【高考輔導(dǎo)資料】物理奧賽輔導(dǎo)：第17講_量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

第17章量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)量子力學(xué)是研究微觀粒子（如電子，原子和分子等）運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科量子力學(xué)的建立經(jīng)歷了由經(jīng)典物理學(xué)到舊量子論，再由舊量子論到量子力學(xué)兩個(gè)歷史發(fā)展階段。微觀粒子運(yùn)動(dòng)的特征1 、幾個(gè)代表性的實(shí)驗(yàn) 經(jīng)典物理學(xué)發(fā)展到19世紀(jì)末，在理論上已相當(dāng)完善，對(duì)當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)的各種物理現(xiàn)象都能加以理論上的說(shuō)明。它們主要由牛頓的經(jīng)典力學(xué)，麥克斯韋的電、磁和光的電磁波理論，玻耳茲曼和吉布斯等建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)組成。19世紀(jì)末，人們通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了一些新的現(xiàn)象，它們無(wú)法用經(jīng)典物理學(xué)解釋，這些具有代表性的實(shí)驗(yàn)有以下3個(gè)。（1）黑體輻射黑體是指能全部吸收各種波長(zhǎng)輻射的物體，它是一種理想的吸收體，同時(shí)在加熱它時(shí)，又能最大程度地輻射出各種波長(zhǎng)的電磁波。絕熱的開(kāi)有一個(gè)小孔的金屬空腔就是一種良好的黑體模型。進(jìn)入小孔的輻射，經(jīng)多次吸收和反射，可使射入的輻射實(shí)際上全部被吸收，當(dāng)空腔受熱時(shí)，空腔會(huì)發(fā)出輻射，稱為黑體輻射。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，黑體輻射能量與波長(zhǎng)的關(guān)系主要與溫度有關(guān)，而與空腔的形狀和制作空腔的材料無(wú)關(guān)。在不同溫度下，黑體輻射的能量（亦稱輻射強(qiáng)度）與波長(zhǎng)的關(guān)系如圖所示。許多物理學(xué)家試圖用經(jīng)典熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法解釋黑體輻射現(xiàn)象。瑞利（Rayleigh J W）和金斯(Jeans J H)把分子物理學(xué)中能量按自由度均分的原理用于電磁輻射理論，得到的輻射能量公式在長(zhǎng)波處接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在短波處和實(shí)驗(yàn)明顯不符。特別是瑞利-金斯的理論預(yù)示在短波區(qū)域包括紫外以至x射線、射線將有越來(lái)越高的輻射強(qiáng)度，完全與事實(shí)不符，這就是物理學(xué)上所謂的“紫外災(zāi)難”。維恩(Wien W)假設(shè)輻射按波長(zhǎng)分布類似于麥克斯韋的分子速度分布，得到的公式在短波處和實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近，在長(zhǎng)波處相差很大。1900年普朗克(Planck M)在深入研究了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并在經(jīng)典力學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上首先提出了“能量量子化”的假設(shè)，他認(rèn)為黑體中原子或分子輻射能量時(shí)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這種振子的能量只能采取某一最小能量單位0的整數(shù)倍數(shù)值。=n0, n=1，2，3，.n稱量子數(shù)。并且0=h其中h稱為普朗克常數(shù)，數(shù)值為6.62610-34 J.s由于量子數(shù)n取值的整數(shù)性，輻射能量具有跳躍式的不連續(xù)性。這種能量變化的不連續(xù)性就稱為能量的量子化。在量子化假定基礎(chǔ)上，使振子的各本征振動(dòng)的能量服從玻爾茲曼分布，得到輻射強(qiáng)度與波長(zhǎng)的關(guān)系式中，T為絕對(duì)溫度；c是光速；k是玻爾茲曼常數(shù)。這個(gè)公式結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致，很好地描述了黑體輻射問(wèn)題。下圖中就是1500K時(shí)輻射強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與瑞利-金斯理論及普朗克理論的比較。（2）光電效應(yīng)19世紀(jì)赫茲發(fā)現(xiàn)光照射到金屬表面上時(shí)，金屬表面上會(huì)發(fā)射出光電子的現(xiàn)象就是的光電效應(yīng)。測(cè)定裝置示意圖如圖。當(dāng)合適頻率的入射光透過(guò)石英窗射向金屬電極A時(shí)，電極將發(fā)射具有一定動(dòng)能的電子。在該電極與環(huán)形電極C間施加電壓V，可在檢流計(jì)G中檢測(cè)到光電流。當(dāng)電壓減少至零時(shí)，光電流仍有一定大小，說(shuō)明光電子本身有動(dòng)能。當(dāng)電壓變負(fù)達(dá)到某值時(shí)，光電流等于零，此時(shí)電壓與電荷的乘積應(yīng)與光電子的動(dòng)能相等，由此可估計(jì)光電子動(dòng)能的大小。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律主要有以下幾點(diǎn)：每種金屬都有一固定的頻率0，稱為臨閾頻率。只有當(dāng)入射光頻率大于0時(shí)，才會(huì)有光電流產(chǎn)生，否則，無(wú)論光強(qiáng)度多大都不會(huì)產(chǎn)生光電流。光電流強(qiáng)度和入射光強(qiáng)度成正比。光電子電子動(dòng)能和入射光頻率成線性增長(zhǎng)關(guān)系，而與入射光強(qiáng)度無(wú)關(guān)經(jīng)典物理學(xué)理論認(rèn)為光的能量應(yīng)由光的強(qiáng)度決定，即由光的振幅決定，而與光的頻率無(wú)關(guān)，光的頻率只決定光的顏色。光電流是金屬內(nèi)電子吸收入射光能量后逸出金屬表面所產(chǎn)生的，因此，光電流是否產(chǎn)生，以及產(chǎn)生后光電子的動(dòng)能大小應(yīng)由光強(qiáng)度決定。這樣的解釋顯然和光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)相矛盾。1905年，愛(ài)因斯坦提出光子學(xué)說(shuō)，成功地解釋了光電效應(yīng)，它的主要思想如下：光的能量只能是最小能量單位0（稱光量子）的整數(shù)倍，=n0，n=1，2，3，n稱為量子數(shù)，并且光能量與光子頻率成正比，0=h光子不但有能量，還有質(zhì)量m，不同頻率的光子具有不同的質(zhì)量。光子具有動(dòng)量P=mc=h/光強(qiáng)度取決于單位體積內(nèi)的光子數(shù)，即光子密度。