高等電力系統(tǒng)分析

高等電力系統(tǒng)分析,課程簡介,電網絡分析基礎潮流算法及其擴展電力系統(tǒng)狀態(tài)估計電力系統(tǒng)靜態(tài)安全分析,第一部分：系統(tǒng)分析篇,1電網絡分析基礎基礎知識節(jié)點導納矩陣電力網絡方程求解方法,第一部分：系統(tǒng)分析篇（續(xù)）,2潮流算法及其擴展潮流計算的數學模型潮流計算的經典算法保留非線性的潮流算法最小化潮流潮流計算中的自動調整最優(yōu)潮流交直流潮流與含FACTS元件的系統(tǒng)潮流,第一部分：系統(tǒng)分析篇（續(xù)）,3電力系統(tǒng)狀態(tài)估計電力系統(tǒng)狀態(tài)估計的基本概念最小二乘估計不良數據檢測,第一部分：系統(tǒng)分析篇（續(xù)）,4電力系統(tǒng)靜態(tài)安全分析概述電力系統(tǒng)靜態(tài)等值電力系統(tǒng)預想事故選擇,1電網絡分析基礎,1.1基礎知識：電力網絡的概念,1電力網絡的概念電力網絡是指將輸電配電線路、變壓器等電氣元件按一定形式連接而成的一個整體，達到輸送和分配電能的目的。兩個要素：電氣元件及其連接方式。,元件特性約束歐姆定律,網絡拓撲約束基爾霍夫定律基爾霍夫電流定律（KCL）基爾霍夫電壓定律（KVL）,1.1基礎知識：電力網絡的描述方法,2電力網絡的描述方法基于基爾霍夫電流定律：節(jié)點電壓方程基于基爾霍夫電壓定律：回路電流方程,用節(jié)點電壓方程描述電力網絡的一個例子,按節(jié)點電壓整理后得到：,左式中，左端是由各節(jié)點流出的電流，右端是向各節(jié)點注入的電流。左式可以表示為規(guī)范的形式,以基爾霍夫電流定律列出節(jié)點方程：,前述式子表示為規(guī)范形式如下：,可以看出，其中的元素如下：,左式中，即為相應節(jié)點間的自導納及互導納。其余節(jié)點間互導納為零。,上式為電力網絡的節(jié)點方程。,在求出節(jié)點電壓后，就可以求出各支路電流，從而使網絡變量得以求解。,節(jié)點方程反映了各節(jié)點電壓與注入電流間的關系。在此例中，除節(jié)點4、5外，其余節(jié)點注入電流均為0。,重寫規(guī)范形式如下：,一般情況下，如果電力網絡有n個節(jié)點，則有節(jié)點方程：,式中：,Y是導納矩陣，對角元是節(jié)點i的自導納，非對角元是節(jié)點間的互導納。,分別是節(jié)點注入電流列向量及節(jié)點電壓列向量,1.1基礎知識：電力網絡的關聯矩陣描述,例如，對上例所示的網絡接線圖，其節(jié)點-支路關聯矩A為,節(jié)點支路關聯矩陣,大地作為參考節(jié)點,節(jié)點關聯矩陣,網絡拓撲結構,推廣到一般情況：將b個支路電流寫成支路電流向量，則基爾霍夫電流定律的關聯矩陣形式為,KCL的關聯矩陣形式,KVL的關聯矩陣形式,此方程的系數矩陣等于圖的關聯矩陣的轉置,選上圖為例，用節(jié)點電壓之差表示支路電壓，并寫成矩陣形式：,推廣到一般情況：設網絡有b條支路，n個節(jié)點，第n號節(jié)點為參考節(jié)點，支路電壓和節(jié)點電壓向量分別記作：,則節(jié)點電壓與支路電壓的關系即KVL：,第k條廣義支路的方程可以表示成,(k=1,b),b條支路的支路方程矩陣形式是(省略了復變量s)：,簡寫為,如何表示支路特性約束歐姆定律,2019/11/21,高等電力網絡分析,18,若矩陣Z存在逆矩陣，令并乘在兩端，得,2019/11/21,高等電力網絡分析,19,令,(稱節(jié)點導納矩陣),節(jié)點電壓方程簡化為,AI0,移項后得,節(jié)點電壓方程,矩陣A反映了網絡的拓撲約束，Y反映了網絡的支路特性約束，所以節(jié)點導納矩陣集中了網絡兩種約束的全部信息。