒng)駐波態(tài)的數(shù)值方法， 然后計算了和比較了s i n a i 臺球系統(tǒng)和1 4 s i n a i 臺球系統(tǒng)在這種數(shù)值方法的物理 性質(zhì)。并且，筆者將量子圍欄近似成閉合臺球系統(tǒng)相同的邊界條件，同樣借助邊 界積分數(shù)值方法構(gòu)造了原形，橢圓型，運動場型和矩形量子圍欄的表面態(tài)波函數(shù)， 1 2 張正中：量子圍欄的模擬和計算 開展了大量數(shù)值模擬工作。 1 2 參考文獻 1 m f c r o m m i e ， c p l u t z ， d m e i 9 1 e rs e i e 力c e2 6 2 ，2 1 8 2 2 0 ( 1 9 9 3 ) 2 m f c r o m m i e ， c p l u t z ， d m e i g l e r a t u r e3 6 3 j5 2 4 5 2 7 臼9 9 3 夕 3 陸同興：非線性物理概論 m 4 h j i r a r i ，h k r 6 9 e r ，s g r u b i n ee ta 1 q u a n t u mi n s t a n t o n sa n dq u a n t u m c h a o s p h y s l e t t a2 0 0 1 ， 2 8 1 ：1 8 5 趙春風，羊亞平，馮偉國非線性物理簡介：7 量子混沌 j 工科物理，1 9 9 7 ， 第2 期 6 gc a s a t ie ta 1 ，s t o c h a s t i cb e h a v i o ri nc l a s s i c a la n dq u a n t u ms y s t e m m ， v o l9 3 ，l e c t n o t e s i np h y s ( s p r i n g e r ，b e r li n1 9 7 9 ) 7 gc a s a t ie ta 1 d y n a m i c a ls t a b i l i t yo fq u a n t u m“c h a o t i c ” m o t i o ni n ah y d r o g e na t o m j p h y s r e v l e t t 1 9 8 6 ，5 6 ( 9 ) ：2 4 3 7 2 4 4 0 8 k u d r 0 11ia ，k i d a m b ivv ，s r i d h a rs e x p e r i m e n t a ls t u d i e so fc h a o sa n d l o c a l i z a t i o ni nq u a n t u mw a v ef u n c t i o n s j p h y sr e vl e t t ，1 9 9 57 5 ( 5 ) ： 8 2 2 8 2 5 ； 旦i q n 旦金。魚! 金g q ! y 墾：l i 墜q 至： 墾i 魚b 壘! 魚墜 w a v e g u i d ee x p e r i m e n t r e l a t e dt of i e l dc h a o s j p h y s l e t t a ，2 0 4 ：1 7 4 1 7 6 9 d o r o nc o h e na n dd i e g oa w i s n i a c k i s t a d i u mb i l l i a r d sw i t hm o v i n g w a l l s j p h y sr e ve2 0 0 3 ， 6 7 ：0 2 6 2 0 6 1 v 0 2 6 2 0 6 1 4 揚州大學碩+ 學位論文 1 0 b a o w e nl i ，r o b n i km ，h ubb r e l e v a n c eo fc h a o si nn u m e r i c a ls 0 1 u t i o n s o fq u a n t u mb i l l i a r d s j p h y s r e v e ，1 9 9 8 ，5 7 ：4 0 9 5 4 1 0 5 1 1 b a o w e nl ia n db a m b ih u s t a t i s t i c a la n