.選修2-1空間向量單元測試題(經(jīng)典)VIP

1、第三章單元質(zhì)量評(píng)估(二)第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1已知空間四邊形ABCD，G是CD的中點(diǎn)，連接AG，則()()A. B.C. D.解析：在BCD中，因?yàn)镚是CD的中點(diǎn)，所以()，從而()，故選A.答案：A2設(shè)l1的方向向量為a(1,2，2)，l2的方向向量為b(2,3，m)，若l1l2，則m等于()A1 B2C. D3解析：l1l2，ab0，代入可解得m2.答案：B3已知i，j，k為單位正交基底，a3i2jk，bij2k，則5a與3b的數(shù)量積等于()A15 B5C3 D1解析：i，j，k兩兩垂直且

2、|i|j|k|1，5a3b(15i10j5k)(3i3j6k)45303015.答案：A4已知二面角l的大小為60，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A30 B60C90 D120解析：設(shè)m，n的方向向量分別為m，n.由m，n知m，n分別是平面，的法向量|cosm，n|cos60，m，n60或120.但由于兩異面直線所成的角的范圍為，故異面直線m，n所成的角為60.答案：B5已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，則a與c的夾角為()A30 B60C120 D150解析：設(shè)向量ab與c的夾角為，因?yàn)閍b(1，2，3，)，|ab|，cos，所以60.因

3、為向量ab與a的方向相反，所以a與c的夾角為120.故選C.答案：C6如圖，空間四邊形OABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG2GN.設(shè)xyz，則x，y，z的值分別為()A.， B.，C.， D.，解析：MG2GN，.故().答案：D7如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A. B.C. D.解析：不妨設(shè)CB1，則CACC12.由題圖知，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0,0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,1)，B1點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2,1)，C1點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2,0)所以(0,2，1)，(2,2,1)所以cos

4、，.答案：A8如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是()A30 B45C60 D90解析：如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)該正方體的棱長為2，則A1(2,0,2)，M(0,1,0)，N(0,2,1)(2,1，2)，(0,2,1)，cos，0.異面直線A1M與DN所成角的大小是90.答案：D9如圖所示，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MANa，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A相交 B平行C垂直 D不能確定解析：在

5、正方體ABCDA1B1C1D1中，|A1B|AC|a，.因此，共面又MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案：B10正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等，則AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：設(shè)正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則C1(0,1,1)，A，又平面BB1C1C的一個(gè)法向量n(1,0,0)，所以AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值sin，得cos.答案：A11如圖，在四面體PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值為()A. B.C D.解析：如圖，作B

6、DAP于D，作CEAP于E.設(shè)AB1，則易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.，2222222，cos，故選C.答案：C12如圖，四棱錐PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE2EA，則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為()A. B.C. D.解析：以B為原點(diǎn)，BC，BA，BP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，(0,2,1)，(3,3,0)設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則即令z1，

7、則n.又平面ABE的一個(gè)法向量為m(1,0,0)，cosn，m，即平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為.答案：B第卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上)13如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對(duì)角線，G為ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE3ED，以，為基底，則_.解析：()().答案：14如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4，DD13，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為_解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則A1(4,0,3)，B(

8、4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得(0,4，3)，(4,0，3)故cos，.答案：15已知正方體ABCDA1B1C1D1，P，M為空間任意兩點(diǎn)，如果有674，那么M點(diǎn)一定在平面_內(nèi)解析：6646424，24，即24.故，共面，即M點(diǎn)在平面A1BCD1內(nèi)答案：A1BCD116等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角CABD的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則EM，AN所成角的余弦值等于_解析：設(shè)AB2，作CO平面ABDE，OHAB，連接CH，則CHAB，CHO為二面角CABD的平面角，CH，OHCHcosCHO1.結(jié)合等邊ABC與正方形ABDE可知四棱錐

9、CABDE為正四棱錐，則ANEMCH，()，()，故EM，AN所成角的余弦值為.答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(10分)如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)(1)化簡：；(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且，若xyz，試求實(shí)數(shù)x，y，z的值解：(1)().(2)()，x，y，z.18(12分)在長方體OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，E是BC的中點(diǎn)(1)求直線AO1與B1E所成角的余弦值；(2)作O1DAC于點(diǎn)D，求點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離解：(1)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(2,

10、0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，E(1,3,0)，O1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,3,2)，C1(0,3,2)，(2,0,2)，(1,0，2)，cos，.故直線AO1與B1E所成角的余弦值為.(2)設(shè)D(x0，y0,0)，(x0，y0，2)，(2,3,0)，(x02，y0,0)且，|，點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離為.19(12分)如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長AB2，側(cè)棱BB1的長為4，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F.(1)求證：A1C平面BED；(2)求A1B與平面BDE所成的角的正弦值解：(1)證明：如圖，以D為原點(diǎn)，D

11、A，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)設(shè)E(0,2，t)，則(2,0，t)，(2,0，4)BEB1C，404t0，即t1.故E(0,2,1)，(2,0,1)又(2,2，4)，(2,2,0)，4040，且4400.因此且，即A1CBD且A1CBE.故A1C平面BDE.(2)由(1)知(2,2，4)是平面BDE的一個(gè)法向量，又(0,2，4)，cos，.故A1B與平面BDE所成角的正弦值為.20(12分)如圖，在四

12、棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，PA平面ABCD，PD與平面ABCD成30角 (1)若AEPD，E為垂足，求證：BEPD；(2)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值解：(1)證明：PA平面ABCD，ABPA.又ABAD，ADAPA，AB平面PAD.PDAB.又PDAE，ABAEA，PD平面ABE，BEPD.(2)PA平面ABCD，PAAD，PAAB.又ABAD，AP，AB，AD兩兩垂直如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)，(0,2

13、a,0)PA平面ABCD，ADP是PD與平面ABCD所成的角ADP30.AD2a，PA2atan30a，P.，.設(shè)n(x，y，z)為平面PCD的一個(gè)法向量，則即取x1，則n(1,1，)是平面PCD的一個(gè)法向量易知(0,2a,0)為平面PAB的一個(gè)法向量，cosn，.平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為.21(12分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1CCBCA2，ACCB，D，E分別為棱C1C，B1C1的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)B到平面A1C1CA的距離；(2)求二面角BA1DA的余弦值；(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF平面A1BD？若存在，確定其位置并證明結(jié)論；若不存在，說明

14、理由解：(1)三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，CC1底面ABC，CC1BC.ACCB，BC平面A1C1CA，BC的長即為點(diǎn)B到平面A1C1CA的距離BC2，點(diǎn)B到平面A1C1CA的距離為2.(2)三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，C1CCBCA2，ACCB，D，E分別為C1C，B1C1的中點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，得C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，E(0,1,2)，(0，2,1)，(2，2,2)設(shè)平面A1BD的法向量為n(，1，)，則即，解得，n(1,1,2)由(1)知平面ACC1A1

15、的法向量為(0,1,0)，cosn，即二面角BA1DA的余弦值為.(3)設(shè)在線段AC上存在一點(diǎn)F(x,0,0)，使得EF平面A1BD.欲使EF平面A1BD，由(2)知當(dāng)且僅當(dāng)n.(x,1,2)，x1，故存在唯一一點(diǎn)F(1,0,0)滿足條件，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)22(12分)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)依題意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C