根據(jù)愛(ài)因斯坦的光子學(xué)說(shuō)，當(dāng)光照射到金屬表面上時(shí)，能量為h的光子被電子所吸收，電子將這部分能量中的一部分用來(lái)克服金屬表面對(duì)它的吸引力，另一部分轉(zhuǎn)變成逸出電子的動(dòng)能。h0為電子逸出功，所以只有當(dāng)頻率大于臨閾頻率時(shí)，才能有電子逸出，產(chǎn)生光電流。入射光強(qiáng)度越大，光子密度越大，光子越多，產(chǎn)生的光電流就越大，因此，光電流強(qiáng)度和入射光強(qiáng)度成正比。（3）氫原子光譜原子被火焰、電弧等激發(fā)時(shí)，能受激而發(fā)光，形成光源。將它的輻射線通過(guò)分光可以得到許多不連續(xù)的明亮的線條，稱為原子光譜。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)原子光譜是不連續(xù)的線狀光譜。這又是一個(gè)經(jīng)典物理學(xué)不能解釋的現(xiàn)象。下圖就是氫原子的巴爾末線系%1911年盧瑟福(Rutherford E)用粒子散射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了原子模型，認(rèn)為原子是由電子繞核運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的。經(jīng)典物理學(xué)無(wú)法解釋原子光譜現(xiàn)象，因?yàn)楦鶕?jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，繞核作軌道運(yùn)動(dòng)的電子是有加速度的，應(yīng)當(dāng)自動(dòng)地放射出輻射，因而能量要逐漸減少，這樣會(huì)使電子逐漸接近原子核，最后和核相撞，因此原子應(yīng)為一個(gè)不穩(wěn)定的體系。另一方面，根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電子放出輻射的頻率應(yīng)等于電子繞核運(yùn)動(dòng)的頻率，由于電子的能量要逐漸減少，其運(yùn)動(dòng)的頻率也將逐漸地改變，因而輻射的頻率也將逐漸地改變，所以原子發(fā)射的光譜應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的。然而實(shí)驗(yàn)測(cè)得的光譜卻是線狀的、不連續(xù)的。這些都和經(jīng)典的理論發(fā)生了本質(zhì)的矛盾。1913年玻爾(Bohr N)根據(jù)普朗克的量子論，愛(ài)因斯坦的光子學(xué)說(shuō)和盧瑟福的原子模型，提出關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的三個(gè)假定：電子只能在核外某些穩(wěn)定的軌道上運(yùn)動(dòng)，這時(shí)電子繞核旋轉(zhuǎn)不產(chǎn)生經(jīng)典輻射，原子相應(yīng)處于穩(wěn)定態(tài)，簡(jiǎn)稱定態(tài)。能量最低的穩(wěn)定態(tài)稱為基態(tài)，其它的稱為激發(fā)態(tài)。原子可由某一定態(tài)跳躍到另一個(gè)定態(tài)，稱為躍遷，躍遷中放出或吸收輻射，其頻率為hE2E1E原子各種可能存在的定態(tài)軌道有一定限制，即電子的軌道運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量必須等于h/2的整數(shù)倍，Mnh/2，n1,2,3,此式又稱玻爾的量子化規(guī)律，其中n為量子數(shù)。%1913年玻爾(Bohr N)根據(jù)普朗克的量子論，愛(ài)因斯坦的光子學(xué)說(shuō)和盧瑟福的原子模型，提出關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的三個(gè)假定：電子只能在核外某些穩(wěn)定的軌道上運(yùn)動(dòng)，這時(shí)電子繞核旋轉(zhuǎn)不產(chǎn)生經(jīng)典輻射，原子相應(yīng)處于穩(wěn)定態(tài)，簡(jiǎn)稱定態(tài)。能量最低的穩(wěn)定態(tài)稱為基態(tài)，其它的稱為激發(fā)態(tài)。原子可由某一定態(tài)跳躍到另一個(gè)定態(tài)，稱為躍遷，躍遷中放出或吸收輻射，其頻率為hE2E1E原子各種可能存在的定態(tài)軌道有一定限制，即電子的軌道運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量必須等于h/2的整數(shù)倍，Mnh/2，n1,2,3,此式又稱玻爾的量子化規(guī)律，其中n為量子數(shù)。根據(jù)玻爾的假定可以計(jì)算出氫原子基態(tài)軌道的半徑a0為52.9pm，基態(tài)能量為-13.6eV，和實(shí)驗(yàn)結(jié)果十分接近。對(duì)于微觀體系的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)典物理學(xué)已完全不能適用。以普朗克的量子論、愛(ài)因斯坦的光子學(xué)說(shuō)和玻爾的原子模型方法為代表的理論稱為舊量子論。舊量子論盡管解釋了一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)象，但是，對(duì)絕大多數(shù)較為復(fù)雜的情況，仍然不能解釋。這顯然是由于舊量子論并沒(méi)有完全放棄經(jīng)典物理學(xué)的方法，只是在其中加入了量子化的假定，然而量子化概念本身與經(jīng)典物理學(xué)之間是不相容的。因此，舊量子論要作為一個(gè)完整的理論體系，其本身是不能自圓其說(shuō)的。從黑體輻射、光電效應(yīng)和原子光譜等實(shí)驗(yàn)可見(jiàn)，對(duì)于微觀體系的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)典物理學(xué)已完全不能適用。以普朗克的量子論、愛(ài)因斯坦的光子學(xué)說(shuō)和玻爾的原子模型方法為代表的理論稱為舊量子論。舊量子論盡管解釋了一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)象，但是，對(duì)絕大多數(shù)較為復(fù)雜的情況，仍然不能解釋。這顯然是由于舊量子論并沒(méi)有完全放棄經(jīng)典物理學(xué)的方法，只是在其中加入了量子化的假定，然而量子化概念本身與經(jīng)典物理學(xué)之間是不相容的。因此，舊量子論要作為一個(gè)完整的理論體系，其本身是不能自圓其說(shuō)的。2 、波粒二象性的普遍性及統(tǒng)計(jì)解釋17世紀(jì)末以前，人們對(duì)光的觀察和研究還只限于幾何光學(xué)方面。從光的直線傳播、反射定律和折射定律出發(fā)，對(duì)于光的本性問(wèn)題提出了兩種相反的學(xué)說(shuō)以牛頓為代表的微粒說(shuō)和以惠更斯為代表的波動(dòng)說(shuō)。微粒說(shuō)認(rèn)為，光是由光源發(fā)出的以等速直線運(yùn)動(dòng)的微粒流。微粒種類不同，顏色不同。在光反射和折射時(shí)，表現(xiàn)為剛性彈性球。波動(dòng)說(shuō)認(rèn)為光是在媒質(zhì)中傳播的一種波，光的不同顏色是由于光的波長(zhǎng)不同引起的。