《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》PPT課件.ppt

第二章 實驗設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)簡介,第一節(jié) 統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié) 線性代數(shù)基礎(chǔ) 第三節(jié) 回歸與分析,第一節(jié) 統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ),一、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù) 二、顯著性檢驗 三、方差分析 四、協(xié)方差分析,一、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù),（一）平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)，記為 。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計算。 平均數(shù)的基本性質(zhì):(1)樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。(2)樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。 對于總體而言，通常用表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為： 式中，N表示總體所包含的個體數(shù)。 當(dāng)一個統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望等于所估計的總體參數(shù)時，則稱此統(tǒng)計量為該總體參數(shù)的無偏估計量。統(tǒng)計學(xué)中常用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)（）的估計量，并已證明樣本平均數(shù) 是總體平均數(shù)的無偏估計量。 1、算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean）： 直接求算法和加權(quán)平均值法 2、中位數(shù)（median）:將資料內(nèi)所有觀測值從小到大依次排列，位于中間的那個觀測值，稱為中位數(shù)，記為Md。當(dāng)觀測值的個數(shù)是偶數(shù)時，則以中間兩個觀測值的平均數(shù)作為中位數(shù)。中位數(shù)簡稱中數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。,3、眾數(shù)（mode）：出現(xiàn)次數(shù)最多的那個觀測值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)，記為M0。 4、幾何平均數(shù)（geometric mean）： n個觀測值相乘之積開n次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。 5、調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean）：各觀測值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H。,（二）標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù),平均值只能反映效應(yīng)的平均高低，而變異程度是另一個衡量效應(yīng)的重要指標(biāo)。 極差和離均差不能全面反映變異程度，后者有正負(fù)號，離均差之和為0。 離均差平方和除以自由度得到均方（mean square縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S2。S2= 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為2。對于有限總體而言， 統(tǒng)計學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S ： 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為 。在統(tǒng)計學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計總體標(biāo)準(zhǔn)差。 在樣本服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差（S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差（3S）范圍內(nèi)。也就是說全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差,變異系數(shù)：變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異程度的另一個統(tǒng)計量。當(dāng)進行兩個或多個資料變異程度的比較時，如果度量單位與平均數(shù)相同，可以直接利用標(biāo)準(zhǔn)差來比較。