常微分方程建模教學(xué)大綱

《常微分方程》教學(xué)大綱一、

計(jì)劃學(xué)時(shí)：72課時(shí)二、

適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）（本、?？疲⑿畔⑴c計(jì)算科學(xué)（本）三、

課程性質(zhì)與任務(wù)：常微分方程是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)及信息與計(jì)算專業(yè)的基礎(chǔ)課之一。本課程主要學(xué)習(xí)各種基本類型的常微分方程解的性質(zhì)、方程的解法及其某些應(yīng)用。通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生正確理解常微分方程的基本概念，深入掌握基本理論和主要方法，具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)習(xí)本課程的近代內(nèi)容與后繼課程打下基礎(chǔ)。在本課程的學(xué)習(xí)中，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何和簡(jiǎn)單的力學(xué)、電學(xué)等知識(shí)的應(yīng)用，使學(xué)生對(duì)已學(xué)過(guò)的知識(shí)得到鞏固與深化；通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解常微分方程可應(yīng)用于工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的某些問(wèn)題，從而有助于樹(shù)立學(xué)生的數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)。四、目的要求：通過(guò)對(duì)該課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握某些特殊類型微分方程(組)的初等解法和一般線性微分方程(組)的求解方法及其相關(guān)理論，為對(duì)非線性微分方程的求解打下一定的基礎(chǔ)。同時(shí)，使學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)手段去研究和解決自然現(xiàn)象與經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的一些具體問(wèn)題。五、課時(shí)安排：總課時(shí)：72課時(shí)第一章初等積分法18課時(shí)第二章基本定理14課時(shí)第三章一階線性微分方程組12課時(shí)第四章階線性微分方程18課時(shí)第五章定性和穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介10課時(shí)六、課程教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：基本概念與基本技能的掌握。難點(diǎn)：計(jì)算技巧的掌握、證明題。七、課程教學(xué)方法與要求