微粒說(shuō)和波動(dòng)說(shuō)都能解釋當(dāng)時(shí)已知的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，但在解釋折射現(xiàn)象時(shí)導(dǎo)出的折射率結(jié)論相反：微粒說(shuō)的結(jié)論是光在媒質(zhì)中的相對(duì)折射率正比于光在媒質(zhì)中的傳播速率，而波動(dòng)說(shuō)則得出相對(duì)折射率反比于光在媒質(zhì)中的傳播速率的結(jié)論。當(dāng)時(shí)由于還不能準(zhǔn)確測(cè)量光速，所以無(wú)法判斷哪種說(shuō)法對(duì)。隨后光的干涉和衍射現(xiàn)象相繼發(fā)現(xiàn)，這些現(xiàn)象是波的典型性質(zhì)，而微粒說(shuō)無(wú)法解釋。光速的精確測(cè)定證實(shí)了波動(dòng)說(shuō)對(duì)折射率的結(jié)論是正確的。光的偏振現(xiàn)象進(jìn)一步說(shuō)明光是一種橫波。因此在19世紀(jì)末、本世紀(jì)初的黑體輻射、光電效應(yīng)和康普頓散射等現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以前，波動(dòng)說(shuō)占了優(yōu)勢(shì)。為了解釋光在真空中傳播的媒質(zhì)問(wèn)題，提出了“以太”假說(shuō)?！耙蕴北徽J(rèn)為是一種彌漫于整個(gè)宇宙空間、滲透到一切物體之中且具有許多奇妙性質(zhì)的物質(zhì)，而光則認(rèn)為是以“以太”為媒質(zhì)傳播的彈性波。19世紀(jì)70年代，麥克斯韋建立了電磁場(chǎng)理論，預(yù)言了電磁波的存在。不久后赫茲通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了電磁波。麥克斯韋根據(jù)光速與電磁波速相同這一事實(shí)，提出光是一種電磁波，這就是光的電磁理論。根據(jù)麥克斯韋方程組和電磁波理論，光和電磁波無(wú)需依靠“以太”作媒質(zhì)傳播，其媒質(zhì)就是交替變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)本身。所謂“以太”是不存在的。到了19世紀(jì)末，因?yàn)楣獾碾姶挪▽W(xué)說(shuō)不能解釋黑體輻射現(xiàn)象而碰到了很大的困難。為了解釋這個(gè)現(xiàn)象，普朗克在1900年發(fā)表了他的量子論。接著愛(ài)因斯坦推廣普朗克的量子論，在1905年發(fā)表了他的光子學(xué)說(shuō)，圓滿地解釋了光電效應(yīng)，又在1907年在振子能量量子化的基礎(chǔ)上解釋了固體的比熱與溫度的關(guān)系問(wèn)題。根據(jù)他的意見(jiàn)，光的能量不是連續(xù)地分布在空間，而是集中在光子上。這個(gè)學(xué)說(shuō)因?yàn)榭灯疹D效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)再一次得到了實(shí)驗(yàn)證明。光子學(xué)說(shuō)提出以后，重新引起了波動(dòng)說(shuō)和微粒說(shuō)的爭(zhēng)論，并且問(wèn)題比以前更尖銳化了，因?yàn)榉彩桥c光的傳播有關(guān)的各種現(xiàn)象，如衍射、干涉和偏振，必須用波動(dòng)說(shuō)來(lái)解釋，凡是與光和實(shí)物相互作用有關(guān)的各種現(xiàn)象，即實(shí)物發(fā)射光（如原子光譜等）、吸收光（如光電效應(yīng)、吸收光譜等）和散射光（如康普頓效應(yīng)等）等現(xiàn)象，必須用光子學(xué)說(shuō)來(lái)解釋。不能用簡(jiǎn)單的波動(dòng)說(shuō)或微粒說(shuō)來(lái)解釋所有現(xiàn)象。因此，光既具有波動(dòng)性的特點(diǎn)，又具有微粒性的特點(diǎn)，即它具有波、粒二象性(wave particle duality)，它是波動(dòng)性和微粒性的矛盾統(tǒng)一體，不連續(xù)的微粒性和連續(xù)的波動(dòng)性是事物對(duì)立的兩個(gè)方面，它們彼此互相聯(lián)系，相互滲透，并在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化，這就是光的本性。所謂波動(dòng)和微粒，都是經(jīng)典物理學(xué)的概念，不能原封不動(dòng)地應(yīng)用于微觀世界。光既不是經(jīng)典意義上的波，也不是經(jīng)典意義上的微粒。光的波動(dòng)性和微粒性的相互聯(lián)系特別明顯地表現(xiàn)在以下三個(gè)式子中：E=h,p=h/,=k|2在以上三個(gè)式子中等號(hào)左邊表示微粒的性質(zhì)即光子的能量E、動(dòng)量p和光子密度，等式右邊表示波動(dòng)的性質(zhì)，即光波的頻率、波長(zhǎng)和場(chǎng)強(qiáng)。按照光的電磁波理論，光的強(qiáng)度正比于光波振幅的平方|2，按照光子學(xué)說(shuō)，光的強(qiáng)度正比于光子密度，所以正比于|2，令比例常數(shù)為k，即得到=k|21924年，法國(guó)物理學(xué)家德布羅意提出，這種“二象性”并不特殊地只是一個(gè)光學(xué)現(xiàn)象，而是具有一般性的意義。他說(shuō)：“整個(gè)世紀(jì)以來(lái)，在光學(xué)上，比起波動(dòng)的研究方法，是過(guò)于忽略了粒子的研究方法；在實(shí)物理論上，是否發(fā)生了相反的錯(cuò)誤呢？是不是我們把粒子的圖象想得太多，而過(guò)分忽略了波的圖象？”從這樣的思想出發(fā)，德布羅意假定波粒二象性的公式也可適用于電子等靜止質(zhì)量不為零的粒子，也稱為實(shí)物粒子。，即實(shí)物粒子也具有波粒二象性。實(shí)物粒子的波長(zhǎng)等于普朗克常數(shù)除以粒子的動(dòng)量，這就是德布羅意關(guān)系式。根據(jù)德布羅意假設(shè)，以1.0106m.s-1的速度運(yùn)動(dòng)的電子波長(zhǎng)為質(zhì)量為1.0103kg 的宏觀物體，當(dāng)以1.0102m.s1速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，波長(zhǎng)為實(shí)物粒子波長(zhǎng)太小，觀察不到其波動(dòng)性；只有微觀粒子才可觀測(cè)其波動(dòng)性。實(shí)物粒子的波稱為德布羅意波或?qū)嵨锊?。德布羅意指出：可以用電子的晶體衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)物質(zhì)波的存在。1927年美國(guó)科學(xué)家戴維遜和革末的單晶電子衍射實(shí)驗(yàn)以及英國(guó)湯普森的多晶體電子衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了德布羅意關(guān)于物質(zhì)波的假設(shè)。隨后，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)質(zhì)子、中子、原子和分子等都有衍射現(xiàn)象，且都符合德布羅意關(guān)系式。下面左邊就是多晶體電子衍射的示意圖，從電子發(fā)射器A發(fā)出的電子射線穿過(guò)晶體粉末B，投射到屏C上，可以得到一系列的同心圓。這些同心圓叫衍射環(huán)紋。右邊是電子射線通過(guò)金晶體時(shí)的衍射環(huán)紋圖樣。下面就以多晶體電子衍射實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行討論。