（江蘇專用）2020版高考數(shù)學復習第八章立體幾何8.3直線、平面垂直的判定與性質教案.docx

8.3直線、平面垂直的判定與性質考情考向分析直線、平面垂直的判定及其性質是高考中的重點考查內容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應用等內容題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的推理論證能力，廣泛應用轉化與化歸的思想1直線與平面垂直(1)定義如果直線a與平面內的任意一條直線都垂直，則直線a與平面互相垂直，記作a，直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面垂線和平面的交點即為垂足(2)判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面l性質定理如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行ab2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0的角(2)范圍：.3平面與平面垂直(1)二面角的有關概念二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定義如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直(3)平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直性質定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面l概念方法微思考1若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面嗎？提示垂直若兩平行線中的一條垂直于一個平面，那么在平面內可以找到兩條相交直線與該直線垂直，根據(jù)異面直線所成的角，可以得出兩平行直線中的另一條也與平面內的那兩條直線成90的角，即垂直于平面內的這兩條相交直線，所以垂直于這個平面2兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面嗎？提示垂直在兩個相交平面內分別作與第三個平面交線垂直的直線，則這兩條直線都垂直于第三個平面，那么這兩條直線互相平行由線面平行的性質定理可知，這兩個相交平面的交線與這兩條垂線平行，所以該交線垂直于第三個平面題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)直線l與平面內的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)直線a，b，則ab.()(3)若，a，則a.()(4)若直線a平面，直線b，則直線a與b垂直()(5)若平面內的一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線，則.()題組二教材改編2P43練習T2下列命題中正確的是_(填序號)如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面；如果平面平面，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面內所有直線都垂直于平面.答案解析對于，若平面平面，則平面內的直線可能不垂直于平面，即與平面的關系還可以是斜交、平行或在平面內，其他命題均是正確的3P45T11在三棱錐PABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PAPBPC，則點O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如圖1，連結OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O為ABC的外心(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG為ABC邊AB上的高同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心題組三易錯自糾4若l，m為兩條不同的直線，為平面，且l，則“m”是“ml”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，則m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要條件5.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關系是_答案垂直解析因為DD1平面ABCD，所以ACDD1，又因為ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因為OM平面BDD1B1，所以OMAC.設正方體的棱長為2，則OM，MN，ON，所以OM2MN2ON2，所以OMMN.6如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上不同于A，B的任一點，則圖中直角三角形的個數(shù)為_答案4解析因為AB是圓O的直徑，所以ACBC，ACB是直角三角形；由PA平面ABC可得，PAAB，PAAC，所以PAB與PAC是直角三角形；因為PA平面ABC，且BC平面ABC，所以PABC.又BCAC，PAACA，所以BC平面PAC.而PC平面PAC，所以BCPC，PCB是直角三角形故直角三角形的個數(shù)為4.題型一直線與平面垂直的判定與性質例1如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中點，F(xiàn)是CC1上一點當CF2時，證明：B1F平面ADF.證明因為ABAC，D是BC的中點，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因為BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因為BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1，所以AD平面B1BCC1.因為B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.方法一在矩形B1BCC1中，因為C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90，所以B1FFD.因為ADFDD，AD，F(xiàn)D平面ADF，所以B1F平面ADF.方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，所以B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，所以DF.顯然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90.所以B1FFD.因為ADFDD，AD，F(xiàn)D平面ADF，所以B1F平面ADF.思維升華證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明線面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性；面面垂直的性質(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質跟蹤訓練1如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內，因為ABAD，EFAD，則ABEF.又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因為AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC，所以ADAC.題型二平面與平面垂直的判定與性質例2如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，AP平面PCD，E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點(1)求證：平面PAD平面ABCD；(2)求證：EF平面PAD.證明(1)因為AP平面PCD，CD平面PCD，所以APCD.又四邊形ABCD為矩形，所以ADCD，又因為APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又因為CD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.(2)連結AC，BD交于點O，連結OE，OF.因為四邊形ABCD為矩形，所以O為AC的中點因為E為PC的中點，所以OEPA.因為OE平面PAD，PA平面PAD，所以OE平面PAD.同理可證OF平面PAD.因為OEOFO，OB，OF平面OEF，所以平面OEF平面PAD.因為EF平面OEF，所以EF平面PAD.思維升華 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直跟蹤訓練2(2018南京、鹽城模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分別是AB，AC的中點(1)求證：B1C1平面A1DE；(2)求證：平面A1DE平面ACC1A1.