最全數(shù)學建模教程.ppt

什么是模型?,數(shù)學模型從哪里來,到哪里去?,如何去培養(yǎng)數(shù)學建模的自覺性?,什么是數(shù)學模型?,你想了解數(shù)學建模競賽嗎?,數(shù)學建模教程 令你耳目一新,本書從若干智力游戲、歷史趣題和一些看似簡單的實用問題入手，循序漸進地引進數(shù)學建模的基本思想和方法。,在簡要介紹了規(guī)劃模型、經(jīng)濟數(shù)學模型、生物數(shù)學模型等基礎數(shù)學模型之后，對全國大學生數(shù)學建模競賽的若干典型賽題進行了探討。,第1章 從實際問題到數(shù)學模型 1.1 初識數(shù)學模型 1.2 幾個歷史性問題 1.3 利益博弈 1.4 幾項智力游戲 1.5 棋牌中的數(shù)學 第2章 基礎數(shù)學模型 2.1 概率模型 2.2 幾個簡單的高等數(shù)學問題 2.3 萬有引力定律與三個宇宙速度 2.4 規(guī)劃模型 2.5 經(jīng)濟數(shù)學模型 2.6 生物種群增長的數(shù)學模型,數(shù)學建模教程,第3章 競賽題選講 3.1 基金使用計劃 3.2 車燈線光源的優(yōu)化設計 3.3 鎖具裝箱 3.4 節(jié)水洗衣機問題 3.5 最優(yōu)捕魚策略 3.6 艾滋病療法評價及療效預測 3.7 長江競渡,附:全國大學生數(shù)學建模競賽章程,一、歷史地看數(shù)學,二、從模型的角度看數(shù)學,三、數(shù)學的嚴謹性和實用性,序 言,一. 歷史地看數(shù)學,恩格斯認為，“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學”。,九章算術(shù)是我國古代的經(jīng)典數(shù)學名著。,歐幾里得的幾何原本是近代數(shù)學公理化的楷模。,十七世紀，由于科學與技術(shù)上的要求促使數(shù)學家們研究運動與變化。,十八世紀，解析幾何與微積分創(chuàng)立。,十九世紀開始，概率論、拓撲學、運籌學、系統(tǒng)論、控制論、數(shù)理統(tǒng)計學等學科產(chǎn)生并且迅速完善起來。,美國著名數(shù)學家R.柯朗指出：“毫無疑問，數(shù)學的一切進展都不同程度地植根于實際的需要。但是，一旦數(shù)學在實際需要的迫使下被推動了，它自身就不可避免地便獲得一種動量，使之超越出直接應用的界限?！?數(shù)學的內(nèi)涵發(fā)生了變化，人們很難再去用代數(shù)、幾何以及空間形式和數(shù)量關(guān)系這樣寥寥的詞匯來給數(shù)學做出令人信服地描述性定義了。因為數(shù)學已經(jīng)深入研究了數(shù)和形以外的太多的東西。,數(shù)學是關(guān)于抽象模型的科學。,二. 從模型角度看數(shù)學,方程是表現(xiàn)等量關(guān)系的數(shù)學模型,“1”是最簡單的數(shù)學模型。,“點”、“面”、“線”都是抽象的模型，幾何學可以說是研究模型的科學。,非歐幾何以及泛函分析、拓撲理論的誕生，幾何這種數(shù)學模型掙脫了直觀和低維的束縛，空間的內(nèi)涵有了極大的改變。,數(shù)學的發(fā)展過程，就是不斷地構(gòu)建新的模型、完善模型和從低層次模型過渡到高層次模型的過程。,至少可以說，數(shù)學是一門與抽象模型密切相關(guān)的科學。,當今和未來的很多數(shù)學研究，其對象或許是建立在已有數(shù)學模型基礎之上的更加抽象化的模型。,自然科學的主要研究對象是 物質(zhì)存在的自然規(guī)律,社會科學的主要研究對象的是 社會規(guī)律和主觀意識,當然，自然科學不能脫離社會，社會科學也不能與自然無關(guān)。,數(shù)學獨立于自然科學和社會科學,三. 數(shù)學的嚴謹性和實用性,科學和學說是對客觀規(guī)律的理論解釋.,牛頓是在蘋果樹下頓悟了萬有引力定律，牛頓堅信質(zhì)量的恒定。,進入上個世紀以后，著名物理學家愛因斯坦推翻了質(zhì)量不變的神話。,科學研究就是尋求事物的公共特征、探索其公共屬性,均衡、知識的通用性和嚴密性 是學科審美的基本依據(jù),數(shù)學具有獨到的學科美,經(jīng)驗羅列是學科發(fā)展的最初級階段,古羅馬建筑的窗戶寬長比大多接近0.618,數(shù)學最基本的學科特征在于,來源的實踐性、,結(jié)構(gòu)的抽象性、,模型的多樣性、,推理的精密性、,計算的精確性、,體系的統(tǒng)一性、,應用的廣泛性。,把握均衡和追求精確的側(cè)重取向 是工程師和學者的主要區(qū)別,精確地刻畫均衡,很多直感美蘊含著價值因素，美的結(jié)論應該立足于價值的精確性,期待數(shù)學的介入,首推數(shù)學模型,返回,華羅庚所說：“宇宙之大，粒子之多，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁無一不可用數(shù)學來表達?！?任何應用問題，一旦建立起了數(shù)學的模型，就會立即顯現(xiàn)出解決問題的清晰途徑和通向勝利的一線曙光。,第1章 從實際問題到數(shù)學模型 1.1 初識數(shù)學模型 1.2 幾個歷史性問題 1.3 利益博弈 1.4 幾項智力游戲 1.5 棋牌中的數(shù)學,返回,軍隊作戰(zhàn)室中的沙盤、建筑開發(fā)商售樓的立體廣告，還有航空模型等等。,1.1 初識數(shù)學模型,為了展示微觀的分子結(jié)構(gòu)，要把模型做大些。