從衍射環(huán)紋的半徑和屏C與晶體B間的距離可以計(jì)算衍射角，根據(jù)衍射角可用布拉格(Bragg)公式計(jì)算電子射線的波長(zhǎng)，即 式中d是晶格間距，n=1、2、3、分別表示各同心圓，其中最小的同心圓n=1，其次n=2。電子射線可從陰極射線管產(chǎn)生，并使之在電勢(shì)差等于V的電場(chǎng)中加速到速度v。獲得的動(dòng)能等于它在電場(chǎng)中降落的勢(shì)能eV，即： 因此根據(jù)德布羅意關(guān)系式，可得電子波長(zhǎng) 知道電勢(shì)V，就可以計(jì)算出電子射線的波長(zhǎng)。將衍射角算得的波長(zhǎng)與通過(guò)德布羅意關(guān)系式算出的波長(zhǎng)比較，兩者一致。這樣就從實(shí)驗(yàn)上證明了德布羅意關(guān)系式。實(shí)物波的物理意義與機(jī)械波(水波、聲波)及電磁波等不同，機(jī)械波是介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，電磁波是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的振動(dòng)在空間傳播的波，而實(shí)物波沒(méi)有這種直接的物理意義。那么實(shí)物波的本質(zhì)是什么呢？有一種觀點(diǎn)認(rèn)為波動(dòng)是粒子本身產(chǎn)生出來(lái)的，有一個(gè)電子就有一個(gè)波動(dòng)。因此當(dāng)一個(gè)電子通過(guò)晶體時(shí)，就應(yīng)當(dāng)在底片上顯示出一個(gè)完整的衍射圖形。而事實(shí)上，在底片上顯示出來(lái)的僅僅是一個(gè)點(diǎn)，無(wú)衍射圖形。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為波是一群粒子組成的，衍射圖形是由組成波的電子相互作用的結(jié)果。但是實(shí)驗(yàn)表明用很弱的電子流，讓每個(gè)電子逐個(gè)地射出，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，在底片上顯示出了與較強(qiáng)的電子流，在較短時(shí)間內(nèi)電子衍射完全一致的衍射圖形。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性不是電子間相互作用的結(jié)果。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中若將加速后的電子一個(gè)一個(gè)地發(fā)射，發(fā)現(xiàn)各電子落到屏上的位置是不重合的，也就是說(shuō)電子的運(yùn)動(dòng)是沒(méi)有確定軌跡的，不服從經(jīng)典力學(xué)物體的運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)不斷發(fā)射了很多電子以后，各電子在屏上形成的黑點(diǎn)構(gòu)成了衍射圖象，這說(shuō)明大量粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是具有波動(dòng)性的。當(dāng)電子數(shù)不斷增加時(shí)，所得衍射圖象不變，只是顏色相對(duì)加深，這就說(shuō)明波強(qiáng)度與落到屏上單位面積中的電子數(shù)成正比。1926年，波恩提出了實(shí)物波的統(tǒng)計(jì)解釋。他認(rèn)為在空間的任何一點(diǎn)上波的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值平方）和粒子在該位置出現(xiàn)的幾率成正比。實(shí)物波的強(qiáng)度反映微粒出現(xiàn)的幾率的大小，故可稱幾率波。電子束單縫衍射實(shí)驗(yàn)示意圖3 、不確定原理可以把實(shí)物粒子的波粒二象性理解為：具有波動(dòng)性的微粒在空間的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有確定的軌跡，只有與其波強(qiáng)度大小成正比的幾率分布規(guī)律。微觀粒子的這種運(yùn)動(dòng)完全不服從經(jīng)典力學(xué)的理論，所以在認(rèn)識(shí)微觀體系運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，必須擺脫經(jīng)典物理學(xué)的束縛，必須用量子力學(xué)的概念去理解。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有確定的軌跡，也就是說(shuō)它在任一時(shí)刻的坐標(biāo)和動(dòng)量是不能同時(shí)準(zhǔn)確確定的，這就是測(cè)不準(zhǔn)原理?？梢杂秒娮邮ㄟ^(guò)一個(gè)單縫的衍射實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)明測(cè)不準(zhǔn)原理。如圖所示，具有動(dòng)量p的電子束，通過(guò)寬度為x的狹縫，在y方向與狹縫距離為l處放一屏幕，可在屏幕上得到如圖所示的衍射強(qiáng)度分布曲線。經(jīng)典粒子直線運(yùn)動(dòng)，通過(guò)狹縫后，在屏幕上顯示寬度為x的條狀圖案。具有波動(dòng)性的電子，通過(guò)狹縫邊緣和中心的兩束電子波相互疊加，在到達(dá)屏幕處，有的位置上兩束電子波是加強(qiáng)的（峰），有的位置上是相互抵消的。根據(jù)光學(xué)原理，相消的條件是這兩束光從狹縫到達(dá)屏幕的光程差A(yù)O為波長(zhǎng)的半整數(shù)倍考慮一級(jí)衍射(n=1)的情況 通過(guò)狹縫前電子在x方向動(dòng)量px為零，通過(guò)狹縫后電子在x方向動(dòng)量px=psin,所以動(dòng)量在x方向分量在通過(guò)狹縫前后的變化為此式結(jié)合式可得如果將x方向的討論改為y或z方向做類似討論，顯然可得 稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。若考慮到n=2,3,等多級(jí)衍射時(shí)，則為xpxh；ypyh；zpzh1927年，海森堡通過(guò)嚴(yán)格的推導(dǎo)，得出了測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式為；用能量E和時(shí)間t作為表示粒子狀態(tài)的基本變量時(shí)，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系則為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式表示通過(guò)狹縫時(shí)電子的坐標(biāo)的不確定度和相應(yīng)動(dòng)量的不確定度的乘積至少等于一個(gè)常數(shù)。也就是說(shuō)，當(dāng)某個(gè)微粒的坐標(biāo)完全被確定時(shí)(x0)，則它的相應(yīng)動(dòng)量就完全不能被確定(px),反之亦然。換言之，微觀粒子在空間的運(yùn)動(dòng)，它的坐標(biāo)和動(dòng)量是不能同時(shí)準(zhǔn)確確定的，討論微觀粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡毫無(wú)意義。由于微觀粒子運(yùn)動(dòng)具有波粒二象性，因而不能同時(shí)準(zhǔn)確確定某些成對(duì)物理量，如位置與動(dòng)量，能量與時(shí)間，這種現(xiàn)象也被稱為不確定原理。