本課程以課堂講授為主，答疑為輔，學(xué)生必須完成一定的作業(yè)量。八、課程考核方法與要求

本課程考核以筆試為主，主要考核學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)理論，基本概念的掌握程度，以及學(xué)生邏輯推理能力和計(jì)算能力。平時(shí)成績(jī)占20%，期末成績(jī)占80%。九、教學(xué)內(nèi)容綱要第一章初等積分法一、教學(xué)目的：了解微分方程的產(chǎn)生背景，學(xué)習(xí)常微分方程課程的意義，知道一階微分方程的初等解法的含義；清楚變量可分離方程、可化為變量分離方程、一階線性方程、恰當(dāng)方程與一階隱式方程的基本形式和可用降階法求解的高階微分方程的類型；掌握可用初等解法求解的方程的基本類型及其相應(yīng)的求解方法二、主要內(nèi)容第一節(jié)微分方程和解4課時(shí)1、微分方程2、通解與特解3、初值問(wèn)題4、積分曲線5、初等積分法第二節(jié)變量可分離方程2課時(shí)1、顯式變量可分離方程的解法2、微分形式變量可分離方程的解法第三節(jié)齊次方程2課時(shí)1、齊次方程的解法2、第二類可化為變量可分離的方程第四節(jié)一階線性微分方程2課時(shí)1、一階線性非齊次方程的通解2、伯努利（Bernoulli）方程第五節(jié)全微分方程及積分因子2課時(shí)1、全微分方程2、積分因子第六節(jié)一階隱式微分方程2課時(shí)第七節(jié)幾種可降階的高階方程1課時(shí)1、第一種可降階的高階方程2、第二種可降階的高階方程3、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程第八節(jié)一階微分方程應(yīng)用舉例3課時(shí)1、等角軌線2、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題3、電學(xué)問(wèn)題4、光學(xué)問(wèn)題5、流體混合問(wèn)題三、基本要求1．理解線性方程與非線性方程，階，解(通解，特解，隱式解)，初值條件，初值問(wèn)題等概念。2．熟練掌握可分離變量的方程，齊次方程，一階線性方程；伯努力方程，全微分方程的求解方法。3．掌握常數(shù)變易法，記住一階線性方程的通解表達(dá)式。4．了解變量變換和積分因子在求解微分方程中的作用，會(huì)作簡(jiǎn)單的變量變換和會(huì)用簡(jiǎn)單的積分因子解微分方程。5．理解方向場(chǎng)和積分曲線的關(guān)系。6．掌握克萊洛方程的解法，了解奇解的意義。7．熟練掌握d２y／dx２=f(x，dy／dx)，d２y／dx２=f(y，dy／dx)的降階法。8．會(huì)用已有知識(shí)建立常微分方程及其相應(yīng)的條件解決簡(jiǎn)單的幾何、物理問(wèn)題。1、線性微分方程的一般概念2、階線性齊次微分方程的一般理論3、階線性非齊次微分方程的一般理論第二節(jié)階常系數(shù)線性齊次方程的解法4課時(shí)1、特征根都是單根2、特征根有重根第三節(jié)階常系數(shù)線性非齊次方程的解法4課時(shí)1、第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法2、第二類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法第四節(jié)二階常系數(shù)線性方程與振動(dòng)現(xiàn)象2課時(shí)1、間諧振動(dòng)——無(wú)阻尼自由振動(dòng)2、阻尼自由振動(dòng)3、阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)第五節(jié)拉普拉斯變換2課時(shí)1、拉普拉斯變換的定義與性質(zhì)2、用拉普拉斯變換求解初值問(wèn)題第六節(jié)冪級(jí)數(shù)解法大意2課時(shí)三、基本要求：1．熟練掌握高階線性微分方程初值問(wèn)題解的存在唯一性定理，要注意解的存在區(qū)間。2．熟練掌握線性齊次方程解的疊加性質(zhì)，理解線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、朗期基行列式的概念并掌握它們之間的關(guān)系，熟練掌握線性齊次方程通解定理。3．理解線性非齊次方程不同非齊次項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的解的疊加原理，熟練掌握線性非齊次方程的通解結(jié)構(gòu)定理，掌握二階線性非齊次方程的常數(shù)變易法。4．會(huì)解高階常系數(shù)線性齊次方程，熟練掌握二階常系數(shù)線性齊次方程的解法。5．掌握非齊次項(xiàng)為：f(x)=Pm(x)eax，f(x)=eaxAsinβx，f(x)=eax｛Asinβx｝Bcosβxf(x)=Pm(x)｛AsinβxBcosβx｝的線性齊次方程的解法。6．了解劉維爾公式，對(duì)于二階線性齊次方程，知道一個(gè)非零解會(huì)利用劉維爾公式求方程的通解。第五章定性和穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介一、教學(xué)目的：二、主要內(nèi)容：第一節(jié)穩(wěn)定性概念2課時(shí)第二節(jié)李雅普諾夫第二方法2課時(shí)第三節(jié)平面自治系統(tǒng)的基本概念2課時(shí)1、相平面、相軌線與相圖2、平面自治系統(tǒng)的三個(gè)基本性質(zhì)3、常點(diǎn)、奇點(diǎn)與閉軌第四節(jié)平面定性理論簡(jiǎn)介4課時(shí)1、線性系統(tǒng)初等奇點(diǎn)附近的軌線分布2、平面非線性自治系統(tǒng)初等奇點(diǎn)附近的軌線分布3、極限環(huán)的概念4、極限環(huán)的存在性與不存在性三、基本要求：1．理解相平面、奇點(diǎn)、軌線等概念，理解軌線的性質(zhì)。2．能熟練地用方程的系數(shù)確定二維自治線性系統(tǒng)的初等奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性，了解它們的相圖。3．對(duì)裴戎(perron)定理只要求了解它的條件和結(jié)論，會(huì)用裴戎定理判別奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性。4．對(duì)于極限環(huán)只要求通過(guò)例子了解它的概念。5．理解李雅普諾夫關(guān)于解的穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定的概念6．掌握自治系統(tǒng)關(guān)于零解穩(wěn)定性的一次近似定理。7．理解自治系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的概念，理解自治系統(tǒng)的李雅普諾夫第二方法關(guān)于零解穩(wěn)定，漸近穩(wěn)定的定理。8．會(huì)構(gòu)造簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)判斷自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定。十、教材與參考書(shū)：教材：《常微分方程》（第二版），東北師范大學(xué)微分方程組教研室編，高等教育出版社，2005.參考資料：