,邊界條件,如何表示整個網絡節(jié)點電壓方程,2019/11/21,高等電力網絡分析,20,若網絡參數用阻抗形式表示，則節(jié)點網絡方程有如下形式：,2019/11/21,高等電力網絡分析,21,關聯矢量的引入,一般串聯支路,2019/11/21,高等電力網絡分析,22,廣義關聯矢量和變壓器/移相器支路的數學描述,1.2節(jié)點導納矩陣：物理意義,節(jié)點導納陣反映了電力網絡的參數及接線情況節(jié)點導納陣節(jié)點電壓方程的推導過程,1.2節(jié)點導納矩陣：物理意義,由導納矩陣所構成的節(jié)點方程式是電力網絡廣泛應用的一種數學模型。,節(jié)點導納物理意義：如果在節(jié)點i加一單位電壓，而把其余節(jié)點全部接地,則上述節(jié)點方程式成為,節(jié)點自導納Yii節(jié)點i加單位電壓，其它節(jié)點接地時，節(jié)點i向電網注入的電流。節(jié)點互導納Yji節(jié)點i加單位電壓，其它節(jié)點接地時，節(jié)點j向電網注入的電流。,特點：當不含移相器時，導納陣為對稱矩陣導納矩陣為稀疏矩陣出線數24條，每行非對角元中僅有24個非零元例如，節(jié)點數分別10，1000的兩個網絡，平均出線為3前者非零元40個，占總數40。后者非零元4000個，占總數0.4。計算時充分利用對稱及稀疏性,1.2節(jié)點導納矩陣：導納矩陣的特點,1.2節(jié)點導納矩陣：導納矩陣的形成,1.矩陣計算形成：節(jié)點-支路關聯矩陣,節(jié)點導納矩陣：,矩陣A為節(jié)點-支路關聯矩陣，Y為支路原始導納陣。,例：有以下三節(jié)點網絡,導納矩陣有如下形式，現考慮如何求其中各元素,1.2節(jié)點導納矩陣：導納矩陣的形成,2.按支路逐條形成：關聯矢量,從圖中可以看出：,形成導納陣第一列元素Y11，Y21，Y31。應在節(jié)點1加單位電壓，節(jié)點2、3接地。,從圖中可以看出：,形成導納陣第二列元素Y12，Y22，Y32。應在節(jié)點2加單位電壓，節(jié)點1、3接地。,從圖中可以看出：,形成導納陣第三列元素Y13，Y23，Y33。應在節(jié)點3加單位電壓，節(jié)點1、2接地。,最后，得到該網絡的導納矩陣,推廣到一般情況：,k=i時，上式說明，當網絡中除節(jié)點i以外所有節(jié)點都接地時，從節(jié)點i注入網絡的電流同施加于節(jié)點i的電壓之比，即節(jié)點自導納Yii。節(jié)點i加單位電壓，其它節(jié)點接地時，節(jié)點i向電網注入的電流。自導納Yii是節(jié)點i以外的所有節(jié)點都接地時節(jié)點i對地的總導納。顯然，應等于與節(jié)點i相接的各支路導納之和。,得,則,令,ki時，上式說明，當網絡中除節(jié)點k以外所有節(jié)點都接地時，從節(jié)點i注入網絡的電流同施加于節(jié)點k的電壓之比，即節(jié)點互導納Yik。節(jié)點k加單位電壓，其它節(jié)點接地時，節(jié)點i向電網注入的電流。此時節(jié)點i的電流實際上是自網絡流出并進入地中的電流，所以互導納Yik應等于節(jié)點i，k間的支路導納的負值。