經(jīng)典力學(xué)中用軌跡描述物體的運(yùn)動(dòng)，即用物體的坐標(biāo)位置和運(yùn)動(dòng)速度(或動(dòng)量)隨時(shí)間的變化來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)。因此需要能夠同時(shí)準(zhǔn)確確定物體的坐標(biāo)和速度。經(jīng)典力學(xué)只適用于描述宏觀粒子的運(yùn)動(dòng)。那么宏觀粒子和微觀粒子有什么不同呢？下面我們來(lái)做一簡(jiǎn)單比較。首先宏觀粒子和微觀粒子具有很多的共同點(diǎn)：都具有質(zhì)量、能量和動(dòng)量，服從能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律，都具有波粒二象性，都滿足測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。它們的不同之處在于：宏觀粒子波動(dòng)性不明顯，其坐標(biāo)和速度可同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定，有確定的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以用經(jīng)典力學(xué)來(lái)描述。微觀粒子波動(dòng)性顯著，受測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式的限制其坐標(biāo)和速度不可能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定，沒(méi)有確定的運(yùn)動(dòng)軌跡，不能用經(jīng)典力學(xué)來(lái)描述。宏觀和微觀的區(qū)分是相對(duì)的，不確定原理起作用，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)法描述的場(chǎng)合，就是微觀領(lǐng)域。而不確定原理不起作用，粒子的坐標(biāo)和速度能夠同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定的場(chǎng)合，就是宏觀領(lǐng)域。（宏觀粒子和微觀粒子的劃分也不是絕對(duì)的，比如說(shuō)電子，運(yùn)動(dòng)在原子中的電子，受測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式限制，屬于微觀粒子；而電視機(jī)顯相像管中電子槍發(fā)射的電子其運(yùn)動(dòng)軌跡就是可以控制的，屬于宏觀粒子。）例4.1子彈（質(zhì)量0.01kg,速度1000 ）和原子中的電子（質(zhì)量 ，速度1000）。當(dāng)他們的速度不確定范圍為其速度的 時(shí)，分別計(jì)算它的位置的不確定范圍并討論計(jì)算結(jié)果，解：對(duì)子彈對(duì)電子對(duì)子彈來(lái)說(shuō)，x 很小，可以忽略，即子彈的坐標(biāo)是可以準(zhǔn)確測(cè)定；對(duì)電子來(lái)說(shuō)，x 達(dá)7.27106m,由于原子半徑僅為1010m的數(shù)量級(jí),所以x不可忽略，在原子中運(yùn)動(dòng)的電子坐標(biāo)在其速度誤差為10時(shí)是不能準(zhǔn)確測(cè)定的，電子的運(yùn)動(dòng)無(wú)法用經(jīng)典力學(xué)中的軌跡(即速度和坐標(biāo))來(lái)描述,只能用量子力學(xué)來(lái)描述。而子彈則可以用經(jīng)典力學(xué)來(lái)描述。4、算符和運(yùn)算規(guī)則規(guī)定運(yùn)算操作性質(zhì)的符號(hào)稱為算符。例如ln、d/dx、sin等分別表示對(duì)函數(shù)進(jìn)行對(duì)數(shù)、微分、正弦等運(yùn)算。算符的作用是：算符作用在一個(gè)函數(shù)上，得到一個(gè)新函數(shù)。通常可以 標(biāo)記算符，如和，如果算符A將函數(shù)f(x)變成新函數(shù)g(x)，就可寫(xiě)成Af(x)g(x)，(讀作：算符A作用于函數(shù)f(x)等于g(x)算符有如下的運(yùn)算規(guī)則：算符的加法：兩個(gè)算符相加作用于函數(shù)等于分別作用于函數(shù)后相加，算符的減法為：兩個(gè)算符相減后作用于函數(shù)就等于分別作用于函數(shù)后相減；算符A與算符B的乘法等于算符B作用于函數(shù)后的新函數(shù)再被算符A作用；算符的平方等于算符作用于函數(shù)后的新函數(shù)再被該算符作用。算符的乘法還服從結(jié)合律和分配律，但是一般不服從交換律。滿足乘法交換律的兩個(gè)算符稱為對(duì)易的算符。當(dāng)算符A滿足稱A為線性算符。如d/dx就是線性算符，而 ln 和 sin 不是線性算符。當(dāng)A滿足或稱A為自軛算符或厄密算符。這里積分是對(duì)所有變量的全部變化空間積分。各種力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符名稱坐標(biāo)動(dòng)量分量動(dòng)量分量平方動(dòng)量角動(dòng)量角動(dòng)量平方動(dòng)能位能總能量表中列出的是各種力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符，其中坐標(biāo)算符就是其自身，也就是說(shuō)坐標(biāo)算符作用于函數(shù)就等于坐標(biāo)乘以該函數(shù)。本征方程、本征值和本征函數(shù)如果一個(gè)算符A作用于函數(shù)f，所得的函數(shù)是一個(gè)常數(shù)乘以f，即 Af =f 則稱這一方程為算符A的本征方程，常數(shù)是算符A的本征值，函數(shù)f 則為算符A的本征函數(shù)。例：算符A=d/dx,函數(shù)f=e2xAf=d/dx(e2x)=2 e2x=2f可見(jiàn)，f是算符A的本征函數(shù)，本征值為2例：算符A=d/dx,函數(shù)f=e2x算符A作用于函數(shù)f就是對(duì)函數(shù)f求一階導(dǎo)數(shù)，等于2f，因此算符A作用于函數(shù)f等于2f為一個(gè)本征方程，f是算符A的本征函數(shù)，本征值為2。4.2.2 量子力學(xué)的基本假定假定微觀粒子的狀態(tài)和波函數(shù)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用波函數(shù)來(lái)描述。是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)，是系統(tǒng)所有粒子的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。不含時(shí)間的實(shí)物粒子波的波函數(shù)描述微觀系統(tǒng)的不隨時(shí)間而變化的穩(wěn)定態(tài)，稱為定態(tài)波函數(shù)。一般情況下定態(tài)波函數(shù)是復(fù)數(shù)形式=f+ig，f和g是坐標(biāo)的實(shí)函數(shù)，的共軛函數(shù)*=f-ig。定態(tài)波函數(shù)與其共軛函數(shù)的乘積為實(shí)函數(shù)，且為正值。