,象棋和軍棋是從戰(zhàn)爭簡化而來的，下棋過程可以理解為戰(zhàn)爭的模型。,社會的經(jīng)濟增長率、人口增長預測對應著公式和圖表 。,要是忽略和淡化應用的背景，所遇到的問題就轉(zhuǎn)化成了公式、圖表、方程組等等，這樣就得到了與實際問題相對應的數(shù)學模型。,1.1.1 簡化和替代,數(shù)學是一門古老的科學，也是生命力極其旺盛的科學。不同學科很多方面的應用問題，經(jīng)過適當?shù)暮喕吞釤挾細w結(jié)成了數(shù)學。數(shù)學的知識和方法無處不在。,數(shù)學模型只是事物本質(zhì)屬性的某種替代品。,天氣有冷有熱，物體可重可輕。創(chuàng)造了溫度計和秤，冷熱就有了度數(shù)，物體就有了重量。,有了度量標準，各方面因素都可以賦予一定的量值。,（以數(shù)學的抽象方式來體現(xiàn)事物規(guī)律的替代品）,“2+1”是數(shù)學模型不同的問題可能得到相同的數(shù)學模型,1.1.2 數(shù)是抽象模型,分數(shù)和小數(shù),有理數(shù)與無理數(shù).,虛數(shù) ,1.1.3 兩道算術(shù)題,設水池的總?cè)萘繛?。兩臺抽水機同時工作所需要時間為,例1 兩臺不同功率的抽水機向一個大水池中注水。如果第一臺抽水機單獨工作，4小時可以將水池注滿；如果第二臺抽水機單獨工作，6小時可以將水池注滿?，F(xiàn)在由兩臺抽水機同時工作，需要多長時間注滿水池？,（小時）,請注意，狗奔跑的時間恰好等于大孩追趕小孩所需的時間！,例2 大孩和小孩帶著一條狗在馬路上奔跑。初始時刻小孩在大孩和狗的前面100米，小孩以每分鐘20米的速度向前跑，大孩以每分鐘30米的速度追趕小孩，狗的速度是每分鐘50米。狗和大孩同時開始追趕小孩，它追上小孩后立即折回跑向大孩，與大孩子相遇后返身繼續(xù)追小孩，。從大孩子開始追小孩到追上小孩的這段時間內(nèi)，狗一共跑了多少路程？,（米）,1.1.4 弧度制,弧度制是對角大小的另一種度量方式，弧度制的基本原理與平面相似形有關(guān)。,1,扇形,相似于扇形,因此，可以用扇形弧長與半徑之比來確定圓心角。,比如，當扇形的弧長與半徑之比為,時，對應的圓心角是直角；,時，對應的圓心角是平角（扇形剛好是半圓）.,當扇形的弧長與半徑之比為,弧度制的主要特點是只用數(shù)就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量綱（名數(shù)）。,返回,例1 孫子算經(jīng)中記載了這樣的一個問題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”,1.2 幾個歷史性問題,如果考慮“獨腳雞”和“雙腳兔”的話，腳就由94只變成了47只。,1.2.1 丟番圖問題,每只“雞”的頭數(shù)與腳數(shù)之比變?yōu)?：1，,每只“兔”的頭數(shù)與腳數(shù)之比變?yōu)?：2。,“獨腳雞”和“雙腳兔”的腳的數(shù)量與他們的頭的數(shù)量之差，就是兔子的只數(shù),雞的數(shù)量就是,（只）。,（只）；,例2 一百匹馬，一百塊瓦，大馬馱仨，小馬馱倆，馬仔倆馱一塊。問大馬、小馬、馬仔各幾何。,解 設大馬，小馬，馬仔分別為,匹，應有,分別消去 和 可得,這是一個不完全方程組的求整數(shù)解問題丟番圖問題。,可見，問題共有七組解。,都是3的倍數(shù)，故可能取值如下。,返回,例3 華裔科學家李政道在中國科技大學少年班提出 “五猴分桃”的問題。,五只猴子分一大堆桃。第一只猴子單獨來了，它發(fā)現(xiàn)桃子的總數(shù)比5的某個倍數(shù)多1，于是它吃了一個桃子然后拿走了總數(shù)的五分之一；第二只猴子來了，誤以為自己最先到達，它發(fā)現(xiàn)桃子的總數(shù)比5的某個倍數(shù)多1，它也吃了一個桃子然后拿走了總數(shù)的五分之一，最后，第五只猴子發(fā)現(xiàn)桃子的總數(shù)比5的某個倍數(shù)多1，它也吃了一個桃子然后拿走了總數(shù)的五分之一。試問起初的這堆桃子至少要有多少個。,設這堆桃子共有 個，第五只猴子離開之后剩下 個桃子。,第一只猴子連吃帶拿，共得到 個桃子；剩下,（個）。,第二只猴子共得到 個桃子；剩下的個數(shù), 第五只猴子離開之后，剩下桃子數(shù)目應該是,于是，有,，,故必有,是,的倍數(shù)且,是,的倍數(shù)。,最小的可能是,41020，,最小的可能是,43121。,據(jù)周髀算經(jīng)記載，早在公元前1100年，商高就知道：,1.2 幾個歷史性問題,1.2.2 勾股定理和費爾馬大定理,畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”已經(jīng)是500年以后的事情了。,“勾廣三，股修四，徑隅五”。,畢達哥拉斯觀察地下鋪的方磚,發(fā)現(xiàn),中間的部分是等腰直角三角形。,他猜測，對于一般的直角三角形,應有,是任意正整數(shù)）。,和,有否還有正整數(shù)解呢？,大約在1637年，費馬閱讀一本名為丟番圖的書，其中第二卷第8個命題說的就是“把一個平方數(shù)分成兩個平方數(shù)之和”的問題。