2025年人教A版高二數(shù)學新課預習 專項強化：空間向量的應用

專題強化1:空間向量的應用

【基礎(chǔ)鞏固】

1.設(shè)向量。=(3,-2,-1)是直線/的方向向量，”是平面a的法向量，則()

A.ILaB.111a或IuaC.11laD.Iua

【答案】B

【分析】由a-"=0,得a_L",所以///0或/ua

【詳解】a=(3,-2,-1),?=(-1,-2,1),a.n=3x(-l)+(-2)x(-2)+(-l)xl=0,

則有a_L",

又a是直線/的方向向量，力是平面a的法向量，所以"/a或/ua.

故選：B

11LU

2.兩平面a,4的法向量分別為4=(3,T,z),%,若a致，則y+z的值是()

A.-3B.6C.-6D.-12

【答案】B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量的坐標運算求解.

ULUI

【詳解】回4=(3,Tz),%=(-2,-刈分別為a,4的法向量且a冊，則"1

UUU

回4?%=-6+y+z=0,整理得：y+z=6.

故選：B.

3.如圖，在正三棱錐。-ABC中，AB=6DA=2,。為底面ABC的中心，點P在線段。。

上，且相=2甜，若PAL平面P3C,則實數(shù)行()

D

A.1B.--C.逅D.顯

2346

【答案】D

【分析】由正棱錐的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建空間直角坐標系，根據(jù)已知條件確定相關(guān)點坐標并求出面

P3C的法向量，結(jié)合線面平行及向量共線定理求參數(shù)％即可.

【詳解】由題設(shè)，回ABC為邊長為6的等邊三角形，且八4=。3=。。=2,

在正棱錐中，以。為原點，平行CB為％軸，垂直CB為丁軸，0。為z軸，如上圖示，

則A(0,-1,0),B(—,-,0),C(-^,-,0),D(0,0,我,且P(0,0,垂儲,

2222

所以AP=(0,l,扇)，PB=(^,1,-A/32),CB=(V3,0,0),

61

,、r一,,_?rtPB'm=—xH—y—yi3Az—0._,r—

若〃?=(x,y,z)為面P3C的法向量，貝I]22-,令z=l,則機=(0,2641),

CB-m==0

2s/3Ak=l

又尸4,平面P3C,則AP=珈且左為實數(shù)，卜=百力故人亞

6

O<A<1

故選：D

4.若直線/的方向向量與平面。的法向量的夾角等于110。，則直線/與平面a的所成的角等于（）

A.20°B.70°C.110°D.以上均錯

【答案】A

【分析】利用直線的方向向量與法向量的夾角與線面角的關(guān)系可求答案.

【詳解】因為直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于110。，

所以直線/與平面a的所成的角為H0。-90。=20。.

故選：A.

5.已知點4（2,-6,2）在平面a內(nèi)，”=（3,1,2）是平面。的一個法向量，則下列點尸中，在平面a內(nèi)

的是（）

A.B.小,3,目C.D.《一1，一3,-胃

【答案】A

【分析】根據(jù)每個選項中P點的坐標，求出AP的坐標，計算根據(jù)結(jié)果是否等于0,結(jié)

合線面垂直的性質(zhì)，即可判斷點尸是否在平面。內(nèi).

【詳解】對于選項A,AP=（-1,5,-1）,所以AP.“=_lx3+5xl-1x2=0,

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知APua,故P（l,-U）在平面a內(nèi)；

對于選項B,A尸=（一1,9,一g）,貝|]AP〃=-lx3+9xl+gx2wO,

A（2,-6,2）在平面a內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知APoo,故尸，,3,|）不在平面a內(nèi)；

對于選項C,=則AP〃=-lx3+3xl—gx2wO,

A（2,-6,2）在平面a內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知APcza,故尸1,-3,0不在平面a內(nèi)；

對于選項D,4尸=（一3,3,-21,貝|]4尸7=一3義3+3義1一.又2W0,

A（2,-6,2）在平面a內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知APaar,故尸1-1,-3,不在平面a內(nèi)；

故選：A

6.若機=（3,-1,2）是直線/的方向向量，〃=（2,3,-1）是平面a的法向量,則/與。的位置關(guān)系是（）

A.I//aB.I.La

JluaD./與。相交但不垂直

【答案】D

【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系可判斷直線與平面的位置關(guān)系可得.

【詳解】因為3片：工:，且3X2+（-1）X3+2X（-1）=1W0

所以加與“不平行，也不垂直，

所以/與a相交但不垂直.