為書(shū)寫(xiě)方便波函數(shù)與其共軛函數(shù)的乘積常表示為波函數(shù)模的平方或波函數(shù)的平方由于波強(qiáng)度正比于粒子在空間某處的出現(xiàn)幾率，而波強(qiáng)度可用振幅平方*表示，所以|2|正比于空間某點(diǎn)粒子出現(xiàn)的幾率，|2|亦即粒子的幾率密度。|2|d為空間某點(diǎn)附近體積元d內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率。定態(tài)波函數(shù)是描述微觀系統(tǒng)穩(wěn)定態(tài)的函數(shù)，它的物理意義不僅是由模的平方描述的幾率密度體現(xiàn)出來(lái)，而且它將決定該狀態(tài)的很多物理量，以此來(lái)描述這個(gè)狀態(tài)。這就是它的物理意義。由于波函數(shù)描述的是幾率波，所以必須滿足下列3個(gè)條件。(1)必須是單值函數(shù)在空間每一點(diǎn)只能有一個(gè)值。由于粒子在空間每一點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只能有一個(gè)值，因此波函數(shù)在每一點(diǎn)也只能取一個(gè)值。(2)必須是連續(xù)函數(shù)由于粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度是連續(xù)，因此波函數(shù)必須是連續(xù)的。后面我們會(huì)看到，波函數(shù)所滿足的是一個(gè)二階偏微分方程，要使波函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有意義，則要求要求波函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)也必須是連續(xù)的。(3)必須是有限且平方可積的|2|代表了粒子的幾率密度，幾率是一個(gè)有限值，因此波函數(shù)應(yīng)該是有限的。由于波函數(shù)模的平方乘體積元在空間的積分是粒子在空間出現(xiàn)的幾率，因此波函數(shù)必須是平方可積的。在全空間內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率為1，因此要求滿足該積分式的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。符合單值、連續(xù)和平方可積這三個(gè)條件的波函數(shù)稱為合格波函數(shù)或品優(yōu)波函數(shù)。如果波函數(shù)未歸一化，即波函數(shù)模的平方在全部空間對(duì)體積元的積分不等于1，而等于一個(gè)常數(shù)KK是一個(gè)正的有限數(shù)值?？蓪⒉ê瘮?shù)除以常數(shù)K的平方根，此時(shí)有波函數(shù)與代表粒子的同一狀態(tài)，為歸一化的波函數(shù)，常數(shù)稱為歸一化因子。由非歸一化波函數(shù)求得歸一化波函數(shù)的過(guò)程，稱為函數(shù)歸一化。假定關(guān)于力學(xué)量及其算符的假定微觀粒子系統(tǒng)的每一個(gè)力學(xué)量均對(duì)應(yīng)一個(gè)量子力學(xué)算符。若某一力學(xué)量F的算符作用于波函數(shù)，等于某一常數(shù)乘以波函數(shù)，即波函數(shù)是算符的本征函數(shù)，那么這一微觀粒子的的力學(xué)量F對(duì)波函數(shù)所描述的狀態(tài)就有確定的數(shù)值，即力學(xué)量F的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值將于算符的本征值對(duì)應(yīng)。如果系統(tǒng)處于任一波函數(shù)所描述的狀態(tài)中，而波函數(shù)不是算符的本征函數(shù),即算符F作用于波函數(shù)不等于常數(shù)乘以波函數(shù)，那么，這時(shí)進(jìn)行力學(xué)量的測(cè)量，將得不到力學(xué)量F確定的數(shù)值，此時(shí)可用下式來(lái)求得平均值： 如果波函數(shù)是已歸一化的，則力學(xué)量F的平均值為(念作：波函數(shù)的共軛函數(shù)乘以算符F作用于波函數(shù)在全空間對(duì)體積元的積分)假定 薛定諤方程微觀粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵從薛定諤方程。式中為哈密頓算符，即：對(duì)微觀粒子系統(tǒng)的定態(tài)，則有：哈密頓算符是能量算符，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的能量E，系統(tǒng)的能量E等于系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和E=T+V。定態(tài)波函數(shù)是不隨時(shí)間變化的，描述的是體系的穩(wěn)定狀態(tài)，其能量E有確定值假定 態(tài)的疊加原理經(jīng)典力學(xué)中波動(dòng)具有可疊加性，量子力學(xué)中假設(shè)德布羅意波同樣具有可疊加性，服從態(tài)疊加原理。若1，2，,n為某一微觀系統(tǒng)的可能狀態(tài)，則由它們的線性組合所得的也是該系統(tǒng)可能存在的狀態(tài)。系數(shù)C1,C2,Cn為任意常數(shù)。其數(shù)值的大小反映由所決定的性質(zhì)中i的貢獻(xiàn)，Ci越大，相應(yīng)i的貢獻(xiàn)也越大?？梢宰C明，幾個(gè)能量相同的狀態(tài)線性組合所得的狀態(tài)仍具有相同的能量。由能量不同的狀態(tài)線性組合所得的狀態(tài)具有一些新的性質(zhì)。在量子力學(xué)中粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化規(guī)律，應(yīng)該是和波動(dòng)有關(guān)的一個(gè)新型方程，即薛定諤方程，應(yīng)用這個(gè)方程，可由粒子的初始狀態(tài)求得任一時(shí)刻的狀態(tài)，得到波函數(shù)的具體形式。薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不是從某些理論推導(dǎo)出來(lái)的，而是在德布羅意波概念啟發(fā)下，歸納總結(jié)出來(lái)的，也是以假設(shè)的形式提出來(lái)的。5、定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程有含時(shí)方程和定態(tài)方程兩種形式，為更好地理解薛定諤方程，在此嘗試用類比的方法推演薛定諤方程的引出。我們以最簡(jiǎn)單的一維定態(tài)薛定諤方程為例。由于實(shí)物粒子的定態(tài)具有量子化的特征，而在經(jīng)典的波動(dòng)力學(xué)中有量子化特征的只有駐波。光波中頻率為，波長(zhǎng)為沿x方向傳播的平面駐波的波動(dòng)方程為若考慮不受任何外場(chǎng)作用的粒子，即勢(shì)能為零的粒子(稱為自由粒子)，其動(dòng)量p和能量E都是常數(shù)，將德布羅意關(guān)系式E=h，代入，則得此式不再是描述經(jīng)典的平面波，而是描述自由粒子一維運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的德布羅意波。將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得再次對(duì)x求導(dǎo)得令，由于動(dòng)能為，代入整理得自由粒子一維運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程，m為質(zhì)量。