費馬信手在數(shù)的空白處下這樣一段話：“將一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)、一個 4次方數(shù)分成兩個 4次方數(shù)，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次的冪，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證明，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！?丟番圖認真研究后得到了方程,的通解,，,（,，,當自然數(shù),時，方程,法國17世紀的一位業(yè)余數(shù)學家費馬斷言：當,任何正整數(shù),都不能滿足這個方程。這就是著名的費馬大定理。,直到1993年，這一曠世難題被英國數(shù)學家安德魯懷爾斯所破解。稍后他在理查泰勒的協(xié)助下終于完成了全部證明，并因此獲得菲爾茨特別獎和沃爾夫獎。,在地圖上，任何兩個相鄰的國家應該著上不同的顏。人們發(fā)現(xiàn)，每幅地圖上不管有多少個國家，只用四種顏色就可以。,1.2.3 四色問題,1970年至1976年，美國伊利諾大學哈肯和阿佩爾合作，在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。,這個問題最早是由畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯格思里大約于1852年提出來的。1872年，倫敦數(shù)學學會上提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關(guān)注的問題。,1890年，在牛津大學就讀的年僅29歲的海伍德證明了一個較弱的命題五色定理。,四色問題的研究，是小問題引出大模型的實例。計算機參與證明的合法地位也由此得到了認可。,1.2.4 哥尼斯堡七橋,1726年，瑞士數(shù)學家歐拉（17011783）受聘于沙俄科學院，后來出任數(shù)學部主任。1736年秋天，歐拉收到來自東普魯士首都哥尼斯堡（今屬奧地利）的一封信，哥尼斯堡大學的學生在來信中向他請教的是下面一個問題。,布勒格爾河橫穿市區(qū)，哥尼斯堡大學的校園就坐落于新舊河道交匯處。校園附近有一個小島，七座小橋分別連通著河岸、小島和半島。傍晚前后，學生們?nèi)齼蓛傻厣⒉接谛u上與河岸邊。,有人突發(fā)奇想，能不能在一個晚上走遍這七座橋而每座橋又都只通過一次呢？,哥尼斯堡是條頓騎士在1380年建立的，作為日耳曼勢力最東端的前哨達四百年之久。第二次世界大戰(zhàn)以后，他被更名為加里寧格勒，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間，加里寧格勒現(xiàn)仍屬俄羅斯。,作為一筆畫，應該只有一個起點和一個終點，而其它點只能是通過點,歐拉在草紙上勾畫出示意圖。在他看來，問題是否有可行的方案，與島、半島的大小無關(guān)，也與河岸上橋頭的間隔及小橋的長度無關(guān)。因而不妨將半島、兩側(cè)河岸和小島都縮為一點，將各個小橋代之以線。,現(xiàn)在的問題是，能否用一只鉛筆從“結(jié)點”A、B、C、D之中的某一點開始，不抬筆地連續(xù)描完每一條線而不出現(xiàn)線路重復呢？,類似這樣的問題，后來被統(tǒng)稱為“一筆畫”問題。,圖中四個節(jié)點A、B、C、D都是奇節(jié)點。所以，這是一個不可行的一筆畫問題。,牛頓定律的發(fā)現(xiàn)過程是艱苦細致的，其中包含數(shù)度猜想和大量的驗證，但是定律的最終體現(xiàn)方式確是數(shù)學的形式。力學三定律和萬有引力定律一般敘述如下。,1.2.5 牛頓定律,萬有引力定律： 。,第一定律：任何物體都保持靜止或作勻速直線運動的狀態(tài)，除非作用在它上面的力迫使它改變這種狀態(tài)；,第二定律： 。,從數(shù)學的角度來看，第二定律是第一定律的特殊情況。第二定律、第三定律和萬有引力定律都是物理現(xiàn)象的數(shù)學模型。,第三定律：作用力與反作用力大小相等方向相反，即,;,返回,戰(zhàn)國時期，我國出現(xiàn)一位杰出的軍事家孫臏。,1.3 利益博奕,起初，孫臏在魏國作官，由于同僚龐涓忌賢妒能百般迫害，孫臏幾乎喪命于魏國。后來被齊過使臣秘密救出送到了齊國引見給齊國的大將軍田忌。,齊王酷愛賽馬，田忌多次與國王賭輸贏，屢賭屢輸。一次賽馬時，孫臏隨田忌來到賽馬場。孫臏了解到，大家的馬按奔跑的速度分為上中下三等，等次不同裝飾不同，各家的馬依等次比賽，比賽為三賽二勝制。,比賽前田忌按照孫臏的主意，第一場，用上等馬鞍將下等馬裝飾起來，冒充上等馬， 與齊王的上等馬比賽。第二場，田忌用自己的上等馬與國王的中等馬比賽，贏了第二場。 關(guān)鍵的第三場，田忌的中等馬和國王的下等馬比賽，田忌的馬略勝了一籌。結(jié)果二比一，田忌贏了國王。,后來，齊威王任命孫臏為齊國軍師，取得了無數(shù)以少勝多、以弱制強的輝煌戰(zhàn)例。,1.3.1 田忌賽馬,即便是在運籌學理論非常完善了的今天，田忌賽馬的故事仍不失為經(jīng)典范例。,假定某海灘沿海岸線均勻分布著很多日光浴者。有兩個出售同種飲料的商販來海灘設攤位，試問如何設位？,顯然，在,不難預見，綠色攤位也愿意左移。,處各設一個攤位最合理。,和,但是，紅色的攤位如果向右移一點的話，情況如何？,如果它們都在,附近的位置的話，哪個攤位還會有偏移的,打算呢？,1.3.2 納什均衡,一. 海灘占位,有互不熟悉的兩人在公共場所斗毆，將接受處罰。