高中數(shù)學(xué)第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)案含解析.docx

二 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1貝努利不等式如果x是實數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx.2貝努利不等式的推廣當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實數(shù)時，(1)若01)；(2)若1或1)3利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在不等關(guān)系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一在運用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，難點是由nk時命題成立推出nk1時命題成立這一步為完成這步證明，不僅要正確使用歸納假設(shè)，還要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進行利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明：2n2n2，nN*.當(dāng)n1時，左邊2124，右邊1，所以左邊右邊；當(dāng)n2時，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊因此當(dāng)n1,2,3時，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN*)時，不等式成立當(dāng)nk1時，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3，則k30，k10)k22k1(k1)2.所以2k12(k1)2.故當(dāng)nk1時，原不等式也成立根據(jù)，原不等式對于任何nN都成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形為滿足題目的要求，常常要采用“湊”的手段，一是湊出假設(shè)的形式，便于用假設(shè)；二是湊出結(jié)論的形式，再證明1用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n2，nN*)證明：當(dāng)n2時，左邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時，不等式成立，即.當(dāng)nk1時，.當(dāng)nk1時，不等式也成立由知，原不等式對一切n2，nN*均成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(n2，nN*)證明：當(dāng)n2時，12，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時不等式成立，即12.當(dāng)nk1時，12Qn.若x0，則PnQn.若x(1,0)，則P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假設(shè)PkQk(k3)，則Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即當(dāng)nk1時，不等式成立所以當(dāng)n3，且x(1,0)時，Pn0.所以0an11，且0a11.所以0an1.所以an11，且a11.所以an2，所以|ak2ak1|對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論解：取n1，.令a.n1時，已證結(jié)論正確假設(shè)nk(kN*)時，則當(dāng)nk1時，有.，0.即nk1時，結(jié)論也成立由可知，對一切nN*，都有.故a的最大值為25.課時跟蹤檢測(十三)1用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于任意x0和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時，需驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()A1 B2C1,2 D以上答案均不正確解析：選A需驗證n01時，x11成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3 C5 D6解析：選Cn取1,2,3,4時不等式不成立，起始值為5.3用數(shù)學(xué)歸納法證明“11)”時，由nk(k1)不等式成立，推證nk1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是()A2k1 B2k1 C2k D2k1解析：選C由nk到nk1，應(yīng)增加的項數(shù)為(2k11)(2k1)2k12k2k項4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足“當(dāng)f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)1成立，則f(10)100成立B若f(2)4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當(dāng)k4時，均有f(k)k2成立解析：選D選項A、B與題設(shè)中不等號方向不同，故A、B錯；選項C中，應(yīng)該是k3時，均有f(k)k2成立；選項D符合題意5證明11)，當(dāng)n2時，要證明的式子為_解析：當(dāng)n2時，要證明的式子為213.答案：21”時，n的最小取值n0為_解析：左邊為(n1)項的乘積，故n02.答案：27設(shè)a，b均為正實數(shù)(nN*)，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：當(dāng)n1時，MabN.當(dāng)n2時，M(ab)2，Na22abM.當(dāng)n3時，M(ab)3，Na33a2b22，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2)時不等式成立，即(12k)k2.則當(dāng)nk1時，有左邊(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當(dāng)k2時，11，左邊k21(k1)k22k1(k1)2.這就是說當(dāng)nk1時，不等式成立由可知當(dāng)n1時，不等式成立9設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3.(1)當(dāng)a12時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式；(2)當(dāng)a3時，證明對所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2aa113；由a23，得a3a2a214；由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一個通項公式：ann1(n1)(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1，a1312，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk時不等式成立，即akk2.那么，當(dāng)nk1時，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是說，當(dāng)nk1時，ak1(k1)2.