人教版九年級數學第22章二次函數22.2二次函數與一元二次方程講義

合作探究探究點1（高頻考點）二次函數與一元二次方程的關系情景激疑校運會上，某運動員擲鉛球，鉛球的高與水平距離之間的函數關系式為，則此運動員的成績是多少？知識講解一元二次方程的根的情況和二次函數的圖像與軸的交點個數之間的關系是相互的，根據根的情況可以判斷交點個數，反之也成立，下表是二次函數圖像與軸的位置關系與一元二次方程根的情況之間的聯系。拋物線與軸公共點的個數（）一元二次方程的根的情況（）0有兩個有兩個不相等實數根=0有一個有兩個相等數根0沒有公共點沒有實數根典例剖析例1 已知拋物線與軸沒有交點。（1） 求的取值范圍；（2） 試確定直線經過的象限，并說明理由。解析 拋物線與軸的交點個數由確定。答案 （1）拋物線與軸沒有交點，0，即0，解得。（3） 0，直線經過第一、二、三象限。規(guī)律總結拋物線與軸交點個數的問題，也就是探究一元二次方程的根的情況，可由的符號構造方程或不等式，求解即可。類題突破1 二次函數的圖象與軸的交點個數是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3答案 B點撥 ，二次函數的圖象與軸的交點個數為1。類題突破2 拋物線與軸交點的個數為（ ）A.2 B.1 C.0 D.與有關答案 A點撥 0，故拋物線與軸有兩個交點，故選A。類題突破3 拋物線與軸的交點坐標為（1,0），（3,0），則方程的解為 。答案 類題突破4 已知函數的圖象與軸有交點，則的取值范圍是（ ）A. 4 B.4 C.4且3 D.4且3答案 B點撥 當-3=0即=3時，此函數為一次函數，它的圖象與軸有交點；當-30即3時，此函數為二次函數，因為它的圖象與軸有交點；則0，解得4。綜上，的取值范圍是4，故答案為B。探究點2 利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根知識講解利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根。（1） 先畫出函數的圖象；（2） 方法一：通過圖象觀察求一元二次方程的根； 方法二：通過取平均數的方法不斷縮小根所在的范圍，求得一元二次方程的近似根。典例剖析例2 利用二次函數的圖象求的近似解（精確到0.1）。解析 畫出函數的圖象，由圖象與軸的交點的位置確定兩根的取值范圍，再利用計算器求得近似解。答案 列表：-3-2-1012345-52710111072-5描點連線如下圖。由圖象可知方程有兩個根，一個根在3與2之間一個根在4與5之間。先求3與2之間的根，利用計算器進行探索：2.42.32.22.10.560.110.761.39因此，=2.3是方程的一個近似根，另一個根可以類似地求出：4.14.24.34.41.390.760.110.56因此，=4.3是方程的另一個近似根。規(guī)律方法根據二次函數的圖象與軸交點的橫坐即為方程的解，所以可以利用函數的圖象，觀察圖象與軸的交點，從而求得方程的解，這一方法充分體現了數形結合的思想，在利用函數圖象解一元二次方程時，函數圖象盡可能地畫準確，由于作圖和觀察的誤差，因此，求出的解都是近似解，為使結果更精確，可以通過取平均數的方法不斷縮小根的取值范圍，多次重復后，根所在范圍的兩端的值就越接近根的近似值。類題突破5 畫出函數的圖象，求方程的近似解。（精確到0.1）答案 畫二次函數的圖象，如下圖，由圖象可知方程有兩個根，一個在2和1之間，另一個在0和1之間。先求2和1之間的根，利用計算器探索如下：1.11.21.31.41.51.61.70.890.760.610.440.250.040.19故這個根在1.6和1.7之間，且接近于1.6.故=1.6是方程的一個近似根.再求在0和1之間的根，探索如下：0.10.20.30.40.50.60.70.890.760.610.440.250.040.19故其另一個根是=0.6.點撥 根據函數與方程的關系，可得函數圖象與軸的交點的橫坐標就是相應的方程的解。類題突破6 如下圖，是二次函數的圖象，那么一元二次方程有兩個根，其中一個根在 和 之間，另一個根在 和 之間。