概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三版課后答案

1第一章 事件與概率1寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。（1）記錄一個(gè)班級(jí)一次概率統(tǒng)計(jì)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分） 。（2）同時(shí)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和。（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有 10 件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（4）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記上“正品” ，不合格的記上“次品” ，如連續(xù)查出 2 個(gè)次品就停止檢查，或檢查 4 個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。（5）在單位正方形內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。（6）實(shí)測(cè)某種型號(hào)燈泡的壽命。解 （1）,10,nin其中 n 為班級(jí)人數(shù)。（2） 8,43 。（3） 10。（4）00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111 ，其中0 表示次品，1 表示正品。（5） (x,y) 0x1,0y1。（6） t t 0。2設(shè) A，B，C 為三事件，用 A，B，C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件， 。（1）A 發(fā)生，B 與 C 不發(fā)生。2（2）A 與 B 都發(fā)生，而 C 不發(fā)生。（3）A，B，C 中至少有一個(gè)發(fā)生。（4）A，B，C 都發(fā)生。（5）A，B，C 都不發(fā)生。（6）A，B，C 中不多于一個(gè)發(fā)生。（7）A，B，C 至少有一個(gè)不發(fā)生。（8）A，B，C 中至少有兩個(gè)發(fā)生。解 （1） ， （2） CAB， （3） ，（4） ， （5） ，（6） BA或CC，（7） ，（8） BA或 CCAB3指出下列命題中哪些成立，哪些不成立，并作圖說明。（1） BA （2） AB（3） 則若 , （4）若 BA則,（5） CBA （6） 若3AB且 C， 則 B解 : (1) 成立，因?yàn)锳)(。(2) 不成立，因?yàn)?B。(3) 成立， AB,又。(4) 成立。(5) 不成立，因左邊包含事件 C，右邊不包含事件 C，所以不成立。(6) 成立。因若 BC，則因 CA，必有 BCAB，所以 AB 與已知矛盾，所以成立。圖略。4簡(jiǎn)化下列各式：（1） )(CBA （2）)(（3）解:（1） BCACBA)( ，因?yàn)?，所以， )(。4（2） BABA)( ，因?yàn)?，且 C，所以 )(BA。（3） )(BA)(。 5設(shè)A，B， C 是三事件，且 P（A）P （B ） P（C） 41， ,81)(,0)()(C求 A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解 ABCAB 0P(ABC) P(AB)=0，故P(ABC)=0所求概率為P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 87012416 從 1、2、 3、4、5 這 5 個(gè)數(shù)中，任取其三，構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)。試求下列事件的概率：（1）三位數(shù)是奇數(shù)； （2）三位數(shù)為 5 的倍數(shù)；（3）三位數(shù)為 3 的倍數(shù)； （4）三位5數(shù)小于 350。解 設(shè) A 表示事件“三位數(shù)是奇數(shù) ”， B 表示事件“三位數(shù)為 5 的倍數(shù)” ，C 表示事件“三位數(shù)為 3 的倍數(shù)” ，D 表示事件“三位數(shù)小于 350”?；臼录倲?shù)為 5AV，(1)6.03)(,352424 PA；(2)2.601)(,1352424ABVB；(3)4.!)(,!335PC；(4) 5.0632)(,23514134 ADPAVD。7某油漆公司發(fā)出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶、紅漆 3 桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貸人隨意將這些油漆發(fā)給顧客。問一個(gè)定貨 4 桶白漆、3桶黑漆和 2 桶紅漆的顧客，能按所定顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？解 隨機(jī)試驗(yàn) E 為任意取 9 桶交與定貨人，共有917C種交貨方式。其中符合定貨要求的有410C 3623C種，故所求概率為 24315917340CP8在 1700 個(gè)產(chǎn)品中有 500 個(gè)次品、1200 個(gè)正品。