2018版高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案蘇教版.doc

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì).2.能運用拋物線的簡單幾何性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)的問題知識點一拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸x軸y軸y軸頂點(0,0)離心率e1知識點二焦點弦直線過拋物線y22px (p0)的焦點F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，AFx1，BFx2，故ABx1x2p.知識點三直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的個數(shù)當(dāng)k0時，若0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；當(dāng)0時，直線與拋物線有一個公共點；當(dāng)0)有幾條對稱軸？是不是中心對稱圖形？(2)影響拋物線開口大小的量是什么？是如何影響的？答案(1)有一條對稱軸即y軸，不是中心對稱圖形(2)影響拋物線開口大小的量是參數(shù)p.p值越大，拋物線的開口越大，反之，開口越小題型一拋物線的幾何性質(zhì)例1已知雙曲線方程是1，求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的準(zhǔn)線方程解因為雙曲線1的右頂點坐標(biāo)為(2，0)，所以2，且拋物線的焦點在x軸正半軸上，所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x，其準(zhǔn)線方程為x2.反思與感悟(1)注意拋物線各元素間的關(guān)系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點，拋物線的準(zhǔn)線始終與對稱軸垂直，拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點關(guān)于拋物線的頂點對稱(2)解決拋物線問題要始終把定義的應(yīng)用貫徹其中，通過定義的運用，實現(xiàn)兩個距離之間的轉(zhuǎn)化，簡化解題過程跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的對稱軸在坐標(biāo)軸上，以原點為頂點，且經(jīng)過點M(1，2)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程解(1)當(dāng)拋物線的焦點在x軸上時，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2mx(m0)將點M(1，2)代入，得m4.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x；(2)當(dāng)拋物線的焦點在y軸上時，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2ny(n0)將點M(1，2)代入，得n.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x或x2y.準(zhǔn)線方程為x1或y.題型二拋物線的焦點弦問題例2已知拋物線方程為y22px(p0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且ABp，求AB所在的直線方程解由題意知焦點F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx軸，則AB2p0，即k1且k0時，直線l與拋物線C有兩個公共點，此時直線l與拋物線C相交；當(dāng)0，即k1時，直線l與拋物線C有一個公共點，此時直線l與拋物線C相切；當(dāng)1時，直線l與拋物線C沒有公共點，此時直線l與拋物線C相離綜上所述，(1)當(dāng)k1或k0時，直線l與拋物線C有一個公共點；(2)當(dāng)k1時，直線l與拋物線C沒有公共點反思與感悟直線與拋物線交點的個數(shù)，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數(shù)注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數(shù)為0的情況 跟蹤訓(xùn)練3 如圖，過拋物線y2x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值證明設(shè)kABk(k0)，直線AB，AC的傾斜角互補，kACk(k0)，直線AB的方程是yk(x4)2.由方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解4xB，即xB.以k代換xB中的k，得xC，kBC.所以直線BC的斜率為定值1以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為_答案y28x或y28x解析設(shè)拋物線y22px或y22px(p0)，依題意得x，代入y22px或y22px得|y|p，2|y|2p8，p4.2若拋物線y2x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標(biāo)為_答案(，)解析由題意知，點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離，因此點P在線段OF的垂直平分線上，而F(，0)，所以的P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y，故點P的坐標(biāo)為(，)3拋物線y4x2上一點到直線y4x5的距離最短，則該點坐標(biāo)為_答案(，1)解析因為y4x2與y4x5不相交，設(shè)與y4x5平行的直線方程為y4xm.則4x24xm0.設(shè)此直線與拋物線相切，此時有0，即1616m0，m1.將m1代入式，x，y1，故所求點的坐標(biāo)為(，1)4經(jīng)過拋物線y22x的焦點且平行于直線3x2y50的直線l的方程是_答案6x4y30解析設(shè)直線l的方程為3x2yc0，拋物線y22x的焦點F(，0)，所以320c0，所以c，故直線l的方程是6x4y30.5已知直線xy10與拋物線yax2相切，則a_.答案解析由消去y得ax2x10，直線與拋物線相切，a0且14a0.a.1.討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程2直線與拋物線的相交弦問題共有兩類，一類是過焦點的弦，一類是不過焦點的弦解決弦的問題，大多涉及到拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率常用的辦法是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，這樣避免求交點尤其是弦的中點問題，還應(yīng)注意“點差法”的運用3判斷直線與拋物線位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：利用圖象，數(shù)形結(jié)合，判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，但有誤差影響判斷的結(jié)果(2)代數(shù)法：設(shè)直線l的方程為ykxm，拋物線的方程為y22px(p0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x