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第25練 高考大題突破練導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)保分練1已知函數(shù)f(x)axx2xlnab(a,bR,a1),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)ae,b4時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若b1,求f(x)在1,1上的最大值2(2019江蘇省部分重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2alnx.(1)當(dāng)a0,使f(x)0成立,求a的取值范圍;(2)令g(x)f(x)(a1)x,a(1,e,證明:對(duì)x1,x21,a,恒有|g(x1)g(x2)|2.能力提升練4已知函數(shù)f(x)xlnx和g(x)m(x21)(mR)(1)當(dāng)m1時(shí),求方程f(x)g(x)的實(shí)根;(2)若對(duì)任意的x(1,),函數(shù)yg(x)的圖象總在函數(shù)yf(x)圖象的上方,求m的取值范圍;(3)求證:ln(2n1)(nN*)答案精析1解(1)f(x)exx2x4,所以f(x)ex2x1,所以f(0)0,當(dāng)x0時(shí),ex1,所以f(x)0,故f(x)是(0,)上的增函數(shù),當(dāng)x0時(shí),ex1,所以f(x)0,故f(x)是(,0)上的減函數(shù),f(1)e40,所以存在x1(1,2)是f(x)在(0,)上的唯一零點(diǎn),f(2)20,f(1)20時(shí),由a1,可知ax10,ln a0,所以f(x)0,當(dāng)x1,可知ax10,所以f(x)1),因?yàn)間(x)120,所以g(x)在(1,)上單調(diào)遞增,而g(1)0,所以當(dāng)x1時(shí),g(x)0,即a1時(shí),a2ln a0,所以f(1)f(1)所以f(x)在1,1上的最大值為f(1)aln a.2(1)解當(dāng)a0,使f(x)0成立,aln0,ae,a的取值范圍為(,e(2)證明對(duì)x1,a,g(x)0,g(x)在1,a內(nèi)單調(diào)遞減,|g(x1)g(x2)|g(1)g(a)a2aln a.要證明|g(x1)g(x2)|1,只需證明a2aln a1,即證明aln a0,h(a)aln a在a(1,e是單調(diào)遞增函數(shù),h(a)h(e)10,當(dāng)0x0;當(dāng)x1時(shí),f(x)0,故當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在x1處取得極大值,極大值f(1)1,無(wú)極小值(2)當(dāng)a0時(shí),由(1)知f(x)在x1處取得極大值,且f(1)1,當(dāng)x0時(shí),f(x),又f(2)ln 220,解得a2.當(dāng)1a0時(shí),若0x0;若1x,則f(x),則f(x)0,則f(x)在x1處取得極大值,在x處取得極小值,由于f(1)10,則f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a1時(shí),f(x)0,則f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a1時(shí),若0x0;若x1,則f(x)1,則f(x)0,則f(x)在x1處取得極小值,在x處取得極大值,由于fln(a)10,則f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上,f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍是(2,)兩零點(diǎn)分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi),不妨設(shè)0x11x22,需證明x22x1,又由(1)知f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,故只需證明f(2x1)f(x2)0即可f(2x1)ln(2x1)(2x1)2(a1)(2x1)ln(2x1)x(a1)x12.又f(x1)ln x1x(a1)x10,所以f(2x1)ln(2x1)ln x12x12,令h(x)ln(2x)ln x2x2(0x1),則h(x)2h(1)0,即f(2x1)0,所以x1x20.4(1)解當(dāng)m1時(shí),f(x)g(x),即xlnxx21(x0),所以方程即為lnxx0.令h(x)lnxx(x0),則h(x)10,所以h(x)在(0,)上單調(diào)遞減,而h(1)0,故方程f(x)g(x)有唯一的實(shí)根x1.(2)解對(duì)于任意的x(1,),函數(shù)yg(x)的圖象總在函數(shù)yf(x)圖象的上方,即對(duì)x(1,),f(x)g(x),即lnx1),即對(duì)x(1,),F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)F(1)0,這與題設(shè)F(x)0,方程mx2xm0的判別式14m2,當(dāng)0,即m時(shí),F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)在(1,)上單調(diào)遞減,F(xiàn)(x)0,即0m時(shí),方程mx2xm0有兩個(gè)實(shí)根,設(shè)兩根為x1,x2且x1x2,則方程有兩個(gè)正實(shí)根且0x110,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增,F(xiàn)(
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