a l y s i so fs c a r si ns t a d i u m b i l l i a r d j h t t p ：a r x iv ：c o n d 一囅a t ，9 7 12 0 8 21 9 9 7 ： 1 2 8 1 2 b a o w e nl i n u m e r i c a ls t u d yo fs c a r si nac h a o t i cb i l l i a r d p h y s r e v e ， 1 9 9 7 5 5 ：5 3 7 6 5 3 7 9 3 何紅波，王文軍邊界振動的圓形彈球系統(tǒng)的量子混沌 j 河南科學，2 0 0 0 ， 1 8 ( 1 ) ： 3 6 4 0 1 4 張正中：量子圍欄的模擬和計算 第二章：利用邊界積分方法研究二維無限高閉合方勢壘的本征解 2 1 研究背景 隨著半導體技術(shù)和微加工技術(shù)的日新月異，微器件的尺寸已經(jīng)進入納米尺度。 由于工程技術(shù)的需要，通過新的半導體工藝和納米加工技術(shù)，人們已經(jīng)可以實現(xiàn) 將幾個原子或幾個電子束縛在一個小尺寸的量子阱內(nèi)，從而形成新的光學或電學 器件。對該類系統(tǒng)的輸運性質(zhì)及本征問題的研究，有助于對量子信息領域中已些 理論上亟待解決的問題加以解釋以及對一些微觀物理現(xiàn)象加以理解，如量子點的 性質(zhì)、量子圍欄的性質(zhì)1 ，羽、納米器件的輸運性質(zhì)3 1 等等。具有硬邊界的閉合無 限高方形勢壘系統(tǒng)是對這類問題的最簡單近似，研究閉合無限高方形勢壘的本征 行為顯然對此類問題的理解具有很現(xiàn)實的理論價值。 量子臺球系統(tǒng)是典型的二維閉合無限高方形勢壘系統(tǒng)，除少數(shù)具有特殊邊界 的經(jīng)典臺球系統(tǒng)作規(guī)則運動外，一般的經(jīng)典臺球系統(tǒng)都作遍歷混沌運動鍆。對量 子臺球系統(tǒng)的研究工作開展很早，最初的研究是為了討論不可積系統(tǒng)中出現(xiàn)的量 子混沌行為，通過對經(jīng)典混沌系統(tǒng)所對應的量子系統(tǒng)的本征能譜和本征態(tài)的統(tǒng)計 行為和動力學行為的研究，以期望給出可積系統(tǒng)和不可積系統(tǒng)本征行為之間的差 異5 ，6 ， 。近期，在這個領域的研究工作也較多8 引。 目前，計算二維無限高閉合方勢壘系統(tǒng)的的工作已有很多1 0 川。其中，求 解本征解的方法有邊界積分方法( b i m ) 、平面波展開方法( p l a n e w a v e d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，簡稱p w d m ) 川和定態(tài)展開法( e x p a n s i o nm e t h o do f s t a t i o n a r ys t a t e ，簡稱e m s s ) 1 1 ，1 幻等。在本文中，我們主要采用b i m 方法， 1 s 揚州大學碩士學位論文 一次性地精確求解了二維量子臺球系統(tǒng)在給定能量范圍內(nèi)的所有本征能譜。在利 用b i m 求解的過程中，通過我們引入的關聯(lián)度函數(shù)，避免了傳統(tǒng)b i m 方法在求解 過程中可能出現(xiàn)的多根問題，同時也解決了簡并態(tài)的求解問題。 2 2 量子臺球系統(tǒng)的簡化 臺球系統(tǒng)即將一個粒子束縛在一個閉合的具有特定硬質(zhì)邊界的二維盒子中自 由運動，忽略邊界與粒子之間的能量交換，并將盒子的硬質(zhì)邊界理解為無窮高勢 壘。臺球系統(tǒng)是典型的二維閉合無限高方形勢壘系統(tǒng)，對于低能態(tài)粒子，如果粒 子運動的德布羅意波長與二維盒子的尺寸相近時，粒子運動的量子行為表現(xiàn)將極 為明顯，而高能態(tài)的粒子，由于其德布羅意波長較短，粒子在臺球場內(nèi)的運動與 經(jīng)典粒子的運動類似。