,Y以地為參考點的節(jié)點導納矩陣ANxb階節(jié)點支路關聯矩陣MlA的第l個列矢量,按支路掃描，累加每條支路對導納矩陣的貢獻，最后就得到Y矩陣。,對互感支路，應將互感支路組成一組，共同考慮它們對節(jié)點導納矩陣的貢獻。,1.2節(jié)點導納矩陣：導納矩陣的形成,按支路逐條形成：關聯矢量,=,ipjq,1、支路的移去和添加,2、節(jié)點合并,p,q,P,導納矩陣中相應的行列相加，網絡方程降低一階,1.2節(jié)點導納矩陣：導納矩陣的修正,3、節(jié)點消去,消去節(jié)點p，只需對Y陣中和p有支路相連的節(jié)點之間的元素進行修正，其他節(jié)點之間的元素不需要修正。,4、節(jié)點電壓給定的情況,展開得：,5、變壓器變比發(fā)生變化的情況自己思考（略）,6、一條支路導納參數發(fā)生變化的情況自己思考（略）,7、移去和添加帶互感支路的情況,添加一條和原網絡中支路k有互感的連支支路l時，可分兩步進行修正：1）將支路k移出；2）將支路l和k成組追加進去。,1.3電力網絡方程求解方法：高斯消去法,常用方法有高斯消去法和因子表法高斯消去法,設有n階線性方程組a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2.(1)an1x1+an2x2+annxn=bn,或縮記為：AX=B(2),按列消元按行回代的算法,增廣A陣,求解的具體步驟如下：,第一步：按列消去。消去第1列第1行規(guī)格化：,得,消去第1列下三角元素：,則變成一般地，消去第k列：,第k行規(guī)格化：,消去第k列下三角元素：,則變成最后可得：,寫成方程組形式：,它與原方程同解,第二步：按行回代第n行,將結果代入第n-1行，得,一般地，將代入第i個方程，得,例：按列消元按行回代的高斯消去法,由原方程寫出增廣矩陣,第1列規(guī)格化,第1列消去,第2列規(guī)格化,第2列消去,第3列規(guī)格化,第3列消去,第4列規(guī)格化,原方程改寫成：,回代：,設有n階線性方程組a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2.(1)an1x1+an2x2+annxn=bn,或縮記為：AX=B(2)在實際計算中，經常遇到這種情況：對于方程組需要多次求解，每次僅改變其常數項B，而系數矩陣A是不變的。這時，為了提高計算速度，可以利用因子表求解。,1.3電力網絡方程求解方法：因子表法,因子表法的基本概念,因子表可以理解為高斯消去法解線性方程組的過程中對常數項B全部運算的一種記錄表格。高斯消去法分為消去過程和回代過程?；卮^程的運算由對系數矩陣進行消去運算后得到的上三角矩陣元素確定，公式：,為了對常數項進行消去運算（又叫前代過程），還必須記錄消去過程運算所需要的運算因子。,消去過程中的運算又分為規(guī)格化運算和消去運算，以按列消去過程為例，公式：規(guī)格化：（i=1,2,n）,將上式中的運算因子及逐行放在下三角部分，和消去過程得到的上三角矩陣元素合在一起，就得到了因子表。,消去：,(k=1,2,i-1),（ij）,(ji),因子表中下三角部分的元素就是系數矩陣在消去過程中曾用以進行運算的元素，因此只要把它們保留在原來的位置，并把對角元素取倒數就可以得到因子表的下三角部分。而因子表中上三角部分的元素就是系數矩陣在消去過程完成后的結果。