如果單位和（或）平均數(shù)不同時，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準(zhǔn)差，而需采用標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值（相對值）來比較。標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為變異系數(shù)，記為CV。變異系數(shù)可以消除單位和（或）平均數(shù)不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。 變異系數(shù)的計算公式為：,二、假設(shè)（顯著性）檢驗,對總體分布或分布中的某些參數(shù)作出假設(shè)，然后利用樣本的觀測值所提供的信息，檢驗這種假設(shè)是否成立，這一統(tǒng)計推斷過程，稱為假設(shè)檢驗。 （1）待檢驗假設(shè)或零假設(shè)記為H0，正在被檢驗的與相對立的假設(shè)H1稱為備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)。 （2） 假設(shè)檢驗的依據(jù)小概率原理：小概率事件在一次試驗中實際上不會發(fā)生。 （3） 假設(shè)檢驗的思路是概率性質(zhì)的反證法。即首先假設(shè)成立，然后根據(jù)一次抽樣所得的樣本值得信息，若導(dǎo)致小概率事件發(fā)生，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。,假設(shè)檢驗的程序及方法,1、假設(shè)檢驗程序 根據(jù)題意提出零假設(shè)H0（或相應(yīng)備選假設(shè)H1）。 構(gòu)造樣本統(tǒng)計量并確定其分布； 給定顯著性水平a，查表確定臨界值，從而得出接受域和拒絕域； 由樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值； 作出判斷：若統(tǒng)計量的值落入拒絕域則拒絕H0，若統(tǒng)計量的值落入接受域則接受H0。 2、假設(shè)檢驗的主要方法有： Z檢驗法、t檢驗法、c2檢驗法、F檢驗法。,t-檢驗,以樣本平均數(shù)作為檢驗對象，由兩個樣本平均數(shù)差異的大小去推斷樣本所屬總體平均數(shù)是否相同是有其依據(jù)的。 （一）t-檢驗的基本步驟： 1）首先對試驗樣本所在的總體作假設(shè)，無效假設(shè)（null hypothesis）, 記作H0：m1=m2或m1-m2 =0。無效假設(shè)是被檢驗的假設(shè)，通過檢驗可能被接受，也可能被否定。否定時可提出 備擇假設(shè)（alternative hypothesis）,記作HA：m1m2或m1-m20； 2）在無效假設(shè)成立的前提下，構(gòu)造合適的統(tǒng)計量，并研究試驗所得統(tǒng)計量的抽樣分布，計算無效假設(shè)正確的概率，繼而查表找出其概率。 3）根據(jù)“小概率事件實際不可能性原理”否定或接受無效假設(shè)，根據(jù)這一原理，當(dāng)試驗的表面效應(yīng)是試驗誤差的概率小于0.05時，可以認(rèn)為在一次試驗中試驗表面效應(yīng)是試驗誤差實際上是不可能的，因而否定原先所作的無效假設(shè) ： m1=m2 ，接受備擇假設(shè) ：m1 m2 ，即認(rèn)為：試驗的處理效應(yīng)是存在的。,在t-檢驗中，備擇假設(shè) 包括了 m1 或 m2兩種可能。 雙側(cè)t-檢驗：在 水平上否定域為 和 ，對稱地分配在t分布曲線的兩側(cè)尾部，每側(cè)的概率為a /2，這種利用兩尾概率進行的檢驗叫雙側(cè)檢驗（two-sided test），也叫雙尾檢驗（two-tailed test）, 為雙側(cè)檢驗的臨界t值。 單側(cè)t-檢驗：這種利用一側(cè)概率進行的檢驗叫單側(cè)檢驗（one-sided test）也叫單尾檢驗（one-tailed test）。此時 為單側(cè)檢驗的臨界t值。顯然，單側(cè)檢驗的 =雙側(cè)檢驗的 。,（二）方差分析,多個平均數(shù)的差異顯著性檢驗不宜用t檢驗，須采用方差分析法。 方差分析(analysis of variance)是由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。這種方法是將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值的適當(dāng)比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。方差分析實質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析，它在實驗設(shè)計中應(yīng)用十分廣泛。 總體方差與已知值相等的統(tǒng)計檢驗2 檢驗法 兩總體方差的統(tǒng)計檢驗檢驗法,方差分析的基本原理與步驟,線性模型與基本假定,設(shè)想每一個處理的觀察響應(yīng)值是一個隨機變量，m是總均值，ai是第i個處理的唯一的參數(shù)（第i個處理效應(yīng)），ei是隨機誤差，則： 是第i個處理的效應(yīng)表示處理i對試驗結(jié)果產(chǎn)生的影響。 