人教高中數(shù)學必修四1.2任意角的三角函數(shù)教案

任意角的三角函數(shù)教案1、 教材分析 “任意角的三角函數(shù)”是人民教育出版社（A版）普通高中標準實驗教科書數(shù)學必修4第一章第二節(jié)的內(nèi)容，是第一章“任意角和弧度制”的后繼內(nèi)容。1、主要教學內(nèi)容：2、教材的地位與作用：“任意角的三角函數(shù)”是高中數(shù)學十分重要的內(nèi)容，本節(jié)是三角函數(shù)第一章第二節(jié)第一課時，主要學習任意三角函數(shù)的定義，它是這一章也是整個三角函數(shù)部分的重要基礎(chǔ)知識，在教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)上起到一個承上啟下的作用，對三角函數(shù)的整體學習也至關(guān)重要。同時它又為平面向量、解析幾何等內(nèi)容的學習作必要的準備。最后對任意角的三角函數(shù)的探究過程中，使學生經(jīng)歷了觀察、歸納、推理、交流、反思等理性思維過程，培養(yǎng)了學生的思維方式，提高了他們探究問題、分析問題、解決問題的能力，幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念，為以后的學習奠定了扎實的基礎(chǔ)。所以這個內(nèi)容要認真探討教材，精心設計過程。二、學情分析1、知識基礎(chǔ)：在初中時，學生已經(jīng)學了“銳角三角函數(shù)”為本節(jié)理解三角函數(shù)的幾何意義有幫助，以及在本章第一節(jié)“任意角與弧度制”的內(nèi)容中學生用坐標不僅找出來任意角與象限角，而且還了解了它們的含義與性質(zhì)，對角的范圍和表示方法有所了解，學習了弧度制，學生能夠把以前所學過的角度都在弧度制下表示出來。2、能力基礎(chǔ)：高一學生已初步具有抽象邏輯思維能力，相對于初中學生來說已經(jīng)相對成熟，能在教師的引導下獨立的解決問題。3、習慣情況：班級學生基礎(chǔ)知識較扎實、思維較活躍，能較好的應用數(shù)形結(jié)合解決問題，但處理抽象問題的能力還有待進一步提高。三、教學重難點1、重點：任意角三角函數(shù)的定義及分別在各個象限的符號判斷法；終邊相同角的誘導公式（一）；2、難點：從函數(shù)角度理解以實數(shù)為自變量的任意角的三角函數(shù)，以及單位圓、有向線段的應用。四、教學目標1、知識與技能目標：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義：能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示銳角三角函數(shù)；能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示任意角的三角函數(shù)；知道三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集（角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合）到另一個實數(shù)集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構(gòu)成的集合）的對應關(guān)系，正弦、余弦和正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)2、滲透數(shù)學的思想方法：學生的積極參與，親身經(jīng)歷，通過觀察，利用幾何畫板讓同同學們進一步理解任意角在坐標系中的幾何樣貌，體驗坐標的優(yōu)越性，數(shù)形結(jié)合思想的運用；老師引導學生回憶初中銳角三角函數(shù)的知識內(nèi)容，提出猜想，運用幾何畫板，驗證任意角的幾何性質(zhì)，提出單位圓的思想，感受計算機科技工具的快捷方便性，培養(yǎng)學生利用多媒體解決問題的方法；推導任意角的三角函數(shù)的過程類似于數(shù)學建模的過程，它貫穿了解析幾何的始終，通過適當?shù)慕⒆鴺讼蹬c構(gòu)造單位圓的方法，回憶以往三角函數(shù)的性質(zhì)帶入坐標系中，讓學生有一種回憶舊知的習慣?？偨Y(jié)規(guī)律，掌握方法，為后面三角函數(shù)的誘導公式等學習提供示范。3、情感態(tài)度與價值觀： 通過培養(yǎng)學生主動探究、合作交流的過程，加強了學生團隊協(xié)作意識，感受探索的樂趣和成功的喜悅；養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度和鍥而不舍的精神；激發(fā)學生的學習興趣、增強數(shù)學應用和創(chuàng)新意識，體會數(shù)學的美感，認識數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值；應用多媒體、幾何畫板等教學，提高學生的活躍性，讓知識具有科學依據(jù)。