數(shù)學(xué)模型筆記

第1章 建立數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型 意義 特點(diǎn) 第1章是引入的一章，對數(shù)學(xué)模型的意義來源，做了很好的解釋。其實(shí)數(shù)學(xué)模型也是模型的一種，是我們用來研究問題、做實(shí)驗(yàn)的工具之一，只不過它比較“理論”、“摸不著”而已。但通常，數(shù)學(xué)模型有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，而且我們可以根據(jù)建模實(shí)際需要改變模型，成本也比較低；同時數(shù)學(xué)模型手段之一計算機(jī)模擬也有很好的效果。+ Q; X. f2 N! K 椅子在不平的地面上放穩(wěn)、商人安全過河、預(yù)報人口增長這3個熟悉的例子，用簡單的數(shù)學(xué)進(jìn)行描述、建模分析，給數(shù)學(xué)模型一個最好的詮釋：用數(shù)學(xué)語言描述事物、現(xiàn)象往往增添了說服力。 z p$ w6 |, A( Z. B第2章 初等模型關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué) 簡化技巧 思想 5 Z9 U1 I: 9 A S2 R 這一章顧名思義，是一些用“初等”數(shù)學(xué)知識建立、求解的模型，雖然數(shù)學(xué)知識比較易懂，但是其中的巧妙思想確實(shí)十分重要的。0 R: O; M6 G0 u i 如何把問題做恰當(dāng)?shù)暮喕?，到簡單的?shù)學(xué)工具能夠表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同時分析也很精彩。 2.1節(jié)公平席位分配，通過定義不公平程度等衡量標(biāo)準(zhǔn)，確立目標(biāo)，提出Q值法。有意思的是，在考慮是否存在一個理論上公平的分配方法時，根據(jù)所提出的4個（毋庸置疑的）公理，得出的結(jié)論卻是：不存在滿足上述公理的分配方法。這種類似情況在本書中后面的例子也出現(xiàn)過。這給我們什么啟示呢？有些問題和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能達(dá)到絕對公平也要分配，但一旦證明不存在理論上公平的分配方法時，我們還有分配的意義嗎？答案不一；在這個例子中，固然是有意義的，我們自然轉(zhuǎn)而尋求一個相對公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通過刪改公理來取得更公平方案。 錄像機(jī)計數(shù)器、雙層玻璃功效、剎車距離等模型，均是用日?，F(xiàn)象、基礎(chǔ)的物理知識和巧妙簡化進(jìn)行的建模分析，這里每個例子中的分析，求解后的解釋很重要它們是整個模型的關(guān)鍵，闡述現(xiàn)象。. p3 , j: & . I 2.7 實(shí)物交換是后面經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的雛形，無差別曲線的圖形方法，確定這種曲線實(shí)際中要收集大量的數(shù)據(jù)；核軍備競賽一節(jié)，也是一個動態(tài)的變化過程，基本全是用曲線進(jìn)行分析的這里給我們一個思想，得出表達(dá)式后，許多時候我們只關(guān)注曲線的形狀、趨勢，因此作圖分析是很好的方法，圖中可以給我們很多信息（交點(diǎn)，截距，極限值），而這些信息都一一對應(yīng)著它們的實(shí)際意義；有些即使沒有明顯的含義，但也很可能為接下來的鋪墊、預(yù)測作下鋪墊。 2.10 量綱分析與無量綱化是另一種重要的求解方法，大致來說思想就是：僅知道變量之間的制約關(guān)系（正/負(fù)相關(guān)），系數(shù)、階數(shù)均未知，即只能得出表達(dá)式的“形式”，要我們通過“量綱齊次性”（等式兩端必須保持量綱的一致）來確定具體的表達(dá)式。這是與按理論推導(dǎo)建模并列的另一種方法，這一節(jié)用單擺、拋射等物理問題很好地詮釋了這種方法的強(qiáng)大。關(guān)鍵：恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度，不僅可以減少獨(dú)立參數(shù)的個數(shù)，還幫助我們決定舍棄哪些次要因素。物理知識和經(jīng)驗(yàn)是關(guān)鍵。