效應(yīng)的可加性（additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質(zhì)性（homogeneity） 假設(shè)模型誤差是獨立的正態(tài)分布的隨機變量，其均值為零，方差為s2,方差分析的基本步驟,（一）計算各項平方和與自由度。 （二）列出方差分析表，計算F值，與臨界值比較，進行F檢驗。 （三）若F檢驗顯著，則進行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法：包括q檢驗法和新復(fù)極差法)。表示多重比較結(jié)果的方法有三角形法和標(biāo)記字母法。,例3,為了比較四種不同增溶劑對某藥物的增溶效果，對加有四種增溶劑的處方進行了實驗,結(jié)果如下表。,這是一個單因素試驗，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。各項平方和及自由度計算如下： 矯正數(shù) 總平方和 處理間平方和 處理內(nèi)平方和 總自由度 處理間自由度 處理內(nèi)自由度 用SSt、SSe分別除以dft和dfe便得到處理間均方MSt及處理內(nèi)均方Mse F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13*；根據(jù)df1=dft=3，df2=dfe=16查F表，得FF0.01(3，16) =5.29,P0.01，表明四種不同增溶劑的效果差異極顯著,方差分析表,多重比較,F值顯著或極顯著，否定了無效假設(shè)，表明試驗的總變異主要來源于處理間的變異，試驗中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每兩個處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。 有必要進行兩兩處理平均數(shù)間的比較，即多重比較(multiple comparisons)。以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性 多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法),最小顯著差數(shù)法 (LSD法，least significant difference),此法的基本作法是：在F檢驗顯著的前提下，先計算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)，然后將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與其比較。若LSDa時，則與在水平上差異顯著；反之，則在水平上差異不顯著。最小顯著差數(shù)由下式計算。 (1)列出平均數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列； (2)計算最小顯著差數(shù)和； (3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與、比較，作出統(tǒng)計推斷。,例3的LSD法比較,單一自由度的正交比較,事先按照一定的原則設(shè)計好(k-1)個正交比較，將處理間平方和根據(jù)設(shè)計要求剖分成有意義的各具一個自由度的比較項，然后用F檢驗(此時df1=1)，這就是所謂單一自由度的正交比較(orthogonal comparison of single degree of freedom)，也叫單一自由度的獨立比較(independent comparison of single degree of freedom)。單一自由度的正交比較有成組比較和趨勢比較兩種情況，后者要涉及到回歸分析。,例4,某試驗研究不同藥物對腹水癌的治療效果，將患腹水癌的25只小白鼠隨機分為5組，每組5只。其中A1組不用藥作為對照，A2、A3為用兩個不同的中藥組，A4、A5為用兩個不同的西藥組，各組小白鼠的存活天數(shù)如下表所示。,這是一個單因素試驗，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。各項平方和及自由度計算如下： 矯正數(shù) 總平方和 處理間平方和 處理內(nèi)平方和 總自由度 處理間自由度 處理內(nèi)自由度 用SSt、SSe分別除以dft和dfe便得到處理間均方MSt及處理內(nèi)均方Mse,這是一個單因素試驗，其中k=5,n=5，按照前面介紹的方法進行方差分析，可以得到方差分析表，說明組間有顯著差異。試驗者還想了解：(1)不用藥物治療與用藥物治療；(2)中藥與西藥；(3)中藥A2與中藥A3；(4)西藥A4與西藥A5；相比結(jié)果如何?,首先將表中各處理的總存活天數(shù)抄于下表，然后寫出各預(yù)定比較的正交系數(shù)Ci(orthogonal coefficient)。 各個比較的正交系數(shù)確定后，便可獲得每一比較的總和數(shù)的差數(shù)Di，其通式為： 進而可求得各比較的平方和SSi，式中的n為各處理的重復(fù)數(shù)，本例n=5。 SS1+SS2+SS3+SS4正是處理間平方和SSt。這也就是說，利用上面的方法我們已將處理間具4個自由度的平方和再度分解為各具一個自由度的4個正交比較的平方和 查F值表，df1=1,df2=20時，F(xiàn)0.05(1,20) =4.35，F(xiàn)0.01(1,20) =8.10。所以，在這一試驗的上述4個比較差異都極顯著,協(xié)方差分析的意義,協(xié)方差分析有二個意義 ， 一是對試驗進行統(tǒng)計控制，二是對協(xié)方差組分進行估計。 