,若兩人均投案，則因在公共場所斗毆各被罰款200元；若兩人均不投案，則只能按普通滋事各罰款100元；要是只有一人投案而另一人拒不承認，仍可確定為斗毆，投案者免予處罰，不投案者被認定為是主要肇事方被罰款400元。,我們站在甲的角度來看問題，他并不知道乙是否會投案。假若乙不投案，甲也不投案將罰款100元，但若甲選擇投案就會免予處罰；假若乙已經(jīng)投案的話，甲不投案將被罰款400元，投案則只罰款200元。,甲,乙,二. 囚徒困惑,可見，不論乙是否會與警察配合，從甲的實際利益出發(fā)，他總會投案的。,出于同樣的原因，乙也會選擇投案。,結(jié)果，甲乙二人均被罰款200元，雖然他們都知道還有各罰100元的處罰方案，但那樣的結(jié)果不太可能出現(xiàn)。,即便是重新征求各自的意見，甲和乙都沒有改變態(tài)度的愿望。,這一結(jié)果的出現(xiàn)，被稱為納什均衡。,約翰F.Nash(納什)是著名的美國數(shù)學家，1928年生，1950年獲普林斯頓大學博士學位1994年獲諾貝爾經(jīng)濟學獎。納什均衡是他最具代表性的學術(shù)成果。,1.3.3 海盜分金,假定這五個海盜都是高智商且極其貪財?shù)摹Ｔ噯柡１I1會制定出怎樣的分贓方案，以使自己免于葬身魚腹。,5名海盜搶到了100塊金幣（大小完全相同），他們準備采用以下的方法分贓。,抽簽為每人確定1、2、3、4、5這五個不同的序號，先由抽到1的人提出自己的分贓方案，如果他的方案被超過一半人贊同，那么就按照他的意見分贓；但是如果他的意見沒有得到過半數(shù)人贊同的話，他將被扔進大海去喂鯊魚。,當海盜1被投入大海之后，由序號是2的人重新制定分贓方案。如果海盜2的方案在現(xiàn)有海盜中超過半數(shù)同意便執(zhí)行，否則也將海盜2投入大海。依次類推。,如果船上只剩下了海盜4和海盜5兩個人的話，根據(jù)規(guī)則4號海盜只能提出0:100 的分贓方案，5號獨得全部，就不必反對了。四號才可以活命。,要想弄清楚海盜1應該制定怎樣的分贓方案，還是從假若只剩下兩個人時的情況說起。,海盜3 能夠預見到自己被投海后將發(fā)生的事情，他應該懂得：自己制定的分贓方案只要能給海盜4一塊錢，海盜4就會滿足的。于是，3號提出的方案一定是99:1:0 。讓5號白白去投反對票好了。,海盜2要想避免被扔下海，它必須爭取兩張贊同票。但是，即便分給海盜3全部100塊中的98塊金幣，貪婪的海盜3也不會贊成，可以爭取的兩張贊同票只能是海盜4和海盜5了。,其實，只要共拿出3塊金幣分給海盜4和海盜5，就可以用最小的成本獲得平安。于是，海盜2的方案就選擇了97:0:2:1。,海盜1不能指望任何方案能使海盜2滿意，它可以制定出94 : 0 : 1 : 3 : 2的分贓方案。那樣，它可以獲得三張贊成票。,現(xiàn)在回到問題的開始。,然而，視錢如命的海盜1不會浪費哪怕是一枚金幣，他實際拿出來的分贓方案將是 97 : 0 : 1 : 0 : 2。,海盜2號和海盜4當然會反對了，但是海盜3和海盜5都不反對，因為這已經(jīng)是他們最好的收益了。,1.3.4 權(quán)力指數(shù),否定其他股東預決議的能力稱為他的 權(quán)力指數(shù)。,某公司有A、B、C、D、E五個股東，遵循“一股一票”的決策原則。他們的股份分別為：A占36股，B占16股，C占16股，D占16股，E占16股。,公司在做出重大決策的時候，需要按股權(quán)進行投票表決。在很多情形下，大股東的態(tài)度對于決策有著出人意料的巨大影響。,具體的說，某項決議的通過，按照股權(quán)進行表決時有以下幾種可能。,（1）假若A暫時不在場，B、C、D、E是否可以直接做出決定而無需顧及A的態(tài)度？,（2）假若股東B暫時不在場，A 、C、D、E是否可以直接做出決定而無需顧及A的態(tài)度？,（3）同樣道理，假若股東 C、D、E暫時不在場，情況怎樣？,（1）假若A暫時不在場，由 B、C、D、E對于某項議案進行了初步的表決，我們稱之為預決策。,如果在預決策過程中，贊成票持股的總和或者反對票持股的總和已經(jīng)超過了總數(shù)100股一半的50股的話，其實無須再征求A的意見便可執(zhí)行預決策 。,但如果預決策中贊成票持股的總和與反對票持股的總和都沒有達到50股的話，就必須征求A的意見才能形成最后的決議！此時，A的態(tài)度決定著議案被取舍。,預決策時，共有,種情形。,除掉情形1）和情形16以外，其余的14種情形下，議案能否通過是完全由A的態(tài)度所取舍的。因此， A的權(quán)力指數(shù)為14。,然而， B推翻預決策的能力卻是微弱的！具體地說，A同意時只有C、D、E均反對才由B的態(tài)度所取舍， A不同意時則只有C、D、E 均贊成的情形才由B的態(tài)度來決定。其它情形的預決策都不會被B所改變。,（2）假若股東B暫時不在場，A 、C、D、E預決策的選擇也有種情形。,B的權(quán)力指數(shù)為2。,C、D、E 的權(quán)力指數(shù)也都是2。,在多數(shù)情形下，大股東A的好惡決定著決策取向。,1.3.5 議員名額的分配,議會是一些國家的決策機構(gòu)，議員的名額分配應該兼顧不同區(qū)域國民的利益。,某國家有區(qū)域大小不等（不同民族）的六個地區(qū)。根據(jù)人口的不同比例，國家議會的議員人數(shù)按地區(qū)分配如下表。,議員的總?cè)藬?shù)是31。雖然地區(qū)A、地區(qū)B、地區(qū)C的議員都不足以單獨左右議會決議，但這三個地區(qū)中任何兩個地區(qū)的票數(shù)之和都已經(jīng)超過了議會的半數(shù)。