如果粒子勢(shì)能不為零，而只是坐標(biāo)的函數(shù)V=V(x)，系統(tǒng)能量E=T+V，動(dòng)能T=E-V，代入方程得或采用類似方法，可以從三維駐波波動(dòng)方程引出描述實(shí)物粒子三維運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程令稱為L(zhǎng)aplace算符，則定態(tài)薛定諤方程可改寫(xiě)為，令 稱為哈密頓算符可得到定態(tài)薛定諤方程用量子力學(xué)來(lái)解決定態(tài)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要寫(xiě)出微觀粒子系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)。然后，將它代入定態(tài)薛定諤方程中，通過(guò)求解，得到具體的定態(tài)波函數(shù)。所求得的每一個(gè)解表示該微觀粒子系統(tǒng)的某一種穩(wěn)定狀態(tài),與這個(gè)解相對(duì)應(yīng)的能量E，就是該微觀粒子系統(tǒng)在此穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的總能量。下面就以一維勢(shì)箱中自由粒子的運(yùn)動(dòng)為例，應(yīng)用量子力學(xué)來(lái)進(jìn)行討論。6、一維勢(shì)箱中的自由粒子運(yùn)動(dòng)如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)度為l的一維勢(shì)廂中有一個(gè)質(zhì)量為m的自由粒子沿x軸方向做一維平動(dòng)，粒子的勢(shì)能在勢(shì)箱中（圖中區(qū)）為零，在勢(shì)箱壁或勢(shì)箱外（圖中，區(qū)）的任何位置均為無(wú)窮大。這樣粒子的運(yùn)動(dòng)就限制在x=0和x=l之間，而不可能躍出勢(shì)箱。由于勢(shì)箱內(nèi)勢(shì)能為零，勢(shì)箱外為無(wú)窮該系統(tǒng)的勢(shì)能V為: 由于粒子只能在勢(shì)箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此只有在勢(shì)箱內(nèi)，波函數(shù)不為零，而在勢(shì)箱壁及勢(shì)箱外波函數(shù)為零，因此可得到波函數(shù)的邊界條件。和時(shí)，波函數(shù)為零，0xl時(shí)波函數(shù)才不為零。這樣在解薛定諤方程時(shí)只需要考慮在勢(shì)箱內(nèi)情況。當(dāng)時(shí)，,薛定諤方程為：這是一個(gè)二階線性齊次的常微分方程，該方程的通解為：下面就利用波函數(shù)的邊界條件和歸一化條件來(lái)確定系數(shù)A和B。代入邊界條件，可得到ACOS0=0,因cos0=1,所以A=0方程的解為代入邊界條件，得。由于A已經(jīng)等于零，若B再等于零，則波函數(shù)恒等于零，沒(méi)有意義，因此B不等于零，只有這就要求，n為不等于零的整數(shù)，由此可得到系統(tǒng)能量其中n=1,2,3,稱為量子數(shù)。能量帶下標(biāo)n表示能量由量子數(shù)n決定。將求得的能量代入方程的解，再將解得的波函數(shù)歸一化，由于粒子只出現(xiàn)在0和l之間，所以積分限變?yōu)閺?到l，因此可得所以解得的波函數(shù)為，其中n=1,2,3,從能量公式看出，勢(shì)箱中粒子的能量隨量子數(shù)n的變化取一些分立值E1,E2,E3，,即能量是量子化的。兩相鄰能級(jí)的間隔隨著l的增大，能級(jí)間隔減小，l時(shí)，能級(jí)間隔趨于零，即宏觀系統(tǒng)能量是連續(xù)的。量子數(shù)最小為1，此時(shí)的能級(jí)E1所對(duì)應(yīng)的是能級(jí)最低的狀態(tài)，稱為基態(tài)。n2時(shí)所對(duì)應(yīng)的態(tài)稱為激發(fā)態(tài)。微觀系統(tǒng)中，粒子基態(tài)能量不為零，因?yàn)閯?shì)箱中勢(shì)能V=0，所以該能量為粒子的動(dòng)能。只要?jiǎng)菹鋵挾萳是有限值，粒子動(dòng)能就恒大于零，該能量稱為零點(diǎn)能。本圖形是基態(tài)、第一和第二激發(fā)態(tài)時(shí)勢(shì)箱中粒子的波函數(shù)圖形和粒子出現(xiàn)的幾率分布圖形。其中左圖是為勢(shì)箱中粒子不同狀態(tài)的波函數(shù)示意圖；右圖為對(duì)應(yīng)各狀態(tài)粒子的幾率分布情況通過(guò)對(duì)量子力學(xué)解一維勢(shì)箱中自由粒子運(yùn)動(dòng)的結(jié)果的討論，可以總結(jié)出如下五個(gè)特性：(1)勢(shì)箱中粒子的運(yùn)動(dòng)具有多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，各種狀態(tài)具有不同的幾率密度分布和不同的能量。(2)能量是量子化的，系統(tǒng)能量的不連續(xù)性是微觀粒子的重要特性。(3)勢(shì)箱中粒子能量不為零，至少為,這個(gè)基態(tài)能量稱為零點(diǎn)能。這說(shuō)明即使體系達(dá)到絕對(duì)零度，這個(gè)能量仍然存在。由于粒子的勢(shì)能為零，這個(gè)能量是粒子的動(dòng)能，說(shuō)明粒子總是在不停地運(yùn)動(dòng)。(4)勢(shì)箱中粒子運(yùn)動(dòng)沒(méi)有確定的軌跡，粒子在箱中各處的幾率密度是不均勻的，不同狀態(tài)的幾率密度分布也是不同的。粒子的運(yùn)動(dòng)具有波的性質(zhì)。(5)由于波動(dòng)性的存在，波函數(shù)可以為正值，可以為負(fù)值，也可以為零。波函數(shù)等于零的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為n-1，各狀態(tài)隨著能量的增加，節(jié)點(diǎn)數(shù)增加。這些特性，是經(jīng)典物理學(xué)所不能解釋的現(xiàn)象，統(tǒng)稱為量子效應(yīng)。量子效應(yīng)是所有微觀粒子受一定勢(shì)能場(chǎng)束縛的共同特征。當(dāng)質(zhì)量m不斷增大，粒子受束縛空間范圍不斷增大時(shí)，量子效應(yīng)也會(huì)消失，體系變?yōu)楹暧^體系。7、三維勢(shì)箱中自由粒子的平動(dòng)下面討論三維勢(shì)箱中自由粒子的平動(dòng)，假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，在邊長(zhǎng)為a、b和c的三維方勢(shì)箱中平動(dòng)，粒子在勢(shì)箱內(nèi)的熱能為零，在勢(shì)箱壁和勢(shì)箱外的勢(shì)能為無(wú)窮大。分別以x,y和z表示邊長(zhǎng)的3個(gè)方向，則勢(shì)箱的3個(gè)方向除了長(zhǎng)度不同以外沒(méi)有其他不同該系統(tǒng)的勢(shì)能V為: 由于粒子只能在勢(shì)箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此在勢(shì)箱內(nèi)波函數(shù)不為零，在勢(shì)箱壁及勢(shì)箱外波函數(shù)為零，所以波函數(shù)在三維勢(shì)箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的自由粒子的薛定諤方程為：這是一個(gè)三變量偏微分方程，一般采用分離變量法解方程。