ch4-5可降階的二階ch4-6解的結(jié)構(gòu).ppt

2019/6/22,第五節(jié) 可降階的二階微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,四、可降階二階微分方程的應(yīng)用舉例,第四章,2019/6/22,一、 型的微分方程,特點 右端僅含有自變量 x , 只要連續(xù)積分二次即得通解 .,解,例1,逐次積分的解法可用于解高階微分方程,解法: 只要連續(xù)積分 n 次即得通解 .,2019/6/22,二、 型的微分方程,特點：,解法：,可得通解.,關(guān)于P(x)的一階微分方程,方程不顯含未知函數(shù) y ，,則, 代入原方程, 得,但顯含 x .,如,2019/6/22,例2,已知一曲線滿足方程 ，,其在(0,1)處的切線為y= 2x+1, 求該曲線.,解,代入得,解線性方程, 得,兩端積分,得原方程解為,故所求原方程的解為:,2019/6/22,三、 型的微分方程,關(guān)于P(y)的一階微分方程,特點：,解法：,則,解出P(y).,代入原方程, 得,將 P 代入 后,可求得原方程的通解,但顯含 y .,方程不顯含 x ，,如,2019/6/22,解,代入原方程得,原方程通解為,例 3,（即作業(yè)P88 二5）,2019/6/22,四、可降階二階微分方程的應(yīng)用舉例,例 交通事故的勘察,在公路交通事故的現(xiàn)場,常會發(fā)現(xiàn)事故車輛的車輪底下留有一段拖痕.這是緊急剎車后制動片抱緊制動箍使車輪停止了轉(zhuǎn)動,由于慣性的作用,車輪在地面上摩擦滑動而留下的.,如果在事故現(xiàn)場測得拖痕的長度為10m,那么事故調(diào)查人員是如何判定事故車輛在緊急剎車前的車速的？,10,2019/6/22,10,解：,設(shè)拖痕所在直線為 x 軸，,拖痕的起點為原點，,車輛的滑動位移為x(t),滑動速度為v(t).,經(jīng)測定摩擦系數(shù)為 =1.02.,則,設(shè)t1為滑動停止時刻，,則,滑動過程只受摩擦力f =,mg,2019/6/22,五、小結(jié),解法,通過代換將二階微分方程化成一階微分方程來求解.,2019/6/22,練 習(xí) 題,2019/6/22,練習(xí)題答案,2019/6/22,第六節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu),一、二階線性微分方程概念,二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),第四章,2019/6/22,二階線性微分方程,二階線性齊次微分方程,二階線性非齊次微分方程,特點:方程左邊關(guān)于 y, y 及 y 都是一次的,一、二階線性微分方程概念,2019/6/22,一階線性非齊次微分方程的通解為:,對應(yīng)齊次方程通解,非齊次方程的一個特解 (C=0),回顧,2019/6/22,二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),1.二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu):,定理1,問題:,例：設(shè) y1 為 (1) 的解 , 則 y2=2 y1 是 (1) 的解, 但是 , y=C1 y1+C2 y2 不為 (1) 的通解 .,不一定,2019/6/22,定義:若在區(qū)間,I,上有,則稱函數(shù),與,在,I,上,線性無關(guān),.,例如,2019/6/22,2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):,2019/6/22,例2 設(shè) 是二階線性非齊次方程的三個線性無關(guān)的解，試用 表示方程的通解.,( 如作業(yè)P87 一4),2019/6/22,解的疊加原理,2019/6/22,n 階線性微分方程,二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)可以推廣:,2019/6/22,四、小結(jié),主要內(nèi)容,2、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理,1、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)；,2019/6/22,補充內(nèi)容,可觀察出一個特解,2019/6/22,思考題,思