5 y3 p( n7 |5 : _6 x2 N7 E第2章小結(jié)： 本章可以總結(jié)為“初等數(shù)學(xué)知識+巧妙簡化技巧+思想”，10節(jié)涉及了不同類型的問題、數(shù)學(xué)方法，很多都是本書后面章節(jié)模型的雛形、基礎(chǔ)。5 1 h8 e. |/ u8 w7 _2 h& ) v; O6 : V; M$ 4 |+ K: u$ 第3章 簡單的優(yōu)化模型關(guān)鍵詞：簡單優(yōu)化 微分法 建模思想 本章與第4章連續(xù)兩章都是優(yōu)化、規(guī)劃的問題，可以看成一類問題內(nèi)容上也是由簡單到復(fù)雜。在第3章中，主要是幾個簡單的優(yōu)化模型，可以歸結(jié)到函數(shù)極值問題來求解，直接用微分法。雖然模型、數(shù)學(xué)計算難不倒，但是還是那句建模，求解之后結(jié)果分析、結(jié)果解釋的思想，是我們要學(xué)習(xí)和引入腦中的。- B5 z& G/ w5 W8 f1 / s3.1 存貯模型 分不允許、允許缺貨兩種討論，中間推出一個最小費(fèi)用的結(jié)果經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式EOQ。 對存貯量函數(shù)q(t)作圖，觀察規(guī)律，對結(jié)果解釋。+ u: 5 k; v7 x4 5 h3.2 生豬出售時機(jī) 關(guān)鍵點(diǎn)在于敏感性分析和強(qiáng)健性分析這對于優(yōu)化模型是否實(shí)用、有效是很重要的。3.3 森林救火 亮點(diǎn)是對火勢蔓延程度dB/dt的形式作出的數(shù)條假設(shè)，以及假設(shè)對應(yīng)的實(shí)際解釋。只要合理、自圓其說，就是一個好的對實(shí)際問題的簡化。/ V& di- j2 D( E# A3.4 最優(yōu)價格 主要是引出邊際收入、編輯支出，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)一條著名定律最大利潤在邊際收入等于編輯支持時達(dá)到。; xd1 c: b% W# Q3.5 血管分支/ T% S7 h2 1 w3 b; | 是很有趣的一節(jié)，用數(shù)學(xué)模型研究生理問題，我們還是只關(guān)注建模、數(shù)學(xué)的層面，而對于血管系統(tǒng)幾何形狀等生理學(xué)知識不討論過多，用合理有力的假設(shè)代之。3.6 消費(fèi)者的選擇 一個消費(fèi)者買兩種產(chǎn)品時，錢應(yīng)該如何分配。分配比例使他得到最大的滿意度的最優(yōu)比例乘務(wù)消費(fèi)者均衡，而建立消費(fèi)者均衡模型的關(guān)鍵在于確定效用函數(shù)U(q1,q1)。% _1 A# $ O9 B8 m3.7 冰山運(yùn)輸 也是很有趣的問題，考慮各種因素，基于一些假設(shè)，這節(jié)研究怎樣運(yùn)輸冰山使費(fèi)用最小。其中用實(shí)際數(shù)據(jù)建立了經(jīng)驗(yàn)公式，二是假設(shè)冰山為球形，簡化了融化規(guī)律等的計算。; a: g% i( V$ O- U8 h第4章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型6 e+ h9 z; X/ : Q; D& b關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)規(guī)劃方法 lingo/lindo軟件 結(jié)果深入分析 變量個數(shù) 約束條件、可行域、目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)成了常說的“數(shù)學(xué)規(guī)劃”模型。本章揭示了數(shù)學(xué)規(guī)劃的本質(zhì)，和它與傳統(tǒng)優(yōu)化數(shù)學(xué)問題的區(qū)別：常理優(yōu)化模型屬于函數(shù)極值問題的范疇，但實(shí)際中更多的是決策變量數(shù)、約束個數(shù)較大，且最優(yōu)解往往在邊界上取得的問題，因此不能用傳統(tǒng)的“微分法”求解因此要引入“數(shù)學(xué)規(guī)劃”方法。) _5 z v5 m b$ 7 u0 P% W+ h# z 這一章內(nèi)容不少，但都是一類問題，主要點(diǎn)有幾個：1 MQ8 u$ 8 j1 : d, + 1. lingo、lindo求解的使用運(yùn)行結(jié)果中還有一些平時未留意的信息，可以作為結(jié)果分析來用，前兩節(jié)敘述較多；2. 一些細(xì)節(jié)之處：把一句話用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，它往往作為約束條件，如p102的式（19）；5 l$ + y% G% J1 g3. 