函數(shù)的最大值與最小值--趙樹嫄.ppt

第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值,三、小結(jié) 思考題,二、最大值最小值問題,一、函數(shù)的極值及其求法,第三章,1.問題的提出,例如 (P146例4),一、函數(shù)的極值及其求法,2、函數(shù)極值的定義,圖形分析：,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。,注意, 極值點不唯一。, 極值是局部性的。, 對一函數(shù)而言，極小值可能比極大值大。,定理1.,可導函數(shù)取極值的必要條件,前面已定義,注意:,例如：,例如：,因此駐點和 不存在的點是極值可疑點。,判定極值存在的第一充分條件,左正右負,左負右正,求極值的步驟:,(不是極值點情形),例1. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導數(shù),2) 求極值可疑點,令,得,當,3) 列表判別,是極大點，,其極大值為,是極小點，,其極小值為,定理2 (極值第二判別法),二階導數(shù),且,則 在點 取極大值 ;,則 在點 取極小值 .,證: (1),存在,由第一判別法知,(2) 類似可證 .,例2. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導數(shù),2) 求駐點,令,得駐點,3) 判別,因,故 為極小值;,又,故需用第一判別法判別.,定理3 (判別法的推廣),則:,數(shù),且,1) 當 為偶數(shù)時,是極小點;,是極大點.,2) 當 為奇數(shù)時,為極值點,且,不是極值點 .,當 充分接近 時,上式左端正負號由右端第一項確定,故結(jié)論正確 .,證:,利用 在 點的泰勒公式,可得,例如,例2中,極值的判別法(定理1 定理3 ) 都是充分的.,說明:,當這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在 .,例如:,為極大值,但不滿足定理1, 定理3 的條件.,最值問題：,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術和科學實驗中，常常會遇到在一定的條件下，怎樣使“成本最低”、“利潤最大”、“用料最省”、“效率最高”等問題，這類問題一般可化為求某一函數(shù)(稱為目標函數(shù))的最大值或最小值問題。,最值定義：,二、最大值與最小值問題,函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值，使函數(shù)取得最值的點稱為最值點。,最值與極值的區(qū)別：, 極值是對極值點的某鄰域,最值是對整 個定義區(qū)間。, 極值只能在區(qū)間內(nèi)取,最值可在端點或區(qū) 間內(nèi)取得。,則其最值,只能在極值點或端點處達到.,閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值存在,從以上幾段曲線可以看出：最值可以在開區(qū)間(a,b)內(nèi)點處取得，即極值點，也就是有限個駐點與導數(shù)不存在的點，同時最值也可以在整個區(qū)部的端點處取得。由此可按以下方法進行求最值。,1.求駐點和不可導點;,2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值；,最值的求法步驟,特別:,當 在 內(nèi)只有一個極值可疑點時,當 在 上單調(diào)時,最值必在端點處達到.,若在此點取極大 值,則也是最大 值 .,(小),對應用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的,可疑點是否為最大 值點或最小值點 .,(小),例3. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解:顯然,且,故函數(shù)在,取最小值 0 ;,因此也可通過,例3. 求函數(shù),說明:,求最值點.,與,最值點相同,由于,令,( 自己練習 ),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,( k 為某一常數(shù) ),例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20,AC AB ,要在 AB 線上選定一點 D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運價之比為 3:5 ,為使貨,D 點應如何選取?,解:設,則,令,得,又,所以 為唯一的,極小點,故 AD =15 km 時運費最省 .,總運費,物從B 運到工廠C 的運費最省,從而為最小點,問,Km ,公路,例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁,問矩形截面,的高 h 和 b 應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解: 由力學分析知矩形梁的抗彎截面模量為,令,得,從而有,即,由實際意義可知,所求最值存在,駐點只一個,故所求,結(jié)果就是最好的選擇 .,用開始移動,例6.設有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上,受力 作,解:克服摩擦的水平分力,正壓力,即,令,則問題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問題 ., 為多少時才可使力,設摩擦系數(shù),的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,則問題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問題 .,清楚(視角 最大) ?,觀察者的眼睛1.8 m ,例7. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上,它的底邊高于,解:設觀察者與墻的距離為 x m ,則,令,得駐點,根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點又,因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .,問觀察者在距墻多遠處看圖才最,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點:,使導數(shù)為0 或不存在的點,(2) 第一充分條件,過,由正變負,為極大值,過,由負變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,(4) 判別法的推廣 ( Th.3),最值點應在極值點和邊界點上找 ;,應用題可根據(jù)問題的實際意義判別 .,思考與練習,(L. P500 題4),2. 連續(xù)函數(shù)的最值,1. 設,則在點 a 處( ).,的導數(shù)存在,取得極大值;,取得極小值;,的導數(shù)不存在.,B,提示: 利用極限的保號性 .,2. 設,(A) 不可導;,(B) 可導,且,(C) 取得極大值;,(D) 取得極小值 .,D,提示: 利用極限的保號性 .,3