,下三角,上三角陣,對角陣,記即,則,因子分解迭代格式：,用因子表法求解線性方程組對于方程組，需要多次求解，每次僅改變其常數項B而系數矩陣A是不變的情況，應首先對其系數矩陣A進行消去運算，形成因子表。有了因子表，就可以對不同的常數項B求解。這時，可以直接應用因子表中的元素。,消去,（i=k+1,n）,回代,例：用因子表法求解下述方程組,解：對照前例，形成因子表,解方程,消去第1列：,規(guī)格化：消去：,得,消去第2列：,規(guī)格化：消去：,得,得,消去第3列：,消去第4列：得：,原方程變?yōu)椋?逐行回代，得：,1、由于電力網絡結構的特點，每個節(jié)點僅與35個節(jié)點相連，因此描述網絡結構的矩陣是稀疏矩陣。n*m的矩陣，非零元個，稀疏度等于/n*m如果系統(tǒng)有N=500個節(jié)點，平均每個節(jié)點與5條支路相連，則稀疏度=5*500/（500*500）=1%2、計算中，我們僅關心一部分的變量：稀疏矢量。3、與稀疏矩陣和稀疏矢量相關的運算中，零元素不參與存儲和計算排零存儲和排零計算,1.4電力網絡求解的稀疏技術：引入原因,特點：排零存儲，即只存儲其中的非零元和有關的檢索信息。,要求：節(jié)省內存方便地檢索和存取考慮網絡結構變化時能方便地對存儲的信息加以修改,稀疏矢量：存儲矢量中的非零元值和相應的下標,稀疏矩陣：考慮稀疏結構和所采用的算法,1.4電力網絡求解的稀疏技術：稀疏存儲,散居格式,常用存儲方式散居格式按行（列）存儲格式三角檢索存儲格式鏈表存儲格式,例：,按行存儲格式,修改后,三角檢索存儲格式,修改后,鏈表存儲格式,修改后,小結,1、稀疏矩陣的因子分解,采用高斯消去法進行計算1）按行規(guī)格化2）消去運算,1.4電力網絡求解的稀疏技術：排零計算,采用三角檢索存儲格式時,例,2、利用稀疏矩陣因子表求解稀疏線性代數方程組,1）前代過程,計算流程,除法運算,回代運算,計算流程,采用三角檢索存儲格式時采用按列存儲格式,例,A圖,有向A圖,賦權有向A圖,A圖：和矩陣A有相同拓撲結構的網絡圖,有向A圖：對給定A圖及節(jié)點編號，規(guī)定邊的正方向由小號節(jié)點指向大號節(jié)點,賦權有向A圖：在有向A圖中，將A的非對角非零元的值賦給互邊，將A的對角元素的值賦給自邊,1、基本定義和術語,1.4電力網絡求解的稀疏技術：基于圖論,因子圖,有向因子圖,賦權有向因子圖,因子圖：和因子表矩陣U有相同拓撲結構的網絡圖,有向因子圖：在因子圖上規(guī)定邊的正方向由小號節(jié)點指向大號節(jié)點形成,賦權有向因子圖：在有向因子圖中，將U的非對角非零元的值賦給互邊，將對角線矩陣D的元素的值賦給自邊,規(guī)格化,在賦權有向A圖上，相當于對于節(jié)點p發(fā)出的所有互邊的邊權加以修正，新的邊權等于原邊權除以節(jié)點p的自邊邊權。,消去運算,對角元修正：在賦權有向A圖上，就是對節(jié)點p發(fā)出的邊的收點上的自邊邊權進行修正。,非對角元修正：在賦權有向A圖上，就是對節(jié)點p發(fā)出的邊的中任取兩邊，其收點所夾的邊的邊權應減少的數量是p點發(fā)出的兩條邊的邊權與p點自邊邊權的乘積。,2、因子分解過程的圖論描述,算法流程,在賦權有向A圖上按節(jié)點號由小到大的順序（例如對節(jié)點p）執(zhí)行下面的操作：,（1）對節(jié)點p發(fā)出的互邊將其邊權除以節(jié)點p的自邊邊權；,（2）對節(jié)點p發(fā)出的互邊的收點，將該點上的自邊邊權減去該互邊邊權平方乘以節(jié)點p的自邊邊權；,（3）對節(jié)點p發(fā)出的所有互邊，這些互邊兩兩之間所夾得互邊邊權應減去兩條相夾邊邊權與節(jié)點p的自邊邊權三者乘積。