任取 200 個(gè)。 （1）求恰有 90 個(gè)次品的概率；（2）求至少有 2 個(gè)次品的概率。解 （1）試驗(yàn) E 為 1700 個(gè)產(chǎn)品中任取 200 個(gè)，共有07C種取法，其中恰有 90 個(gè)次品的取法為95 12，故恰有 90 個(gè)次品的概率為 2017951CP（2）設(shè)事件 A 表示至少有 2 個(gè)次品，B 表示恰有1 個(gè)次品，C 表示沒有次品，則 A=S-(BC)，且BC=， BCSP(A)=PS-(B C)=P(S)-P(B)+P(C)2017959把 10 本書任意地放在書架上，求其中指定的三本書放在一起的概率。解 V =P10=10！，設(shè)所論事件為 A，則VA=8！3！ 067.!138)(P10從 5 雙不同的鞋子中任取 4 只，這 4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解 V =C410，設(shè) A 表示事件“4 只鞋中至少有 2只配成一雙” ，則 表示“4 只鞋中沒有 2 只能配成一雙” 。先求出 P( )，再求 P(A)。7有利于 A 的情形共有 !46810種（因?yàn)椴豢紤]取 4 只鞋的次序，所以被 4！除） 。381.02!)(410CP故69.81)(A另一解法：有利于事件 A 的總數(shù)為)(252815是 重 復(fù) 的 數(shù) 目C619.023)410528CP11將 3 雞蛋隨機(jī)地打入 5 個(gè)杯子中去，求杯子中雞蛋的最大個(gè)數(shù)分別為 1，2，3 的概率。解 依題意知樣本點(diǎn)總數(shù)為 53 個(gè)。以 Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中雞蛋的最大個(gè)數(shù)為 i”，則 A1 表示每杯最多放一只雞蛋，共有35A種放法，故 215)(31PA2 表示由 3 個(gè)雞蛋中任取 2 個(gè)放入 5 個(gè)杯中的任一個(gè)中，其余一個(gè)雞蛋放入其余 4 個(gè)杯子中，放法總數(shù)為1453C種 251)(34152CPA3 表示 3 個(gè)雞蛋放入同一個(gè)杯中，共有 種放法，故8251)(3CAP12把長度為 a 的線段在任意二點(diǎn)折斷成為三線段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解 設(shè)所論事件為 A，線段 a 被分成的三段長度分別用 x，y 和 a-x-y 表示，則樣本空間 為：0xa，0y a ，0x+y a，其面積為,2)(L而有利于 A 的情形必須滿足構(gòu)成三角形的條件，即 .2,0,0ayxayax其面積為,)(1AL25.0421)(2aP。 13甲乙兩艘輪船要在一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)刻是等可能的。若甲船的停泊時(shí)間是一小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間是兩小時(shí)，求它們中任何一艘都不需等候碼頭空出的概率。解 設(shè)自當(dāng)天 0 時(shí)算起，甲乙兩船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為 x 及 y，則 為：0x24，0y24，L()=24 2，設(shè)所論事件為A，則有利于 A 的情形分別為：（1）當(dāng)甲船先到時(shí)，乙船應(yīng)遲來一小時(shí)以上，即 y-x1 或 y1+x ；（2）當(dāng)乙船先到時(shí)，甲船應(yīng)遲來兩小時(shí)以上，9即 x-y2 或 yx-2；事件 A 應(yīng)滿足關(guān)系：y1+x，yx-2，L(A) 22)4(1)(879.024)3()( LAP。14已知 ,21)(,3)(,1( BAP求 ),(BAP。解 由乘法公式知 1243)(|)( )(|BPAP 6/|()B 31241)()( AP15已知在 10 只晶體管中有 2 只次品，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求下列事件的概率。（1）兩只都是正品；（2）兩只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解 設(shè)以 Ai(i=1,2)表示事件“第 i 次取出的是正品10“，因?yàn)椴环呕爻闃?，故?） 45289710)|()(212 APAP（2）1)|(2（3）451698021)|()|()21121 APAP（4） 9)()()()( 2121212 16在做鋼筋混凝土構(gòu)件以前，通過拉伸試驗(yàn)，抽樣檢查鋼筋的強(qiáng)度指標(biāo)，今有一組 A3 鋼筋 100 根，次品率為 2%，任取 3 根做拉伸試驗(yàn)，如果 3 根都是合格品的概率大于 095，認(rèn)為這組鋼筋可用于做構(gòu)件，否則作為廢品處理，問這組鋼筋能否用于做構(gòu)件？解 設(shè) iA表示事件“第 i 次取出的鋼筋是合格品” ，則 986)(,97)(,1098)( 21312 APAPP所以 5.04.)()()( 213121321 A故這組鋼筋不能用于做構(gòu)件。17某人忘記了密碼鎖的最后個(gè)數(shù)字，他隨意地?fù)軘?shù)，求他撥數(shù)不超過三次而打開鎖的概率。