2017挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸試題復習（第十版）1.2因動點產生的等腰三角形問題

1 2 因動點產生的等腰三角形問題 課前導學 我們先回顧兩個畫圖問題： 1已知線段 5 厘米，以線段 腰的等腰三角形 多少個？頂點 C 的軌跡是什么？ 2已知線段 6 厘米，以線段 底邊的等腰三角形 多少個？頂點 C 的軌跡是什么？ 已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點以外，都是頂點 C 已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外 在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類 如果 等腰三角形，那么存在 種情況 解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結合，可以使得解題又好又快 幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算 哪些題目適合用幾何法呢？ 如果 A（的余弦值）是確定的，夾 A 的兩邊 以用含 x 的式子表示出來，那么就用幾何法 如圖 1，如果 接列方程；如圖 2，如果 么 1 c o C A B A；如圖 3，如果 么 1 c o B A C A 代數(shù)法一般也分三步：羅列三 邊長，分類列方程，解方程并檢驗 如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含 么根據兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來 圖 1 圖 2 圖 3 例 9 2014 年長沙市中考第 26 題 如圖 1，拋物線 y c（ a、 b、 a 0）的對稱軸為 y 軸，且經過 (0,0)和 1( , )16 點 P 為圓心的 定點 A(0, 2) （ 1）求 a、 b、 c 的值； （ 2）求證：在點 P 運動的過程中， （ 3）設 P與 (0)、 N(0)兩點，當 等腰三角形時，求圓心 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名“ 14 長沙 26”，拖動圓心 P 在拋物線上運動，可以體驗到，圓與 x 軸總是相交的，等腰三角形 在五種情況 思路點撥 1不算不知道，一算真奇妙，原來 P在 N 4 是定值 2等腰三角形 在五種情況，點 P 的縱坐標有三個值，根據對稱性， A 圖文解析 （ 1）已知拋物線的頂點為 (0,0)，所以 y 以 b 0， c 0 將 1( , )16y 2116a解得 14a（舍去了負值） （ 2）拋物線的解析式為214設點 P 的坐標為21( , )4 已知 A(0, 2)，所以2 2 2 411( 2 ) 44 1 6P A x x x 214x 而圓心 P到 以半徑 心 P到 x 軸的距離 所以在點 P 運動的過程中， P 始終與 x 軸相交 （ 3）如圖 2，設 中點為 H，那么 直平分 在 ，2 2 41 416P M P A x ，2 2 411()4 1 6P H x x，所以 4 所以 2因此 4，為定值 等腰 在三種情況： 如圖 3，當 P 為原點 O 重合，此時點 P 的縱坐標為 0 圖 2 圖 3 如圖 4，當 ，在 ， 2， 4，所以 2 3 此時 x 2 32 所以點 P 的縱坐標為2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如圖 5，當 ，根據對稱性，點 2 3 圖 4 圖 5 如圖 6，當 4 時，在 ， 2， 4，所以 2 3 此時 x 2 32 所以點 P 的縱坐標為2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如圖 7，當 4 時，根據對稱性，點 P 的縱坐標也為 4 2 3 圖 6 圖 7 考點伸展 如果 點 運動，以點 P 為圓心的 P 總經過定點 B(0, 1)，那么在點P 運動的過程中， y 1 相切這是因為： 設點 P 的坐標為21( , )4 已知 B(0, 1)，所以2 2 2 2 2 21 1 1( 1 ) ( 1 ) 14 4 4P B x x x x 而圓心 y 1 的距離也為21 14x ，所以半徑 心 P 到直線 y 1 的距離所以在點 P 運動的過程中， P 始終與直線 y 1 相切 例 10 2014 