操作前被節(jié)點對之間無邊的情況應視為有一條零權值邊。,例,節(jié)點1,規(guī)格化,消去,節(jié)點2,規(guī)格化,消去,節(jié)點3,規(guī)格化,消去,3、前代回代過程的圖論描述,計算流程,（1）將獨立矢量b的非零元賦值為賦權有向因子圖上的點位e；,（2）掃描i從1到n-1，從公式,修正節(jié)點i發(fā)出的邊的收端節(jié)點j的點位,（3）對所有節(jié)點，用公式,對點位規(guī)格化,（4）掃描j從n到2，對所有指向節(jié)點j的邊的發(fā)端節(jié)點i，用公式,修正其點位,例：在下面的賦權有向因子圖上進行前代和回代。已知獨立矢量為：,賦權有向因子圖和獨立矢量點位,前代,點位1：為零不用計算,點位2：,點位3：,規(guī)格化,回代,節(jié)點4,節(jié)點3,節(jié)點2,結果,已知：對稱矩陣A的互邊的邊數是b，自邊的邊數是n，有向因子圖上的互邊邊數是。,消去運算的乘法次數：,總乘法次數為,規(guī)格化中的乘法次數：,總乘法次數,1.4電力網絡求解的稀疏技術：計算代價分析,相關概念,稀疏獨立矢量，一個給定的只有少量非零元的獨立矢量。,稀疏解矢量，一個只有少數元素待求的解矢量，其余元素我們不關心,道路樹，在有向因子圖上，從每個節(jié)點發(fā)出的邊中取收點號最小的邊作為樹邊，這樣得到的道路樹。,點的路，在道路樹上該點沿道路樹到樹根所經過的路徑，它是道路樹的一個子集。,點集的路集，是該點集中所有點的路的并集。,1.4電力網絡求解的稀疏技術：稀疏矢量技術,一個例子,(a)有向因子圖,(b)道路樹,(c)點1的路,(d)點集1，4，8的路集,定理1：在有向因子圖上，前代運算只在稀疏矢量中非零元點集的路集上進行,定理2：路集上任一點的前代運算必須在路集上比該點編號小且其道路經過該點的點的前代完成之后才能進行，而路集中分支點以下的幾點路先做哪個沒有關系。,定理3：在有向因子圖上，回代運算只在稀疏解矢量中待解元素的點集的路集上進行,定理4：路集上任一點的回代運算必須在路集上比該點編號大且其道路經過該點的點的回代完成之后才能進行，而路集中分支點以上的幾點路先做哪個沒有關系。,道路集的形成,例1，按行存儲，上三角矩陣中該行第一個非零元的列號,尋找節(jié)點p的道路,尋找點集的路集點集G中點的路集P,計算代價分析,1、注入元素的多少與消去節(jié)點的順序或節(jié)點編號有關,1.4電力網絡求解的稀疏技術：節(jié)點優(yōu)化編號,所謂節(jié)點優(yōu)化編號，就是尋找一種使注入元素數目最少的節(jié)點編號方式。,2、三類節(jié)點編號優(yōu)化方法靜態(tài)按最少出線支路數編號靜態(tài)優(yōu)化法編號之前，首先統(tǒng)計電力網絡各節(jié)點的出線支路數，然后按出線支路數少的節(jié)點順序編號，當有n個節(jié)點的出線支路數相同時，則可以按任意次序對這n個節(jié)點編號。依據：在導納矩陣中，出線支路數最少的節(jié)點所對應得行中非零元素也最少，因此在消去過程中產生注入元素的可能性也最小。缺點：未考慮節(jié)點消去過程中，每消去一個節(jié)點，與該節(jié)點相連的各節(jié)點的出線支路數將發(fā)生變化。