為了提高試驗的精確性和準(zhǔn)確性 ，對處理以外的一切條件都需要采取有效措施嚴(yán)加控制，使它們在各處理間盡量一致，這叫試驗控制。但在有些情況下，即使作出很大努力也難以使試驗控制達到預(yù)期目的。這時可利用x與y的回歸關(guān)系， 將y都矯正為x相同時的值，于是x不同對y的影響就消除了。由于矯正后的y是應(yīng)用統(tǒng)計方法將初始重控制一致而得到的，故叫統(tǒng)計控制。統(tǒng)計控制是試驗控制的一種輔助手段。經(jīng)過這種矯正，試驗誤差將減小，對試驗處理效應(yīng)估計更為準(zhǔn)確。若 y 的變異主要由x的不同造成(處理沒有顯著效應(yīng))，則各矯正后的處理間將沒有顯著差異(但原y間的差異可能是顯著的)。若 y的變異除掉x不同的影響外， 尚存在不同處理的顯著效應(yīng)，則可期望各 間將有顯著差異 (但原y間差異可能是不顯著的)。此外，矯正后的 和原y的大小次序也常不一致。所以， 處理平均數(shù)的回歸矯正和矯正平均數(shù)的顯著性檢驗，能夠提高試驗的準(zhǔn)確性和精確性，從而更真實地反映試驗實際。這種將回歸分析與方差分析結(jié)合在一起，對試驗數(shù)據(jù)進行分析的方法，叫做協(xié)方差分析(analysis of covariance)。,二、估計協(xié)方差組分 在兩個相關(guān)變量線性相關(guān)性質(zhì)與程度的相關(guān)系數(shù)的計算公式： 若將公式右端的分子分母同除以自由度(n-1)，得,下一張,主 頁,退 出,上一張,其中 是x的均方MSx，它是x的 方差 的無偏估計量； 是y的均方MSy，它是y的 方差 的無偏估計量；,稱為x與y的平均的離均差的乘積和，簡稱均積，記為MPxy，即,與 均 積 相 應(yīng) 的 總 體參 數(shù) 叫 協(xié) 方 差（covariance），記為COV(x,y)或 。統(tǒng)計學(xué)證明了，均積MPxy是總體協(xié)方差COV(x,y)的無偏估計量，即 EMPxy= COV(x,y)。 于是，樣本相關(guān)系數(shù)r可用均方MSx、MSy，均積MPxy表示為：,相應(yīng)的總體相關(guān)系數(shù)可用x與y的總體標(biāo)準(zhǔn)差 、 ，總體協(xié)方差COV(x,y)或 表示如下：,均積與均方具有相似的形式 ， 也有相似的性質(zhì)。在方差分析中，一個變量的總平方和與自由度可按變異來源進行剖分，從而求得相應(yīng)的均方。統(tǒng)計學(xué)已證明：兩個變量的總乘積和與自由度也可按變異來源進行剖分而獲得相應(yīng)的均積。這種把兩個變量的總乘積和與自由度按變異來源進行剖分并獲得獲得相應(yīng)均積的方法亦稱為協(xié)方差分析。,在隨機模型的方差分析中，根據(jù)均方MS 和期望均方 EMS的關(guān)系， 可以得到不同變異來源的方差組分的估計值。同樣，在隨機模型的協(xié)方差分析中，根據(jù)均積 MP 和期望均積 EMP 的關(guān)系，可 得 到 不同變異來源的協(xié)方差組分的估計值。有了這些估計值，就可進行相應(yīng)的總體相關(guān)分析。,協(xié)方差分析的計算步驟如下： (一)求x變量的各項平方和與自由度 1、總平方和與自由度 dfT（x）=kn-1=412-1=47,2、處理間平方和與自由度,=k-1=4-1=3,3、處理內(nèi)平方和與自由度 (二)求y變量各項平方和與自由度 1、總平方和與自由度,2、處理間平方和與自由度 3、處理內(nèi)平方和與自由度 (三) 求x和y兩變量的各項離均差乘積和與自由度 1、總乘積和與自由度,=kn-1=412-1=47 2、處理間乘積和與自由度 =1.64,=k-1=4-1=3 3、處理內(nèi)乘積和與自由度 平方和、乘積和與自由度的計算結(jié)果列于表103。 表103 x與y的平方和與乘積和表,(四) 對x和y各作方差分析 協(xié)方差分析表,(五) 協(xié)方差分析 1、誤差項回歸關(guān)系的分析 誤差項回歸關(guān)系分析的意義是要從剔除處理間差異的影響的誤差變異中找出y與x之間是否存在線性回歸關(guān)系。計算出誤差項的回歸系數(shù)并對線性回歸關(guān)系進行顯著性檢驗，若顯著則說明兩者間存在回歸關(guān)系。這時就可應(yīng)用線性回歸關(guān)系來校正y值以消去x不同對它的影響。然后根據(jù)校正后的y值來進行方差分析。如線性回歸關(guān)系不顯著，則無需繼續(xù)進行分析。,回歸分析的步驟如下： (1) 計算誤差項回歸系數(shù)，回歸平方和，離回歸平方和與相應(yīng)的自由度 從誤差項的平方和與乘積和求誤差項回歸系數(shù)： 誤差項回歸平方和與自由度 dfR(e)=1,誤差項離回歸平方和與自由度 =85.08-47.49=37.59 (2) 檢驗回歸關(guān)系的顯著性 表 回歸關(guān)系顯著性檢驗表,F檢驗表明，誤差項回歸關(guān)系極顯著，因此，可以利用線性回歸關(guān)系來校正y，并對校正后的y進行方差分析。 2、對校正后的y作方差分析 (1)求校正后的y的各項平方和及自由度 利用線性回歸關(guān)系對y作校正 ，并由校正后的y計算各項平方和是相當(dāng) 麻煩的，統(tǒng)計學(xué)已證明，校正后的總平方和、誤差平方和及自由度等于其相應(yīng)變異項的離回歸平方和及自由度，因此，其各項平方和及自由度可直接由下述公式計算。