,有人建議將A地區(qū)的議員人數(shù)恢復到12人。這時，議員總數(shù)增加到33人。,即便增加地區(qū)的權(quán)力指數(shù)， D、E、F地區(qū)的權(quán)力指數(shù)已經(jīng)為零，不必擔心繼續(xù)降低。,重新計算會發(fā)現(xiàn)，地區(qū)A的權(quán)力指數(shù)上升了1.615，地區(qū)B和地區(qū)C的權(quán)力指數(shù)有了明顯的下降。,那是因為9716的票數(shù)達不到總票數(shù)的一半，A、D、E、F的聯(lián)合足以對抗BC。,出人意料的結(jié)果是:,D、E、F的權(quán)力指數(shù) 都不再是零！,然而， B推翻預決策的能力卻是微弱的！具體地說，A同意時只有C、D、E均反對才由B的態(tài)度所取舍， A不同意時則只有C、D、E 均贊成的情形才由B的態(tài)度來決定。其它情形的預決策都不會被B所改變。,（2）假若股東B暫時不在場，A 、C、D、E預決策的選擇也有種情形。,B的權(quán)力指數(shù)為2。,C、D、E 的權(quán)力指數(shù)也都是2。,在多數(shù)情形下，大股東A的好惡決定著決策取向。,返回,大禹治水的時代誕生了河圖洛書。右圖所示的就是洛書中的算圖。用現(xiàn)代數(shù)學語言來演繹，它表示的是三階幻方。,1.4 幾項智力游戲,三階幻方俗稱九宮格，就是在平面上畫好的表格，再把19這九個數(shù)字分別填寫在這九個方格內(nèi)。要求每行的三個數(shù)字之和、每列的三個數(shù)字之和以及每條對角線上三個數(shù)字之和都相等。,當幻方的階數(shù)高于3階時，問題會變得復雜起來。,1.4.1 幻方,從已經(jīng)填好的右表來看，1、2、3這三個較小的數(shù)分別填在了既不同行又不同列的位置上，9、8、7這三個較大的數(shù)也分別填在了既不同行又不同列的位置，這應該是起碼的游戲常識。,把最小的數(shù)字“1”填在第一行中間的方格內(nèi)是可以理解的。次小的數(shù)字“2”和以后的數(shù)字都應該填在哪里呢？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,（1）如果剛剛填完的數(shù)字既不在表格的第一行，也不在最后一列，則下一個數(shù)字填寫在這個數(shù)字的右上角。,（2）如果剛剛填完的數(shù)字正好在表格的第一行，但是不在最后一列，則下一個數(shù)字填寫在表格的最下邊一行右邊的一列；,（3）應該填寫的位置如果已經(jīng)有了數(shù)字，則填寫在下一行相同的位置。,上述方法不但適用于三階幻方，也適用于五階、七階的幻方。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,表中每一行、每一列五個數(shù)字的和都是65，兩條對角線上五個數(shù)字的和也是65。,按照以上的填寫方法，任何奇數(shù)階的幻方都不難完成。,但需要指出的是，這種方法用于偶數(shù)階的幻方的時候，會出現(xiàn)一定的問題。首先遇到的問題是“1”應該填在那里。,這兩個表都是已經(jīng)填好的四階幻方.,偶數(shù)階的幻方可以采取一分為四的預填寫辦法，預填寫之后對調(diào)少數(shù)數(shù)字進行調(diào)整，這一般來說是可行的。,一.走馬分油,1.4.2 韓信故事兩則,韓信騎在馬上說: “葫蘆歸罐罐歸簍，二人分油回家走?！闭f完了，打馬遠去。,兩個人按照韓信的辦法倒來倒去，果然把油分成每人5斤，各自回家。,兩人在路邊分油。有一只容量10斤的簍，里面裝滿了油。還有一只7斤的空罐和3斤空葫蘆。兩人想要把這10斤油平分成每人5斤。,二人到底是怎樣把油分開的呢？,葫蘆可以量出3斤，關(guān)鍵在于如何量出另外的2斤油來。,這其實可以是一個用加減號連接10、7、3構(gòu)造算式的問題，運算過程的中間的數(shù)不能超過10，而最終得數(shù)是5。這里，出現(xiàn)2是關(guān)鍵性的企盼。這道算術(shù)題的答案是,把這個算式變成實際操作見下表，表中各列代表著每個步驟三種容器盛油量。,分油的過程還可以用下圖來演示。,圖中從左向右的幾個箭頭指明了利用3斤的葫蘆一再從簍中盛油到罐中，當7斤的罐裝滿之后，在右側(cè)斜線所表示的葫蘆中余下2斤油。至此，分出5斤油就容易做到了。,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,0 1 2 3 4 5 6 7,1,2,3,2斤,二.韓信點兵,韓信在此只是就小數(shù)字的情形來說明自己的點兵之法。這28個字的實際含義是：,“三人同行七十稀，五束梅花廿一支，七子團圓整半月，除百零五便得之?！?先命令士兵站成三列，將最后一排的人數(shù)乘以70 ；,再重新站成五列，將最后一排的人數(shù)乘以21；,然后改站成七列，將最后一排的人數(shù)乘以15。,把這三個乘積加起來，去掉105的整數(shù)倍，得到的就是士兵人數(shù)。,為了說明韓信點兵的數(shù)學原理，可以用,表示士兵總?cè)藬?shù)。設,注意到,一定是一個整數(shù)，,便知:,“三人同行七十稀，五束梅花廿一支，七子團圓整半月，除百零五便得之?！?1.4.3 華容道,游戲借喻于三國故事華容道上蜀將關(guān)羽義釋戰(zhàn)敗的曹操。