多目標(biāo)規(guī)劃的處理，p109的“選課策略”基本思想是通過加權(quán)組合形成一個新的目標(biāo)，從而化為單目標(biāo)規(guī)劃；8 v/ Q g# a+ & f9 m: C4. 同前面章節(jié)一樣地，對一個問題解出結(jié)果后，問題雖然解決了，但分析并沒有結(jié)束我們要學(xué)習(xí)這種further discussion的精神，發(fā)現(xiàn)這個結(jié)果“恰與相同”之類的，不妨多問自己一句：“這是偶然的嗎？”然后繼續(xù)分析，得出一般的結(jié)論，這樣往往能看到更多的風(fēng)景，得出的結(jié)論更有含金量/啟發(fā)性，而不是僅僅是解決了該個問題而已。如p109選課策略。5 G4 O/ V) y |5. 減少變量個數(shù)，簡化模型、式子（簡化起見，同時lingo對變量個數(shù)有限制），p115銷售的例子。0 g! t$ o7 u; ( |l. q& O- m6. 求最優(yōu)解時，為了減少搜索范圍，加快速度，可以先去一個特殊情況求出一個可行解，然后讓最優(yōu)解至少優(yōu)于它。5 V/ , ?, b|o) T: U第5章 微分方程模型關(guān)鍵詞：動態(tài)模型 合理假設(shè) 分析預(yù)測 控制% S/ tN4 g8 H4 V* S7 K 這一章是非常經(jīng)典的一章，對微分方程模型作了很好的詮釋、介紹，每一個模型都有豐富的價值。對于隨時間連續(xù)變化的對象或狀態(tài)，當(dāng)我們要 1）分析變化規(guī)律；2）預(yù)測；3）研究如何控制它的時候，就要建立相應(yīng)的微分方程模型。 自然地，這樣的模型功能非常強(qiáng)大，也具有一般性，也自然地需要在簡化假設(shè)上動腦筋如何用數(shù)學(xué)語言能表述的東西來刻畫一個實(shí)際動態(tài)過程。一個方程，有時就表示著一件事，這件事有可能還持續(xù)幾十年多么有趣而強(qiáng)大。5.1 傳染病模型7 |1 W W: - X5 _$ n. Y 本節(jié)是解決“傳播”、“蔓延”微分方程問題的典例，模型分三部分層層遞進(jìn)：SI（只分為易感染著、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新變?yōu)橐赘腥菊撸?，SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）。可以說從基礎(chǔ)模型到一步步遞進(jìn)，是對實(shí)際傳染病情況的逐漸深入、全面的考慮，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最細(xì)的章節(jié)。其中引入了“相軌線”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，這一節(jié)有很詳細(xì)的介紹。 模型改進(jìn)、建模目的性、方法三者配合，是本節(jié)亮點(diǎn)。5.2 經(jīng)濟(jì)增長模型: t0 I* Tt( c# L3 - 1 v 通過建立產(chǎn)值與1）資金；2）勞動力之間的關(guān)系，來研究1）資金與勞動力的最佳分配，使效益最大；2）如何調(diào)節(jié)資金、勞動力增長率，使勞動生產(chǎn)率有效增長。5 n8 L. i, & h l$ 6 w 本模型雖然不長，但推導(dǎo)出計量經(jīng)濟(jì)學(xué)一重要模型Douglas生產(chǎn)函數(shù)。本節(jié)給出的模型推導(dǎo)稍繁，但結(jié)果簡明，有合理解釋。9 D4 : u- p2 K) S- F$ c( r3 S* d5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 這一節(jié)介紹了歷史上用過的、經(jīng)典的預(yù)測戰(zhàn)爭結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，有傳統(tǒng)正規(guī)戰(zhàn)爭、稍復(fù)雜的游擊戰(zhàn)，以及混合戰(zhàn)。重點(diǎn)在于建模過程：如何描述戰(zhàn)爭雙方的特性，如何作假設(shè)。然后用來分析硫磺島戰(zhàn)役。這節(jié)很好地體現(xiàn)了微分方程的強(qiáng)大。0 g6 % u+ 5 T5 % S5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除sf; G) N5 V7 h1 t1 G 本節(jié)建立了房室模型，研究血藥濃度的變化過程，為制訂給藥方案、劑量大小提供數(shù)量依據(jù)。