五、教學教法1、教法：數(shù)學是集抽象與實踐為一體的重要學科，因此在教學過程中，不僅要使學生“知其然”還要使學生“知其所以然”?？紤]到學生的現(xiàn)狀，主要采取“溫故知新，逐步拓展”的形式讓學生真正參與到教學，在學習中，得到體驗。通過復習銳角三角函數(shù)的定義結(jié)合前面角的概念的推廣提出問題：如何修正三角函數(shù)的定義？進一步擴展所學內(nèi)容，發(fā)展新知識，從而激起學生探求新知的欲望，調(diào)動學生參與學習的積極性。教學中運用多媒體工具提高直觀性增強趣味性，并注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，使學生在學習活動自主探索、動手實踐、合作交流，教師發(fā)揮引導者、合作者的作用，引導學生主動參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程、 收獲成果。主要以“教師主導、學生主體”的原則，采用 “啟發(fā)、引導發(fā)現(xiàn)式”教學方法組織教學。2、學法：在教學過程中，要充分調(diào)動學生的積極性和主動性，讓學生從機械的“學答”向“學問”轉(zhuǎn)變，從“學會”向“會學”轉(zhuǎn)變，成為真正的學習的主人。這節(jié)課在指導學生的學習方法和培養(yǎng)學生的學習能力方面主要采取以下方法：分析歸納法、自主探究法、總結(jié)反思法。同時學生具備一定的自學能力，教學中通過學生對已掌握的知識進行拓展,既培養(yǎng)學生從現(xiàn)有知識探索新知識的能力,又提高了學生解決問題的數(shù)學思想與數(shù)學意識。六、教學準備1、常規(guī)媒體（黑板）；3、“幾何畫板”、ppt課件制作。（為了加強學生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點坐標的關(guān)系，構(gòu)建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數(shù)形結(jié)合地進行思維。）7、 教學程序1、設立情景、引入課題A、提問形式：上節(jié)課已經(jīng)學習了角的推廣，我們推廣到了任意角，那么任意角給你留下印象最深的是什么？（預測答案：1、一個角可以表示出無數(shù)個角補充：這些角就是在直角坐標系中與它終邊相同的角，也就是相差360度整數(shù)倍是吧；2、角度可以是正角、負角、零角；3、能夠用角度表示它對應的弧長補充：那么這個就是用弧度制來度量是吧，這樣一個角就可以弧度數(shù)來表示它4、如果把角放在直角坐標系中，當它終邊一圈一圈轉(zhuǎn)時，可以看見一種周而復始的現(xiàn)象演示幾何畫板：以原點為頂點，x軸非負半軸為始點，繞著頂點轉(zhuǎn)動，角周而復始的現(xiàn)象，補充：其實最關(guān)鍵的是這個角是由旋轉(zhuǎn)生成的）（圓周運動時生活一個非常重要的運動，函數(shù)是數(shù)學當中用來刻畫客觀世界變化規(guī)律的一個數(shù)學模型，那就產(chǎn)生了這樣一個問題：任意角的這種圓周運動應該用什么樣的函數(shù)來刻畫它呢？）2、 啟發(fā)誘導，探索新知A、 【啟發(fā)誘導】：在初中我們已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。上節(jié)課老師給大家布置了一個課后作業(yè)就是去復習銳角三角函數(shù)的定義，初中學的三角函數(shù)是在什么圖形中定義的？（直角三角形），那么現(xiàn)在我們的角放在直角坐標系里面，我們要定義三角函數(shù)是不是同樣需要一個直角三角形？B、 【學生探索】：現(xiàn)在同學們結(jié)合所學的知識在紙上用直角坐標系來表示出銳角三角函數(shù)，老師等一下要抽同學來展示自己的成果。（抽同學將成果貼在黑板上，并講解自己的思路。）（總結(jié)補充：設銳角的頂點與原點O重合，始邊以x軸的非負半軸重合，那么它的終邊在第一象限，在的終邊上任取一點P(x,y),它與原點的距離，根據(jù)初中學過的三角函數(shù)我們有：。）（1） 銳角三角函數(shù)定義：A、【老師啟發(fā)】：【問題1】這個就是銳角三角函數(shù)，它反映的是直角三角形中邊角的關(guān)系，那么銳角三角函數(shù)它是不是真的函數(shù)呢？從高中函數(shù)定義這個角度你能不能解釋一下呢？（預測回答1：是函數(shù)，因為每一個y都有唯一的x與之對應（那這就涉及到一個問題了：這里自變量是（）誰是函數(shù)值呢（y）（預測學生糾正：函數(shù)值應該是）【問題2】那么按照高中函數(shù)的定義你怎么來解釋它就是函數(shù)？（預測答案2：y取一個值時都有唯一的與之對應）（預測學生糾正：應該是取定一個值，有唯一的與它對應的）B、【老師總結(jié)】：（那么只要滿足這樣一個關(guān)系就是一個函數(shù)是吧，于是同理）(2)、單位圓思想： A、【老師啟發(fā)】：（任取，這個比值是唯一確定，那這個比值是不是和P點的位置有關(guān)呢（是的）這個比值是隨著P點的變化而變化嗎？