函數的極值與導數(8).ppt

函數的極值與導數,f (x)0,f (x)0,1.定義:一般地,設函數y=f(x)在某個區(qū)間（a，b）內有導數,如果在 這個區(qū)間內f/（x） 0,那么函數y=f(x) 在為這個區(qū)間內 的增函數;如果在這個區(qū)間內f/（x）0,那么函數y=f(x) 在為這個區(qū)間內的減函數.,一、知識回顧:,如果在某個區(qū)間內恒有 ,則 為常數.,2.求函數單調性的一般步驟,求函數的定義域;,求函數的導數 f/（x） ;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的單調遞增區(qū)間; 解不等式 f/（x）0 得f(x)的單調遞減區(qū)間.,關注用導數本質及其幾何意義解決問題,3.思考： 觀察下圖，當t=t0時距水面的高度最大,那么函數 h（t）在此點的導數是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應地，導數的符號有什么變化規(guī)律？,二、新課講解函數的極值:,觀察圖象中，點a和點b處的函數值與它們附近點的函數值有什么的大小關系？,一 極值的定義,點a叫做函數y=f(x)的極小值點，函數值f（a）稱為函數y=f(x)的極小值， 點b叫做函數y=f(x)的極大值點，函數值f（b）稱為函數y=f(x)的極大值 。 極大值點極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,注：極值點指的是自變量的值，極值指的是函數值。,觀察函數y=f(x)的圖像,探究 1、圖中有哪些極值點？極值點唯一嗎？ 2、極大值一定比極小值大么？,函數極值是在某一點附近的小區(qū)間內定義的，是局部性質。因此一個函數在其整個定義區(qū)間上可能有多個極大值或極小值，并對同一個函數來說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值。,如圖，函數 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等點的 函數值與這些點附近的函數值有什么關系？ Y=f（x）在這些點的導數值是多少？在這些點附近，y=f（x）的導數的符號有什么規(guī)律？,2.探索思考：,從而我們得出結論: 若x0滿足 f/(x)=0,且在x0的兩側的導數異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值,并且如果 f/(x) 在x0兩側滿足“左正右負”,則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值;如果 f/(x) 在x0兩側滿足“左負右正”,則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.,從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側切線的斜率為正,右側為負;曲線在極小值點左側切線的斜率為負,右側為正.,如上左圖所示,若x0是f(x)的極大值點,則x0兩側附近點的函數值必須小于f(x0) .因此, x0的左側附近f(x)只能是增函數,即 ; x0的右側附近f(x)只能是減函數,即,同理,如上右圖所示,若x0是f(x)極小值點,則在x0的左側附近f(x)只能是減函數,即 ;在x0的右側附近只能是增函數,即 .,三、例題選講:,例1:求y=x3/3-4x+4的極值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,當x變化時, ,y的變化情況如下表:,因此,當x=-2時有極大值,并且,y極大值=28/3; 而,當x=2時有極小值,并且,y極小值=- 4/3.,四.探索思考:,導數值為0的點一定是函數的極值點嗎?,可導函數的極值點一定是它導數為零的點,反之函數的導數為零的點,不一定是該函數的極值點.例如,函數y=x3,在點x=0處的導數為零,但它不是極值點,原因是函數在點x=0處左右兩側的導數都大于零.,因此導數為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是在這點兩側的導數異號.,一般地,求函數y=f(x)的極值的方法是:,(1):如果在x0附近的左側 f/(x)0 右側 f/(x)0 , 那么f(x0)是極大值;,(2):如果在x0附近的左側 f/(x)0 , 那么f(x0)是極小值.,解方程f/(x)=0.當f/(x)=0時:,故當x=-a時,f(x)有極大值f(-a)=-2a;當x=a時,f(x)有極小值f(a)=2a.,例2:求函數 的極值.,解:函數的定義域為,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,當x變化時, ,f(x)的變化情況如下表:,練習1:求函數 的極值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,當x變化時, ,y的變化情況如下表:,因此,當x=-1時有極大值,并且,y極大值=3; 而,當x=1時有極小值,并且,y極小值=- 3.,例3:已知函數f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1, 求a、b的值. (2)若 ,函數f(x)圖象上的任意一點的切線斜 率為k,試討論k-1成立的充要條件 .,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.,由于當x0時, 故當x=0時, f(x)達到極小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等價于當 時,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10對一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,當a1時,g(x)0對一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要條件.,例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為 4,極小值為0.試確定a,b,c的值.,解:,由題意, 應有根 ,故5a=3b,于是:,(1)設a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)設a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,練習1:已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,當a=-3,b=3時, ,此時f(x)在x=1處無 極值,不合題意.,當a=4,b=-11時,-3/111時, ,此時x=1是極 值點.,從而所求的解為a=4,b=-11.,第二課時,一、復習:,1.設函數y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0 附近所有各點的函數值都大,我們說f(x0)是函數y=f(x) 的一個極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函 數值都小,我們說f(x0)是函數y=f(x)的一個極小值.極 大值與極小值統(tǒng)稱極值.,2.當函數f(x)在x0處連續(xù)時,判別f(x0)是極大(小)值的方 法是:,(1):如果在x0附近的左側 右側 那么, f(x0)是極大值;,(2):如果在x0附近的左側 右側 那么, f(x0)是極小值.,3.理解函數極值的定義時應注意以下幾點:,(1)函數的極值是一個局部性的概念,極值點是區(qū)間內 部的點而不會是端點.,(2)若f(x)在某區(qū)間內有極值,那么f(x)在某區(qū)間內一定 不是單調函數,即在區(qū)間上單調的函數沒有極值.,(3)極大值與極小值沒有必然的大小關系,即極大值不 一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.,(4)函數f(x)在某區(qū)間內有極值,它的極值點的分布是 有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值 點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點. 一般地,當函數f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點時,函數f(x)在該區(qū)間內的極大值點與極小值點 是交替出現的.,(5)導數為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是 充分條件.,(6)極值只能在函數不可導的點或導數為零的點取到.,4.確定函數的極值應從幾何直觀入手,理解可導函數在 其定義域上的單調性與函數極值的相互關系,掌握利 用導數判斷函數極值的基本方法.,例1:已知函數 f(x)滿足條件:當x2時, ;當 x2時, ; . 求證:函數y=f(x2)在 處有極小值.,證:設g(x)=f(x2),則,故當 時,x22,由條件可知 ,即:,當 時,x22,由條件可知 ,即:,又當 時,所以當 時,函數y=f(x2)取得極小值.,為什么要加上這一步?,例3:已知: (1)證明:f(x)恰有一個極大值點和一個極小值點; (2)當f(x)的極大值為1、極小值為-1時,求a、b的值.,解:(1),令 ,得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,故 有不相等的兩實根、,設.,又設g(