重點(diǎn)在于1）模型的假設(shè)：盡管是簡化，但由臨床試驗(yàn)證明是正確的，可以接受；2）對參數(shù)的估計。( C# c! ( h5 T; t! j0 _ c% g先由機(jī)理分析確定方程形式，再由測試數(shù)據(jù)估計參數(shù)。5.5 香煙過濾嘴的作用6 C& h7 Q+ q O 看起來不易下手的一個問題，用恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，引入兩個基本函數(shù)q,w,及物理學(xué)常用的守恒定律，建立出微分方程模型，從而構(gòu)造動態(tài)模型。本例是經(jīng)典的建模案例。5.6 人口的預(yù)測和控制- |* , ?, r3 R & : g 本節(jié)模型與之前的區(qū)別在于：考慮年齡的分布，即除了時間外，年齡是另一個自變量。過程中重要的是數(shù)學(xué)公式中，系數(shù)、因子的實(shí)際含義要解釋。) Q6 p. B; JO$ |5.7 煙霧的擴(kuò)散與消失 這個模型巧妙地引入了“儀器靈敏度”指標(biāo)，不僅幫助建模，而且該指標(biāo)本身是客觀存在的，并非虛構(gòu)，這樣更加有說服力。5.8 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)& ) k9 k- J0 k/ N4 j 十分有意義的一節(jié)。我們初中就熟悉的牛頓萬有引力定律，是由開普勒第三定律和牛頓第二定律一同推導(dǎo)出的，這一節(jié)再現(xiàn)了這個推導(dǎo)過程。這個模型告訴我們：正確假設(shè)+用數(shù)學(xué)演繹建模=對自然科學(xué)研究的巨大作用。我們要學(xué)習(xí)科學(xué)家前輩們?nèi)绾蝿?chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，來提升我們解決實(shí)際問題的能力。0 v+ K6 z1 X0 V- P0 N0 i8 ?9 D. |5 ( z5 E# Q6 X h3 d; c: n5 L v第6章 穩(wěn)定性模型關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性理論 建而不解 平衡狀態(tài) 趨勢 相軌線# i2 K: A# V* e7 V8 H, Q2 X 本章是建立在上一章的基礎(chǔ)上，在微分方程基礎(chǔ)上引入的一種重要思想/概念，那就是對于某些問題，我們可能不關(guān)注動態(tài)過程的每個瞬時狀態(tài)，而是研究穩(wěn)定狀態(tài)的特征，特別是時間充分長以后的狀態(tài)/趨勢，從而判斷是否“穩(wěn)定”。這時我們往往不需要“求解”微分方程（組），即“建而不解”；而是利用“微分方程穩(wěn)定性理論”直接研究平衡狀態(tài)穩(wěn)定性即可。, y* z- K) o! 1 i8 t t# B X+ P*6.6 微分方程穩(wěn)定性理論簡介 這一節(jié)應(yīng)為優(yōu)先閱讀的一節(jié)，介紹了如何判斷一階、二階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。數(shù)學(xué)推導(dǎo)稍復(fù)雜（對于未接觸過的同學(xué)），重要在于了解一些概念、結(jié)論，在模型實(shí)例中來進(jìn)一步理解。, |+ A* P0 v7 f+ m6.1 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲& a t P/ D! s8 q3 U 研究捕魚業(yè)產(chǎn)量、效益和捕撈過度問題，如何捕撈能獲得最大收益。這個問題雖然看似只需要給出一個“捕撈量”的答案就可以了，但是模型整個過程分析中還是得出了許多結(jié)論，如經(jīng)濟(jì)學(xué)捕撈過度、生態(tài)學(xué)捕撈過度等概念。在穩(wěn)定的前提下步步深入。6.2 軍備競賽 這個問題在第二章初等模型中就出現(xiàn)過，這里用微分方程穩(wěn)定性的知識來分析。正如本節(jié)引言所說，軍備競賽因素很多，無法圓滿描述，只是想告訴我們：一個復(fù)雜實(shí)際過程可以被合理簡化到什么程度，得到的結(jié)果又怎樣解釋實(shí)際現(xiàn)象。4 l& X0 V3 s$ b6 J9 6.3 種群的相互競爭 6.4 種群的相互依存 6.5 食餌-捕食者模型r7 s9 G5 N) z- O6 , + n 這三節(jié)作為一個系列，用種群競爭、依存、捕食這類生物學(xué)案例來詮釋穩(wěn)定性模型的應(yīng)用。