若已知最后一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，那么此概率是多少？解 設(shè)以 Ai表示事件 “第 i 次打開鎖”11（i=1,2,3） ，A 表示“不超過三次打開” ，則有 3211A易知： 321,是互不相容的。 1038910 )|()|()|()() 2131221 APPAP同理，當(dāng)已知最后一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)時(shí)，所求概率是 5345P18袋中有 8 個(gè)球，6 個(gè)是白球、2 個(gè)是紅球。 8 個(gè)人依次從袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。問第一人，第二人，最后一人取得紅球的概率各是多少個(gè)。解 設(shè)以 Ai(i=1,2,8)表示事件“第 i 個(gè)人取到的是紅球” 。則 41)(P又因 A2= 21，由概率的全概公式得 41786 )|()|()()() 121121 APAP類似地有 )8,3()iAPi19設(shè) 10 件產(chǎn)品中有 4 件不合格品，從中任取兩件，已知兩件中有一件是不合格品，問另一件也是不合格品的概率是多少？解 設(shè) A，B 分別表示取出的第一件和第二件為正品，則所求概率為1251)()(1)()( 2062104AABPBAP20對(duì)某種水泥進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，已知該水泥達(dá)到500#的概率為 09，達(dá)到 600#的概率為 0.3，現(xiàn)取一水泥塊進(jìn)行試驗(yàn)，已達(dá)到 500#標(biāo)準(zhǔn)而未破壞，求其為600#的概率。解 設(shè) A 表示事件“水泥達(dá)到 500#”， B 表示事件“水泥達(dá)到 600#”。則 P(A)=0.9, P(B)=0.3, 又 A ,即 P(AB)=0.3,所以 319.0)()( PBP。21以 A，B 分別表示某城市的甲、乙兩個(gè)區(qū)在某一年內(nèi)出現(xiàn)的停水事件，據(jù)記載知P（A）0.35， P（B）0.30 ，并知條件概率為P（A B）0.15，試求：（1）兩個(gè)區(qū)同時(shí)發(fā)生停止供水事件的概率；（2） 兩個(gè)區(qū)至少有一個(gè)區(qū)發(fā)生停水事件的概率。解 （1） 由題設(shè)，所求概率為 04530)()( BAP；（2） 所求概率為 6053)()()( 。22設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋中裝有 n 只白球、 ，m只紅球；乙袋中裝有 N 只白球、 M 只紅球，今從甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再從乙袋中任意取只13球。問取到白球的概率是多少？解 設(shè) A1、A 2 分別表示從甲、乙袋中取到白球，則 mnP)(1 mnAP)(1|2MN1)|(1A由全概率公式 )(1( 1)(|()|(222mnMNnNAPAPP23盒中放有 12 只乒乓球，其中有 9 只是新的。第一次比賽時(shí)從其中任取 3 只來用，比賽后仍放回盒中。第二次比賽時(shí)再從盒中任取 3 只，求第二次取出的球都是新球的概率。解 設(shè) ),210(iB表示事件“第一次比賽時(shí)用了 i 個(gè)新球” ，用 A 表示事件“第二次比賽時(shí)取出的球都是新球” 。則有 31293129)(,)( CBAPCPiiii 。由全概公式有 46.035)()()( 231930BAiii ii。1424 將兩信息分別編碼為 A 和 B 傳遞出去，接收站收到時(shí)，A 被誤收作 B 的概率為 002而 B 被誤收作 A 的概率為 001信息 A 與信息 B 傳送的頻繁程度為 2：l若接收站收到的信息是 A，問原發(fā)信息是 A 的概率是多少？解 設(shè)事件 H 表示原發(fā)信息為 A，C 表示收到信息為 A，則 表示原發(fā)信息是 B。H， 是 S 的一個(gè)劃分。依題意有 01.)|(,98.0)|(,31)(,2)( PPP由貝葉斯公式有 197630.298.)(|)(|)|( HCHC25甲、乙、丙三組工人加工同樣的零件，它們出現(xiàn)廢品的概率：甲組是 0.01，乙組是 0.02，丙組是0.03，它們加工完的零件放在同一個(gè)盒子里，其中甲組加工的零件是乙組加工的 2 倍，丙組加工的是乙組加工的一半，從盒中任取一個(gè)零件是廢品，求它不是乙組加工的概率。解 設(shè) 321,A分別表示事件“零件是甲、乙、丙加工的” ，B 表示事件“加工的零件是廢品 ”。則 03.)(,0.)(,0.)(21 ABPP71)(,7)(,74)( 321A15140304.7/)3.1024(/)()(222 BPAA所以 711(22。26有兩箱同種類的零件。第一箱裝 50 只，其中10 只一等品；第二箱裝 30 只，其中 18 只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。 （2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解 設(shè)事件 A 表示“取到第一箱 ”，則 A表示“取到第二箱” ，B 1，B 2 分別表示第一、二次取到一等品。