（浙江專用）高考數(shù)學(xué)第三章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性教案（含解析）.docx

第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性及周期性1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期小題體驗(yàn)1(2018杭州模擬)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2，則f(1)的值是()A3B1C1 D3解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)3，故選A.2(2018臺(tái)州月考)偶函數(shù)yf(x)在區(qū)間0,4上單調(diào)遞減，則有()Af(1)ff()Bff(1)f()Cf()f(1)fDf(1)f()f解析：選A由題意得，014f(1)f(1)ff()f()，故選A.3(2018金華模擬)已知函數(shù)yf(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)log2(x2)3，則f(6)_，f(f(0)_.解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)log2(x2)3，f(6)log2(62)3330，f(0)132，函數(shù)yf(x)為R上的偶函數(shù)，f(f(0)f(2)f(2)231.答案：011判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件2判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能說(shuō)存在x0使f(x0)f(x0)或f(x0)f(x0)3分段函數(shù)奇偶性判定時(shí)，誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性小題糾偏1已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()AB.C.D解析：選Bf(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.2(2018寧波模擬)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a_，f(g(2)_.解析：由題意af(0)0，g(2x)f(x)，所以g(2)f(1)f(1)4，所以f(g(2)f(4)f(4)25.答案：025題組練透判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)(3)f(x)；(4)f(x)loga(x)(a0且a1)解：(1)因?yàn)閒(x)有意義，則滿足0，所以1x1，所以f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)(2)法一：(定義法)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)所以f(x)為奇函數(shù)法二：(圖象法)作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(3)因?yàn)樗?x2且x0，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又f(x)，所以f(x)f(x)故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)(4)函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(x)f(x)logaxloga(x)loga(x)loga(x)loga(x)(x)loga(x21x2)loga10，即f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)謹(jǐn)記通法判定函數(shù)奇偶性的3種常用方法(1)定義法(2)圖象法(3)性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是 D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”提醒(1)“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(x)與f(x)的關(guān)系，只有對(duì)各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性典例引領(lǐng)(1)已知函數(shù)f(x)若對(duì)任意的nN*，定義fn(x)ffff(x)，則f2 019(2)的值為()A0B1C2 D3(2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)2xx2，則f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.解析：(1)f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，fn(2)的值具有周期性，且周期為3，f2 019(2)f3673(2)f3(2)2，故選C.(2)f(x2)f(x)，函數(shù)f(x)的周期T2，當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(2)f(4)f(2 018)0，f(1)f(3)f(5)f(2 019)1.故f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.答案：(1)C(2)1 010由題悟法1判斷函數(shù)周期性的2個(gè)方法(1)定義法(2)圖象法2周期性3個(gè)常用結(jié)論(1)若f(xa)f(x)，則T2a.(2)若f(xa)，則T2a.(3)若f(xa)，則T2a(a0)即時(shí)應(yīng)用1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x31；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)f(x)；當(dāng)x時(shí)，ff，則f(6)等于()A2 B1C0 D2解析：選D當(dāng)x時(shí)，ff，即周期為1，則f(6)f(1)f(1)(1)312.2已知定義在R上的函數(shù)滿足f(x2)，x(0,2時(shí)，f(x)2x1.則f(1)f(2)f(3)f(2 018)的值為_解析：f(x2)，f(x4)f(x)，函數(shù)yf(x)的周期T4.又x(0,2時(shí)，f(x)2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1，f(4).f(1)f(2)f(3)f(2 018)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(50441)f(50442)504131 348.答案：1 3483(2018溫州模擬)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)，則f(0)f(2 017)的最大值為_解析：因?yàn)閒(x1)，所以22.