常微分方程在實際生活中的應用

PAGEPAGE1目錄序言 （2）一、鑒別名畫的真?zhèn)?（2）二、測定考古發(fā)掘物的年齡 （6）三、在軍事上的應用 （8）四、在社會經(jīng)濟中的應用 （13）五、應用于刑事偵察中死亡時間的鑒定 （16）六、在人口增減規(guī)律中的應用 （17）結(jié)束語 （18）參考文獻 （19） 常微分方程在實際生活中的應用曹天巖（渤海大學數(shù)學系遼寧錦州121000中國）摘要：現(xiàn)代的科學、技術(shù)、工程中的大量數(shù)學模型都可以用常微分方程來描述，很多近代自然科學的基本方程本身就是微分方程，從微積分理論形成以來，人們一直用微分方程來描述、解釋或預見各種自然現(xiàn)象，不斷地取得了顯著的成效。常微分方程來自人類的社會實踐，又是解決實際問題的一個最強有力的數(shù)學方法，在現(xiàn)實生活中，能用常微分方程研究的實際問題非常多，幾乎在人類社會的每一個角落它都展示了無窮的威力，尤其是在工程技術(shù)、軍事、經(jīng)濟、醫(yī)學、生物、生態(tài)等領域它都發(fā)揮著極其重要的作用。所以研究常微分方程對人類社會生活有非常重要的意義和很實用的價值。本文介紹了利用常微分方程的知識和放射性物質(zhì)可以衰變的特性來鑒別名畫的真?zhèn)巍＠梅派洮F(xiàn)象測定考古發(fā)掘物的年齡，利用常微分方程了解深水炸彈在水下的運動，也就是其在軍事上的應用，利用常微分方程對社會經(jīng)濟進行分析研究，利用牛頓冷卻定律和常微分方程的知識對刑事偵察中死亡時間的鑒定，以及常微分方程在人口增減規(guī)律中的應用等幾部分內(nèi)容。關(guān)鍵詞：常微分方程應用解.ApplicationofordinarydifferentialequationinactuallifeCaoTianyan(DepartmentofMathsmaticBohaiUniversityLiaoningJinzhou121000Abstract：Agreatdealofmathematicsmodelsinscience,technique,engineeringofthesummarymodernallcanuseadifferentialcalculusasquaredistancetooftendescribe,thebasicandsquaredistanceofalotofmodernnaturalsciencesisadifferentialcalculussquaredistance,fromthecalculustheoriesformation,peoplehadbeenuseasquaredistanceofdifferentialcalculustodescribe,explainorforeseevariousnaturalphenomena,obtainingtoshowtheresultoftheconstantly.Oftendifferentialcalculusthesquaredistancecomefromthemankind'ssocialfulfillment,isthemostpowerfulmathematicsmethodthatresolvesanactualproblemagain,canuseadifferentialcalculusasquaredistancetooftenstudyintherealisticlifeoftheactualproblemisquiteafew,almostatmankindeachcornerofthesocietydisplayendlessofpowerisintherealms,suchasengineeringtechnique,military,economy,medicalscience,livingcreatureandecosystem...etc.particularlyitdevelopsaveryandimportantfunction.Soresearchoftendifferentialcalculusthesquaredistancehavecountformuchmeaningtomankind'ssocialactivitieswiththeverypracticalvalue.Thistextintroducedtomakeuseofdifferentialcalculusoftentheknowledgeandtheradiomaterialofthesquaredistancecanbechangewithofcharacteristictodiscriminateapaintingoftruefalse.Makeuseofemanationthephenomenonmeasurementtostudyofancientrelicsageofdiscoverthething,makeuseofadifferentialcalculusasquaredistanceunderstandingoftendeeplythewaterbombatunderwaterofsportbealsoittoapplymilitarily,makeuseofoftendifferentialcalculusthesquaredistanceistothesocialeconomycarryonanalysisresearch,makeuseofNewtontocoolofflawsandoftendifferentialcalculusthepertainingtocrimefortheknowledgeofthesquaredistanceisonthescouttodietimeofauthenticate,andoftendifferentialcalculusthesquaredistanceisinthepopulationincreaseordecreasetheapplicationintheregulationtowaitseveralpartsofcontentses.KeyWords:Ordinarydifferentialequationapplicationsolution種元素都存在于白鉛（鉛的氧化物）中，畫家們用白鉛作顏料已經(jīng)有2000多年了。為了后面的分析，請注意下面事實，白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦石中提煉出來的。在這個過程中，礦石中的鉛-210隨鉛金屬被提取出來。不過90%到95%的鐳以及它的派生物都隨著爐渣中的廢物被排出來了。所以大多數(shù)鉛-210的提供物都被排掉了，而鉛-210開始迅速的衰變，其半衰期為22年。這個衰變過程一直持續(xù)到白鉛中的鉛-210再次與現(xiàn)存的少量的鐳達到放射平衡，即鉛-210的衰變恰好被鐳的衰變所平衡。那么我們可以利用這個結(jié)論計算要鑒別的畫中現(xiàn)存的鉛-210的數(shù)量，計算是基于最初生產(chǎn)時鉛-210的數(shù)量。設為時刻每克白鉛中鉛-210的數(shù)量，為最初生產(chǎn)時每克白鉛中存在的鉛-210的數(shù)量，而為時刻每分鐘每克白鉛中鐳-226的衰變數(shù)。如果是鉛-210的衰變常數(shù)，則，因為我們只對最多300年這一時間段感興趣，所以可設鐳-226保持常數(shù)（其半衰期為1600年），故是一個常數(shù)。用積分因子乘微分方程的兩端，得因此（5）現(xiàn)在和很容易測得。于是我們知道，我們就可以利用（5）來計算，因而，我們就能確定畫的年代。正如我們已經(jīng)指出的，雖然我們不能直接測得，但有一種可能的辦法，它能幫助我們避開這個問題。這個辦法就是利用這樣的事實：鉛-210的初始量是與用來提取鉛金屬的礦石中的大量的鐳-226處于放射性平衡狀態(tài)的。所以，我們?nèi)〔煌牡V石樣品，計算鐳-226的衰變率。對各種礦石進行計算，結(jié)果見表2。這些數(shù)字從0.18變化到140。因而，生產(chǎn)時每分鐘每克鉛-210的衰變數(shù)將在0.18到140之間變動。因為鉛-210的衰變數(shù)是與當時的量成比例的，這意味著也將在一個大區(qū)間中變化。圖2礦石和精礦樣品種類及來源的衰變/精礦（Oklahoma-kansas）壓碎的粗碎石（S.E.Missouri）精礦（S.E.Missouri）精礦（Idaho）精礦（Idaho）精礦（Washington）精礦（BritishLolumbia）精礦（BritishLolumbia）精礦（Bolivia）精礦（Austalia）4.52.40.72.20.181401.90.41.61.1這樣，我們不能利用（5）得到一個精確的或甚至是一個粗糙的畫的年代估計。不過，我們?nèi)匀荒軌蚶茫?）區(qū)別17世紀的畫和現(xiàn)代的偽造品。這種方法的基礎就是進行簡單的觀察，如果一幅畫與鉛的22年半衰期相比非常舊，那么，畫的樣品中，鉛-210的放射量幾乎等于這個樣品中鐳的放射量。