假設(shè)：，為三個(gè)獨(dú)立函數(shù)乘積，其中x、y、z分別為x、y、z的函數(shù)。能量為三個(gè)量的加和將=xyz 代入方程，得到： 因?yàn)閤、y和z為3個(gè)獨(dú)立變量，Ex、Ey和Ez為三個(gè)常數(shù)，可將方程分為三個(gè)獨(dú)立的單變量方程。分別解得 其中nx=1,2,3,，ny=1,2,3,，nz=1,2,3,由此可得：對(duì)于立方勢(shì)箱： 的量子態(tài)稱為基態(tài)，其他的量子態(tài)均為激態(tài)。當(dāng)處于激發(fā)態(tài)時(shí)，可能出現(xiàn)兩個(gè)以上的波函數(shù)（量子態(tài)）處在同一能級(jí)上，即是多重能級(jí)，它對(duì)應(yīng)的狀態(tài)稱為多重態(tài)，同一能級(jí)上的多重態(tài)數(shù)稱為多重度，也稱簡(jiǎn)并度，常以g表示例題：在立方勢(shì)箱中，某平動(dòng)能級(jí)的，求該能級(jí)的多重度。解：因平動(dòng)量子數(shù)和只能是等正整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，3個(gè)量子數(shù)的取值只能是2,4和5，3個(gè)平動(dòng)量子數(shù)有以下種組合：(2,4,5),(4,2,5),(5,2,4)(2,5,4),(4,5,2),(5,4,2)該平動(dòng)能級(jí)的多重度。g=3!=68、雙粒子剛性轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示,互相聯(lián)結(jié)的兩個(gè)微觀粒子的質(zhì)量分別為m1和m2,x表示兩個(gè)微粒的質(zhì)心,兩個(gè)微粒與質(zhì)心的距離為R1和R2,平衡間距Re =R1 +R2 該雙粒子系統(tǒng)可視為剛性轉(zhuǎn)子，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為：式中稱為折合質(zhì)量角動(dòng)量，其中為角速度。動(dòng)能在無(wú)外力作用下，雙粒子剛性轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)是自由的，位能為零，所以，該系統(tǒng)的總能量E就等于動(dòng)能T，則有: 因此自由剛性轉(zhuǎn)子的薛定諤方程 球極坐標(biāo)系下角動(dòng)量算符為因此轉(zhuǎn)動(dòng)薛定諤方程式為：其中Er為轉(zhuǎn)動(dòng)能，()為轉(zhuǎn)動(dòng)波函數(shù)，可采用分離變量法將其分離為()=（）（），然后分別求解決和。線型剛性轉(zhuǎn)子的波函數(shù)JM001020JM30轉(zhuǎn)動(dòng)波函數(shù)的形式由兩個(gè)量子數(shù)J和m共同決定。J稱為轉(zhuǎn)動(dòng)量子數(shù)，取值為0,1,2,等正整數(shù)。m稱為取向量子數(shù),取值為0, 1, 到J轉(zhuǎn)動(dòng)能為：，由轉(zhuǎn)動(dòng)量子數(shù)決定，可見(jiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)能量是量子化的。轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)不僅是量子化的，而且除基態(tài)外是多重的，多重度為。這就是說(shuō)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)一定時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)還可有2J+1種不同的形式，即2J+1個(gè)不同轉(zhuǎn)動(dòng)波函數(shù)描述的狀態(tài)具有同樣的能量。9、一維諧振子的振動(dòng)如圖所示，折合質(zhì)量為的兩個(gè)粒子,在平衡位置附近進(jìn)行伸縮振動(dòng)，可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。粒子的平衡核間距為Re，若設(shè)粒子間距與平衡核間距的差為x x=R-Re，則兩粒子間的準(zhǔn)彈性力F(x)=-kx，振動(dòng)勢(shì)能薛定諤方程：求解方程可得振動(dòng)能量: 其中為振動(dòng)量子數(shù)取值為0,1,2,等正整數(shù)，說(shuō)明振動(dòng)能量是量子化的。e諧振子的固有頻率，它與力學(xué)常數(shù)和折合質(zhì)量有關(guān)。對(duì)于雙原子分子，力學(xué)常數(shù)和化學(xué)鍵強(qiáng)度有關(guān)。當(dāng)振動(dòng)量子數(shù)為0時(shí)諧振子的最低能量,稱為振動(dòng)零點(diǎn)能?？梢?jiàn)振動(dòng)零點(diǎn)能是不為零的，這就是說(shuō)即使到了絕對(duì)零度時(shí)，粒子仍然處在振動(dòng)中。一維諧振子能量及相應(yīng)波函數(shù)振動(dòng)量子數(shù)v能量Ev波函數(shù)0123表中列出了幾個(gè)振動(dòng)量子數(shù)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)能量和波函數(shù)。其中 練習(xí)：8.1 在一維勢(shì)箱問(wèn)題求解中，假定在箱內(nèi)（C為常數(shù)），是否對(duì)其解產(chǎn)生影響？怎樣影響？解：當(dāng)時(shí)，一維勢(shì)箱粒子的Schrdinger方程為邊界條件不變，因此Schrdinger方程的解為即不影響波函數(shù)，能級(jí)整體改變C:8.2 一質(zhì)量為m，在一維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)的粒子，其量子態(tài)為（1） （1） 該量子態(tài)是否為能量算符的本征態(tài)？（2） （2） 對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行能量測(cè)量，其可能的結(jié)果及其所對(duì)應(yīng)的概率為何？（3） （3） 處于該量子態(tài)粒子能量的平均值為多少？解：對(duì)波函數(shù)的分析可知（1） （1） 由于因此，不是能量算符的本征態(tài)。（2） （2） 由于是能量本征態(tài)和的線性組合，而且是歸一化的，因此能量測(cè)量的可能值為其出現(xiàn)的概率分別為（3） （3） 能量測(cè)量的平均值為8.3 1 g重的小球在1 cm長(zhǎng)的盒內(nèi)，試計(jì)算當(dāng)它的能量等于在300 K下的kT時(shí)其量子數(shù)n。這一結(jié)果說(shuō)明了什么？k和T分別為波爾茲曼常數(shù)和熱力學(xué)溫度。解：一維勢(shì)箱粒子的能級(jí)公式為量子化效應(yīng)不明顯。8.4 在質(zhì)量為m的單原子組成的晶體中，每個(gè)原子可看作在所有其他原子組成的球?qū)ΨQ勢(shì)場(chǎng)中振動(dòng)，式中。該模型稱為三維各向同性諧振子模型，請(qǐng)給出其能級(jí)的表達(dá)式。解：該振子的Hamiltonian算符為即為三個(gè)獨(dú)立諧振子Hamiltonian算符之和，根據(jù)量子力學(xué)基本定律，該振