其中，相軌線分析法再次成為主角，它的意義在于：從圖中曲線上直觀地看出發(fā)展趨勢，且特殊點(diǎn)對應(yīng)的意義作出解釋。% 9 p/ g; S2 B I1 L. d第7章 差分方程模型關(guān)鍵詞：差分方程穩(wěn)定性 離散時段 差分阻滯增長 混沌& ; R D1 ) d 將時間離散化后，就可以建立與微分方程相對應(yīng)的差分方程模型。這章與第8章討論的是確定性離散模型。實(shí)際上有些問題既可以用連續(xù)，又可以用離散，要看目的而定。離散的一個優(yōu)勢在于，便于計算機(jī)求解。8 y, K* V# P X7 OY: QL* H+ n7.5 差分方程簡介：介紹差分方程穩(wěn)定性的知識，判別穩(wěn)定的條件。本章要用到的知識。7.1 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型: i3 v0 J t6 P 先用圖形法建立市場經(jīng)濟(jì)的“蛛網(wǎng)模型”，給出趨于穩(wěn)定的條件，再用差分方程建模，解釋結(jié)果。本節(jié)開頭的“問題前瞻、介紹”部分很經(jīng)典，可作為建模論文寫作的參考。, Q* R2 M% q* g% Z2 ! f D 本節(jié)最后對結(jié)果的解釋也非常值得學(xué)習(xí)：啟示我們，一些數(shù)學(xué)結(jié)果如參數(shù)前后的變大/變小，可能意味著什么，我們不要輕易放過，而是要時刻不忘解釋相對應(yīng)的原因。7.2 減肥計劃節(jié)食與運(yùn)動 這是一個很生活的問題，主要討論如何把一個“超重”的人減到目標(biāo)的正常范圍內(nèi)（均以WTO頒布的體重指數(shù)BMI衡量）。 我認(rèn)為這個模型的兩點(diǎn)仍然在建模本身：及如何將減肥計劃中“減肥”這一件事量化，用數(shù)學(xué)的語言可以表達(dá)，寫出差分方程。其中p208的“基本方程”式（1）是整個模型的基石，有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到，式（1）其實(shí)是一個“建而不解”的方程。 但正如節(jié)末評注中所述，實(shí)際參數(shù)的設(shè)置會更復(fù)雜，代謝消耗系數(shù)beta也因人而異、因環(huán)境而異，所以要有更多核對。但我們先要學(xué)習(xí)的還是建模這一步。- 1 L/ p/ f! b2 t/ E2 L6 v7.3 差分形式的阻滯增長模型1 t) a9 d6 r: , i. g2 p 此節(jié)是與之前用微分方程Logistic規(guī)律描述的“阻滯增長”規(guī)律最好的對比。有時，用離散化的時間研究比較方便，本節(jié)是很好的參考。（按：本人曾經(jīng)做過用差分方程加修正，描述人數(shù)傳播問題，個人認(rèn)為很多情況用差分方程更好，也更“誠實(shí)”些，因?yàn)槲覀円仓皇窍胍總€時段的數(shù)量）! i( Q( h. P& d S& d 要注意的是：若用離散描述，需要說明各“時段”指代意義。推出p211的式（6）后，這個一階分線性差分方程，也是“建而不解”，但注意：此處“不解”是指不需求通項公式，但各項的值仍要計算用計算機(jī)遞推可方便得到。我們最關(guān)心的往往是k趨向無窮時，y/x收斂情況，即平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的問題。這里微分、差分方程判別上有區(qū)別。 P212中，通過深入討論和213頁的數(shù)據(jù)表發(fā)現(xiàn)，不同的參數(shù)b下收斂情況不一，然后發(fā)現(xiàn)了“倍周期收斂”的規(guī)律，即存在多個收斂的子序列。然后發(fā)現(xiàn)當(dāng)n區(qū)域無窮時，不在存在任何倍周期收斂，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象（Chaos）。9 K7 Q5 q; c9 s: x- D+ ; Q 混沌的特點(diǎn)為對初值極度敏感，這一點(diǎn)在物理課中老師也提到過，許多非線性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效應(yīng)。( W n- X6 U5 W& a8 i6 y7.4 按年齡分組的種群增長 這個模型的主要區(qū)別在于：將種群分成n個年齡組，分析各年齡組對種群總量增減的影響。這一節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)稍繁。