根據(jù)和，對于所有n1，有ann2.10設(shè)aR，f(x)是奇函數(shù)(1)求a的值；(2)如果g(n)(nN*)，試比較f(n)與g(n)的大小(nN*)解：(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.故a1.(2)f(n)g(n).只要比較2n與2n1的大小當(dāng)n1,2時，f(n)2n1，f(n)g(n)下面證明，n3時，2n2n1，即f(x)g(x)n3時，23231，顯然成立，假設(shè)nk(k3，kN*)時，2k2k1，那么nk1時，2k122k2(2k1)2(2k1)4k22k32k10(k3)，有2k12(k1)1.nk1時，不等式也成立由可以判定，n3，nN*時，2n2n1.n1,2時，f(n)g(n)本講高考熱點解讀與高頻考點例析考情分析通過分析近三年的高考試題可以看出，不但考查用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，還考查用數(shù)學(xué)歸納法證明新發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的正確性數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用主要出現(xiàn)在數(shù)列解答題中，一般是先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，通過觀察項與項數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式；利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，要注意放縮法的應(yīng)用，放縮的方向應(yīng)朝著結(jié)論的方向進行，可通過變化分子或分母，通過裂項相消等方法達到證明的目的真題體驗1(江蘇高考)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，設(shè)Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù)(1)寫出f(6)的值；(2)當(dāng)n6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：(1)Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)滿足：若a1，則b1,2,3,4,5,6；若a2，則b1,2,4,6；若a3，則b1,3,6.所以f(6)13.(2)當(dāng)n6時，f(n)(tN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n6時，f(6)6213，結(jié)論成立假設(shè)nk(k6)時結(jié)論成立，那么nk1時，Sk1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：a若k16t，則k6(t1)5，此時有f(k1)f(k)3k23(k1)2，結(jié)論成立；b若k16t1，則k6t，此時有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立；c若k16t2，則k6t1，此時有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；d若k16t3，則k6t2，此時有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；e若k16t4，則k6t3，此時有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；f若k16t5，則k6t4，此時有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論對滿足n6的自然數(shù)n均成立2(安徽高考)設(shè)實數(shù)c0，整數(shù)p1，nN*.(1)求證：當(dāng)x1且x0時，(1x)p1px；(2)數(shù)列an滿足a1c，an1ana.求證：anan1c.證明：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)p2時，(1x)212xx212x，原不等式成立假設(shè)pk(k2，kN*)時，不等式(1x)k1kx成立當(dāng)pk1時，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以pk1時，原不等式也成立綜合可得，當(dāng)x1，x0時，對一切整數(shù)p1，不等式(1x)p1px均成立(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明anc.當(dāng)n1時，由題設(shè)a1c知anc成立假設(shè)nk(k1，kN*)時，不等式akc成立由an1ana易知an0，nN*.當(dāng)nk1時，a1.由akc0得11p.因此ac，即ak1c.所以nk1時，不等式anc也成立綜合可得，對一切正整數(shù)n，不等式anc均成立再由1可得1，即an1an1c，nN*.歸納猜想證明不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探求結(jié)論，但結(jié)論是否為真有待證明，因而數(shù)學(xué)中我們常用歸納猜想證明的方法來解決與正整數(shù)有關(guān)的歸納型和存在型問題已知數(shù)列an的第一項a15且Sn1an(n2，nN*)，(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項公式(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an52n2(n2，nN*)(2)當(dāng)n2時，a252225，等式成立假設(shè)nk時成立，即ak52k2(k2，kN*)，當(dāng)nk1時，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故nk1時公式也成立由可知，對n2，nN*有an522n2.所以數(shù)列an的通項an數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用歸納法是證明有關(guān)正整數(shù)n的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛用數(shù)學(xué)歸納法證明一個命題必須分兩個步驟：第一步論證命題的起始正確性，是歸納的基礎(chǔ)；第二步推證命題正確性的可傳遞性，是遞推的依據(jù)兩步缺一不可，證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個特征求證tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(n2，nN*)當(dāng)n2時，左邊tan tan 2，右邊222tan tan 2，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk.當(dāng)nk1時，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)kkk(k1)，所以當(dāng)nk1時，等式也成立由和知，n2，nN*時等式恒成立用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)(2n1)能被6整除當(dāng)n1時，123顯然能被6整除假設(shè)nk時，命題成立，即k(k1)(2k1)2k33k2k