,游戲的基本要求是充分利用剩余的空間，合理滑動這些棋子，使得大正方形（曹操）率先從下面的缺口處移出。,曹操,趙 云,關(guān)羽,張飛,黃忠,馬超,兵,兵,兵,兵,我們注意到：圖中的剩余空間可容納兩個兵，而兩個兵的面積等于任何一個矩形的面積，曹操又剛好等于矩形面積的2倍。,游戲的基本要領(lǐng)是適當運動這四個兵，為其它棋子創(chuàng)造移動空間。游戲者要利用盡可能少的行棋步數(shù)，想方設法從缺口處放走曹操。,（一）,（二）,13,27,（三）,（四）,42,61,（五）,（六）,67,94,行棋過程請注意以下要領(lǐng)：,（1）為了便于運行其它的兵將，曹操的下行路徑應該是沿著左側(cè)或右側(cè)而不是中央，因而首先要讓曹操離開中央位置；,（2）關(guān)羽同其它四個矩形擦肩而過的時候，上下各需要兩枚兵填充位置；,（3）既然“華容道”借喻的是三國故事，最終當然應該是關(guān)羽率兵放走了曹操。,用華容道的這十枚棋子還可以構(gòu)造不同的游戲，其規(guī)則與此相同。為區(qū)別這三種不同的構(gòu)圖，上圖稱為“橫刀立馬”，這兩圖分別稱為“過五關(guān)”和“水泄不通”。,完成上述過程需要行棋近百步，已知的最好成績約80步。,橫刀立馬,水泄不通,1.4.4 棋盤麥粒 梵塔 九連環(huán),國王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人西塔，問他想要什么。,印度有一個古老的傳說：舍罕王厭倦了皇宮單調(diào)的生活，一些大臣千方百計地尋找種種新奇的玩藝兒幫他解悶。,西塔獻上一種新發(fā)明的玩具。他用木頭雕刻出王、后、車、馬、相、兵共三十二個棋子，一半被染成黑色。畫出的64個小方格，在不相鄰的一半方格內(nèi)圖上黑色。,梵塔說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，直至擺完64個格子。,國王覺得微不足道，告訴侍者計算一下粒數(shù)，下午就請西塔拿著口袋來裝麥子 。,可是，下午西塔并沒有領(lǐng)獎賞他的麥子，因為宮廷總管還沒有算出來。直到三天后，總管告訴國王說：“西塔要的麥子太多，把全國所有的麥子都給他也不夠！”,西塔要求得到的麥粒到底有多少呢?,人們估計，全世界兩千年也難以生產(chǎn)這么多麥子!,在印度北部的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，于其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂梵塔。,不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。,把64片金片，由一根針上移到另一根針上，并且始終保持上小下大的順序，這一共需要移動多少次金片呢？,移動第1片只需1次，第2片則需2次，第3片需4次， 第64片需移動金片共有2的63次方次之多。,假如每秒鐘移動一次，共需要多長時間呢? 一年大約有31556926秒，計算表明，移完這些金片需要五千八百多億年!,不管把哪一片金箔移到另一根針上，移動的次數(shù)都要比移動上面一片的次數(shù)增加一倍。,借助于計算機計算出了結(jié)果，全部次數(shù)為 18446744073709551615次。,這和“麥粒問題“的計算結(jié)果是完全相同的!,“九連環(huán)”,想要摘下右數(shù)第一個圈兒和第二個圈兒是容易做到的的，只要抽動手柄，金屬圈兒就可以從手柄的中間落下來。,游戲的目標是將所有的金屬圈兒從手柄上摘下來。,但是要想摘下第三個圈兒的話，卻需要卸掉第一個圈兒而保留第二個圈兒；要想摘下第四個圈兒的話，需要卸掉第一個和第二個圈兒而保留第三個圈兒；要想摘下第九個圈兒的話，需要卸掉第一個至第七個圈兒而保留第八個圈兒。,如果將圈兒的個數(shù)增加到與金箔數(shù)相等的64個而做成“六十四連環(huán)”的話，完成操作所需要的時間必將會遠遠超過上面的五千八百億年!,1.4.5 猴子過河,有三只母猴各帶一只小猴子，準備利用一條小船渡河。試設計渡河方案。注意：,（1）每只猴子都會劃船，但船上每次只能承載兩只猴子（不論大猴還是小猴）； （2）每只小猴子在接觸到其它母猴的時候必須有自己的母親在場，否則將被傷害。,將三個大猴分別記為A，B，C， 對應的三個小猴子分別記為a，b，c。,A,B,C,a,b,c,首先過河的可以是Aa（Bb、Cc同理）或ab（bc、ac同理），但最先渡河的不能是AB（BC、AC同理）。,總之，當船第一次回到北岸時，留在南岸的是a。,第二次過河的只有一種可能，就是bc，其它方案都不可行。再由c將船送回北岸。,第三次過河的只能是AB，其它方案都不可行。,A,B,C,c,a,b,現(xiàn)在的問題是，由誰將船送回北岸？,北岸,南岸,只能由Aa（或Bb）送船 ！,1.4.6 猜帽子,某老師有三個非常聰明的學生，為考察其中那個學生最聰明，老師展示了三黑二白一共有五頂帽子。要求學生閉上眼睛后，給每位學生戴上一頂帽子。然后，讓他們同時睜開眼睛，通過觀察別人來斷定自己頭上帽子的顏色。,結(jié)果，三個學生互相看了看，都稍稍猶豫一下，同時說自己戴的是黑色帽子。試說明理由。,答案：事先，三個學生就都可以想到，老師不可能用上兩個白帽子。否則，第三個學生可以毫不猶豫地斷定自己頭上戴的是黑帽子，這顯然不公平。,為此，只要看到一個同學戴的是白帽子的話，就可以說自己頭上的帽子是黑色了。這一點，相信其他學生也清楚。