水利工程論文-混流式水輪機葉片自由曲面的延展.doc

水利工程論文-混流式水輪機葉片自由曲面的延展摘要：傳統的木模圖法在表示水輪機葉片時存在表示葉片不完整和無法引入計算機輔助設計及制造的不足，為此本文提出了基于最小二乘法的非均勻有理B樣條曲線曲面延展法，解決了混流式水輪機葉片空間曲面的小區(qū)域延展問題。同時結合水輪機葉片形狀特點，利用自由曲面和解析曲面的求交法確定了葉片的延展邊界，實現了葉片曲面的整體造型。論文最后算例分析表明，該方法能夠得到精度較高的延展曲面，同時算法穩(wěn)定可靠。關鍵詞：延展求交擬合自由曲面水輪機葉片混流式水輪機葉片是一個復雜的空間扭曲面，長期以來，工程上采用木模圖來表達水輪機轉輪葉片、控制葉片的加工精度和測量精度。經過長期的應用和發(fā)展這種空間扭曲葉片的木模圖能夠較好的滿足傳統的工藝制作及放樣，然而在計算機輔助設計和制造技術廣泛應用的今天，木模圖的不足凸現出來1,2。首先木模圖直接面對加工制造，無法應用于研究分析整個葉片的幾何特點和力學特性；再者無法直接把木模圖引入計算機輔助設計和制造系統，這大大影響葉片的設計和制造質量。隨著科學技術的飛速發(fā)展，這種采用木模圖來表達水輪機轉輪葉片的方法已經逐漸不能滿足當今市場競爭的需要。隨著自由曲面造型技術的發(fā)展，此項技術應用于水輪機葉片的曲面造型初步解決了水輪機轉輪葉片的表示問題。此項技術利用已知型B樣條曲線曲面，進而擬合得到葉片的空間表達方程。這種方法存在一個不足1,3,4,5，即非均勻有理B樣條曲線曲面無法定義型值點區(qū)域外的圖形，對混流式水輪機葉片的進行曲面造型時表現為無法擬合0-0斷面和上冠之間區(qū)域的曲面形狀。這就引出了非均勻有理B1基于最小二乘法的非均勻有理B樣條曲線曲面延展法1.1延展問題的已知條件現在通用的木模圖在表示水輪機葉片時一般給出等z面的(x,y)數據6。如圖1所示，由圖可以看出，在0-0斷面以上只有一個已知型值點，即進水邊與上冠的交點，有時甚至還沒有表示出這個點；同樣在16-16斷面以下也只有一個已知型值點，即出水邊與下環(huán)的交點，有時甚至還沒有表示出這個點。在這種情況下如果要得到0-0斷面以上和16-16斷面以下的葉片型值點則只能采用延展的方法。還有在整體擬合葉能會出現畸變結果，如圖2所示，由圖可以看出兩點，首先葉片不完整，葉片將不能和上冠相交；另外擬合得到的葉片的空間幾何形狀與實際形狀產生嚴重偏差，出水邊與上冠和葉片的交線混為一體，造型失敗。這問題的解決也有賴于采用延展方法來確定曲面邊界，即進水邊、葉片與下環(huán)的交線、出水邊、葉片與上冠的交線4條空間曲線。圖1溫柔流式水輪機葉片木模圖2擬合得到的葉片的空間幾何形狀(左邊為主視圖，右邊為側視圖)1.2延展問題的解決方案然而如何延展立即成為問題，因為由Nurbs曲線和曲面的定義可以看到，由于其只在起點和末點之間有定義，在起點和末點之外根本沒有定義，這使得只能采用另外的途徑來延展Nurbs曲線和曲面7。結合水輪機葉片的特點，即在小范圍內曲線和曲面曲率變化不大，本文采用最小二乘法擬合曲面和曲線端部，得到擬合方程后應用此方程進行延展端部得到新的端點，再有新的端點和原有的Nurbs曲線型值點構成新的Nurbs曲線型值點，進而得到延展曲線和擬合曲面。1.3最小二乘法擬合原理在某一特定函數類(x)(例如多項式)中找到一個函數F(x)作為y=f(x)的近似函數，使得在x上的按照某種標準誤差最小，這就是擬合問題。記向量e=0，1,mT，要求殘差i按照2-范數的平方為標準最小，即要求e22最小，這種方法稱之為最小二乘法擬合法8。用最小二乘法擬合曲線時，必須先選擇函數類，即確定函數F(x)的形式。這與所討論問題的專門知識和經驗有關。在本文中，結合水輪機葉片空間幾何形狀特點即在小范圍內曲線和曲面曲率變化不大和整體Nurbs擬合標準即要求擬合曲面在任意點三次連續(xù)可導，因此使用三次多項式擬合。具體算法如下：對于給定的一組數據(xi,yi),i=1,2,N,尋求作三次多項式(N3)(1)使得總誤差(2)為最小。由于Q可以看作關于aj(j=0,1,2,3)的多元函數，故上述擬合多項式的構造問題可以歸結為多元函數的極值問題。令(3)得到(4)即由(5)這是關于系數aj的線性方程組，而且是一個正則方程組，可以證明，此方程組解唯一。由此實際上得到了端部擬合曲線的多項式表示，進一步可以對其進行延長運算，得到新的端點數據。設原有型值點集為pi(i=0,1,n),新的端點為Q，則由pi和Q構成新的型值點集pi(i=0,1,m)，其中m=n+1。由此m個型值點重新擬合得到延長后的曲線。1.4葉片邊界的確定上冠、下環(huán)均是旋轉曲面，我們把這兩個旋轉曲面的解析方程稱為延展邊界限定方程。利用上述方法延長葉片軸面截線，用延長結果分別和上冠、下環(huán)旋轉曲面求交，即用延長后的曲線擬合方程與延展邊界限定方程聯立求解，得到兩個交點。