,動態(tài)地按最少出線支路數編號半動態(tài)優(yōu)化法針對靜態(tài)優(yōu)化法的缺點，在每消去一個節(jié)點后，立即修正尚未編號節(jié)點的出線支路數，然后選其中出線支路數最少的一個節(jié)點進行編號。缺點：只能使消去過程中出現新支路的可能性減少，但并不一定保證在消去這些節(jié)點時出現的新支路最少。,動態(tài)按增加出線數最少編號動態(tài)優(yōu)化法針對上述缺點，采用按消去節(jié)點后增加出線數最少的原則編號。具體做法：首先，根據星網變換原理，按下式分別統(tǒng)計消去網絡節(jié)點時增加的出線數，選其中增加出線數最少的被消節(jié)點編為第1節(jié)點。,如果與節(jié)點k相連的節(jié)點數為，則網形網絡的支路數為，原有支路數為，則新增支路數,從網絡消去該節(jié)點，相應修改其余節(jié)點的出線數目。然后重復以上過程，一直到編完為止。缺點：工作量大。,例：,靜態(tài)優(yōu)化法統(tǒng)計各節(jié)點出線支路數,F點總是編在C和G之前，故CG兩點之間出現新支路難以避免。,半動態(tài)優(yōu)化法,沒有出現新支路。結論：對于樹形網絡來說，半動態(tài)優(yōu)化法永遠只編出線為1的節(jié)點，因此這種任意性不會影響優(yōu)化結果。,動態(tài)優(yōu)化法,A:1,重復。工作量比半動態(tài)優(yōu)化法大得多，但對于樹形網絡，效果和半動態(tài)優(yōu)化一樣。,E:2,推廣：,小結,1、稀疏技術包括稀疏矩陣技術和稀疏矢量技術，是電網計算中使用最為廣泛的計算技術。,2、稀疏技術的關鍵在于排零存儲和排零計算。稀疏矩陣技術充分開發(fā)網絡矩陣的稀疏結構，減少和稀疏矩陣有關的計算量。稀疏矢量技術充分開發(fā)矢量的稀疏性，在前代回代計算中只進行和稀疏矢量中非零元有關的計算，省略了不必要的計算，以進一步提高求解網絡方程的計算速度。,3、稀疏矩陣技術和稀疏矢量技術可用圖的方法來描述。賦權有向A圖包含了矩陣A的所有信息，賦權有向因子圖包含了矩陣A的因子表矩陣的所有信息。圖上因子分解形象說明了稀疏矩陣技術中排零存儲和排零計算的實質。,4、節(jié)點優(yōu)化編號對稀疏技術性能的提高至關重要。半動態(tài)節(jié)點優(yōu)化編號簡單有效，得到最為廣泛的應用，可大大減少因子分解過程中注入元的數量。,在對大規(guī)?；ヂ撾娏ο到y(tǒng)進行統(tǒng)一分析時，分塊計算是一種提高計算速度的有效處理手段。電力系統(tǒng)本身所具有的分層分區(qū)結構也特別適合分塊計算的應用。,根據協(xié)調變量的不同，網絡分塊計算主要分為兩類：支路切割法：通過切割原網絡中的某些支路把原網絡分解；節(jié)點撕裂法：將原網絡的部分節(jié)點撕裂開，將網絡分解,1.5大型電力網絡的分塊計算,1、節(jié)點分裂法,在該網絡中選擇部分節(jié)點，把這些節(jié)點撕裂，則把原網絡可以分解成幾個小的獨立子網絡，這些節(jié)點稱為分裂點，用下標t表示。,1.5大型電力網絡的分塊計算：節(jié)點分裂法,若分裂點電壓已知，則每個子網絡的節(jié)點電壓可以用下式計算：,求分裂點電壓,消去個子網絡所對應的網絡，只保留分裂點t相對應的部分，有,分裂節(jié)點的電壓帶有各子系統(tǒng)相互之間的協(xié)調信息，也稱協(xié)調變量。,節(jié)點分裂法的物理解釋,計算分裂點的等值導納矩陣,等值導納亦可如下表示,計算節(jié)點等值注入電流,綜上所述，等值后網絡如下圖所示,計算分裂節(jié)點電壓,分別計算兩個子網