2017_2018學(xué)年高中物理第三章萬(wàn)有引力定律第3節(jié)萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用教學(xué)案教科版.docx

第3節(jié) 萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用1.根據(jù)萬(wàn)有引力理論預(yù)言了哈雷彗星再次出現(xiàn)的時(shí)間，推算出未知天體的軌道。2利用地球表面物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即mg，可以計(jì)算出地球的質(zhì)量。3利用萬(wàn)有引力提供向心力，可以計(jì)算中心天體的質(zhì)量。利用MR3，可以計(jì)算中心天體的平均密度。一、預(yù)言彗星回歸1哈雷根據(jù)萬(wàn)有引力理論，對(duì)1682年出現(xiàn)的哈雷彗星的軌道運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了計(jì)算，指出了不同年份出現(xiàn)的情況，并預(yù)言了再次出現(xiàn)的時(shí)間。21743年，克雷洛計(jì)算了遙遠(yuǎn)的木星和土星對(duì)哈雷彗星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響，指出了運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)的時(shí)間。3總之，由萬(wàn)有引力理論可以預(yù)知哈雷彗星每次臨近地球的時(shí)間，并且經(jīng)過(guò)驗(yàn)證都是正確的。二、預(yù)言未知星體1英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文愛(ài)好者勒維耶，根據(jù)天王星的觀測(cè)資料，各自獨(dú)立地利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出天王星軌道外面“新”行星的軌道。1846年9月23日晚，德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置發(fā)現(xiàn)了這顆行星海王星。21930年，湯姆博夫根據(jù)海王星自身運(yùn)動(dòng)不規(guī)則性的記載發(fā)現(xiàn)了冥王星。三、計(jì)算天體質(zhì)量1測(cè)量地球的質(zhì)量若不考慮地球的自轉(zhuǎn)，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力。即有mgG，所以地球質(zhì)量為M。2計(jì)算太陽(yáng)的質(zhì)量(1)基本思路：行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是它們間的萬(wàn)有引力提供的。測(cè)量出環(huán)繞周期T和環(huán)繞半徑r。(2)公式：Gmr，由此可得太陽(yáng)質(zhì)量mS。1自主思考判一判(1)利用萬(wàn)有引力理論，可以預(yù)言哈雷彗星再次出現(xiàn)的時(shí)間。()(2)天王星、海王星、冥王星都是先理論預(yù)言其存在，后觀測(cè)發(fā)現(xiàn)的行星。()(3)天王星是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的太空觀測(cè)而發(fā)現(xiàn)的。()(4)牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，同時(shí)測(cè)出了地球的質(zhì)量。()(5)只要測(cè)量出行星的公轉(zhuǎn)周期及它和太陽(yáng)間距離，就能計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量。()2合作探究議一議(1)如果知道自己的重力，你能求出地球的質(zhì)量嗎？如果能，還需要知道哪些物理量？提示：能。若用G表示重力，設(shè)自身質(zhì)量為m，則重力加速度g，故M，所以還需知道地球半徑R、引力常量G就可算出地球質(zhì)量M。(2)若已知月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T和半徑r，由此可以求出地球的質(zhì)量嗎？能否求出月球的質(zhì)量呢？圖331提示：能求出地球的質(zhì)量。利用Gm2r求出的質(zhì)量M為中心天體的質(zhì)量。做圓周運(yùn)動(dòng)的月球的質(zhì)量m在等式中已消掉，所以根據(jù)月球的周期T、公轉(zhuǎn)半徑r，無(wú)法計(jì)算月球的質(zhì)量。天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1天體質(zhì)量的計(jì)算(1)“自力更生法”：若已知天體(如地球)的半徑R和表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于天體對(duì)物體的引力，得mgG，解得天體質(zhì)量為M，因g、R是天體自身的參量，故稱“自力更生法”。(2)“借助外援法”：借助繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星，計(jì)算中心天體的質(zhì)量，常見(jiàn)的情況：GmMGm2rMGm2rM2天體密度的計(jì)算若天體的半徑為R，則天體的密度。將M代入上式得：。特別地，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則。典例我國(guó)探月的“嫦娥”工程已啟動(dòng)，在不久的將來(lái)，我國(guó)宇航員就會(huì)登上月球。假設(shè)探月宇航員站在月球表面一斜坡上的M點(diǎn)，并沿水平方向以初速度v0拋出一個(gè)小球，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡上另一點(diǎn)N，斜面的傾角為，如圖332所示。將月球視為密度均勻、半徑為R的球體，引力常量為G，則月球的密度為()圖332A.B.C. D.