數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題——算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)新課標(biāo)

高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 1 -典型例題一例 1 已知 ，求證Rcba, .22cabcba證明： ，2，c， 三式相加，得a22，即)()(2 cbcba .22cabcba說明：這是一個(gè)重要的不等式，要熟練掌握典型例題二例 2 已知 是互不相等的正數(shù)，cba、求證： abcc6)()()( 222 證明： ，0a， bca2)(2同理可得： abcc2)(2，三個(gè)同向不等式相加，得bacbca6)()()( 222說明：此題中 互不相等，故應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號(hào)不成立特別地，、， 時(shí)，所得不等式仍不取等號(hào)典型例題三例 3 求證 )(2222 cbacba 分析：此問題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式 ，并能由2這一特征，思索如何將 進(jìn)行變形，進(jìn)行創(chuàng)造” )(2cba2證明： ，ba22兩邊同加 得 22)()(b即 )22ba高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 2 - )(212baba同理可得： ，)(2cc)(2a三式相加即得 )(2222 cbacba 典型例題四例 4 若正數(shù) 、 滿足 ，則 的取值范圍是 ab3ba解： ， ，令 ，得 ，R, 2aaby032y ，或 （舍去） 3y1 ， 的取值范圍是92abab.,9說明：本題的常見錯(cuò)誤有二一是沒有舍去 ；二是忘了還原，得1y出 前者和后者的問題根源都是對(duì) 的理解，前者忽視了 后者錯(cuò)誤,3ab.0ab地將 視為 2yab因此，解題過程中若用換元法，一定要對(duì)所設(shè)“元”的取值范圍有所了解，并注意還原之典型例題五例 5 （1 ）求 的最大值4162xy（2 ）求函數(shù) 的最小值，并求出取得最小值時(shí)的 值 x（3 ）若 ，且 ，求 的最小值0,yx2yx2yx解：（1） 41621363)(222x.36高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 3 -即 的最大值為y.3當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，取得此最大值122x2x（2 ） 4422y 314 的最小值為 3，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， ，12x4)(221x時(shí)取得此最小值1x（3 ） 即xy2222)()(y2)(yx 即 的最小值為 2yx 2當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得此最小值4說明：解這類最值，要選好常用不等式，特別注意等號(hào)成立的條件典型例題六例 6 求函數(shù) 的最值xy321分析：本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值，但是應(yīng)注意滿足相應(yīng)條件如：，應(yīng)分別對(duì) 兩種情況討論，如果忽視 的條件，就會(huì)發(fā)生如下錯(cuò)誤：0x0,x Rx ，621321)3(12xy .621maxy解：當(dāng) 時(shí)， ，又 ，0x0,x當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù) 有最小值3226x3.62 .1maxy當(dāng) 時(shí)， ，又 ，003,x6)3(x當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù) 最小值2262.62 .61miny典型例題七高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 4 -例 7 求函數(shù) 的最值9102xy分析： 291)(2 x但等號(hào)成立時(shí) ，這是矛盾的！于是我們運(yùn)用函數(shù) 在 時(shí)單調(diào)遞增8x xy1這一性質(zhì)，求函數(shù) 的最值)3(1ty解：設(shè) ，92xt ty102當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 遞增3tty故原函數(shù)的最小值為 ，無最大值310典型例題八例 8 求函數(shù) 的最小值452xy分析：用換元法，設(shè) ，原函數(shù)變形為 ，再利用函數(shù)2t )2(1ty的單調(diào)性可得結(jié)果或用函數(shù)方程思想求解)2(1ty解：解法一：設(shè) ，故42xt ).2(1452txy2112121212 )()()( ttttt ，設(shè)由 ，得： ，故： 02121tt， 021y函數(shù) 為增函數(shù)，從而 )(ty 25解法二：設(shè) ，知 ，可得關(guān)于 的二次方程 ，由根與242tx)2(1tyt 012yt系數(shù)的關(guān)系，得： 1高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 5 -又 ，故有一個(gè)根大于或等于 2，2t設(shè)函數(shù) ，則 ，即 ，故 1)(2ytf 0)(f 0124y25y說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解： 要知道，452xx無實(shí)數(shù)解，即 ，所以原函數(shù)的最小值不是 2錯(cuò)誤原因是忽視了等4122xy號(hào)成立的條件當(dāng) 、 為常數(shù)，且 為定值， 時(shí)， ，不能直接求最大（?。┲?