常見的幾種規(guī)則邊界的臺球系統(tǒng)如圖( 1 ) ，其中圓形臺球系 統(tǒng)和矩形臺球系統(tǒng)為典型的可積系統(tǒng)，其本征方程存在嚴格的解析解，而圖( 1 ) 中 的( b ) 為不可積s i n a i 臺球系統(tǒng)，其本征方程不存在嚴格的解析解，在特定的參 數(shù)下，可以采用微擾法求解或采用數(shù)字方法求近似解。 ( a ) a a ( b ) 圖1 臺球模型系統(tǒng) 1 6 張正中：量子圍欄的模擬和計算 如圖1 ( a ) ，( b ) ，( c ) 分別是圓形，s i n a i 臺球還有矩形邊界的臺球系統(tǒng)，在臺球邊界 的內(nèi)部無勢場，在臺球外側(cè)則是無窮高勢壘s i n 撕臺球的內(nèi)部小圓里也是無窮高勢 壘。( a ) 和( c ) 都是典型的可解析系統(tǒng)，( b ) 是典型的不可積系統(tǒng)。注意，上圖中的ra 和b 都是無標度的 ( 1 ) 這里，y c 習= 羔嬲，定態(tài)薛定諤方程可以表示為： 療y ( 賈) = 印( i ) ( 2 ) 只有少數(shù)具有特定邊界的臺球系統(tǒng)的定態(tài)薛定諤方程可以嚴格求解，而一般非可 積量子臺球系統(tǒng)只能借助于數(shù)值方法或微擾方法進行求解，本文采用的b i m 方法 就是一種非常有效的數(shù)值方法。 在臺球場內(nèi)，式( 2 ) 可以表示為h e l i n h o l t z 方程： v 2 y ( i ) + 七2 y ( 勇) = o ( 3 ) 這肌厴，對于量子臺球系統(tǒng)，方程式( 3 ) 采用第一類邊界條f 牛，及d i r i c l l l e t 邊界條件：沙( i ) i ，= o 。 2 3 邊界積分方法的理論研究和改進工作 求解式( 2 ) 定態(tài)薛定諤方程的解，我們可以采用格林函數(shù)方法求解。對于自由 粒子，定義自由粒子的格林函數(shù)g ( x ，x ) 為： 揚州大學碩士學位論文 ( 七2 一v 2 ) g ( 七；x ，x 。) = 萬( x x ) 自由粒子的格林函數(shù)解為： g ( 后；i ，i ) = 一丟虼( 七i i i 1 ) + 伊( i ，i 。) ( 4 ) ( 5 ) 這里，矽( i ，元) 是規(guī)范自由度，為滿足規(guī)范要求( 一七2 一v 2 ) 伊( i ，碧) = o 的任意函數(shù)， 這里我們采用最簡單的處理方式，令緲( i ，i ) 三0 。由格林函數(shù)，臺球系統(tǒng)的本征態(tài) 函數(shù)可以表示為： 少( i ) = p ( 尼；i ，i 切( i ) 廢 ( 6 ) 這里，p ( 孑) 理解為在臺球場內(nèi)形成場沙( i ) 的源分布密度，對于量子臺球系統(tǒng)來說， 源p ( i ) 只分布于臺球系統(tǒng)的邊界上，則式( 6 ) 可以表示為： ( i ) = 叮g ( 七；i ，墨) ( 墨) 出 這里的下標s 表示沿邊界積分，y ( i ) 要求滿足d i r i c m e t 邊界條件y ( 墨) 蘭o 。利用 數(shù)值方法進行計算時，可以將式( 7 ) 中的積分表示成求和式： y ( i ) = 心g ( 七；孑，墨) ( 墨) ， ( 8 ) 這里s = 1 ，2 ，3 ，表示將邊界均勻離散為個離散點，s 為離散后任意兩邊 界點之間的邊長。若粒子運動的德布羅意波長為兄= 2 萬七，將邊界均勻離散為個 離散點要求讎兄。顯然，越大，s 越小，數(shù)值誤差就越小，但同時要求的 計算量也與2 成正比增長，若過小，數(shù)值誤差就越大，實際計算中會出現(xiàn)大量 丟解的情況，在實際計算中，我們一般取叢兄3 ，這樣可以基本保證解的完整 性。邊界離散后，d i r i c m e t 邊界條件可以表示為： 1 8 張正中：量子圍欄的模擬和計算 g ( 七；墨，墨) ( 墨) 三o 。 毒 由式( 9 ) 定義f r e d h o l m 矩陣： 式( 9 ) 可以表示為： 嗚( 后) = g ( 尼；墨，弓) 4 ( 七) = o ， j ( 9 ) ( 1 0 ) 為了便于計算，這里取f ，= 1 ，2 ，3 ，則f r e d h o l i l l 矩陣彳為的方陣。