思路點(diǎn)撥利用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可確定月球表面的重力加速度g，然后利用“自力更生法”求出月球的質(zhì)量，從而得到月球的密度。解析根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有MNsin ，MNcos v0t，兩式相比得月球表面的重力加速度g，月球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力等于物體的重力，有mg，月球的密度，解得，C正確。答案C(1)計(jì)算天體質(zhì)量和密度的公式，既可以計(jì)算地球質(zhì)量，也可以計(jì)算太陽(yáng)等其他星體的質(zhì)量，需明確計(jì)算的是中心天體的質(zhì)量。(2)要注意理解并區(qū)分公式中的R、r，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，只有在近“地”軌道運(yùn)行時(shí)才有rR。1.“嫦娥三號(hào)”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道。觀察“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過(guò)時(shí)間t通過(guò)的弧長(zhǎng)為l，該弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為(弧度)，如圖333所示。已知引力常量為G，由此可推導(dǎo)出月球的質(zhì)量為()圖333A. B.C. D.解析：選A根據(jù)弧長(zhǎng)及對(duì)應(yīng)的圓心角，可得“嫦娥三號(hào)”的軌道半徑r，根據(jù)轉(zhuǎn)過(guò)的角度和時(shí)間，可得，由于月球?qū)Α版隙鹑?hào)”的萬(wàn)有引力提供“嫦娥三號(hào)”做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可得Gm2r，由以上三式可得M，A正確。2假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星。若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)1，已知引力常量為G。(1)則該天體的密度是多少？(2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)2，則該天體的密度又是多少？解析：(1)由萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星的向心力有Gm2R，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知天體的體積為VR3故該天體的密度為。(2)衛(wèi)星距天體表面距離為h時(shí)，忽略自轉(zhuǎn)有Gm(Rh)，M，。答案：(1)(2)天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算1基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由中心天體對(duì)它的萬(wàn)有引力提供。2常用關(guān)系(1)Gmamm2rmr。(2)忽略自轉(zhuǎn)時(shí)，mgG(物體在天體表面時(shí)受到的萬(wàn)有引力等于物體重力)，整理可得：gR2GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”。3四個(gè)重要結(jié)論設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(1)由Gm得v ，r越大，v越小。(2)由Gm2r得，r越大，越小。(3)由Gm2r得T2，r越大，T越大。(4)由Gma向得a向，r越大，a向越小。典例據(jù)報(bào)道，天文學(xué)家近日發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的“超級(jí)地球”，名為“55 Cancri e”。該行星繞母星(中心天體)運(yùn)行的周期約為地球繞太陽(yáng)運(yùn)行周期的，母星的體積約為太陽(yáng)的60倍。假設(shè)母星與太陽(yáng)密度相同，“55 Cancri e”與地球均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則“55 Cancri e”與地球的()A軌道半徑之比約為 B軌道半徑之比約為 C向心加速度之比約為 D向心加速度之比約為 思路點(diǎn)撥(1)“超級(jí)地球”繞母星的運(yùn)動(dòng)規(guī)則與地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則相同。(2)繞行天體的向心加速度由中心天體對(duì)它的萬(wàn)有引力產(chǎn)生。解析由公式Gm2r，可得通式r，設(shè)“55 Cancri e”的軌道半徑為r1，地球軌道半徑為r2，則，從而判斷A錯(cuò)，B對(duì)；再由Gma得通式aG，則 ，所以C、D皆錯(cuò)。答案B(1)分析該類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住“萬(wàn)有引力提供向心力”這一主線。(2)定量計(jì)算時(shí)，除抓住以上主線外，有時(shí)要借助于“黃金代換式”才能順利解決問(wèn)題。1.研究火星是人類探索向火星移民的一個(gè)重要步驟。設(shè)火星和地球均繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道在地球軌道外側(cè)，如圖334所示，與地球相比較，則下列說(shuō)法中正確的是()圖334A火星運(yùn)行速度較大B火星運(yùn)行角速度較大C火星運(yùn)行周期較大D火星運(yùn)行的向心加速度較大解析：選C根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力Gmm2rmrma，得v，T2 ，a，由此可知，軌道半徑越大，周期越大，但速度、角速度、加速度越小，因火星的軌道半徑比地球的軌道半徑大，故火星的周期大，但火星的速度、角速度、加速度都較小，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。