，可以ababbab2利用恒等變形 ，當(dāng) 之差最小時(shí)，再求原函數(shù)的最大（小）a4)(2值典型例題九例 9 求 的最小值,4,0baa 221ba分析：此題出現(xiàn)加的形式和平方，考慮利用重要不等式求最小值解：由 ，得, .26)(22 a又 得 ，即 22abab16421222 ba .254422ab故 的最小值是 2215說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：，故841212122 baba的最小值是 8221錯(cuò)誤的原因是，在兩次用到重要不等式當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，有 和 ，但在 的條1ab4ba件下，這兩個(gè)式子不會(huì)同時(shí)取等號(hào)（ ） 排除錯(cuò)誤的辦法是看都取等號(hào)時(shí)，與31ba時(shí) ，題設(shè)是否有矛盾典型例題十高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 6 -例 10 已知： ，求證： Rcba, cbacba分析：根據(jù)題設(shè)，可想到利用重要不等式進(jìn)行證明證明： .2,2aba即同理： ccb,).(22baa.ccb說明：證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是：(1)想利用三元重要不等式解決問題；(2)不會(huì)利用重要不等式 的變式；(3)不熟練證明輪換對(duì)稱不等式的常用方法因此，在a2證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu)，合理地選擇重要不等式另外，本題的證明方法在證輪換對(duì)稱不等式時(shí)具有一定的普遍性典型例題十一例 11 設(shè) ，且 ，Redcba、 8edcba，求 的最大值16222分析：如何將 與 用不等式的形式聯(lián)系起來，是本題獲解的關(guān)鍵算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理 兩邊同加 之后得 ab222b22)(1ba解：由 ，則有2)(1ba,)(41)( 2222 dcadcdc.560)8(4162ee56時(shí) ，當(dāng) 最 大 值cba說明：常有以下錯(cuò)解：，abcdabde 4)(21622 48ccba故 abdede42)8(,4)(高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 7 -兩式相除且開方得 51604)8(162ee錯(cuò)因是兩不等式相除，如 ，相除則有 ,2不等式 是解決從“和”到“積”的形式從“和”到“積”怎么辦呢？22)(1ba有以下變形： 或 22 )(21baa典型例題十二例 12 已知： ，且： ，求證： ，并且求等號(hào)成立的條0yx 1xy22yx件分析：由已知條件 ，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有 ，Ryx， yx無法利用 ，故猜想先將所求證的式子進(jìn)行變形，看能否出現(xiàn) 型，yx2 )(1)(再行論證證明： ,1.0, xyyx又yx2)(2yx)(.2)(2等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí))(yx.4,2,)( 22 yxyx6)(,1.yx高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 8 -由以上得 26,26yx即當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立,說明：本題是基本題型的變形題在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式要注意靈活運(yùn)用均值不等式典型例題十三例 13 已知 ，且 ，求 的最大值0yx， 302xyxy分析：由 ，可得，32)30(， 故 ，令 )0(3xxy xt2利用判別式法可求得 （即 ）的最大值，但因?yàn)?有范圍 的限制，還必須ty 30x綜合韋達(dá)定理展開討論僅用判別式是不夠的，因而有一定的麻煩，下面轉(zhuǎn)用基本不等式求解解法一：由 ，可得， 302x )0(23x xy64)()(302264)(4x注意到 1624)()( xx可得， 18y當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立，代入 中得 ，故264x 302xy的最大值為 18x解法二： ， ，Ry,xy2代入 中得：302x30解此不等式得 下面解法見解法一，下略18y說明：解法一的變形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二則是抓住了問題的本高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 9 -質(zhì)，所以解得更為簡(jiǎn)捷典型例題十四例 14 若 ，且 ，求證： Rcba、 1cba 811cba分析：不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個(gè)因式分別使用基本不等式所得三個(gè)“2”連乘而來，而 aca21證明： ，又 ， ， ，cba10b0，即 cab22同理 ， ，1cab18ba當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立31c說明：本題巧妙利用 的條件，同時(shí)要注意此不等式是關(guān)于 的輪換式 cba、典型例題十五例 15 設(shè) ，求證： Rcba、 )(2222cba 分析：本題的難點(diǎn)在于 不易處理，如能找出 與2acb、 2ba之間的關(guān)系，問題可得到解決，注意到：，bbaba )(2)()( 222則容易得到證明證明： ，2222 )()( a，于是 2 baba同理： ， )(2cc )(22ac三式相加即得： )22 cbba高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 10 -說明：注意觀察所給不等式的結(jié)構(gòu)，此不等式是關(guān)于 的輪換式因此只需抓住cba、一個(gè)根號(hào)進(jìn)行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性典型例題十六例 16 已知： （其中 表示正實(shí)數(shù)）Rba、 求證： baba1222分析：要證明的這一串不等式非常重要， 稱為平方根， 稱為算術(shù)平均22數(shù)， 稱為幾何平均數(shù)， 稱為調(diào)和平均數(shù)abba12證明： 04222 ba2baaRb、 ，當(dāng)且僅當(dāng)“ ”時(shí)等號(hào)成立22aba0)(412b ，等號(hào)成立條件是“ ”22aba，0)(4122 ab ，等號(hào)成立條件是“ ”a2 