那我角給定的情況下會不會改變它的比值呢？（不會），為什么（因為角給定了，sin()是定的所有比值是不變的）（幾何畫板播放）當角給定時，P在終邊上運動，坐標變化，但是比值不變，這是為什么呢？依據(jù)是什么（相似），所以有了相似的比可以保證我們的這個比值并不是隨著終邊上點的位置變化而變化的，只要角給定了這個比值也是給定了的。既然 這個比值與點在終邊上的位置無關(guān)，那這個點可以在終邊上位置隨意取吧（可以），那么一般我們?nèi)∈裁吹胤奖容^好呢（r=1），那r=1時有什么好處？是不是直接可以寫出： 那么此時x、y對應的幾何含義是什么？如果把x、y看成一個點P(x,y)這個點是一個怎樣的點？ B、【老師總結(jié)】：P(x,y)是單位圓與角終邊的交點。當角是銳角時，就可以得到一個結(jié)論 ,找到了這個邊和角的關(guān)系。（3）、利用單位圓與銳角三角函數(shù)的定義，定義任意角的三角函數(shù)： A、【老師引導】：而且我們發(fā)現(xiàn)當是銳角的時候，就是一個函數(shù)，是以角為自變量，y為函數(shù)值得一個函數(shù)，那我們能不能用它來刻畫整個圓周運動呢？剛才呢角是銳角的時候，我們找到了這些量之間的關(guān)系，那如果這個角是鈍角呢？這個關(guān)系還有沒有呢？（幾何畫板）我把它變?yōu)殁g角，大家發(fā)現(xiàn)鈍角現(xiàn)在不好放在直角三角形中了，但是給你一個角是不是依然有一個x、y與它對應??？（是），那如果我把它變成第三象限角，是不是仍然有個x、y與它對應??？（是），也就是無論角怎么改變，那么就有一個結(jié)論，任給一個角都有一唯一的x、y與它對應是吧（是），利用之前銳角三角函數(shù)的定義，那同樣我們也可以說明，就把這個y叫做的正弦，x就叫它的余弦： 那么這三個以角為自變量，以坐標或者坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們就把它稱作是任意角的三角函數(shù)。 那么從函數(shù)的角度分析一下，函數(shù)應該有個三要素，那這些函數(shù)的定義域是什么呢？ （預測答案：因為它是任意角，所有它的定義域應該是）也就是實數(shù)R。 那（是個比值，所有0）那也就是說對點P的位置有要求是吧（OP不能與x軸垂直）也就是角不能落在y軸上，那么對角也應該是有條件的，可以看出，當=時，的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標x等于0，所以tan=無意義。 B、【 老師總結(jié)】： 對于確定的，上述三個值都是唯一確定的，所以正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，所以我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)。 3、隨堂練習，鞏固新知例1（1）、任給一個角，“口算”它的三角函數(shù)值：(配合幾何畫板解決問題)（2）如果角的正弦值為sin=-1,你能寫出其中的一個角嗎？（270度，應為sin=y=-1就是單位圓與Y軸的交點在y軸的負半軸上，所以點p的坐標為（-1、0）所以角的終邊是y軸的負半軸，=270度） 推廣：其實還有沒有?。ㄓ校┖芏嗪芏?，能不能表示??？ 就是=（那為什么他們的正弦值都為-1呢，（因為他們的終邊都相同，都是y軸的負半軸）那對于任意的角，只要與它終邊相同的角的正弦值都相同嗎？（幾何畫板演示），我們就可以表示為：，那么對于余弦值，正切值也一樣嗎（幾何畫板演示）。總結(jié)結(jié)論：由三角函數(shù)定義，可以知道終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等（由公式一可知，三角函數(shù)值有“周而復始”變化規(guī)律，即角的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復出現(xiàn)，所以利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到2（或0360度）角的三角函數(shù)值。）探究（p13）符號判定，形象記憶 那么剛剛所給的角都是特殊的角，如果我任取一個角，如391.11度，那這個角有些特點還是可以把握的，比如說，這個角終邊現(xiàn)在這里，那么這個角的正弦值、余弦值、正切值的符號你能確定嗎？根據(jù)什么來確定呢？（象限）為什么根據(jù)象限就可以判定它的符號呢？假設這個點在第一象限呢？（預測答案：因為在第一象限，x、y的值都是正的，于是比值也是正的，而：，所以這個角的正弦、余弦、正切值也都是正的）其實根據(jù)坐標的符號就可以斷定三角函數(shù)值得符號有沒有道理啊？