/ g6 n4 O( e- C) T( 0 s第8章 離散模型關(guān)鍵詞：層次分析 排名次 沖量過程 “分贓” 群體決策（本章是確定性離散模型的應(yīng)用、方法）. f F5 O+ T9 H7 d0 n. s) f5 q8 _8.1 層次分析模型+ - 8 a2 R- ; uS0 b# M 社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析工具。排名、評分評價，排等級都可以用層次分析模型解決，數(shù)學(xué)知識雖然不深，但是思想十分巧妙且合理，可擴(kuò)展性也很好。關(guān)鍵在于1）“成對比較矩陣”的確定及修正，2）特征根法求權(quán)向量的原理（重要），3）1-9比較尺度（Satty等人提出），4）一致性檢驗(yàn)。5 Q4 j) e9 v+ x# ?, 8.2 循環(huán)比賽的名次 這節(jié)也是對一些排名評價“難題”給出一種經(jīng)典解法：鄰接矩陣+得分向量。轉(zhuǎn)化為計算各級得分向量s、A最大特征根&對應(yīng)特征向量s。按常理一般只會想到基于原鄰接矩陣的1級得分向量，若比不出則停滯了；但若將i級乘回鄰接矩陣，可以“發(fā)展”到i+1級得分向量這個思想是本模型的關(guān)鍵，而且簡單易用易理解。, E* R4 h: g: W. P4 Q+ X# q6 S 對于所謂的“下一級”得分向量定義的原理依據(jù)，或?qū)嶋H意義，是此思想的關(guān)鍵，我覺得可以接受，看上去很有道理，但未想出具體的解釋，這里歡迎指教、討論。（p246）, M: c1 ( : M# F8.3 社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過程C1 I+ W3 a1 K1 y5 ( R: g4 區(qū)別于機(jī)理分析、統(tǒng)計分析，沖量過程與層次分析屬于“系統(tǒng)分析”，是近20年來發(fā)展起來的解決復(fù)雜系統(tǒng)的有力工具。; zS , m/ X. , h 這節(jié)模型研究能源系統(tǒng)中，各個因素的趨勢、預(yù)測問題。主要工具有：帶符號加權(quán)的有向圖，沖量過程（類比物理“沖量“概念）。其目的無非是研究系統(tǒng)的“穩(wěn)定性”，以及如何“調(diào)整”到穩(wěn)定。這是實(shí)際問題關(guān)注的。+ H1 H. O! 4 O# V9 ( O) x8.4 效益的合理分配 幾方（大于3方）合作，已知不同子組合可獲得不同收益，那么一起合作后，誰的功勞最大？也就是說，干完活后，如何“分贓”這里是理性的、用數(shù)學(xué)推理的公平的“分贓”。本節(jié)介紹了3類方法：Shapley值，協(xié)商解等，Raiffa解。最后用一個3方分配例子對比了這3種方法。3種方法特點(diǎn)在p262。是客觀求各因素權(quán)重的有力途徑。 x7 D* AO1 _8.5 存在公正的選舉規(guī)則嗎 這一節(jié)類似第2章的“公平席位”。主要討論的是“群體決策”這一類問題。 首先是簡單的選舉規(guī)則。9 Z% I: C! C1 ? & w 接著介紹Arrow K的工作：提出一組公理，卻證明不存在滿足這組公理的選舉規(guī)則，但很具有啟發(fā)性。 然后是聯(lián)合尺度選舉規(guī)則，它是一個簡單易行的規(guī)則（但是對投票情況限制了，才可能滿足Arrow公理）。 最后是一種與Arrow公理無關(guān)的規(guī)則最小距離，這是一種類比思想，很巧妙地把公平轉(zhuǎn)化為距離之和最小的最優(yōu)化問題。7 r0 h0 M i* l; i4 N9 m/ l B9 U: v: a: h, K. D4 L+ d+ g) _, n( j4 p! Q第9章 概率模型關(guān)鍵詞：隨機(jī)模型 基礎(chǔ)概率 生滅過程 數(shù)值解分析# N y d1 R* z4 K1 c8 6 K e 相對“確定性”模型來說，當(dāng)隨機(jī)因素的影響不可忽略時，就要建立隨機(jī)模型。概率模型就是比較簡單的隨機(jī)模型，這一章用我們熟悉的概率分布、期望、方差等知識介紹概率模型怎樣處理隨機(jī)因素的。 關(guān)鍵點(diǎn)有：1. 如何定義隨機(jī)因素相關(guān)的量。針對一個實(shí)際問題，做好定義是開始工作的根本。2. 隨機(jī)概率模型一般從離散角度（一個個時段）下手，但求解中為了需要可能會轉(zhuǎn)化為連續(xù)（如p274的求和轉(zhuǎn)化為積分）。; N R$ 0 U. ) q! z# t3. 