bababa2)(1高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 11 -0)()2( 2baba ，等號(hào)成立條件是“ ”1說明：本題可以作為均值不等式推論，熟記以上結(jié)論有利于處理某些復(fù)雜不等式的證明問題本例證明過程說明，不等式性質(zhì)中的比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法典型例題十七例 17 設(shè)實(shí)數(shù) ， ， ， ， ， 滿足 ， ， ，求1ab1c2ab2c021a21bc2ca證 221 )()(ca分析：由條件可得到 ， ， ， 同號(hào)為方便，不妨都設(shè)為正將求證式子的左121c2邊展開后可看出有交叉項(xiàng) 和 無法利用條件，但使用均值不等式變成乘積后，重新搭a配，可利用條件求證證明： 同 號(hào) 2121,0同理，由 知 與 同號(hào)， 與 同號(hào)bcac， 1c2ac ， ， ， 同號(hào)不妨都設(shè)為正1a2 121211)( ccc221ab12c21|212bb，221 )(即 2121)(ca說明：本題是根據(jù)題意分析得 ， ， ， 同號(hào)，然后利用均值不等式變形得a1c2證換一個(gè)角度，由條件的特點(diǎn)我們還會(huì)聯(lián)想到使用二次方程根的判別式，可能會(huì)有另一類證法高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 12 -實(shí)際上，由條件可知 ， ， ， 為同號(hào)，不妨設(shè)同為正又 ，1ac2 21bca， ， 22bca24b4b不等式 ， 對(duì)任意實(shí)數(shù) 恒成立（根據(jù)二次三011cx022cxx項(xiàng)式恒為正的充要條件） ，兩式相加得 ，它對(duì)任意0)()()( 21211 cba實(shí)數(shù) 恒成立同上可得： x 221)(ca典型例題十八例 18 如下圖所示，某畜牧基地要圍成相同面積的羊圈 4 間，一面可利用原有的墻壁，其余各面用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)為 36m問每間羊圈的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，羊圈面積最大？分析：可先設(shè)出羊圈的長(zhǎng)和寬分別為 ， ，即求 的最大值注意條件xyx的利用364yx解：設(shè)每間羊圈的長(zhǎng)、寬分別為 ， ，則有 ，即 設(shè)364182yxxyS ,623218xyxy7,Sx即上式當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“” yx此時(shí) ,1832.3,29yx羊圈長(zhǎng)、寬分別為 m，3m 時(shí)面積最大說明：(1)首先應(yīng)設(shè)出變量（此處是長(zhǎng)和寬） ，將題中條件數(shù)學(xué)化（即建立數(shù)學(xué)模型）才能利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解；(2)注意在條件 之下求積 的最大值的方法：直接用不1832yxxy等式 ，即可出現(xiàn)積 當(dāng)然，也可用“減少變量”的方法：yxyx3218，當(dāng)且21826)18(26)18()(3 xxxSy高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考資源網(wǎng)- 13 -僅當(dāng) 時(shí)取“=” x218典型例題十九例 19 某單位建造一間地面面積為 12m2的背面靠墻的矩形小房，房屋正面的造價(jià)為 1200元/m 2，房屋側(cè)面的造價(jià)為 800 元/m 2，屋頂?shù)脑靸r(jià)為 5800 元如果墻高為 3m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用，問怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：這是一個(gè)求函數(shù)最小值的問題，關(guān)鍵的問題是設(shè)未知數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系從已知條件看，矩形地面面積為 12m2，但長(zhǎng)和寬不知道，故考慮設(shè)寬為 m，則長(zhǎng)為 m，再設(shè)總造xx12價(jià)為 由題意就可以建立函數(shù)關(guān)系了y解：設(shè)矩形地面的正面寬為 m，則長(zhǎng)為 m；設(shè)房屋的總造價(jià)為 根據(jù)題意，可得：xx12y5801230xy576580162308)1(30xx)(46528元當(dāng) ，即 時(shí)， 有最小值 34600 元x16y因此，當(dāng)矩形地面寬為 4m 時(shí)，房屋的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是 34600 元說明：本題是函數(shù)最小值的應(yīng)用題，這類題在我們的日常生活中經(jīng)常遇到，有求最小值的問題，也有求最大值的問題，這類題都是利用函數(shù)式搭橋，用均值不等式解決，解決的關(guān)鍵是等號(hào)是否成立，因此，在解這類題時(shí)，要注意驗(yàn)證等號(hào)的成立典型例題二十例 20 某單位決定投資 3200 元建一倉庫（長(zhǎng)方體狀） ，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每 1m 長(zhǎng)造價(jià) 40 元，兩側(cè)墻砌磚，每 1m 長(zhǎng)造價(jià) 45 元，頂部每 1m2造價(jià)20 元計(jì)算：(1)倉庫底面積的最大允許值是多少？ (2)為使達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？分析：用字母分別表示鐵柵長(zhǎng)和一堵磚墻長(zhǎng)，再由題意翻譯數(shù)量關(guān)系解：設(shè)鐵柵長(zhǎng)為 m，一堵磚墻長(zhǎng)為 m，則有 .xyxyS由題意得 (*).3204520xy應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理，得高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 版權(quán)所有高考