2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章解析幾何初步7.2.1直線的一般方程學(xué)案湘教版.docx

72.1直線的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解直線的方程與方程的直線的概念和關(guān)系2了解平面直角坐標(biāo)系中任意一條直線都可以用關(guān)于x，y的二元一次方程來(lái)表示3理解直線的一般式方程的特點(diǎn)，掌握求直線一般方程的方法預(yù)習(xí)導(dǎo)引1方程的圖象一般地，對(duì)任意一個(gè)二元方程f(x，y)0，以這個(gè)方程的某一組解(x，y)為坐標(biāo)，有唯一一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，所有這些點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)方程的圖象2定理1任意一個(gè)二元一次方程AxByC0(A，B不全為0)的圖象是與n(A，B)垂直的一條直線3直線的一般式方程(1)方程：AxByC0；(2)法向量：如果非零向量n與直線l垂直，就稱n是l的法向量4與v(a，b)垂直的向量n(b，a)或n(b，a)5直線方程的兩點(diǎn)式方程(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0要點(diǎn)一直線方程的概念例1已知方程2x3y60.(1)畫出這個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的直線l；(2)點(diǎn)(，1)是否在直線l上；(3)求直線的法向量；(4)方程2x3y60(xZ)是不是直線l的方程？直線l是不是該方程的直線？解(1)在方程中令x0或y0，得A(0，2)，B(3，0)，直線AB即為所求的直線l，圖象如圖所示(2)當(dāng)x，y1時(shí)，方程的左邊231612，右邊0，左邊右邊點(diǎn)(，1)不在直線l上(3)A2，B3，直線的法向量為n(2，3)(4)雖然以方程2x3y60(xZ)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在l上，但是l上點(diǎn)的坐標(biāo)不都是該方程的解，比如點(diǎn)C(，1)l，但，不是該方程的解，所以方程2x3y60(xZ)不是直線l的方程，直線l也不是方程2x3y60(xZ)的直線規(guī)律方法根據(jù)直線方程的概念解答或舉反例說(shuō)明跟蹤演練1如圖所示，方程yax0的直線可能是()答案B要點(diǎn)二利用直線的法向量求直線方程例2已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(1，1)，B(3，1)，C(1，2)(1)求高AD所在的直線方程；(2)求BC的垂直平分線l所在的直線方程；(3)求B的平分線BE所在直線方程解(1)BCAD，因此是直線AD的法向量(2，1)，故直線AD的方程具有形式： 2xyC0.將A(1，1)代入，得C1，因此直線AD的方程為2xy10.(2)BC的垂直平分線l過(guò)BC的中點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為(，)(2，)lBC，(2，1)是l的法向量故l具有的形式為2xyC0.將M(2，)代入，得C.故BC的垂直平分線l的方程為2xy0，即4x2y50.(3)(13，11)(4，2)，(13，21)(2，1)，|2，|.|.于是可在，方向上取長(zhǎng)度相等的向量和.則的方向就是角平分線的方向，(4，2)(2，1)(4，0)由(4，0)(0，1)0知n(0，1)垂直，即為BE的法向量故直線BE的方程具有的形式為0xyC0，將點(diǎn)B(3，1)代入，得C1，B的平分線BE所在直線方程為y10.規(guī)律方法通過(guò)該題可以總結(jié)出解決以下幾個(gè)問(wèn)題的算法：(1)已知直線AD的法向量n和直線上一點(diǎn)A的坐標(biāo)，求直線AD的方程；(2)已知與直線BE平行的向量v及B點(diǎn)坐標(biāo)，求BE的方程；以上兩個(gè)問(wèn)題在求直線方程時(shí)都充分利用了直線的法向量跟蹤演練2已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(3，4)，B(6，0)，C(5，2)，求：(1)邊AC的垂直平分線的方程；(2)高CD所在的直線方程解(1)AC的垂直平分線l過(guò)AC的中點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為(，)(1，1)lAC，是直線l的法向量，(8，6)，直線l方程具有的形式為8x6yC0.將M(1，1)代入，得8(1)6(1)C0，C2.故AC的垂直平分線方程為：4x3y10.(2)高CDAB，是CD的法向量又(3，4)，CD所在直線的方程形式為3x4yC0，將C(5，2)代入，得3(5)42C0，C7，CD所在直線方程為3x4y70.要點(diǎn)三已知兩點(diǎn)求直線方程例3已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(2，1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三條邊所在的直線方程解A(2，1)，B(2，2)，A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，直線AB與x軸垂直，故其方程為x2.A(2，1)，C(4，1)，由直線方程的兩點(diǎn)式可得AC的方程為(24)(y1)(11)(x4)0，即xy30.同理可由直線方程的兩點(diǎn)式得直線BC的方程式為(12)(x2)(42)(y2)0即x2y60.三邊AB，AC，BC所在的直線方程分別為x2，xy30，x2y60.