令g(x)f2(x)f(x)，則g(x1)g(x)，g(x2)g(x1)，所以g(x2)g(x)，所以g(x)是以2為周期的函數(shù)，g(2 017)g(1)，所以f(2 017)f(1)，f(0)f(2 017)f(0)f(1)f(0).令t0，則f(0)，t，所以f(0)f(1)1t，令2tsin 0，則f(0)f(1)1sin cos 1sin1.故所求最大值為1.答案：1鎖定考向函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)常見的命題角度有：(1)奇偶性的應(yīng)用；(2)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合；(3)周期性與奇偶性結(jié)合；(4)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合 題點(diǎn)全練角度一：奇偶性的應(yīng)用1(2018福建三明模擬)函數(shù)yf(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)()A2xB2xC2x D2x解析：選Cx0時(shí)，x0，x0時(shí)，f(x)2x，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x.f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)2x.故選C.角度二：?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性結(jié)合2(2019嘉興質(zhì)檢)已知f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(1)0，若f(x1)0，則x的取值范圍為()Ax|0x1或x2Bx|x0或x2Cx|x0或x3 Dx|x1或x1解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)0，又函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以可作出函數(shù)f(x)的示意圖，如圖，則不等式f(x1)0可轉(zhuǎn)化為1x10或x11，解得0x1或x2.角度三：周期性與奇偶性結(jié)合3(2019寧波月考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)若f(2)1，f(7)a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，3) B(3，)C(，1) D(1，)解析：選Df(x3)f(x)，f(x)是定義在R上的以3為周期的函數(shù)，f(7)f(79)f(2)又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(2)f(2)，f(7)f(2)1，a1，即a(1，)角度四：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合4定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0,2)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是()A0f(1)f(3) Bf(3)0f(1)Cf(1)0f(3) Df(3)f(1)0解析：選C由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(0)0.由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)f(x)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(3)f(1)又f(x)在0,2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在(2,2)上單調(diào)遞減，所以f(1)f(0)f(1)，即f(1)0f(3)故選C.通法在握函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性(2)周期性與奇偶性結(jié)合此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解演練沖關(guān)1(2018杭二一模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的為()Ayx1Byx2Cy Dyx|x|解析：選D對(duì)于A，yx1為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件對(duì)于B，yx2是偶函數(shù)，不滿足條件對(duì)于C，y是奇函數(shù)，但在定義域上不是增函數(shù)，不滿足條件對(duì)于D，設(shè)f(x)x|x|，則f(x)x|x|f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，yx|x|x2，此時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，yx|x|x2，此時(shí)為增函數(shù)，綜上，yx|x|在R上為增函數(shù)故選D.2(2018臺(tái)州測(cè)試)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，若對(duì)任意的xa1，a1，關(guān)于x 的不等式f(x2a)a2f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0,2 B(0,4C(0，) D2，)解析：選C當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，f(x)f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足a2f(x)f(ax)，不等式f(x2a)a2f(x)f(ax)在xa1，a1恒成立，x2aax在xa1，a1恒成立，令g(x)x2axa，函數(shù)的對(duì)稱軸為x，當(dāng)a1，即a2時(shí)，不等式恒成立，可得g(a1)(a1)2a(a1)a10恒成立；當(dāng)a1a1，即2a2時(shí)，不等式恒成立，可得g2aa0恒成立，解得a(0,2；當(dāng)a1，即a2時(shí)，不等式恒成立，可得g(a1)(a1)2a(a1)a2a10，無(wú)解；綜上，a0.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()AyByexCycos x Dyexex解析：選D對(duì)于A，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不符合要求；對(duì)于B，yex為非奇非偶函數(shù)，故不符合要求；對(duì)于C，滿足f(x)f(x)，故不符合要求；對(duì)于D，f(x)exex(exex)f(x)，yexex為奇函數(shù)，故選D.2設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)log2x，則f()()A BC2D2解析：選B由已知得f()f()log2.3函數(shù)f(x)x1，f(a)3，則f(a)的值為()A3 B1C1 D2解析：選B由題意得f(a)f(a)a1(a)12.f(a)2f(a)1，故選B.4(2019紹興六校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)ln(ex1)ax為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.