無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題.ppt

1,多元函數(shù)的極值概念,極值的必要條件,第十節(jié) 無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題,第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,極值的充分條件,最大(小)值的求法,小結(jié) 思考題 作業(yè),2,一、多元函數(shù)的極值概念,1.極大值和極小值的定義,一元函數(shù)的極值的定義:,是在一點(diǎn)附近,將函數(shù)值比大小.,定義,點(diǎn)P0為函數(shù)的嚴(yán)格極大值點(diǎn).,類似可定義嚴(yán)格極小值點(diǎn)和嚴(yán)格極小值.,?,設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)去心鄰域,為嚴(yán)格極大值.,則稱,3,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的,函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的,多元函數(shù)的極值也是局部的,一般來(lái)說(shuō):極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.,有時(shí),極值.,極值點(diǎn).,內(nèi)的值比較.,是與P0的鄰域,極小值可能比極大值還大.,4,例,例,例,函數(shù) 存在極值,在(0,0)點(diǎn)取極小值.,在(0,0)點(diǎn)取極大值.,(也是最大值).,在(0,0)點(diǎn)無(wú)極值.,?,橢圓拋物面,下半個(gè)圓錐面,馬鞍面,在簡(jiǎn)單的情形下是,容易判斷的.,函數(shù),函數(shù),(也是最小值).,函數(shù),5,證,定理1,(必要條件),則它在該,點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:,有極大值,不妨設(shè),都有,說(shuō)明一元函數(shù),有極大值,必有,類似地可證,二、極值的必要條件,6,推廣,如果三元函數(shù),具有偏導(dǎo)數(shù),則它在,有極值的必要條件,為,均稱為函數(shù)的,駐點(diǎn),極值點(diǎn)(對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言),仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的,點(diǎn),駐點(diǎn).,如,駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).,也稱為鞍點(diǎn).,如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),?,7,定理2,(充分條件),的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:,(1),有極值,有極大值,有極小值;,(2),沒(méi)有極值;,(3),可能有極值,也可能無(wú)極值.,三、極值的充分條件,利用二階泰勒公式可以說(shuō)明.,8,求函數(shù) 極值的一般步驟:,第一步,解方程組,求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).,第二步,對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值,第三步,定出,的符號(hào),再判定是否是極值.,9,例1 證明函數(shù),有無(wú)窮多個(gè)極大值點(diǎn),但無(wú)極小值點(diǎn).,例2. 求函數(shù),的極值點(diǎn).,提示:,10,取得.,然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:,函數(shù),不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.,在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).,由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處,但也可能是極值點(diǎn).,在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù),11,選擇題,已知函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(0, 0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則,(A) 點(diǎn)(0, 0)不是f (x, y)的極值點(diǎn).,(B) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極大值點(diǎn).,(C) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極小值點(diǎn).,(D) 根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x, y)的極值點(diǎn).,12,其中最大者即為最大值,與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.,求最值的一般方法,最小者即為最小值.,將函數(shù)在D內(nèi)的所有可能極值點(diǎn)的函數(shù)值及,在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,四、最大(小)值的求法,13,例3. 求函數(shù),在圓域,上的最大值,最小值.,提示:,14,例4 要制作容積V一定的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器,問(wèn):如何選取長(zhǎng),寬.高,才能使用料最省?,對(duì)于實(shí)際問(wèn)題:,若函數(shù),一定能取得最大(小)值,而函數(shù)在D內(nèi)可微分且只有一個(gè)駐點(diǎn),則,此駐點(diǎn)就是最大(小)值點(diǎn).,15,例5. 在半徑為R的圓內(nèi)求一內(nèi)接三角形,使其面積最大.,問(wèn)題為求,的最大值.,16,介紹最小二乘法.,17,多元函數(shù)極值的概念,多元函數(shù)取得極值的必要條件、充分條件,多元函數(shù)最值的概念,五、小結(jié),(上述問(wèn)題均可與一元函數(shù)類比),18,思考題,答,不一定.,二元函數(shù),在點(diǎn),處有極值,(不妨設(shè)為極小值),是指存在,當(dāng)點(diǎn),且,沿任何曲線趨向于,一元函數(shù),在點(diǎn) x0,處取得有極小值,表示動(dòng)點(diǎn),且,沿直線,19,并沿該直線(即沿平行于O