,但是，在睜開眼睛的一瞬間，每一位同學都注意到，另兩個同學沒有馬上做出回答，這說明什么？,充分證明了自己戴的必然不是白色帽子（其實已經(jīng)斷定所有人帶的都是黑色帽子）！,有若干人在水龍頭前排隊打水，每人的水桶大小不同。請問應如何排隊才能使總體的等待時間最少？,1.4.7 打水排隊,假設已經(jīng)排好隊，有持大桶（15分鐘可接滿）、小桶（10分鐘可接滿）兩人相鄰。誰排在前面，能使兩人總的等待時間最短？,大桶15分鐘接滿,小桶10分鐘接滿,小桶10分鐘接滿,大桶15分鐘接滿,10X21535（分）,15X21040（分）,結(jié)論：小桶在前面,任何相鄰兩只桶都應該“前小后大”。否則就應該調(diào)換位置。,對于上述結(jié)論，不妨進行公決。你能猜到投票的結(jié)果嗎？,返回,將101粒棋子堆放在棋盤內(nèi)，參賽的兩人輪流從棋盤內(nèi)取走棋子。規(guī)定每人每次至少取走1粒棋子，也可以取2?；蛘?粒，但每次取棋子不能多于3粒。兩人輪換取走棋子，直至取完為止，拿到最后一粒棋子為勝利者。,1.5 棋牌中的數(shù)學,1.5.1 智取棋子,甲要使自己能夠取勝，必須創(chuàng)造條件，使得當乙在最后一次取棋子時棋盤上有且僅有4粒棋子！,現(xiàn)在, 由甲首先出手, 試問是否有必勝的方法。,這樣，不論乙拿走幾粒，甲總可以將剩余棋子一次取完從而確保獲勝。,假如倒數(shù)第二個回合中，在輪到乙取棋子的時候，如果棋盤上剛好剩8粒棋子的話,總之 ，甲必勝的策略是率先給乙留下4的倍數(shù)！,現(xiàn)在回到問題的開始, 既然本次游戲有101粒棋子， 可以采取“先取1再湊4”的策略！,不論乙這次拿走的是1粒棋子、2粒棋子還是3粒棋子，甲都可以從容應對，針對乙的不同選擇，甲在本回合相應地要拿3粒、2粒、1粒棋子，使得棋盤上剛好剩下4粒棋子而進入最后一個回合。,這樣，在甲第26次出手時會宣布勝利，而乙并不具有第26次出手的機會。,1.5.2 雙炮殘局,以下紅方只需走與黑棋同奇偶的步數(shù)，則必勝。,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,紅方先走： 七進三,思考題： 桌上有三堆火柴，分別為，根?，F(xiàn)在有兩人輪流來取，每次可以從任意一堆火柴中取出一根或多根（但最后一次必須是取一根），如果取到最后一根火柴的人算贏，問先取的人應當如何取才能穩(wěn)操勝券？,1.5.3 象棋子粒價值量化,9分,54分,45分,2分,12分,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,攻：11分,防：10分,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,和棋,一般來說，進攻分值超過防守分值可勝,攻 ：2529分,防：8分,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,黑勝,一般來說，進攻分值超過防守分值可勝,加2,成和棋,返回,1.5.4 勢的積蓄,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,布局,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,九 八 七 六 五 四 三 二 一,1 2 3 4 5 6 7 8 9,返回,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九,1.5.5 圍棋 基本計算,圍棋的棋盤由縱橫各十九條線繪制而成。棋子分為黑白兩種，黑181粒，白180粒。下棋時，兩人分別將棋子擺放在交叉點上。,開始比賽時由執(zhí)黑棋的一方先走 .,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九,三口氣,一口氣,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九,有兩個眼的棋是活棋!,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九,圍空,勝負的判定,全盤361點，各占180.5應該判為和棋。,黑棋先下，最后需退給白棋四分之三子后結(jié)算。,因此，若黑棋183.5,白棋177.5時判黑勝,因為:,若黑棋183,白棋178時判黑負,因為:,日本和韓國用圍空的多少直接計算勝負，而無需將棋盤全部填滿。目多為勝。,黑棋先下，最后需退給白棋五目半(也有7.5目或8目的規(guī)則)后結(jié)算。,目是下棋的位置，若黑棋下一子則自己得一目且剝奪了白棋占這一目的權(quán)利。故一子相當于兩目的價值。:,基本 戰(zhàn)術(shù),1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九,(1)枷吃,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九,(2)打劫,(3)打二還一,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九,(4)倒撲,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 十九,(5)征子與引征,A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2,A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2,A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2,A K Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2,順時針叫牌、發(fā)牌和打牌,1.5.6 橋牌開叫點數(shù),A K Q J,A K Q J,A K Q J,A K Q J,一副牌共13墩。