另一方面，如果一幅畫是現(xiàn)代作品（畫齡20年左右），那么鉛-210的放射量比鐳的放射量要大的多。通過下面的方法，我們可以使這一論據(jù)變得更精確，假設問題中畫或者非常新，或者大約有300年的歷史。在（5）中設，那么作些簡單的代數(shù)運算后，可看出（6）如為了計算生產(chǎn)時每克白鉛每分鐘內(nèi)鉛-210的衰變數(shù)，必須計算鉛-210畫確實是件現(xiàn)代的偽造品，那么就應不合理地大。為了確定什么是不合理的高衰變率，我們觀察到，在一個白鉛樣品中，如果鉛-210最初（生產(chǎn)時）以每克白鉛中的衰變率衰變，那么用來提取這些鉛的礦石中，鈾的含量為0.014%。這樣高的鈾濃度是很少見的，因為地殼巖石中鈾的平均含量大約是每百萬2.7份（2.7ppm）。另一方面，在西半球存在非常稀有的礦石，其中鈾的含量是2%到3%。為了可靠起見，如果每克白鉛超過，我們就說鉛-210的衰變速度肯定是不合理的。210現(xiàn)在的衰變率，鐳-226的衰變率，以及。因為若干年后，鏷-210的衰變率等于鉛-210的衰變率，而且鏷-210的衰變率較易測得，我們就用鏷的這些值代替鉛-210的有關(guān)值。為計算，由（3）觀察到。因此。所以我們要鑒別某畫的真?zhèn)?，我們要鑒定畫中的鏷-210和鐳-226的衰變率，由（6）計算出要鑒定的畫中白鉛。如果得一個數(shù)值非常大，那么這幅畫一定是現(xiàn)代的偽造品。二測定考古發(fā)掘物的年齡利用放射現(xiàn)象我們還可以測定考古發(fā)掘物的年齡。這個方法的依據(jù)很簡單，地于周圍的大氣層不斷的受到宇宙射線的轟擊。這些宇宙射線使地球中的大氣產(chǎn)生中子，這些中子同氮發(fā)生作用產(chǎn)生。因為會發(fā)生放射性衰變，所以通常稱這種碳為放射性碳。這種放射性碳又結(jié)合到二氧化碳中在大氣中漂動而被植物吸收。動物通過吃植物又把放射性碳帶入它們的組織中，在活的組織中，的攝取率正好與的衰變率相平衡。但是，當組織死亡以后，它就停止攝取，因此的濃度因的衰變而減少。地球的大氣被宇宙射線轟擊的速度始終不變，這是一個基本的物理假設。這就意味著，在挖掘中有木炭這樣的物質(zhì)時，原來的蛻變速度同現(xiàn)在測量出來的蛻變速度是一樣的。這樣我們就可以測定木炭樣品的年齡。設表示在時刻樣品中存在的的數(shù)量，單們時間衰變的原子數(shù)與成比例。即：表示在時刻時樣品中的數(shù)量狀況，即樣品形成時的數(shù)量。若是的衰變常數(shù)（的半衰期是5568年），則，。所以則有由此我們測出木炭中目前的蛻變速度，而來的蛻變速度是，因此：，從而。所以如果我們測出木炭中目前的蛻變速度，并且注意到必須等于相當數(shù)量的活的樹木中的蛻變速度，那么我們就能算出木炭的年齡，從而知道發(fā)掘物的年齡。三在軍事上的應用利用常微分方程可了解深水炸彈在水下的運動。一質(zhì)量為的深水炸彈，從高為處自由下落到水中。如果不考慮人水炸彈在水平方向的運動，而僅考慮它在豎直方向的運動。由經(jīng)典力學知：物體從高為米處自由下落至海平面時，其豎直方向的速度為：（為重力加速度）。深水炸彈自高度為米處自由下落至海平面的瞬時時間為，于是深水炸彈的初始狀態(tài)為：，深水炸彈在海水中運動時，它受到三個力的作用：一是地球吸引力，其方向豎直向下，二是海水對它的浮力，鼉外是海水對炸彈的摩擦力，這個摩擦力是很復雜的，它和炸彈的形狀、速度等因素有關(guān)。這里僅近似的認為摩擦力的大小和炸彈的速度成正比，比例系數(shù)即摩擦系數(shù)為常數(shù)。摩擦力的方向與炸彈的速度方向相反，因而是豎直向上的。于是摩擦力表示為：。根據(jù)牛頓第二定律知深水炸彈在水下運動的規(guī)律為當今世界的主題雖然是和平和發(fā)展，但是局部地區(qū)的戰(zhàn)爭，也引起了人們的關(guān)注和重視，戰(zhàn)爭以及為戰(zhàn)爭做準備依然是人類主要關(guān)注的問題。常微分方程也應用于研究和分析戰(zhàn)爭。如果一支部隊和一支部隊互相交戰(zhàn)，設和分別代表兩個部隊在時刻的力量，其中從戰(zhàn)斗開始時以天計算。將力量定量化是不容易的。因為它包括：士兵數(shù)量、戰(zhàn)斗準備就緒情況、武器性能和數(shù)量、指揮員的素質(zhì)，以及大量心理的和無形的因素。這些因素連描述都很困難，就更不用說轉(zhuǎn)化為數(shù)量了。我們將采一種簡單的回避方法，即把力量看作是和為士兵的數(shù)量。假設和連續(xù)的變化，并且為時間的可導函數(shù)。