很顯 然，并不是任意的后都能滿足式( 9 ) ，對于處于束縛態(tài)的臺球系統(tǒng)，只有七在本征態(tài) 時，才有滿足式( 9 ) 的( 墨) ，此時的粒子能量即為本征能量。 為了尋找滿足式( 9 ) 的七值，可以采用奇異值分解( s i n g u l a rv 礬u e s d e c o 1 p o s i t i o n ，s v d ) 方法來確定( 曩) 在給定七值時的最優(yōu)解，使得由式( 8 ) 所表達 的桫( x ) 0 沿邊界有最小值。當系統(tǒng)處于本征態(tài)時，桫( x ) 0 沿邊界值為o 。對給定的七， 對彳作s v d ，得： 么( 尼) = “( 后) 礦( 后) v ( 后) ， ( 1 2 ) 形為對角陣，對角元為彳的奇異值，甜矩陣的行矢、v 矩陣的列矢分別為對應奇異 值的左矢和右矢，根據(jù)奇異值的定義，這里將右矢理解為源在邊界上的分布密度 ( 墨) 。為了在數(shù)值上尋找滿足式( 9 ) 的解，這里需要定義一個判據(jù)，用來判斷尼在 取何值時，存在( 曩) 使得式( 9 ) 嚴格成立。通常意義下，一般采用s v d 的最小奇 異值作判據(jù)，但通過我們的實際操作，這個判據(jù)并不是一個好的判據(jù)，存在一些 操作上的困難。我們重新定義了一個新判據(jù)邊界殘量，邊界殘量的定義為： 1 9 揚州人學碩士學位論文 r ( 后) = 去叢；( 虬) 2 = 去叢莓莩( g ( 墨，墨歸( ) 2 0 ( 1 3 ) 這里的召為杪( 孑) 的歸一化常數(shù)。顯然，當丁( 七) = 0 時，( i ) 即為系統(tǒng)的本征態(tài)函 數(shù)，而e ：善竺即為系統(tǒng)本征能量。在數(shù)值上，我們掃描給定區(qū)域的七，對彳( 后) 做 z ，竹 s v d 分解，最后作( 丁( 七) ，后) 函數(shù)圖。在( r ( 七) ，七) 函數(shù)圖上，所有丁( 七) 出現(xiàn)極小 的地方近似為系統(tǒng)本征態(tài)的位置，這樣就可以最終給出給定區(qū)域內(nèi)的所有本征能 驥 晤。 對于高維量子系統(tǒng)，出現(xiàn)狀態(tài)的簡并是非常普遍的情況，完全確定簡并態(tài)對于 了解系統(tǒng)的量子統(tǒng)計性質(zhì)以及利用微擾法計算系統(tǒng)的物理量等都具有實際的意 義。對于量子臺球系統(tǒng)，我們處理簡并態(tài)問題還是基于b i m 方法。若某個能級f 為 刀度簡并，則定義s v d 的每個右矢量的邊界殘量為乃( 毛) = o ，= l ，2 ，刀。在 島附近，至少存在刀個波函數(shù)妙7 ( i ) 的邊界殘量同時趨近于o ，也即在后= 毛時，存 在刀種源分布7 ( 囂) 所構(gòu)造的波函數(shù)滿足d i r i c l l l e t 條件，這里關鍵是如何同時尋 找出所有的7 ( 毫) 。實際計算時，首先，我們還是利用b i m 方法計算所有的能級， 在確定本征能級以后，針對每個能級都作一次簡并態(tài)分析。為了區(qū)分簡并的不同 波函數(shù)，我們引入了波函數(shù)間的關聯(lián)度函數(shù)： c ：f ，= 1 一 ( 1 4 ) 若( 哥) ，( i ) 為相同的波函數(shù)，則c i f ，= 1 ，若( i ) ，( 碧) 為不同的正交本征態(tài)波 函數(shù)，則巳= o 。對于束縛態(tài)，定態(tài)波函數(shù)的關聯(lián)度函數(shù)也可以表示為： 2 0 張正中：量子圍欄的模擬和計算 c ：f ，= l 葦囂蒜竽 ( 1 5 ) 實際計算時，在特定的本征能級e ( 磚) ，對f r e d h o l m 矩陣彳作s v d ，并利用丁。( t ) 作判據(jù)，選取邊界殘量較小的右矢量哥作為可能的。這里需要說明的是，在作 s v d 時，由于不同的簡并態(tài)所對應的最小奇異值趨近于o 的速度不同，數(shù)值上不 能保證所有的簡并態(tài)在作s v d 時都能使得丁( 毛) 同時趨于極小量，所以，相對于求 解本征能級，在求解簡并態(tài)時我們對丁( t ) 范圍有比較大的寬容度。最后，對所有 選取的( 曩) ，作關聯(lián)度分析，給出所有非關聯(lián)的簡并態(tài)波函數(shù)。 