解析：法一：(定義法)函數(shù)f(x)ln(ex1)ax為偶函數(shù)，f(x)f(x)，即ln(ex1)axln(ex1)ax，2axln(ex1)ln(ex1)lnlnx，2a1，解得a.法二：(取特殊值)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，由f(x)為偶函數(shù)得f(1)f(1)，ln(e11)aln(e11)a，2aln(e11)ln(e11)lnln1，a.答案：5設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x1，則f_.解析：依題意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，則fff1.答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)3xm(m為常數(shù))，則f(log35)的值為()A4 B4C6 D6解析：選B由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得f(0)1m0m1，f(log35)f(log35)(3log351)4，選B.2奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.若f(x2)為偶函數(shù)，且f(1)1，則f(8)f(9)()A2 B1C0 D1解析：選D由函數(shù)f(x2)為偶函數(shù)可得，f(2x)f(2x)又f(x)f(x)，故f(2x)f(x2)，所以f(2x)f(x2)，即f(x4)f(x)所以f(x8)f(x4)f(x)，故該函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故f(0)0.所以f(8)f(9)f(0)f(1)011.3(2018寧波適應(yīng)性考試)若函數(shù)yf(x)是R上的偶函數(shù)，yg(x)是R上的奇函數(shù)，它們都是周期函數(shù)，則下列一定正確的是()A函數(shù)yg(g(x)是偶函數(shù)，函數(shù)yf(x)g(x)是周期函數(shù)B函數(shù)yg(g(x)是奇函數(shù)，函數(shù)yf(x)g(x)不一定是周期函數(shù)C函數(shù)yf(g(x)是奇函數(shù)，函數(shù)yf(g(x)是周期函數(shù)D函數(shù)yf(g(x)是偶函數(shù)，函數(shù)yf(x)g(x)是周期函數(shù)解析：選Dyf(x)是R上的偶函數(shù)，yg(x)是R上的奇函數(shù)，故有f(x)f(x)，且g(x)g(x)則g(g(x)g(g(x)g(g(x)，f(g(x)f(g(x)f(g(x)；故g(g(x)為奇函數(shù)，f(g(x)為偶函數(shù)，故排除A、C；f(x)和g(x)都是周期函數(shù)，設(shè)它們的周期的最小公倍數(shù)為t，即f(xt)f(x)，g(xt)g(x)，令n(x)f(x)g(x)，則n(xt)f(xt)g(xt)f(x)g(x)n(x)，n(x)f(x)g(x)一定為周期函數(shù)，故選D.4定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x20，)(x1x2)，有0，則()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)解析：選Af(x)是偶函數(shù)，f(2)f(2)又任意的x1，x20，)(x1x2)，有0，f(x)在0，)上是減函數(shù)又123，f(1)f(2)f(2)f(3)，故選A.5(2018溫州十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x1，x2D，當(dāng)x1x22a時(shí)，恒有f(x1)f(x2)2b，則稱點(diǎn)(a，b)為函數(shù)yf(x)圖象的對(duì)稱中心研究函數(shù)f(x)xsin x3的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到fffff的值為()A4 035 B4 035C8 070 D8 070解析：選Cf(x)xsin x3，當(dāng)x1時(shí)，f(1)1sin 32，根據(jù)對(duì)稱中心的定義，可得當(dāng)x1x22時(shí)，恒有f(x1)f(x2)4，fffff2 017f2 017(4)28 070.6(2018貴州適應(yīng)性考試)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x).若g(2)3，則g(2)_.解析：由題意可得g(2)3，則f(2)1，又f(x)是奇函數(shù)，則f(2)1，所以g(2)1.答案：17設(shè)函數(shù)f(x)ln(1|x|)，則使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范圍為_解析：由已知得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)當(dāng)x0時(shí)，f(x)ln(1x)，因?yàn)閥ln(1x)與y在(0，)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，兩邊平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x1.所以x的取值范圍為.答案：8已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a1|)f()，則a的取值范圍是_解析：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(，0)上單調(diào)遞增，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，f()f()，f(2|a1|)f()，2|a1|2，|a1|，即a1，即a.答案：9設(shè)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，且f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x).(1)求當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式；(2)解不等式f(x).解：(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)，x0，又因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x).(2)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，即，所以，所以，所以3x18，解得x2，所以x(0,2)當(dāng)x0時(shí)，即，所以，所以3x32，所以x2，所以解集是(，2)(0,2)10已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)設(shè)x0，則x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x0時(shí)，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，作出f(x)的圖象如圖所示，結(jié)