（有）那么總結(jié)不同象限的函數(shù)值，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：yxyxyx（同好得正、異號得負）sin= y/r：上正下負橫為0 cos=x/r：左負右正縱為0 tan=y/x：交叉正負其實,任何一門學科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記”之后會“活用”。不記住那些基礎(chǔ)知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學科涉獵的范圍很廣,要真正提高學生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從基礎(chǔ)知識抓起,每天擠一點時間讓學生“死記”名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的功效。說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。（設計意圖：判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求. 要引導學生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結(jié)出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關(guān)鍵. ）現(xiàn)在我們就應用這個道理大家算算看：變式練習： 例2、不求值你是否能判斷下列三角函數(shù)值的符號？例3、已知角的終邊過點，求的正弦、余弦、正切值？（幾何畫板）（因為r=1所以可以看做是單位圓與的終邊的交點那么）（那么通過剛才的這些例題，就是為了鞏固三角函數(shù)定義的認識）4、 形成測試，評價回授思考題：一個質(zhì)點從點（1、0）出發(fā)，在單位圓上按逆時針方向作勻速圓周運動，若經(jīng)過弧長為x，試用x表示質(zhì)點所在位置P點的坐標。（配合幾何畫板質(zhì)點運動講解）（這樣來看，三角函數(shù)確實能夠很好的表示圓周運動是吧）課堂練習（p15題3）填表：角（角度）090180270360角（弧度）sincos“教書先生”恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學堂，“教書先生”那一行當怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生”概念并非源于教書，最初出現(xiàn)的“先生”一詞也并非有傳授知識那般的含義。孟子中的“先生何為出此言也？”；論語中的“有酒食，先生饌”；國策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”為父兄或有學問、有德行的長輩。其實國策中本身就有“先生長者，有德之稱”的說法?？梢姟跋壬敝夥钦嬲摹敖處煛敝?，倒是與當今“先生”的稱呼更接近?？磥恚跋壬敝驹春x在于禮貌和尊稱，并非具學問者的專稱。稱“老師”為“先生”的記載，首見于禮記?曲禮，有“從于先生，不越禮而與人言”，其中之“先生”意為“年長、資深之傳授知識者”，與教師、老師之意基本一致。其實,任何一門學科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記”之后會“活用”。不記住那些基礎(chǔ)知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學科涉獵的范圍很廣,要真正提高學生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從基礎(chǔ)知識抓起,每天擠一點時間讓學生“死記”名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的功效。tan處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義。強調(diào)：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、/2 、3/2 等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值。 （設計意圖：及時安排自學例題、自做教材練習題，一般性與特殊性相結(jié)合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養(yǎng)學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學始終。）5、小結(jié) （1）利用單位圓定義三角函數(shù)的定義： 銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關(guān)系，進而利用單位圓上點的坐標或坐標的比值來表示圓心角的三角函數(shù)你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？師生活動：在學生給出定義之后