當然，這是事態(tài)真實狀況的一種理想化，因為兵力必須是整數(shù)，而且隨時間整數(shù)的變化，但是當兵力很大時增加一個或兩個人，與總數(shù)相比簡直是一個無窮小，我們進而允許戰(zhàn)斗力在很短的時間間隔內(nèi)作任意小量而不僅是整數(shù)的變化。雖然還沒有關(guān)于的具體公式（比如作為的函數(shù)），但是，我們可以獲得大量有關(guān)部隊的自然損失率（即由于各種不可避免的疾病、開小差以及其他非作戰(zhàn)事故所引起損失率），由于與部隊遭遇而生的戰(zhàn)斗損失率，以及補充率等信息。假定的凈變化率由下式給出：（1）部隊也有一個類似的方程。問題要求出關(guān)于每個部隊的這些變化率的適當?shù)墓?。然后分析相應的微分方程的解和從而確定誰將贏得戰(zhàn)爭的勝利。用表示非負損失率常數(shù)。用表示時刻敵對部隊雙方的戰(zhàn)斗力。表示戰(zhàn)斗開始時雙方的戰(zhàn)斗力。為按天計算的戰(zhàn)斗時間。則常規(guī)戰(zhàn)可表示為；；這兩個方程都將一支部隊的兵力的變化率與其他變化項目聯(lián)系起來，并且有（1）形式。補充率和，對于一支獨立的部隊，這一項為零。自然損失率和產(chǎn)生不變的相對損失率（沒有戰(zhàn)斗和補充時）：，還可能有其他的損失率，但是可能性不大，對于大多數(shù)情況，這已經(jīng)足夠了。如果只出現(xiàn)補充率和自然損失率，那么就沒有發(fā)生戰(zhàn)斗，因為任一方對對方都沒有影響。將實際戰(zhàn)斗進入，則產(chǎn)生干擾項，一支常規(guī)部隊在野外作戰(zhàn)，假設這支部隊的每一個成員都在敵人的有效釘傷距離以內(nèi)。一旦這支常規(guī)部隊受到損失，炮火就集中剩下的兵員身上。則一支常規(guī)的部隊的戰(zhàn)斗損失率具有形式，其中是部隊的戰(zhàn)斗效果系數(shù)。部隊中每單個兵員所造成的部隊的戰(zhàn)斗損失率為（3）這里就是部隊中每個成員在戰(zhàn)斗中的平均效果的一個量度。關(guān)于項也可以給出一個類似的解釋。計算戰(zhàn)斗效果系數(shù)和并不是一件簡單的事。一種方法就是令，（4）其中和分別表示部隊的部隊的射速，和分別表示一次射擊殺死一個敵人的可能性。由（4）可以看出，部隊決定著，部隊決定著。有時一個事后的戰(zhàn)斗分析將揭示和的值。假設兩支孤立的常規(guī)部隊正在交戰(zhàn)，所作的理想假設是自然損失為零。在雙方?jīng)]有增援和自然損失的情況下，有簡單的線性方程組用除以，我們得到：（7）在（7）中分離變量并積分得：（8）相互對抗的部隊之間的這種二次關(guān)系，我們稱之為平方律模型。設表示常數(shù)，由（8）得到的關(guān)于方程（9）的圖形是一支雙曲線（若，則為一對直線），稱（9）為雙曲率。圖3繪出了對應不同值的雙曲線。顯然，我們只需要考察兵力象限的雙曲線。曲線上的箭頭表示兵力隨時間而變的方向。因為只要，就有，所以箭頭的方向如圖3所示。圖3平方律的雙曲線在這樣的戰(zhàn)斗中誰將獲勝？如果一支部隊先被消滅，我們就說另一支部隊將獲勝。例如：如果，則獲勝，因為根據(jù)（9），在這種情況下決不會消失，但是對部隊來說，當部隊減少到時它就將被殲滅。這樣，部隊試圖形成一個的戰(zhàn)斗態(tài)勢，即部隊希望下述不等式成立（10）由（4）看出（10）可寫成：（11）這就是部隊在數(shù)量上占優(yōu)勢的條件。假設兩支部隊都訓練有素，并且處于良好的作戰(zhàn)條件，那么很難看出作戰(zhàn)雙方對（11）的右邊會有多大的影響。（11）左邊的平方說明，初始兵力比例的變化被平方地放大了。顯然部隊的目標是增大兵力的比例，而其對手是要減小這個比例。但（1）中平方的作用卻不明顯。正是這個作用使得達到一個有利的局部力量對比成為如此的重要。例如：從到的一個變化，將使部隊獲得四倍的優(yōu)勢。當然，（11）是一個有利于部隊的不等式條件。部隊則將試圖通過增加使不等式傾向。方程（9）只與兩個部隊的兵力有關(guān)，而與時間的推移無關(guān)。通過下述方法，由（6）可得到關(guān)于兵力的瞬時變化公式。對微分并利用得（12）利用初始條件：則二階常系數(shù)數(shù)齊次線性常微分方程（12）的理由（13）給出其中，，類似的（14）兵力——部隊被殲滅時間圖4兵力與時間的關(guān)系，這里僅繪出了兩個部隊都存在的那段時間上的曲線圖4表示了（即）的特殊情況下，（13）和（14）的圖形?？