, 校正y的總平方和與自由度，即總離回歸平方和與自由度 = - =47-1=46 校正y的誤差項平方和與自由度，即誤差離回歸平方和與自由度 = - =44-1=43 上述回歸自由度均為1，因僅有一個自變量x。, 校正y的處理間平方和與自由度 =57.87-37.59=20.28 (10-15) =k-1=4-1=3 (2) 列出協(xié)方差分析表，對校正后的y進行方差分析 查F值： =4.275(由線性內(nèi)插法計算)，由于F=7.63 ，P0.01，表明對于校正后的y不同處理間存在極顯著的差異。故須進一步檢驗不同處理間的差異顯著性，即進行多重比較。,表 協(xié)方差分析表,第二節(jié) 線性代數(shù)基礎(chǔ),1.矩陣的定義,定義1 由mn個數(shù),(I=1,2, ,m ; j=1,2, ,n),排成的m行n列數(shù)表,稱為m行n列矩陣，,簡稱為mn矩陣.記為,矩陣通常用大寫的英文字母A，B，C等表示。,稱,為矩陣A的第i行第j列元素。,（1）當(dāng)m=1時，矩陣只有一行，稱為行矩陣，即,（2）當(dāng)n=1時，矩陣只有一列，稱為列矩陣，即,（3）當(dāng)m=n時，稱A為n階矩陣或n階方陣。,例1.,設(shè),則A是一個23矩陣，B是一個2階方陣，,A的（2，3）元是1。,下面介紹幾種常用的特殊矩陣：,（1） 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作O；,以外元素全為零的方陣，即形如,（2）主對角線上的元素不全為零，而主對角線,的矩陣稱為,對角矩陣,記為,例如,（3）對角線上元素全為1的n階對角矩陣:,稱為n階單位矩陣。,記為I,（4）形如,的方陣,稱為上三角陣.,(5)形如,的方陣，,稱為下三角矩陣。,(6)逆矩陣(或反矩陣)：當(dāng)矩陣AB的積為單位矩陣時，B稱為A的逆矩陣，記做A-1 A可逆的條件是：A為方陣；A的行列式非0；,（7）矩陣的轉(zhuǎn)置,把矩陣A的行相應(yīng)轉(zhuǎn)換為列，即xij轉(zhuǎn)置為xji，得到的矩陣稱之為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A。 在實驗設(shè)計中，模型矩陣X，則XX稱之為信息矩陣（information matrix）。為方陣，對主對角線對稱。,（8）矩陣的行列式(Determinant),矩陣的行列式只是當(dāng)矩陣為方陣時存在，是一個數(shù)，通常記做 ，對于22和33矩陣的行列式：,（9）正交矩陣：當(dāng)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣與逆矩陣相等時，稱為正交矩陣。 A=A-1,2.兩個矩陣相等,定義2.若矩陣 A與矩陣B的所有對應(yīng)的元素相等，則A=B。,3.矩陣的初等變換,定義3 下列三種變換稱為矩陣的初等變換,1.對調(diào)矩陣的任意兩行元素，記作,2.用數(shù)k,乘矩陣的某行所有元素，記作,3.用數(shù)k,乘矩陣中某行的每個元素后加到,另一行的對應(yīng)元素上去,記作,將定義中的,“行”換成“列”,就得到矩陣的初等列變,換的定義,將“r”換成“c”,就得到列變換的表示方法.,矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.,如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,則稱,矩陣A與B等價,記作,上述兩個矩陣具有如下特點：,（1）每個臺階上只有一行；,（2）每個臺階的第一個數(shù)不等于零；,（3）臺階左下方的元素全為零。,具有以上三個特點的矩陣稱為行階梯形矩陣。,再觀察以下兩個階梯形矩陣：,這兩個階梯形矩陣都具有如下特點：,（4）每個臺階上的第一個數(shù)都是1，,并且這些1,所在列的其它元素全為零。,具有特點（4）的行階梯形矩陣稱為行最簡階梯形矩陣。,定理 1.1.1,每個矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變,換化為行階梯形矩陣,進而化為行最簡階梯形矩陣。,例 2試用初等行變換將,化為行階梯形，,進而化為行最,簡階梯形矩陣。,解,繼續(xù)使用初等行變換，將B化為行最簡階梯形矩陣：,注：矩陣的初等變換是可逆的,4、矩陣的運算,加法和減法：行、列一致的矩陣可以進行加、減運算。 矩陣的乘法：AB兩個矩陣相乘的條件是前者的列數(shù)與后者的行數(shù)相等，得到矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，列數(shù)為B的列數(shù)。其中新矩陣中的元素cij為A矩陣中第i行與B矩陣中第j列相應(yīng)的元素的乘積之和： 矩陣的乘法有結(jié)合律，無交換律： （AB）C=A（BC） ABBA,第三節(jié) 回歸分析,一、回歸分析簡介 二、線性回歸 三、多元回歸,一、回歸分析簡介,解析實驗結(jié)果 RSM分析：通常是多項式 通常采用最小二乘法（Least squares regression）,例1 表面活性劑對藥物溶解度的影響,膽酸鹽如膽酸鈉、脫氧膽酸鈉、甘膽酸鈉等常可以在溶液中形成膠束，用于增溶。長鏈磷脂酰膽堿盡管不能自身形成膠束，但可以嵌合于膽酸鹽膠束中形成混合膠束，這種混合膠束可以用于靜脈注射，耐受性好。為了考察膽酸鹽和卵磷脂對安定溶解度的影響，有人設(shè)計了一個析因設(shè)計。 表1 因素-