年湖南省張家界市中考第 25 題 如圖 1， 在平面直角坐標系中， O 為坐標原點，拋物線 y c（ a 0）過 O、 B、C 三點， B、 C 坐標分別為 (10, 0)和 18 24( , )55，以 直徑的 點，直線 l 垂直x 軸于 （ 1）求直線 解析式； （ 2）求拋物線解析式及頂點坐標； （ 3）點 A 上一動點（不同于 O、 B），過點 M 作 A 的切線，交 ，交直線 l 于點 F，設線段 為 m， 為 n，請猜想 值，并證明你的結論； （ 4）若點 P 從 O 出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度向點 B 作直線運動，點 Q 同時從 B 出發(fā)，以相同速度向點 C 作直線運動，經過 t（ 0 t 8）秒時恰好使 等腰三角形，請求出滿足條件的 t 值 圖 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名“ 14 張家界 25”，拖動點 以體驗到， 斜邊上的高拖動點 Q 在 運動，可以體驗到， 思路點撥 1從直線 解析式可以得到 三角比，為討論等腰三角形 鋪墊 2設交點式求拋物線的解析式比較簡便 3第（ 3）題連結 易看到 直角三角形 邊上的高 4第（ 4）題的 ， B 是確定的，夾 B 的兩條邊可以用含 t 的式子表示分三種情況討論等腰三角形 圖文解析 （ 1）直線 解析式 為 3 1542 （ 2） 因為拋物線與 x 軸交于 O、 B(10, 0)兩點，設 y ax(x 10) 代入點 C 18 24( , )55，得 2 4 1 8 3 2()5 5 5a 解得 524a 所以225 5 2 5 5 1 2 5( 1 0 ) ( 5 )2 4 2 4 1 2 2 4 2 4y x x x x x 拋物線的頂點為 125(5, )24 （ 3）如圖 2，因為 ，所以 由 得 所以 1 2 同理 3 4 于是可得 90 所以 5 1由 5 1，得 A 所以 F 25 圖 2 （ 4） 在 ， B 45， 10 t， t 分三種情況討論等腰三角形 如圖 3，當 ， 10 t t解得 t 5 如圖 4，當 ， 1 c o Q B P B解方程 14(10 )25，得 8013t 如圖 5，當 1 c o P B Q B解方程 14(10 )25，得 5013t 圖 3 圖 4 圖 5 考點伸展 在第（ 3）題條件下，以 直徑的 G 與 x 軸相切于點 A 如圖 6，這是因為 是直角三角形 邊上的中線，也是直角梯形 中位線，因此圓心 G 到 x 軸的距離等于圓的半徑，所以 G 與 圖 6 例 11 2014 年湖南省邵陽市中考第 26 題 在平面直角坐標系中，拋物線 y (m n)x m n）與 x 軸相交于 A、 B 兩點（點A 位于點 B 的右側），與 y 軸相交于點 C （ 1）若 m 2， n 1，求 A、 B 兩點的坐標； （ 2）若 A、 B 兩點分別位于 y 軸的兩側， C 點坐標是 (0, 1)，求 大??； （ 3）若 m 2， 等腰三角形，求 n 的值 動感體驗 請打開幾何畫板文件名“ 14 邵陽 26”，點擊屏幕左下方的按鈕（ 2），拖動點 A在 x 軸正半軸上運動，可以體驗到， 持直角三角形的形狀點擊屏幕 左下方的按鈕（ 3），拖動點 B在 察 頂點能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗到，等腰三角形 4 種情況 思路點撥 1拋物線的解析式可以化為交點式，用 m， n 表示點 A、 B、 C 的坐標 2第（ 2）題判定直角三角形 以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比 3第（ 3）題討論等腰三角形 把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程 圖文解析 （ 1） 由 y (m n)x (x m)(x n)，且 m n， 點 的右側 ， 可知 A(m, 0)， B(n, 0) 若 m 2， n 1，那么 A(2, 0)， B(1, 0) （ 2）如圖 1， 由于 C(0, 當 點 C 的 坐標是 (0, 1)， 1， 1 若 A、 y 軸的兩側，那么 B m( n) 1 所以 B所以 C 所以 1 2所以 1 2 又因為 1 與 3 互余，所以 2 與 3 互余 所以 90 圖 1 圖 2 圖 3 （ 3） 在 ，已知 A(2, 0)， B(n, 0)， C(0, 2n) 討論等腰三角形 代數(shù)法解比較方便： 由兩點間的距離公式，得 (n 2)2， 54 4 當 ，解方程 (n 2)2 4 4 43n（如圖 2） 當 ，解方程 4 45 n 2（如圖 3），或 n 2（ A、 舍去） 當 ，解方程 (n 2)2 5 512n （如圖 4）， 或 512n （如圖 5） 圖 4 圖 5 考點伸展 第（ 2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理 由于 C(0, 當 點 C 的 坐標是 (0, 1)， 1 由 A(m, 0)， B(n, 0)， C(0, 1)，得 (m n)2 22， 1， 1 所以 于是得到 90 第（ 3）題在討論等腰三角形 ，對于 情況，此時 A、 B 兩點關于 以直接寫出 B( 2, 0)， n 2 例 12 2014 年湖南省婁底市中考第 27 題 如圖 1，在 ， 90， 43果點 出發(fā)沿 勻速運動，同時點 Q 由點 A 出發(fā)沿 向向點 C 勻速運動，它們的速度均為1cm/s連結 運動時間為 t（ s）（ 0 t 4） ，解答下列問題： （ 1）設 面積為 S，當 t 為何值時， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？ （ 2）如圖 2，連結 到四邊形 ，當四邊形 為菱形時，求 t 的值； （ 3）當 t 為何值時， 等腰三角形？ 圖 1 圖 2 動感體驗 請打開幾何畫板文件名“ 14 婁底 27”，拖動點 Q 在 運動，可以體驗到，當點 B 的中點時， 面積最大，等腰三角形 在三種情況還可以體驗到，當 2邊形 是菱形 思路點撥 1在 ， A 是確定的，夾 t 的式子表示 2四邊形 的對角線保持垂直，當對角線互相平分時，它是菱形， 圖文解析 （ 1）在 ， 4， 3， 所以 5， 35， 45 作 D，那么 AQ 35t 所以 S S 12 D 13(5 )2523 ( 5 )10 23 5 1 5( ) +1 0 2 8t 當 52t時， S 取得最大值，最大值為 158 （ 2）設 于點 H，那么 4(5 )5 t 如果四邊形 為菱形，那么 以 2 解方程 44 2 4 ( 5 )5 ，得 2013t 圖 3 圖 4 （ 3）等腰三角形 在三種情況： 如圖 5，當 ， 5 t t解得 52t 如圖 6，當 ， 1 c o Q A P A解方程 14(5 )25，得 4013t 如圖 7，當 1 c o P A Q A解方程 14(5 )25，得 2513t 圖 5 圖 6 圖 7 考點伸展 在本題情境下，如果點 Q 是 的重心，求 如圖 8，如果點 Q 是 的重心，那么 23 解方程 244 4 ( 5 )35 ，得 6023t 圖 8 例 13 2015 年 湖南省懷化市 中考第 22 題 如圖 1， 已知 C 90， 8， 6，點 個單位的速度從運動，同時點 個單位的速度從 A B 們到 停止運動，設點 P、 （ 1）在運動過程中，求 P、 （ 2）經過 與時間 （ 3） P， 否存在時間 t，使得 存在，求出此時的 不存在，請說明理由 （ ，結果保留一位小數(shù)） 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 “ 15 懷化 22” ，拖動點 P 在 運動， 可以體驗到， 腰三角形 在三種情況 思路點撥 1過點 B 作 平行線交 D，那么 長就是 最大值 2線段 過的面積 Q 分別在 3等腰三角形 三種情況討論，先羅列三邊長 圖文解析 （ 1） 在 8， 6，所以 10 如圖 2，當點 ，那么 2 2A B A Q A P t 所以 5所以 3 如圖 3，當點 Q 在 時， 1 6 2 28C Q t 又因為 6 23， 所以 D因此 以 D 在 ， 6， 3，所以 35所以 最大值是 35 圖 2 圖 3 圖 4 （ 2）如圖 2，當點 0 t 5， S 15 由 2()D所以 S S 215 ( )5t 235t 如圖 3， 當點 5 t 8， S 24 因為 S 12P 1 (1 6 2 )(8 )2 2( 8)t ， 所以 S S S 24 (t 8)2 16t 40 （ 3）如圖 3，當點 2 C 90，所以 當點 們先用 知 8 t 如圖 2，由 D， 即535QP t所以 355QP t 如圖 4，作 在 AQ A 65t， 85t 在 勾股定理，得 22H 2268( ) ( 8 )55 分三種情況討論等腰三角形 （ 1）當 方程 3585，得 6 5 10t 圖 5所示） 當 226 8 3 5( ) ( 8 )5 5 5t t t 整理，得 21 1 1 2 8 3