梢钥闯?，部隊要取勝并不是一定要求超過，但是必須使。但這只是一種比較理想的情況，在實際的戰(zhàn)爭中，問題會很復雜，戰(zhàn)爭可能受到天氣突發(fā)事件等情況的影響，實際戰(zhàn)爭也不會只單純的采取這一種形式，會采取比如：游擊戰(zhàn)、空中打擊等形式。但用這種方法來分析戰(zhàn)爭的結(jié)果，有很重要的理論意義。四在社會經(jīng)濟中的應用物資的供給、需求與物價之間的關(guān)系，用常微分的知識來表示，我們可以發(fā)現(xiàn)他們之間的秘密。供給是在一定價格條件下，單位時間內(nèi)企業(yè)愿出售的商品量，記為。需求是在一定價格條件下，單位時間內(nèi)消費者欲購且有支付能力的商品量，記為。價格是影響與的主要因素。市場上的供給與需求相等時的價格稱為均衡價格。假設，其中是物價，是正整數(shù)，物價的漲速與過剩需求成正比，故有即（1）其中（1）的通解為記，則（2）又當，即時，為均衡價格，故就是均衡價格，于是（3）我們看到，雖有波動，但當時，趨于均衡價格，這時的市場價格趨于穩(wěn)定。如果供給與需求都是常理，但，則（）這時，此即通貨膨脹，是由于供不應求造成的，為平抑物價，必須降低消費資金的投放，把需求降下來或增加商品的供給量，例如：壓縮政府機關(guān)的公務員數(shù)量和企業(yè)的多余職工就能降低消費資金，或是實行商品房推銷等措施，就是增加了商品的供給，可以起到抑制物價上漲的作用。關(guān)于新商品的銷售，也可應用常微分方程。一種新產(chǎn)品面世，廠家和商家總要采取各種措施，包括大做廣告等，促進銷售。他們都希望對產(chǎn)品的銷售速度與銷售數(shù)量做到心中有數(shù)，以便用于組織生產(chǎn)，安排進貨。用常微分方程來描述產(chǎn)品推銷速度，并由此分析出結(jié)果。以指導生產(chǎn)和銷售。我們以耐用商品為例，這種商品可以長期使用，價格較高，一般不會廢棄和重復購置，價格一般也相對穩(wěn)定。這一類型的新產(chǎn)品，例如微波爐、電飯鍋等，剛進入市場時，人們對其功能尚不是很熟悉，所以銷售速度較慢。隨著銷售數(shù)量的增加，人們對于它的熟悉程度就會增加，銷售速度也增加，但當這類商品銷售到一定數(shù)量時，因為人們不會重復購置，而使銷售速度減慢。假設需求量有一個上界，用表示時間已售出的產(chǎn)品數(shù)量，則尚未購置的人數(shù)大約為銷售速度與銷售量和的乘積成正比，比例系數(shù)記為，則（1）解得：（2）其中是任意常數(shù)對（1）求導，得：（3）當時，從（2）可求出，使由此可做如下分析：（1）當時，，因此單調(diào)上升（2）當時，，因此單調(diào)下降這樣，在時達到最大值，這表明在銷售小于最大銷售的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷售量達到最大銷售量的一半時，產(chǎn)品最為暢銷，其后銷售速度開始下降。五應用于刑事偵察中死亡時間的鑒定牛頓冷卻定律也運用了常微分方程的知識，應用牛頓冷卻定律可以解決很多實際問題。牛頓冷卻定律的內(nèi)容是物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比。如果物體在房間里，與物體相比，若房間非常大，可假設房間的溫度保持不變，即保持常溫。也就是物體對房間溫度的改變可以忽略不計。把牛頓冷卻定律可應用于刑事偵察中死亡時間的鑒定問題。當謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來的溫度37攝氏度按照牛頓冷卻定律開始下降。如果周圍空氣的溫度保持20攝氏度，那么兩小時后尸體的溫度變?yōu)?5攝氏度。如果現(xiàn)在尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度是30攝氏度，假設現(xiàn)在的時間是下午4點整，那么我們就可以知道謀殺是什么時候發(fā)生的了。那么我們可以列式為：（其中是常數(shù)）分離變量并求解得：代入初值條件，可求得，于是得該初值問題的解為因為兩小時后尸體的溫度變?yōu)?5攝氏度，于是我們可以求出的值，則有求得于是溫度函數(shù)為那么把代入上式，就可以求出，解得小時于是，我們可以判定謀殺發(fā)生在下午4點尸體發(fā)現(xiàn)前的8.4小時，即8小時24分鐘，那么我們主知道謀殺發(fā)生的時間是上午7點36分。六在人口增減規(guī)律中的應用盡管人口的增加或減少是離散的，但