2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算教案（含解析）北師大版.docx

2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的加法與減法已知復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)問題1：多項(xiàng)式的加減實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)，類比想一想復(fù)數(shù)如何加減？提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.問題2：類比向量的加法，復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律嗎？提示：滿足1加(減)法法則設(shè)abi與cdi(a，b，c，dR)是任意復(fù)數(shù)，則(abi)(cdi)(ac)(bd)i.2運(yùn)算律對(duì)任意的z1，z2，z3C，有z1z2z2z1(交換律)(z1z2)z3z1(z2z3)(結(jié)合律).復(fù)數(shù)的乘法問題1：復(fù)數(shù)的加減法類似多項(xiàng)式加減，試想：復(fù)數(shù)相乘是否類似兩多項(xiàng)式相乘？提示：是問題2：復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對(duì)加法的分配律？提示：滿足問題3：試舉例驗(yàn)證復(fù)數(shù)乘法的交換律提示：若z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i，z2z1(cdi)(abi)(acbd)(bcad)i.故z1z2z2z1.復(fù)數(shù)的乘法(1)定義：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)運(yùn)算律：對(duì)任意z1，z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對(duì)加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3復(fù)數(shù)的乘方：任意復(fù)數(shù)z，z1，z2和正整數(shù)m，n，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzz.共 軛 復(fù) 數(shù)觀察下列三組復(fù)數(shù)：(1)z12i；z22i；(2)z134i；z234i；(3)z14i；z24i.問題1：每組復(fù)數(shù)中的z1與z2有什么關(guān)系？提示：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)問題2：試計(jì)算每組中的z1z2，你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？提示：z1與z2的積等于z1的實(shí)部與虛部的平方和共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這樣的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用來表示，也就是當(dāng)zabi時(shí)，abi.于是za2b2|z|2.復(fù)數(shù)的除法我們知道實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，類似地，復(fù)數(shù)的除法也是復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算，給出兩個(gè)復(fù)數(shù)abi，cdi(cdi0)若(cdi)(xyi)abi，則xyi叫做復(fù)數(shù)abi除以cdi的商問題1：根據(jù)乘法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等的概念，請(qǐng)用a，b，c，d表示出x，y.提示：由(cdi)(xyi)abi得xcyd(xdyc)iabi.即問題2：運(yùn)用上述方法求兩個(gè)復(fù)數(shù)的商非常繁瑣，有更簡(jiǎn)便的方法求兩個(gè)復(fù)數(shù)的商嗎？提示：可以用分母的共軛復(fù)數(shù)同乘分子與分母后，再進(jìn)行運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法法則設(shè)z1abi，z2cdi(cdi0)，則i(cdi0)1復(fù)數(shù)的加法、減法和乘法與多項(xiàng)式的加法、減法和乘法相類似，但應(yīng)注意在乘法中必須把i2換成1，再把實(shí)部、虛部分別合并2復(fù)數(shù)的除法和實(shí)數(shù)的除法有所不同，實(shí)數(shù)的除法可以直接約分、化簡(jiǎn)得出結(jié)果；而復(fù)數(shù)的除法是先將兩復(fù)數(shù)的商寫成分式，然后分母實(shí)數(shù)化(分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)) 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例1計(jì)算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR)思路點(diǎn)撥利用復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的法則計(jì)算精解詳析(1)(12i)(34i)(56i)(42i)(56i)18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.一點(diǎn)通復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的方法技巧：(1)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加、減，虛部與虛部相加、減；(2)把i看作一個(gè)字母，類比多項(xiàng)式加、減中的合并同類項(xiàng)1計(jì)算：(1i)(2i)(32i)解：(1i)(2i)(32i)1()i(32i)4(2)i.2若(310i)y(2i)x19i，求實(shí)數(shù)x，y的值解：原式化為3y10yi(2xxi)19i.即(3y2x)(x10y)i19i.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例2計(jì)算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i；(3)(23i)(12i)i5；(4)2.思路點(diǎn)撥按照復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算精解詳析(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.(3)原式i5(i2)2iii.(4)21817.一點(diǎn)通(1)復(fù)數(shù)的乘法可以把i看作字母，按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行，注意把i2化成1，進(jìn)行最后結(jié)果的化簡(jiǎn)；復(fù)數(shù)的除法先寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，并進(jìn)行化簡(jiǎn)(2)im(mN)具有周期性，且最小正周期為4，則i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN)3設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，則z()A1iB.1iC.1i D.1i解析：選Az1i，故選A. 4若復(fù)數(shù)z滿足 (34i)z|43i|，則z的虛部為()A4 B.C4 D.解析：選D因?yàn)閨43i| 5，所以已知等式為(34i)z5，即zi，所以復(fù)數(shù)z的虛部為，選擇D.5計(jì)算：(1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)；(2).解：(1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)(4i)(62i)(7i)(43i)248i6i22821i4i34739i.(2)(1i)4ii(1i)22i(2i)24i.共 軛 復(fù) 數(shù)例3已知zC，為z的共軛復(fù)數(shù)，若z3i13i，求z.精解詳析設(shè)zabi(a，bR)，則abi(a，bR)，由題意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，則有解得或所以z1或z13i.一點(diǎn)通已知關(guān)于z和的方程，求z的問題，解題的常規(guī)思路為設(shè)zabi(a，bR)，則abi，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程組求解6復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是()A2i B.2iC1i D1i解析：選Dz1i，所以1i.7設(shè)z1i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)_.解析：對(duì)于z2(1i)21i2i1i，故(1i)(1i)2.答案：28已知復(fù)數(shù)z滿足(12i)z43i，則_.解析：因?yàn)?12i)z43i，所以z2i，故2i，i.答案：i9已知復(fù)數(shù)z15i，z2i3，且12，求復(fù)數(shù)z.解：由已知得：15i，23i，12(5i)(3i)22i，zi.1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)運(yùn)算順序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加減，同時(shí)要注重復(fù)數(shù)運(yùn)算中的獨(dú)特技巧，如：(1i)22i，i，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)等，在解題中可使運(yùn)算簡(jiǎn)化2解決共軛復(fù)數(shù)問題時(shí)，除用共軛復(fù)數(shù)定義解題外，也常用下列結(jié)論簡(jiǎn)化解題過程z|z|2|2；zRz；z0，z為純虛數(shù)z.1(12i)()A2iB22iC22i D2解析：選B原式i22i.2已知a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，若的模為2，則a()A2 B.C. D1解析：選B因?yàn)?ai，所以 2，又a0，故a.故選B.3計(jì)算：()A0 B1Ci D2i解析：選D3ii2i.故選D.4(1i)20(1i)20的值是()A1 024 B1 024C0 D512解析：選C(1i)20(1i)20(1i)210(1i)210(2i)10(2i)10(2i)10(2i)100.5已知a，bR，i是虛數(shù)單位若(ai)(1i)bi，則abi_.解析：因?yàn)?ai)(1i)a1(a1)ibi，a，bR，所以解得所以abi12i.答案：12i6若復(fù)數(shù)z滿足z(1z)i1，則zz2_.解析：由題得zizi10，則zi，所以zz2i21.答案：17計(jì)算：(1)(i)2(45i)；(2).解：(1)(i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i