2已知地球半徑R6.4106 m，地面附近重力加速度g9.8 m/s2，計(jì)算在距離地面高為h2.0106 m的圓形軌道上的衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T。解析：根據(jù)萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即Gm。知v。由地球表面附近的物體受到的萬(wàn)有引力近似等于重力，即Gmg，得GMgR2。由兩式可得v 6.4106 m/s6.9103 m/s。運(yùn)動(dòng)周期T s7.6103 s。答案：6.9103 m/s7.6103 s宇宙雙星問(wèn)題1宇宙雙星：相距較近僅在彼此的引力作用下圍繞它們的連線上的某一固定點(diǎn)(圓心)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩顆恒星。2雙星特點(diǎn)(1)兩顆恒星的向心力大小相等，都是由相互作用的萬(wàn)有引力提供。(2)兩顆恒星的角速度、周期相同。典例宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于因萬(wàn)有引力的作用吸引到一起。設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2，二者相距L。求：(1)雙星的軌道半徑之比；(2)雙星的線速度之比；(3)雙星的運(yùn)動(dòng)周期。思路點(diǎn)撥處理雙星問(wèn)題的依據(jù)仍是萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，但需充分利用雙星模型的特點(diǎn)，并將其作為附加條件才能分析和求解相關(guān)問(wèn)題。解析如圖所示，兩者軌跡圓的圓心為O，半徑分別為R1和R2。由萬(wàn)有引力提供向心力，有Gm1R1Gm2R2(1)由兩式相除，得。(2)因?yàn)関，所以。(3)將式消去“m1”，式消去“m2”后相加得(R1R2)又由幾何關(guān)系知R1R2L所以由兩式可得T2 。答案(1)(2)(3)2 雙星模型的兩個(gè)重要結(jié)論(1)雙星模型中，星體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和質(zhì)量成反比，即r1r2m2m1，雙星系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心離質(zhì)量較大的星體近。(2)雙星系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期與雙星的距離L、雙星的總質(zhì)量(m1m2)有關(guān)，即T2 。1.現(xiàn)代觀測(cè)表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特點(diǎn)，眾多的恒星組成了不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡(jiǎn)單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星，事實(shí)上，冥王星也是和另一星體構(gòu)成雙星，如圖335所示，這兩顆行星m1、m2各以一定速率繞它們連線上某一中心O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣才不至于因萬(wàn)有引力作用而吸引在一起，現(xiàn)測(cè)出雙星間的距離始終為L(zhǎng)，且它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1與r2之比為32，則()圖335A它們的角速度大小之比為23B它們的線速度大小之比為32C它們的質(zhì)量之比為32D它們的周期之比為23解析：選B雙星的角速度和周期都相同，故A、D均錯(cuò)；由Gm12r1，Gm22r2，解得m1m2r2r123，C錯(cuò)誤。由vr知，v1v2r1r232，B正確。2兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，求兩星的質(zhì)量之和。解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1、M2，都繞連線上O點(diǎn)做周期為T(mén)的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O點(diǎn)的距離分別為l1、l2。由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得： 對(duì)M1：GM12l1，所以M2；對(duì)M2：GM22l2，所以M1；而Rl1l2，所以，兩星的質(zhì)量之和：MM1M2。答案：1下列說(shuō)法正確的是()A海王星是人們直接應(yīng)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B天王星是人們依據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的C海王星是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的太空觀測(cè)而發(fā)現(xiàn)的D天王星的運(yùn)行軌道與由萬(wàn)有引力定律計(jì)算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此人們發(fā)現(xiàn)了海王星解析：選D由行星的發(fā)現(xiàn)歷史可知，天王星并不是根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的；海王星不是通過(guò)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，也不是直接由萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的，而是人們發(fā)現(xiàn)天王星的實(shí)際軌道與理論軌道存在偏差，然后運(yùn)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出“新”星的軌道，從而發(fā)現(xiàn)了海王星。