一般認為，除16張AKQJ 外其它牌張,不太可能贏墩。 A、K、Q、J分別計4、3、2、1點，總共,40個牌點。平均每方20點，超過20點為強牌一方。,40點13墩，計算可知約3點可贏一墩牌。如果開叫在,一的水平，需要贏167墩牌才算完成定約，因而要持,有不少于3721點的大牌才可以開叫。,假如你本人手中持有13點的大牌的話，你的同伴和上、,下家總共有27點，故平均每人9點，己方共22點的可能性,結(jié)論：持13點者必須開叫。,如果首家不叫，你是第二家的話，持12點便可開叫了。,較大。超過21點，可以完成水平為一的定約。,因為你已經(jīng)知道上家不是一手強牌（少于13點），你的同,伴牌力不少于10點的可能性較大，故必須開叫。,結(jié)論：第二家持12點者應開叫，第三家11點開叫。,A K Q L,A K Q L,A K Q L,A K Q L,自然叫牌法,一副牌共13墩。一般認為，除16張AKQL外其它牌張,不太可能贏墩。 A、K、Q、L分別計4、3、2、1點，總共,40個牌點。平均每方20點，超過20點為強牌一方。,40點13墩，計算可知約3點可贏一墩牌。如果開叫在,一的水平，需要贏167墩牌才算完成定約，因而要持,有不少于3721點的大牌才可以開叫。,:A964 :9843 :J :KQJ7,:K72 :QJ65 :953 :1092,:QJ103 :K :8764 :A654,:QJ103 :K :8764 :A654,打牌,局況表,叫 牌（定約）,下家必須選擇上家右側(cè)或下方的叫品，也可以放棄不叫。,小滿貫 大滿貫,返回,橋牌競賽奧妙無窮，處處都閃爍著數(shù)學的光輝。對橋牌有興趣的讀者，可以參閱相關(guān)的橋牌書籍。,返回,第2章 基礎數(shù)學模型 2.1 概率模型 2.2 幾個簡單的高等數(shù)學問題 2.3 萬有引力定律與三個宇宙速度 2.4 規(guī)劃模型 2.5 經(jīng)濟數(shù)學模型 2.6 生物種群增長的數(shù)學模型,返回,2.1 概率模型,排列的直接原型是人員或者事物的排隊。這里所講的排隊不帶有歧視性。在排隊過程中，所有的元素（個體）機會均等。,例1 要把A、B、C三個人排成一隊，有幾種排法？,一全排列,三人排隊總共有,種不同的排法。,四人排隊，排頭可以選定為這四人中的任何人。不論選定了誰站在排頭，接下來的安排就變成了三人排隊的問題。所以，共有,種不同的排法 。,人排隊可以轉(zhuǎn)化成,個,人排隊問題，故,全排列數(shù)為,2.1.1 排列和組合,種不同的排法，黃組都有 種不同的排法與之對應。,列前，黃組（ 人）排在后面，有幾種排法？,例2 把 個人分成紅、黃兩組并且排成一列，規(guī)定紅組（ 人）,二選排列,前面 個人（紅組）的排法共有 種，對于紅組的每一,因此，在這樣限制條件之下的排法總數(shù)為共有,實際上，如果將紅組的人規(guī)定在其它的 個位置，排法的總數(shù)也與此相同 。,像這樣限定部分人排在規(guī)定部位的排列稱為選排列，排列計算公式為,排法的總數(shù)為 。,例3 某個部門有把 個成員，因工作需要準備派 人外出。試問共有幾種不同的選擇。,三組合,如果將所有成員排成一列，排在前 個位置的人為外出者，則,由于外出的人之間可以忽略次序，留下的人也忽略次序。因此，分組的方案顯然遠不及這個排列數(shù)。方案總數(shù)可以表示為,這剛好是全排列和選排列之商。,一般是認為兩種結(jié)果出現(xiàn)的機會均等，就是說兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性各占一半，各自的概率都 是 。,有些時候，人們并不能完全確定某個事件是否會出現(xiàn)，常常需要對事件發(fā)生的可能性做出判斷。概率理論最初所涉及的就是這樣的問題。,如果任意向上拋起一枚硬幣，讓它自由落地，事先并不敢肯定當它落地后會是“正面向上”還是“反面向上”。,2.1.2 古典概率,如果用,和,分別代表兩種不同的結(jié)果，用,和,代表兩個結(jié)果出現(xiàn)的概率（可能性）。應該有,，,。,發(fā)生的概率就是,發(fā)生。則事件,個等可能性的不同結(jié)果，其中 種情況,改為先后上拋兩枚硬幣的話，請問兩枚硬幣落下后同是正面或者反面的概率有多大？,其中分母表示一共有種可能的結(jié)果，分子表示共有種結(jié)果符合要求。,顯然，共有四種可能發(fā)生的結(jié)果： 正正，正反，反正，反反。,“正反面相同”的概率應該是 .,如果做某項試驗共有,都會導致某種事件,這就是古典概率的計算公式。,必然會發(fā)生事件的概率認為是1，這與人們常說“百分之百會如此”的習慣相一致，因為,例4 某人連續(xù)投擲同一枚硬幣。假定每次正面向上與反面向上的概率相同。試問： （1）事件 連續(xù)兩次都是正面向上的概率是多少？ （2）事件 第一次正面向上、第二次反面向