2 4 改進后b i m 方法的數(shù)值計算結(jié)果 2 4 1 圓形量子臺球系統(tǒng)的本征能譜 圓形量子臺球系統(tǒng)是少數(shù)可以嚴格求解的二維無限高方形勢壘量子系統(tǒng)， 為了驗證方法可行性及可靠性，我們利用b i m 方法計算了圖1 ( a ) 中圓形量子臺球 系統(tǒng)的本征譜，這里臺球場的半徑尺= 1 。在計算時，我們分別采用了最小奇異值 和邊界殘量作判據(jù)來確定本征能級的位置，圖2 中( a ) 、( b ) 圖分別為采用這兩種 判據(jù)給出的七【6 0 ，1 0 o 】區(qū)間內(nèi)丁( 尼) 的函數(shù)圖，表1 羅列出了利用丁( 七) 所找到的本 征能級，同時也對照著給出了理論值，利用b i m 方法給出的結(jié)果與理論值基本吻 合，可以看出，利用丁( 七) 作判據(jù)搜尋系統(tǒng)的本征能量是非常有效的。同時對比圖2 中的( a ) 圖和( b ) 圖，可以看出，如果簡單利用最小奇異值s ( 尼) 作為判據(jù)搜尋本征 2 1 揚州人學碩士學位論文 能級，則結(jié)果要遠遠多于實際的能級數(shù)，所以，單純利用最小奇異值作為判據(jù)來 確定本征能級的位置并不是非常有效，會出現(xiàn)許多過余的“偽解”。針對這種情況， 我們也考慮過利用s ( 七) 并結(jié)合關聯(lián)函數(shù)g 共同確定本征能級，實際的結(jié)果說明這 種操作非常有效的，這里我們不再詳細描述。最后，我們給出圓形臺球系統(tǒng)在低 能態(tài)的能級累計密度的解析解與數(shù)值解的對照，如圖3 ，可以看出，兩者吻合的非 常好。 k 張正中：量子圍欄的模擬和計算 k ( b ) 圖2 用兩種不同的標準尋找本征能級 如圖2 ，在七 6 ，1 0 2 】區(qū)間內(nèi)，( a ) ：最小奇異值s ( k ) 隨尼的變化曲線；( b ) 邊界殘 量丁( 七) 隨后的變化曲線，理論上在此區(qū)間存在9 個能級，這與( b ) 圖精確吻合，而 ( a ) 圖顯然存在過多的“偽解”。 表1 圖2 ( b ) 中最小邊界波函數(shù)殘對應的k 空間本征態(tài)的值 圖3 中，在能量區(qū)間2 ，舾殼2 0 ，3 0 0 】內(nèi)，我們計算得到的圓形臺球系統(tǒng)的能級 累計密度與理論解的對照圖，兩者基本吻合。 2 3 揚州人學碩士學位論文 表一1 ，利用圖2 ( b ) ，可以尋找j i 6 ，1 0 2 】區(qū)間內(nèi)的所有本征能級，表中羅列出 了這個區(qū)間內(nèi)的所有本征能級的數(shù)字解和理論解，兩者之間基本吻合。 2 m e ，h 2 圖3 用改進后的方法計算能級累計密度 2 4 2 簡并態(tài)的數(shù)值結(jié)果 為了驗證簡并態(tài)計算方法的有效性，我們選取了類似于圖1 ( c ) 的量子矩形臺 球系統(tǒng)作為研究對象，這里取彳= 2 o ，b = 4 o 。量子矩形臺球系統(tǒng)是少數(shù)有嚴格解 的可積系統(tǒng)，矩形臺球系統(tǒng)在高能級時存在大量的簡并情形，這為我們對照性的 研究帶來了很多便利。 首先，通過理論計算得七1 2 2 6 8 為矩形臺球系統(tǒng)本征能級的位置，且為二重 簡并態(tài)，我們以此能級為例，驗證算法的可靠性。首先，選定七 11 9 5 ，1 2 6 9 區(qū) 間內(nèi)，利用式( 1 0 ) 計算得到r ( 七) 函數(shù)圖，如圖4 所示。這里，我們選取了三個本 征能級七= 1 1 9 9 8 ，1 2 2 6 8 ，1 2 6 6 4 ，對每個能級，計算s v d 所有右矢的邊界殘量丁( 七) 并作由大到小的排序，如圖5 所示。當七為1 2 2 6 8 和1 2 6 6 4 時，丁。( 后) 在趨于最小 張正中：量子圍欄的模擬和計算 時，都存在一個小平臺，在平臺上，丁( 七) 緩慢地趨于最小，而且平臺的寬度隨簡 并度的加重而展寬；而對于尼= 1 1 9 9 8 ，r 。( 尼) 最后突然的掉落到最小。理論計算 表明，后= 1 2 6 6 4 和尼= 1 2 2 6 8 時