要靈活根據(jù)實(shí)際問題，決定哪些參數(shù)應(yīng)設(shè)為定值，哪些參數(shù)會變（如9.4軋鋼問題，重量服從正態(tài)分布中，均方差應(yīng)認(rèn)為是已知的定值，而均值是可以調(diào)整的）。6 q D- b( d/ _8 B, v! t. W4. 一般的“生滅過程”參考9.5的隨機(jī)人口模型相比之前的人口模型，這個更加一般，考慮的因素更多，更接近實(shí)際。5. 有些模型無法解析求解，然而數(shù)值計算的結(jié)果已滿足我們對問題進(jìn)行分析的需要（9.6預(yù)訂票策略）。* x. n% Y- D7 X1 Y. k: R( 5 r0 . M. L+ J. o2 F- Z) U& s1 / j# A: Y6 v+ h第10章 統(tǒng)計回歸模型關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)擬合MATLAB統(tǒng)計 殘差分析 自相關(guān) 逐步回歸; j/ # X7 v( $ G% u% 對于有些內(nèi)部規(guī)律復(fù)雜、無法分析內(nèi)在機(jī)理的問題，我們建模、擬合的通常做法就是搜集大量的數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計方法建立模型統(tǒng)計回歸模型。/ _- a( S5 Z# S7 u5 r8 P& f5 K 關(guān)鍵點(diǎn)有：8 H# w; t$ % _0 X( v1. 做散點(diǎn)圖，大致判斷函數(shù)趨勢（比如有明顯的線性增長），確定方程形式，待定系數(shù)。2. 用MATLAB統(tǒng)計工具箱regress擬合，得出結(jié)果；重點(diǎn)：如何由MATLAB輸出結(jié)果下結(jié)論（如置信區(qū)間不要包含零點(diǎn)，R2、F）。3. （考慮實(shí)際問題制約）適當(dāng)引入變量簡化問題，如10.1中引入價格差（p297最后一段說明）。G% N9 y. Z9 H- V9 q4. 利用好回歸變量的預(yù)測（置信）區(qū)間。7 |, y8 V# d% i, u8 B5. 改進(jìn)回歸模型：逐漸考慮回歸變量之間的交互作用在方程中引入二次項、交叉項。若MATLAB擬合輸出信息表明有改進(jìn)，則說明模型更符合實(shí)際。還可加上作圖對比前后模型（p300）。- d- q3 p+ G; l4 E( G6. 殘差分析（p305，但這頁我未看懂具體做法，待交流），及分析得出的結(jié)論，我們應(yīng)該怎樣改進(jìn)模型。7. p307評注內(nèi)容：0-1變量法、殘差分析法、異常值應(yīng)剔除。8. 線性化（p309），及非線性MATLAB求解（p310）；p315最后兩段。( c, t) g: P. y9. 自相關(guān)的考慮（10.4節(jié)）：若存在自相關(guān)性（具有滯后性，即前期對后期有影響的時間序列），普通回歸模型將失去意義。我們必須先檢測是否存在自相關(guān)（D-W檢驗(yàn)、廣義差分法），同時注意若高階自相關(guān)，則必須改進(jìn)直至不存在自相關(guān)為止。/ D( g4 L( A3 a/ ? 10. 逐步回歸：因素較多時，排除次要因素，用來選擇影響因素顯著的變量。4 H$ _/ S; 4 A7 M D1 $ K: N4 p2 z6 d* X$ n$ t第11章 馬氏鏈模型關(guān)鍵詞：離散隨機(jī)過程 無后效性 轉(zhuǎn)移概率 狀態(tài)選取/ N4 K9 a* W; v+ t: |基本概念2 V$ M8 Y m Q5 J5 _9 A 這一章介紹了處理離散隨機(jī)過程的重要工具馬氏鏈模型，及若干個應(yīng)用。總體從淺到深，闡述了馬氏鏈的主要思想。1. 無后效性/Markov性： 系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)時隨機(jī)的，這個時期到下個時期狀態(tài)按照一定概率進(jìn)行轉(zhuǎn)移，且下個時期狀態(tài)只取決于 1）這個時期狀態(tài) 2）轉(zhuǎn)移概率，與以前各時期狀態(tài)無關(guān)。+ H& h- b- d+ - I8 K. z2. 馬氏鏈（Markov Chain）模型通常描述： 已知現(xiàn)在，將來與歷史無關(guān)，具有無后效性的，時間狀態(tài)均離散的隨即轉(zhuǎn)移過程。3. 一些確定性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題也能用馬氏鏈處理。2 * U7 L3 T5 R! W: t7 q, V8 G8 |( s- R6 G& y$ W! 