按此方法分別用由出水邊向進水邊的各葉片軸面截線與上冠、下環(huán)旋轉曲面求交，得到兩組有序交點，這兩組有序交點就是葉片與上冠、下環(huán)交線的節(jié)點，由此可以順利的擬合得到葉片與上冠、下環(huán)交線，即葉片的兩個邊界。2數值計算及結果分析2.1延展算法的驗證在延展時我們只考慮曲面的數學特性，即只要求延展后的曲線、曲面和原曲線、原曲面具有共同的階數，連續(xù)性可導致一致，避開了復雜的物理特性。延展算法的數學模型建立在這一立場之下的。同時考慮到延展邊界的不統一性，延展邊界限定方程必須事先在程序中引入，無法在操作界面實現時修改，又因為延展邊界方程對延展結果起決定性作用，因此在程序中輸入邊界方程前應反復驗證其正確性，否則結果將發(fā)生嚴重畸變。下面以一個空間二次曲面為例，對本文的延展算法進行驗證并進行誤差分析。驗證曲面方程：X2+Y2-4.0Z=。已知：Z=R2/4.0(R=1.0、2.0、3.0、9.0)共9條等Z線，分別記為1、2、3、8、9斷面，每條等Z線上分布9個型值點。分別進行向Z=0.0平面邊界進行延展，結果如表1表3。表1利用原有型值點不作任何變動進行向Z=0.0邊界進行延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差1234567890.0037290.003229410.0018645-2.38566E-09-0.0018645-0.00322941-0.003729-0.00322941-0.001864490.00.00186450.003229410.0037290.003229410.0018645-4.77131E-09-0.00186451-0.003229410.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.003729本算法中擬合曲線的階數定為K=3，即延長點僅近似保持了離延長點最近的4個已知型值點的曲線幾何性質或4條已知型值點等參數線的曲面幾何性質。如表3對于表1是從等Z線1-1延長至Z=0.0平面，保持了4-4、3-3、2-2、1-1等參數線的曲面幾何性質，R絕對誤差為0.003729；對于表2是從等Z線2-2延長至Z=0.0平面，保持了5-5、4-4、3-3、2-2等參數線的曲面幾何性質，R絕對誤差為0.007947；對于表3是從Z線3-3延長至Z=0.0平面，保持了6-6、5-5、4-4、3-3等參數線的曲面幾何性質，R絕對誤差為0.02079。表2隱去z=0.25等線數據，即利用2、3、4、9斷面進行向Z=0.0邊界進行延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差1234567890.0079470.00688230.0039735-5.08416E-09-0.00397351-0.00688231-0.007947-0.0068823-0.003973490.00.00397350.006882310.0079470.00688230.00397349-1.01683E-080.00397351-0.006882310.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.007947表3隱去z=0.25、z=1.0等線數據，即利用3、4、9斷面進行向Z=0.0邊界進行延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差1234567890.020790.01800470.010395-1.33006E-08-0.010395-0.0180047-0.02079-0.0180047-0.0103950.00.0103950.01800470.020790.01800470.010395-2.66011E-08-0.010395-0.01800470.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.00.00.00.00.00.00.00.00.00.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.02079由上面的結果可以看出隨著距離的增大，誤差也隨之增大，即誤差R與延長量L(曲線弧長)或延展量S(曲面面積)呈正相關關系。因此延展時要注意一點，本文的延展算法只完成對延展端部的曲線、曲面形態(tài)趨勢，并不能完全代表整體形態(tài)趨勢，因此，原端部與延展部分的幾何比例不能太大，經過比較測試結果此比值以不超過3:1為宜。這一點在延展葉片型面這種自由曲面是十分重要，否則，將產生嚴重延展誤差。從上面的3組結果同樣可以看到，延展算法還是比較穩(wěn)定的，這表現在延展得到的同一組中各不同型值點的誤差是一致的，這也符合原始數據的特點，即各等Z線實際上是一個圓，各型值點均為圓上的點。同時從誤差的大小來看，第1組結果的誤差最小，為0.003729，即從R=1.0的等Z線延展到R=0.0的等Z線產生0.