規(guī)律方法當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程跟蹤演練3已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(2，2)，B(3，2)，C(3，0)，求這個(gè)三角形的三邊所在直線的方程解由兩點(diǎn)式方程可得AB所在直線為(22)(x2)(32)(y2)0，y2.AC所在直線方程為(02)(x2)(32)(y2)0，即2x5y60，BC所在直線方程為(02)(x3)(33)(y2)0，x3.1二元一次方程xy10的圖象為()答案A解析易知直線過(guò)(0，1)和(1，0)點(diǎn)，故選A.2直線x2y10的一個(gè)法向量為()A(1，2) B(1，2)C(1，2) D(1，2)答案A3法向量是n(2，3)，并且過(guò)(0，1)的直線方程為()Axy10 B2x3y30C2x3y0 Dxy10答案B解析法向量是n(2，3)的直線方程具有形式2x3yC0，將點(diǎn)(0，1)代入得3C0，C3，故直線的方程為2x3y30.4過(guò)點(diǎn)(1，2)且與過(guò)B(1，3)，C(3，0)兩點(diǎn)的直線垂直的直線方程為_答案4x3y20解析的坐標(biāo)為(31，0(3)(4，3)，故所求直線的法向量為，其形式為4x3yC0，將(1，2)代入得46C0，C2，所以所求直線方程為4x3y20.5直線(m2)x(2m)y2m與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，則m_.答案6解析直線(m2)x(2m)y2m與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，即x3時(shí)，y0，3(m2)(2m)02m.m6.1直線l的法向量不止一個(gè)，我們常用的是以x，y的系數(shù)為坐標(biāo)的向量n(A，B)2二元一次方程AxByC0的圖象就是過(guò)(，0)且與向量n(A，B)垂直的直線，確定此直線時(shí)，可以利用特殊點(diǎn)在直角坐標(biāo)系內(nèi)直接畫出圖象3若已知法向量和定點(diǎn)求直線方程時(shí)可有兩種方法，一是利用向量的內(nèi)積；二是將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入AxByC0求常數(shù)項(xiàng)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1直線2x3y10過(guò)()A第一、二、三象限 B第二、三、四象限C第一、三、四象限 D第一、二、四象限答案C解析直線2x3y10的圖象，如圖，故直線過(guò)一、三、四象限2直線3xay40的法向量為(3，2)，則a的值為()A2 B2 C3 D3答案B解析直線3xay40的法向量為n(3，a)，故a2.3過(guò)兩點(diǎn)(2，5)，(2，5)的直線的方程為()Ax Bx2Cxy2 Dy0答案B解析兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同， 直線與x軸垂直，x2.4過(guò)點(diǎn)(1，0)且與直線x2y20平行的直線方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析與直線x2y20平行的直線方程可設(shè)為x2yC0(C2)，將點(diǎn)(1，0)代入x2yC0，解得C1，故直線方程為x2y10.5直線的法向量n(2，3)，并且過(guò)點(diǎn)(3，4)，則直線的方程為_答案2x3y180解析設(shè)直線方程為2x3ym0，直線過(guò)點(diǎn)(3，4)，m2x3y233(4)18，直線方程為2x3y180.6經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(5，0)，(0，5)的直線方程是_答案xy50解析由兩點(diǎn)式方程，得(50)(x5)(05)(y0)0，即xy50.7已知直線l的方程為3x4y120，求直線l的方程，l滿足(1)過(guò)點(diǎn)(1，3)，且與l平行；(2)過(guò)點(diǎn)(1，3)，且與l垂直解(1)法一直線l與3x4y120平行，故直線l的法向量為n(3，4)設(shè)P(x，y)為直線l上的任意一點(diǎn)(3，4)(x1，y3)0，3x34y120，即3x4y90.法二設(shè)直線l的方程為3x4ym0，直線過(guò)(1，3)，3(1)34m0，m9.直線l的方程為3x4y90.(2)法一直線l與3x4y120垂直，直線l的法向量n(4，3)設(shè)P(x，y)為直線l上的任意一點(diǎn)，(4，3)(x1，y3)0，即4x43y90，即4x3y130.法二設(shè)直線l的方程為4x3ym0，又直線過(guò)(1，3)，則4(1)33m0，m13，直線l的方程為4x3y130.二、能力提升8已知A(1，2)，B(3，2)，則過(guò)A點(diǎn)且與AB垂直的直線l的方程為()Axy30 Bxy30Cxy30 Dxy30答案A解析lAB，是直線l的法向量，且(4，4)直線l方程的形式為4x4yC0.代入A點(diǎn)坐標(biāo)得414(2)C0，C12.直線l的方程為4x4y120，即xy30.9已知過(guò)點(diǎn)A(5，m2)和B(2m，3)的直線與直線x3y10平行，則m的值為_答案4解析直線x3y10的法向量n(1，3)，n0，(1，3)(2m5，5m)0，2m5153m0，m4.10直線l過(guò)點(diǎn)(1，1)，(2，5)，點(diǎn)(1 005.5，b)在l上，則b的值為_答案2 012解析直線l的方程為(51)(x1)(21)(y1)0，即2xy10.當(dāng)x1 005.5時(shí)，b21 005.512 012.11ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，4)，B(2，6)，C(8，0)(1)求邊AC所在直線方程；(2)求AC邊上的中線BD所在直線方程；(3)求邊AC的中垂線所在直線方程解(1)AC所在直線方程為：(04)(x0)(80)(y4)0，即：x2y80.(2)AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)(4，2)，直線BD的方程為(26)(x2)(42)(y6)0，即：2xy100.(3)AC的中點(diǎn)為(4，2)，是中垂線的法向量，(8，4)，中垂線所在直線的方程形式為8x4yC0.代入中點(diǎn)(4，2)，得8(4)42C0，C24.中垂線所在直線的方程為2xy60.三、探究與創(chuàng)新12已知A(3，2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC邊的方程；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程解(1)BC邊過(guò)兩點(diǎn)B(5，4)，C(0，2)，由兩點(diǎn)式得，即2x5y100.故BC邊的方程為2x5y100(0x5)(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x0，y03.M，又BC邊上的中線經(jīng)