由此可知，A、B、C錯(cuò)誤，D正確。2為了研究太陽(yáng)演化的進(jìn)程需知太陽(yáng)的質(zhì)量，已知地球的半徑為R，地球的質(zhì)量為m，日地中心的距離為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，則太陽(yáng)的質(zhì)量為()A.B.C. D.解析：選A地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)有Gmr，對(duì)地球表面的物體有mgG，聯(lián)立解得M日，A正確。3地球表面的平均重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估算地球的平均密度為()A. B.C. D.解析：選A忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，對(duì)處于地球表面的物體，有mgG，又地球質(zhì)量MVR3。代入上式化簡(jiǎn)可得，A正確。4.如圖1所示，若兩顆人造衛(wèi)星a和b均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a、b到地心O的距離分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2，則()圖1A.B.C.2 D.2解析：選A對(duì)人造衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力m，可得v 。 所以對(duì)于a、b兩顆人造衛(wèi)星有，故選項(xiàng)A正確。5(多選)科學(xué)家在研究地月組成的系統(tǒng)時(shí)，從地球向月球發(fā)射激光，測(cè)得激光往返時(shí)間為t。若還已知萬(wàn)有引力常量G，月球繞地球旋轉(zhuǎn)(可看成勻速圓周運(yùn)動(dòng))的周期T，光速c(地球到月球的距離遠(yuǎn)大于它們的半徑)。則由以上物理量可以求出()圖2A月球到地球的距離B地球的質(zhì)量C月球受地球的引力 D月球的質(zhì)量解析：選AB根據(jù)激光往返時(shí)間為t和激光的速度可求出月球到地球的距離，A正確；又因知道月球繞地球旋轉(zhuǎn)的周期T，根據(jù)Gm2r可求出地球的質(zhì)量M，B正確；根據(jù)題中數(shù)據(jù)只能計(jì)算中心天體的質(zhì)量，D不對(duì)；因不知月球的質(zhì)量，無(wú)法計(jì)算月球受地球的引力，C也不對(duì)。6火星探測(cè)項(xiàng)目是我國(guó)繼神舟載人航天工程、嫦娥探月工程之后又一個(gè)重大太空探索項(xiàng)目。假設(shè)火星探測(cè)器在火星表面附近圓形軌道運(yùn)行的周期為T(mén)1，神舟飛船在地球表面附近的圓形軌道運(yùn)行周期為T(mén)2，火星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為p，火星半徑與地球半徑之比為q，則T1與T2之比為()A. B. C. D.解析：選D火星探測(cè)器繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，火星對(duì)探測(cè)器的萬(wàn)有引力提供向心力，即GmR12T1 ，同理可知飛船繞地球的周期T2 ，所以 ，D項(xiàng)正確。7(多選)據(jù)觀測(cè)，某行星外圍有一模糊不清的環(huán)，為了判斷該環(huán)是行星的連續(xù)物還是衛(wèi)星群，又測(cè)出了環(huán)中各層的線速度的大小和該層至行星中心的距離R，以下判斷中正確的是()A若v與R成正比，則環(huán)是連續(xù)物B若v與R成反比，則環(huán)是連續(xù)物C若v2與R成反比，則環(huán)是衛(wèi)星群D若v2與R成正比，則環(huán)是衛(wèi)星群解析：選AC若環(huán)是行星的連續(xù)物，則其角速度與行星自轉(zhuǎn)的角速度相同，故v與R成正比，A對(duì)，B錯(cuò)。若環(huán)是行星的衛(wèi)星群，則由Gm可得v2G，即v2與R成反比，C對(duì)，D錯(cuò)。8假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G。地球的密度為()A.B.C. D.解析：選B物體在地球的兩極時(shí)，mg0G，物體在赤道上時(shí)，mgm2RG，以上兩式聯(lián)立解得地球的密度。故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤。9(多選)通過(guò)觀測(cè)冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，除了引力常量外，至少還需要兩個(gè)物理量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。這兩個(gè)物理量可以是()A衛(wèi)星的速度和角速度B衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑解析：選AD根據(jù)線速度和角速度可以求出半徑r，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，則有m，整理可得M，故選項(xiàng)A正確；由于衛(wèi)星的質(zhì)量m可約掉，故選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；若知道衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑，則m2r，整理得M，故選項(xiàng)D正確。10雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為()A.T B.TC.T D.T解析：選B設(shè)m1的軌道半徑為R1，m2的軌道半徑為R2，兩星之間的距離為L(zhǎng)。由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間