一、健康與疾病; a8 S& ; m* w# x, w7 f- V# M% n 主要介紹馬氏鏈基本概念、要素： 系統(tǒng)的狀態(tài)，狀態(tài)概率，轉(zhuǎn)移概率，馬氏鏈基本方程，狀態(tài)概率向量，轉(zhuǎn)移概率矩陣。本章討論時齊的（轉(zhuǎn)移概率與時段n無關(guān)）馬氏鏈。 同時介紹2種主要類型: j- Z9 k* h) c N9 scl u 1）正則鏈：從任意狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移都能達(dá)到另外的任意狀態(tài)（如何判斷是正則鏈、相應(yīng)定理）；; L2 s* h4 p- D3 e/ 7 r+ X 2）吸收鏈：首先引入吸收狀態(tài)，顧名思義吧，就是某個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率=1，即進(jìn)了這個狀態(tài)就出不來了，被“吸收”掉。吸收鏈?zhǔn)牵ㄖ辽伲┐嬖谝粋€吸收狀態(tài)，使馬氏鏈從每個費(fèi)吸收狀態(tài)出發(fā)，能有限次到某個吸收狀態(tài)。! S0 I0 S9 a9 W& C$ J3 d二、鋼琴銷售的存貯策略8 aQ3 & N+ R/ f 動態(tài)隨機(jī)存貯。一個簡化的存貯模型，關(guān)鍵是從中理解狀態(tài)變量、需求量、轉(zhuǎn)移矩陣的設(shè)置和求解。 判斷轉(zhuǎn)移矩陣P為正則鏈后，用公式求出穩(wěn)態(tài)概率分布w，就是達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的情況，然后用全概率公式算出失去銷售機(jī)會的可能性。 這個模型雖然簡單，但卻是動態(tài)存儲馬氏鏈的淺顯易懂的好例子，其中結(jié)合實(shí)際問題具體分析是最值得學(xué)習(xí)的。8 % Lw* ) G) e/ l7 p2 w0 mS三、基因遺傳* % y: _% m5 D6 n) |( q 用馬氏鏈模型研究遺傳過程，關(guān)鍵是建模的過程即選取系統(tǒng)的狀態(tài)，這在“隨機(jī)交配”和“近親繁殖”中需用不同的設(shè)法。隨機(jī)交配過程推導(dǎo)的結(jié)果是 (p2, 2pq, q2) 分布將保持下去，即遺傳學(xué)中的Hardy-Weinberg平穩(wěn)定律；然而，近親繁殖中，得到的轉(zhuǎn)移矩陣發(fā)現(xiàn)是一個“吸收鏈”即如果近親結(jié)婚的話，若干代繁殖終將變成全是優(yōu)種/全是劣種，并保持下去。這兩個結(jié)論（雖然在理想化假設(shè)下）與我們之前的認(rèn)識是很一致的，從中加深了馬氏鏈的理解。四、等級結(jié)構(gòu) 這個模型是用馬氏鏈研究一個群體中各個個體等級分布變化情況，目標(biāo)是研究等級分布變化規(guī)律，假設(shè)總?cè)藬?shù)不變。然后用某種途徑讓群體等級分布達(dá)到想要的穩(wěn)定狀態(tài)。5 c8 h+ A8 k( _/ . c 重點(diǎn)在于變量的設(shè)置，以及還是狀態(tài)設(shè)置、模型建立過程。建模過后，先用“調(diào)入比例”這一現(xiàn)實(shí)中可控的量進(jìn)行穩(wěn)定控制，其中有“穩(wěn)定域”的構(gòu)造、分析。 然后是具體如何用調(diào)入比例，進(jìn)行動態(tài)調(diào)節(jié)，實(shí)則轉(zhuǎn)化為了一步步優(yōu)化問題，動態(tài)調(diào)節(jié)的過程是一步接一步的，有重復(fù)循環(huán)的操作規(guī)律。這里也很好地體現(xiàn)了馬氏鏈的“離散”特性，以及給編程創(chuàng)造了機(jī)會。V+ _5 + N$ s4 A0 t9 B5 n五、資金流通 基本與等級結(jié)構(gòu)一樣，一系列推導(dǎo)最后總結(jié)出步驟，先判斷穩(wěn)定能否達(dá)到，若能達(dá)到，則由公式算出每年應(yīng)如何投放資金。與等級模型不同在于：各地區(qū)資金進(jìn)出可正可負(fù)；所有地區(qū)資金總和可以變化。3 _, & N2 Q! r1 _9 第11章小結(jié)：& u! T* . ?4 s7 雖然只有短短5節(jié)，但是幾個模型由淺入深，循序漸進(jìn)，學(xué)習(xí)中有逐漸清晰的感覺。過程的推導(dǎo)復(fù)雜度適中，具體問題具體分析的思想很經(jīng)典。這章算是馬氏鏈模型的基礎(chǔ)，雖是基礎(chǔ)但案例、思想也足夠典型，是今后解決離散隨機(jī)過程很有力的工具。8 B( L4 N$ r. y$ e