（1）依題意有： )(P， 510)|(1，38|1AB由全概率公式52135)(|)(|()11 PPB（2） 4950|2A378)|(1由全概率公式21957349)(|()|()( 212121 APBAPBP 164856.02/195734)()|(1212 BP27設(shè)有四張卡片分別標(biāo)以數(shù)字 1，2，34今任取一張?jiān)O(shè)事件 A 為取到 4 或 2，事件 B 為取到 4或 3，事件 C 為取到 4 或 1，試驗(yàn)證P（AB ）P（A）P （B） ， P（BC）P（B）P（C ） ， P（CA）P （C）P（A ，P（ABC）P AP （B）P（C） 。證 樣本空間 中有 4 個(gè)樣本點(diǎn)，而A、B 、 C 中均含有 2 個(gè)樣本點(diǎn)，故21)()(又 AB、AC 、BC 中均含有 1 個(gè)樣本點(diǎn)“取到 4”故 )()()(BCPABP 4同理 P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)又 ABC 中有 1 個(gè)樣本點(diǎn)取到 4 )()(84)( CPBAABCP28假設(shè) 21,關(guān)于條件 與 都相互獨(dú)立，求證 PABPBAPBA()()()(12121212證 由 2,關(guān)于條件 與 是相互獨(dú)立的，故有17)()()(),()()( 21212121 ABPABPABP，以及 )()()( 1111，從而 )()()( )() )()()( 212121 2111 21 2122121 ABPABPABPABPABP29如果一危險(xiǎn)情況 C 發(fā)生時(shí)，一電路閉合并發(fā)出警報(bào)，我們可以借用兩個(gè)或多個(gè)開關(guān)井聯(lián)以改善可靠性，在 C 發(fā)生時(shí)這些開關(guān)每一個(gè)都應(yīng)閉合，且若至少一個(gè)開關(guān)閉合了，警報(bào)就發(fā)出，如果兩個(gè)這樣的開關(guān)并聯(lián)聯(lián)接，它們每個(gè)具有 096 的可靠性（即在情況 C 發(fā)生時(shí)閉合的概率） ，問這時(shí)系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率）是多少？如果需要有一個(gè)可靠性至少為 09999 的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開關(guān)并聯(lián)？這里設(shè)各開關(guān)閉合與否都是相互獨(dú)立的。解 設(shè) n 只開關(guān)并聯(lián)，以 Ai 表示事件“在 C 發(fā)生時(shí)，第 i 只開關(guān)閉合“，則由已知條件諸 Ai 相互獨(dú)立，且 P(Ai)=0.96，從而知，當(dāng) n=2 時(shí)，系統(tǒng)的可靠性為 984.0)6.1()()(22121 PPAP又若使系統(tǒng)可靠性至少為 0.9999，則必須180.9999 nnininini APAP)04.(1)(1)(1)(1)( 即 86.204.lg9故至少需用 3 只開關(guān)才能使系統(tǒng)的可靠性至少為0.9999。30甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人中的概率分別為 0.4，0.5，0.7飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為 0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解 設(shè) 321,A分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，),0(iB表示有 i 個(gè)人擊中飛機(jī)，H 表示飛機(jī)被擊落。則 321,獨(dú)立，且 3213321321321 210 ,ABAABB于是 09.)7(5.0)4.()0P36.5.63.6.35.4)(1 41.07.07.54.0.0)(2BP1)(319依題意有： 1)(,6.0)(,2.0)(,)( 3210 BHPBHP于是，由全概公式有 458.0.41.36.9.)( 。31在裝有 6 個(gè)白球，8 個(gè)紅球和 3 個(gè)黑球的口袋中，有放回地從中任取 5 次，每次取出一個(gè)。試求恰有 3 次取到非白球的概率。解 由題設(shè)知，取一個(gè)非白球的概率 p=11/17，于是 375.0)1/6(7/)1/,5;3( 2335Cb。若視 ，則可查表得 4.).0,;3()/,;(b。32電燈泡使用時(shí)數(shù)在 1000 小時(shí)以上的概率為0.2，求三個(gè)燈泡在使用 1000 小時(shí)后最多只有一只壞了的概率。解 設(shè) A 表示事件“一個(gè)燈泡可使用 1000 小時(shí)以上” ，則 A 的概率為 p=0.2,q=0.8。考察三個(gè)燈泡可視為 n=3 的貝努利試驗(yàn)，于是所求概率為104.8)2.0(3).(2303 qpCP。33某地區(qū)一年內(nèi)發(fā)生洪水的概率為 0.2，如果每20年發(fā)生洪水是相互獨(dú)立的，試求：（1） 洪水十年一遇的概率；（2）