【高考輔導(dǎo)資料】2008年高考試題——數(shù)學(xué)理(江西卷)(有答案解析及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))

絕密啟用前2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第卷1至2頁，第卷3至4頁，共150分。第卷考生注意：1. 答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2. 第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。第卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答。若在試題卷上作答，答案無效。3. 考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回。參考公式如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件，相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑 一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2定義集合運(yùn)算:設(shè),則集合的所有元素之和為A0 B2 C3 D63若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是A B C D4A B C D不存在5在數(shù)列中， ，則 A B C D6函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是 7已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是A B C D8 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 A1 B46 C4245 D42469若，則下列代數(shù)式中值最大的是A B C D 10連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長(zhǎng)度分別等于、，、分別為、的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：弦、可能相交于點(diǎn) 弦、可能相交于點(diǎn)的最大值為5 的最小值為1其中真命題的個(gè)數(shù)為A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)11電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00:00到23:59的每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成，則一天中任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為A B C D12已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)，與至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A B C D 絕密啟用前2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)第卷注意事項(xiàng)： 第卷2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，若在試題上作答，答案無效。二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。請(qǐng)把答案填在答題卡上13直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，若為線段的三等分點(diǎn)，則= 14不等式的解集為 15過拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則 16如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P。如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)（圖2）。有下列四個(gè)命題：A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)C任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)D若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號(hào)是： （寫出所有真命題的代號(hào)）三.解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，求及18（本小題滿分12分）某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施；若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5. 若實(shí)施方案二，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6. 實(shí)施每種方案，第二年與第一年相互獨(dú)立。令表示方案實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)（1）寫出的分布列；（2）實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？（3）不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益10萬元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益20萬元；問實(shí)施哪種方案所帶來的平均效益更大？19（本小題滿分12分）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，.（1）求；（2）求證.20（本小題滿分12分）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作平面與側(cè)棱、或其延長(zhǎng)線分別相交于、，已知（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。?1（本小題滿分12分）設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，定點(diǎn).（1）求證：三點(diǎn)共線。（2）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在曲線方程.22（本小題滿分14分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；對(duì)任意正數(shù)，證明：絕密啟用前 秘密啟用后2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)參考答案 一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。題號(hào)123456789101112答案DDBAADCDACCB1.因所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，2.因，3.令，則，4.5. . ，6D. 函數(shù)7 .由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則又,所以8. 常數(shù)項(xiàng)為9. A. 10. 解：正確，錯(cuò)誤。易求得、到球心的距離分別為3、2，若兩弦交于，則，中，有，矛盾。當(dāng)、共線時(shí)分別取最大值5最小值1。11. . 一天顯示的時(shí)間總共有種,和為23總共有4種,故所求概率為.12. 解：當(dāng)時(shí)，顯然不成立當(dāng)時(shí)，因當(dāng)即時(shí)結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí)只要即可即則二. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。13. 14. 15. 16. B、D13. 由已知得,則1415. 16 解：真命題的代號(hào)是： BD 。易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯(cuò)誤；水平放置時(shí)由容器形狀的對(duì)稱性知水面經(jīng)過點(diǎn)P，故B正確；C的錯(cuò)誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點(diǎn)P將露出水面。三. 解答題：本大題共6小題，共74分。17.解：由得 ，又由得 即 由正弦定理得18.解：（1）的所有取值為的所有取值為,、的分布列分別為：0.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.150.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08（2）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，,可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大（3）令表示方案所帶來的效益，則101520P0.350.350.3101520P0.50.180.32所以可見，方案一所帶來的平均效益更大。19解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，依題意有由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，解得故（2）20解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以，則平面，所以。又是的中點(diǎn)，所以，則。因?yàn)椋悦?，則，因此面。（2）作于，連。因?yàn)槠矫?，根?jù)三垂線定理知，就是二面角的平面角。作于，則，則是的中點(diǎn)，則。設(shè)，由得，解得，在中，則，。所以，故二面角為。解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則所以所以所以平面由得，故：平面(2)由已知設(shè)則由與共線得:存在有得 同理:設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則令得 又是平面的一個(gè)法量所以二面角的大小為（3）由（2）知，平面的一個(gè)法向量為。則。則點(diǎn)到平面的距離為21證明：（1）設(shè)，由已知得到，且，設(shè)切線的方程為：由得從而,解得因此的方程為：同理的方程為：又在上，所以，即點(diǎn)都在直線上又也在直線上,所以三點(diǎn)共線（2）垂線的方程為：，由得垂足，設(shè)重心所以 解得由 可得即為重心所在曲線方程22解：、當(dāng)時(shí)，求得 ，于是當(dāng)時(shí)，；而當(dāng) 時(shí)，即在中單調(diào)遞增，而在中單調(diào)遞減 （2）.對(duì)任意給定的，由 ，若令 ，則 ，而 （一）、先證；因?yàn)?，又?，得 所以（二）、再證；由、式中關(guān)于的對(duì)稱性，不妨設(shè)則（）、當(dāng)，則，所以，因?yàn)?，此時(shí) （）、當(dāng) ，由得 ,，因?yàn)?所以 同理得 ，于是 今證明 , 因?yàn)?，只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)，此為顯然 因此得證故由得 綜上所述，對(duì)任何正數(shù)，皆有絕密啟用前 秘密啟用后2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分參考 四. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。題號(hào)123456789101112答案DDBAADCDACCB五. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。13. 14. 15. 16. B、D六. 解答題：本大題共6小題，共74分。17.解：由得1分 2分，又 3分 5分由得 即 7分 8分 9分由正弦定理得 12分18.解：（1）的所有取值為 1分的所有取值為, 2分、的分布列分別為：0.80.91.01.1253分1.25P0.20.150.350.150.150.80.961.01.24分1.44P0.30.20.180.240.08（2）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，, 5分 6分可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大7分（3）令表示方案所帶來的效益，則10158分20P0.350.350.310159分20P0.50.180.32所以 11分可見，方案一所帶來的平均效益更大。 12分19解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)， 2分依題意有4分由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，解得 7分故 8分（2） 9分 10分 12分20解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以，則平面，所以。 2分又是的中點(diǎn)，所以，則。 3分因?yàn)?，所以面，則， 4分因此面。5分（2）作于，連。因?yàn)槠矫妫鶕?jù)三垂線定理知， 7分就是二面角的平面角。 8分作于，則，則是的中點(diǎn)，則。設(shè)，由得，解得，10分在中，則，。11分所以，故二面角為。12分解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 2分所以所以 3分所以平面 4分由得，故：平面5分(2)由已知設(shè)則6分由與共線得:存在有得同理: 8分設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則令得又是平面的一個(gè)法量 11分所以二面角的大小為 12分21證明：設(shè)，由已知得到，且，1分（1）垂線的方程為：，由得垂足，2分設(shè)重心所以 3分解得 4分由 可得7分即為重心所在曲線方程（2）設(shè)切線的方程為：由得8分從而,解得9分因此的方程為：同理的方程為：10分又在上，所以，即點(diǎn)都在直線上 11分又也在直線上,所以三點(diǎn)共線12分2