答案 1 0 2 3重點難點重難點1 二次函數與一元二次方程的關系對于二次函數，當時，就化為一元二次方程。因此，當拋物線與軸相交時，交點的橫坐標就是一元二次方程的根。當拋物線與軸有兩個交點時，一元二次方程有兩個不相符的實數根，此時0；當拋物線與軸有一個交點時，一元二次方程有兩個相等的實數根，此時=0；當拋物線與軸沒有交點時，一元二次方程沒有實數根，此時0.反之也成立。例1 已知二次函數.（1） 該函數圖象與軸有幾個交點？（2） 試說明一元二次方程的根與二次函數的圖象之間的關系；（3） 試問為何值時，函數的值為1？解析 （1）可利用一元二次方程求解.（2）拋物線與直線的交點的橫坐標，就是一元二次方程的實數根.（3）解，或利用函數圖象求解。答案 （1）對于二次函數，令，則有.而0，所以該函數圖象與軸有兩個交點。（2）一元二次方程的根，可以看作二次函數在的值為7時的的值。（3） 直接解方程，解得.方法提示拋物線與軸交點的個數可通過相應一元二次方程解的個數來判斷，也可以利用與0的大小關系來判斷。類題突破1 二次函數的部分如圖所示，則關于的一元二次方程的一個解是，另一個解（ ）A.1 B.1 C.2 D.0答案 B點撥 由于拋物線的對稱軸是=2，關于的一元二次方程的一個解是，即拋物線與軸的交點坐標是（5,0），根據拋物線的對稱性，拋物線與軸的另一個交點坐標為（1,0），所以方程的另一個解是，故答案為B.類題突破2 拋物線如圖所示，則=0的解為 ，0的解為 。答案 -2或-6-2或6點撥 =0的解為圖象與軸交點的橫坐標，0的解為在軸上方的圖象所對應的自變量的取值范圍.例2 求拋物線與直線的交點坐標.解析 聯立兩方程，解方程組，求拋物線與直線的交點就是求解析式組成的方程組的解。答案 要求交點坐標可把與組成方程組，解之得，所以交點坐標為（0,1），（4,5）.類題突破3 已知拋物線如圖所示，則關于的方程8=0的根的情況是（ ）A. 有兩個不相等的正實數根B. 有兩個異號實數根C. 有兩個相等的實數根D. 沒有實數根答案 C點撥 拋物線的頂點的縱坐標為8，將拋物線向下平移8個單位長度為拋物線8，此時拋物線8與軸只有一個交點，此時方程有兩個相等的實數根。類題突破4 若，（）是方程（）（）=1（）的兩個根，則實數，的大小關系為（ ）A. B.C. D.答案 C點撥 畫出拋物線與直線，兩圖象的交點的橫坐標就是方程=1的兩個根，即，而，是二次函數的圖象與軸的兩個交點的橫坐標，由圖象知 .重難點2 求一元二次方程的近似解求一元二次方程的近似解有以下幾種常用的方法：（1） 直接畫出函數（）的圖象，則圖象與軸交點的橫坐標就是方程的近似解；（2） 先將方程變形為，再分別畫拋物線（）和直線，則兩圖象的交點的橫坐標就是方程的近似解；（3） 先將方程變形為，再分別畫拋物線和直線，則兩圖象的交點的橫坐標就是方程的近似解。例3 利用二次函數圖象求一元二次方程的解。解析 根據由函數圖象求方程的根的步驟求解。答案 解法一：畫出函數的圖象。如圖（1）所示，觀察圖象知拋物線與軸的兩個交點是（-1,0）和（3,0）原方程的解為=-1，=3.解法二：畫出函數的圖象及直線，如圖（2）所示，觀察兩圖象的交點A，B的橫坐標分別為-1,3.原方程的解為=-1，=3.解法三：畫出函數和的圖象，如圖（3）所示，觀察兩圖象的交點C，D的橫坐標分別為-1,3.原方程的解為=-1，=3.圖（1） 圖（2） 圖（3）類題突破5 利用圖象法解方程.答案 在同一直角坐標系中畫出函數和的圖象，如圖所示，觀察圖象的交點可知坐標為（-3,12）和（2,2）,所以此方程的解為=2，=-3.點撥 函數與的圖象的交點的橫坐標即為方程的解。易錯指導易錯點1 利用根的判別式時考慮不全面例1 已知二次函數的圖象與軸有交點，求的取值范圍。錯解 二次函數的圖象與軸有交點，0，且，且。錯因分析 本題根據二次函數的圖象與軸有交點只得到0而忽略了=0的情況導致出錯。正解 二次函數的圖象與軸有交點，0，且，且。糾錯心得 要注意拋物線與軸有交點時包括兩種情況：一個交點和兩個交點，故需0.易錯點2 二次函數與一元二次方程解的估值問題例2 已知二次函數中，函數與自變量的部分對應值如表，則方程=0的一個解的范圍是（ ）6.176.186.196.20-0.03-0.