函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.ppt

第四節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,問(wèn)題： 一、為何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？ 二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何條件？ 三、如何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？,一、為何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？,數(shù)學(xué)思想： 將復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單化，用簡(jiǎn) 單的函數(shù)表示復(fù)雜的函數(shù)。,復(fù)雜的 函數(shù),簡(jiǎn)單的 函數(shù),數(shù)學(xué)的方法,在實(shí)際問(wèn)題中，我們需要將一個(gè)函數(shù)表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù)形式。,問(wèn)題：計(jì)算機(jī)是如何計(jì)算sin(x)的函數(shù)值的？,二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何種條件？,該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意給定的函數(shù) f(x),(2) 如果能展開(kāi), 是什么?,(3) 展開(kāi)式是否唯一?,(1)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?,證明,（定理1回答了問(wèn)題二）,將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何種條件？,泰勒系數(shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得,泰勒系數(shù),定義,只要函數(shù)f(x)在已知點(diǎn)任意階可導(dǎo)，f(x)在該點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)總是可以寫(xiě)出的，那末這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是否一定收斂于f(x)呢?,不一定.,即,問(wèn)題：,可見(jiàn),在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),比如,洛必達(dá)法則,證明,必要性,充分性,三、如何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？,1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法),步驟:,如條件滿足，,(2) 判定 是否成立？,例1,解,例2,解,例3,解:,注意:,有如下牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式（展開(kāi)過(guò)程略）,雙階乘,2.間接法,此方法簡(jiǎn)單易行，效果好，是以后將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的主要方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握。,例如,例：將y=xarctanx展成x的冪級(jí)數(shù)。 若用直接方法，先得求出此函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，還得討論余項(xiàng)Rn(x)。,若用間接方法，就很簡(jiǎn)便。,例4,解,Ex,將函數(shù),在,和,間接展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。,Ex,將函數(shù),展開(kāi)成,的冪級(jí)數(shù)。,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法,(1) 直接展開(kāi)法, 利用泰勒公式 ;,(2) 間接展開(kāi)法, 利用冪級(jí)數(shù)的性