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1、CAD/CAM技術(shù)基礎(chǔ),閆崇京 機(jī)電學(xué)院航空宇航制造工程系,三次樣條曲線,主要內(nèi)容,1. 插值問題和樣條函數(shù) 2. 三次樣條的理論基礎(chǔ),1. 插值問題和樣條函數(shù),1.1 插值問題 1.2 樣條函數(shù)的工程背景 1.3 三次樣條函數(shù)的數(shù)學(xué)定義,1.1 插值問題,插值 給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi,zi),i=0,1, ,n,要求構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn),稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值(interpolation),所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。 逼近 構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最為接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn),稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近(approximation),所構(gòu)造的曲線稱為逼近曲線。 擬合 插值和逼
2、近統(tǒng)稱為擬合(fitting)。,線性插值:假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值,用一個(gè)線性函數(shù):y=ax+b,近似代替,稱為f(x)的線性插值函數(shù)。 拋物線插值:已知在三個(gè)互異點(diǎn) 的函數(shù)值為 ,要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù) 使拋物線 在結(jié)點(diǎn) 處與 在 處的值相等,線性插值與拋物線插值,1.1 插值問題,求 解 插 值 問 題 的 基 本 思 路,幾 種 常 用 插 值 方 法,分段線性插值: 收斂性良好 只用兩個(gè)節(jié)點(diǎn),且線性,簡(jiǎn)單實(shí)用 曲線不光滑 三次樣條插值:(*) 曲線2階光滑,收斂性有保證 實(shí)際中應(yīng)用廣泛 誤差估計(jì)較難 B樣條插值: 曲線光滑隨B樣條的次數(shù)增加而增加,收斂性有保證 實(shí)際中
3、應(yīng)用廣泛 理論知識(shí)比較復(fù)雜,編程實(shí)現(xiàn)比較繁瑣,分段線性插值,三次樣條插值,兩種插值方式的圖例,1.2 樣 條 函 數(shù) 的 工程背景,飛機(jī)、船體、汽車外形的放樣(設(shè)計(jì)),模線繪制的一般過程,打點(diǎn):按給定的數(shù)據(jù)將型值點(diǎn)準(zhǔn)確地點(diǎn)在圖板上,描線:用“壓子”使“樣條”通過型值點(diǎn),放 樣 現(xiàn) 場(chǎng),模線的形狀特征,分段:兩個(gè)“壓子”之間可以認(rèn)為是一段。數(shù)學(xué)本質(zhì)是每兩個(gè)“壓子”之間曲線的表達(dá)式不同 光滑:不象每兩點(diǎn)之間連線那樣有明顯的棱角。數(shù)學(xué)本質(zhì)是整條曲線具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),模線的力學(xué)實(shí)質(zhì),由于M(x)是線性函數(shù),所以y(x)是三次多項(xiàng)式。,歐拉公式,平面曲線的曲率,1.3 三次樣條函數(shù)的數(shù)學(xué)定義,定義 給定
4、a,b的分劃:a=x0x1xn=b, 如果函數(shù)s(x)在區(qū)間a,b上滿足以下條件: (1)在每一個(gè)子區(qū)間(xi,xi+1)(i=0,1,n-1) 上s(x)是三次多項(xiàng)式; (2) s(x)在區(qū)間a,b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù); (3)s(xi)=yi(i=0,1,n), s(x0)=y0, s(xn)=yn。 我們就稱s(x)為三次樣條函數(shù)。,2. 三次樣條的理論基礎(chǔ),2.1 Hermite 基 函 數(shù) 2.2 三切矢方程 2.3 三次樣條插值的局限性,Charles Hermite(18221901) 法國洛林(Lorraine ) 巴黎綜合工科技術(shù)學(xué)院 曾任法蘭西學(xué)院、巴黎高等師范學(xué)校、巴黎大學(xué)
5、教授。法蘭西科學(xué)院院士。 在函數(shù)論、高等代數(shù)、微分方程等方面都有重要發(fā)現(xiàn)。1858年利用橢圓函數(shù)首先得出五次方程的解。1873年證明了自然對(duì)數(shù)的底e的超越性。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支中以他姓氏命名的概念(表示某種對(duì)稱性)很多,如“Hermite二次型”、“Hermte算子”等。,2.1 Hermite 基 函 數(shù),問題:自變量為u,區(qū)間0,1上兩端點(diǎn)的 ,構(gòu)造三次曲線滿足條件:,y(u)中系數(shù)ai的確定,系數(shù),y(u)中系數(shù)ai的確定,y(u)中系數(shù)ai的確定,Hermite基函數(shù)的性質(zhì),埃爾米特基函數(shù)或 三次混合函數(shù),其 中,稱為,例題,求過0,1兩點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)三次插值多項(xiàng)式,滿足條件: f(0)=1
6、, f (0)=1/2 , f(1)=2, f (1) =1/2,解:,2.2 三 切 矢 方 程,x,問題:設(shè)圖中的y(x)是三次樣條曲線,區(qū)間xi-1, xi兩端的函數(shù)值yi-1,yi,和一階導(dǎo)數(shù)mi-1,mi已知,如何將該區(qū)間內(nèi)的曲線用Hermite基函數(shù)表示?,自變量取x, 取區(qū)間寬度hi= xi-xi-1,則 記 矩陣表達(dá)式,三切矢方程,三切矢方程的普通表達(dá)形式,如何求解:(n-1)個(gè)線性方程,內(nèi)節(jié)點(diǎn)的m1、m2、 、mn-1未知,三切矢方程的邊界條件, 已知m0和mn, 已知兩端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)。, 未知、 相鄰三個(gè)節(jié)點(diǎn)擬合拋物線,并數(shù)值微分求端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)。,三切矢方程的求解,兩個(gè)邊界條件,追趕法求解,二階連續(xù)的條件,2.3 三次樣條插值的局限性,不能解決大撓度問題。 不具有局部可修改性。 曲線中夾有直線段時(shí)擬合效果不好。 擬合二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)曲線產(chǎn)生較大波動(dòng),參數(shù)樣條解決,B樣條,曲線中夾有直線段時(shí)擬合效果不好,若,兩點(diǎn)間為直線,令,=,在,兩點(diǎn)間嚴(yán)格為直線,它具有所需要的斜率,其方程為,(3.12),擬合二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)曲線產(chǎn)生較大波動(dòng),
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