證明(1)因為D，E分別是AB，AC的中點，所以DEBC.又因為在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE.又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE.又BCAC，DEBC，所以DEAC.又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1，又因為DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1.題型三垂直關系中的探索性問題例3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求證：C1E平面ADF；(2)設點M在棱BB1上，當BM為何值時，平面CAM平面ADF.(1)證明連結CE交AD于O，連結OF.因為CE，AD為ABC的中線，則O為ABC的重心，故，故OFC1E，因為OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)解當BM1時，平面CAM平面ADF.證明如下：因為ABAC，AD平面ABC，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，又CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，F(xiàn)C2，故RtCBMRtFCD.易證CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.思維升華對命題條件的探索的三種途徑途徑一：先猜后證途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性途徑三：將幾何問題轉化為代數(shù)問題跟蹤訓練3如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.(1)求證：平面CFG平面ACE；(2)在AC上是否存在一點H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的長，若不存在，請說明理由(1)證明連結BD交AC于點O，則BDAC.設AB，AD的中點分別為M，N，連結MN，則MNBD，連結FM，GN，則FMGN，且FMGN，所以四邊形FMNG為平行四邊形，所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC.由于AE平面ABCD，所以AEBD.所以FGAE，又因為ACAEA，AC，AE平面ACE，所以FG平面ACE.又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.(2)解存在設平面ACE交FG于Q，則Q為FG的中點，連結EQ，CQ，取CO的中點H，連結EH，由已知易知，平面EFG平面ABCD，又平面ACE平面EFGEQ，平面ACE平面ABCDAC，所以CHEQ，又CHEQ，所以四邊形EQCH為平行四邊形，所以EHCQ，又CQ平面CFG，EH平面CFG，所以EH平面CFG，所以在AC上存在一點H，使得EH平面CFG，且CH.1已知兩條異面直線平行于一平面，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個平面與這條直線的位置關系是_(填序號)平行；垂直；斜交；不能確定答案解析設a，b為異面直線，a平面，b平面，直線la，lb.過a作平面a，則aa，la.同理過b作平面b，則lb.a，b異面，a與b相交，l.2設l，m表示直線，m是平面內的一條直線，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由線面垂直的定義知，直線垂直于平面內至少兩條相交直線，則直線與平面垂直，只平行于平面內一條直線說明充分性不成立，反之，直線垂直于平面，則直線垂直于平面內任意一條直線，說明是必要條件，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的必要不充分條件3已知平面，直線m，n.給出下列命題：若，n，mn，則m；若n，n，m，則m；若m，n，mn，則；若，m，n，則mn.其中，真命題是_(填序號)答案解析對于，當m時，才能保證m，不對；對于，由m，n，得mn，又n，所以m，對；都對4設m，n是兩條不同的直線，是三個不重合的平面，給出下列四個命題：若，m，則m；若，m，則m；若m，m，則；若mn，n，則m.其中正確的命題是_(填序號)答案解析易知正確；可能有m，m，m與相交等情況，故不正確；正確；可以有m或m，故不正確5設，是空間兩個不同的平面，m，n是平面及外的兩條不同直線從“mn；n；m”中選取三個作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題：_.(用序號表示)答案(或)解析逐一判斷若成立，則m與的位置關系不確定，故錯誤；同理也錯誤；與均正確6.如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個數(shù)為_答案4解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，從而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形7.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線_上答案AB解析ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上8.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認為正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析PA底面ABCD，BDPA，連結AC，則BDAC，且PAACA，BD平面PAC，BDPC.當DMPC(或BMPC)時，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.9如圖所示的五個正方體中，l是正方體的一條體對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出l平面MNP的是_(填序號)答案解析圖中，只有MPl；圖中，l與MN，PN，MP均不垂直；圖中l(wèi)與NP，MP不垂直10.如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上點P到直線CC1的距離的最小值為_答案解析點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設點P在平面ABCD上的射影為P，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為PC的長度的最小值當PCDE時，PC的長度最小，此時PC.11(2018江蘇南京師大附中考前模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：ABEF；(2)若AFEF，求證：平面PAD平面ABCD.證明(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因為AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以ABAD.因為AFEF，(1)中已證ABEF，所以ABAF.又ABAD，由點E在棱PC上(異于點C)，所以點F異于點D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.12.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PNPB.(1)證明：MN平面PDC；(2)求直線MN與平面PAC所成角的正弦值(1)證明因為ABBC，ADCD，所以BD垂直平分線段AC.又ADC120，所以MDAD，AM.所以AC.又ABBC，所以ABC是等邊三角形，所以BM，所以3，又因為PNPB，所以3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直線MN與平面PAC所成的角即直線PD與平面PAC所成的角，故DPM即為所求的角在RtPAD中，PD2，所以sinDPM，所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為.13在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，給出下面三個結論：BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面ABC.其中不成立的結論是_(填序號)答案解析如圖，由題意知BCDF，又BC平面PDF，DF平面PDF，BC平面PDF.PABC為正四面體，BCPE，AEBC，又AEPEE，BC平面PAE，DF平面PAE，平面PAE平面ABC，成立易知PMA為二面角PDFA的平面角設此正四面體的棱長為1，則PA1，AM，PM2PD2DM222，PA2AM2PM2，即PMA不為90，平面PDF與平面ABC不垂直，故不成立14.如圖，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結論：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正確結論的序號是_答案解析由題意知P