故選：D

7.已知兩個平面的法向量分別為根=（O,Ll）,"=（1,T,O）,則這兩個平面的夾角為（）

A.30B.60C.60或120D.120

【答案】B

【分析】根據(jù)兩平面夾角與其法向量夾角的關(guān)系，利用向量夾角公式即可得到答案.

【詳解】。嗎犯"）=砸=不環(huán)=-5，因為向量夾角范圍為[0,可，

0___-TT

故兩向量夾角為:兀，故兩平面夾角為5，即60，

故選：B.

8.將邊長為2的正方形相。0（及其內(nèi)部）繞。。?旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，ZAOC=120°,

NAO4=60。，其中4與c在平面440。的同側(cè)，則異面直線與C與AA所成角的大小是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量夾角公式即可得出異面直線4C與A4所成角的大小.

【詳解】

如圖所示，建立空間直角坐標系.

0（0,0,0）,A（0,2,0）,A（。，2,2）,C（石,一1,0）,瓦（6,1,2）,

/.A4j=（0,0,2）,CBX=（0,2,2）

設(shè)異面直線與AA所成角為6e[0,90°],

4顯

「.cose

，

41HBe|2x2及-2

...e=45。，

二異面直線BC與A4所成角的大小是45。.

故選：C.

9.已知平面a內(nèi)一點尸(9,8,5),點。(6,6,6)在平面a外，若a的一個法向量為〃=(2,1,1),則Q

到平面a的距離為.

【答案】還

6

【分析】求出也=(-3,-2,1),得到點到平面的距離公式求出答案.

【詳解】因為PQ=(-3,-2,l),

所以。到平面。的距離為%等

川,4+1+1V66

故答案為：當

6

10.已知向量加，”分別是直線/和平面a的方向向量和法向量，若=貝I]/與a所成角

的大小是.

【答案】9/30。

【分析】若直線與平面所成角為。，則直線方向向量與平面法向量的夾角為5-?；蛴纱?/p>

計算即可.

【詳解】設(shè)直線/與平面a所成角為。(0e[0,5p,

則直線/的方向向量力與平面。的法向量”的夾角為卜?；?*

由題意,回〈見耳=與且。e0弓，

?\2兀兀八

=——=—+0,

\/32

_八兀

回。=-2---71=-7,1

326

回/與a所成角的大小是

故答案為：7-

O

11.設(shè)匕=(12-2),嶺=(-2,3,2)分別是空間兩直線4,4的方向向量，則直線4,4所成角的大小為

【答案】900/f

【分析】空間中直線與直線所成的角，與其對應的方向向量夾角相同，直接利用空間向量的夾

角公式計算即可.

【詳解】因為3,)布=后7/E7T7=0，

所以匕與匕的夾角為90。，即直線與右所成角的大小為90。.

故答案為：90°.

12.已知二面角”/-"，其中平面。的一個法向量m=。,0,-1),平面用的一個法向量”=(O,-M),

則二面角的大小可能為.

【答案】60?；?20。

【分析】利用法向量夾角可得二面角.

【詳解】由=4=(0,-1,1),

則儂d3g.e=一5,

所以二面角。余弦值COS。=±g,

所以。=60°或"120?,

故答案為：60?；?20。.

13.如圖，在直三棱柱ABC-A笈G中，M,N,P分別為AB,BC,A片的中點.

⑴求證：3P〃平面GMN；

⑵若AB±AC,AAI=AB=AC=2,求直線4G與平面JMN所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；（2）半

【分析】（1）連接AM,依題意可得肱V//AC,從而得到MN//AG,再說明BM//AP,BM\P,即

可得到BP//K4,,從而得證；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.

【詳解】（1）連接4加，因為N分別為A3,BC的中點，所以的V//AC.

在三棱柱ABC-A用G中，AC//G,

所以MN〃4G,M,N，C，A四點共面.

因為AB//A4,AB=AtBl,M、尸分別為48、4瓦的中點，

所以8M//4P,BM=\P,所以四邊形BM41P為平行四邊形.

所以BP//A必，

因為BPS平面平面GMN,

所以3P〃平面GMN.

(2)由題設(shè)A41平面ABC,AB,ACu平面ABC,所以AAJ4B,AAt1AC,

因為ABJ.AC,所以48,AC,兩兩垂直,

如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-孫z,

所以A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),M(1,0,0),N(l,L0),B,(2,0,2),G(0,2,2),

..VtVtVUV*VIVMM

則MN=(0,1,0),N￡=(-1,1,2),B￡=(-2,2,0).

.m.MN=0(y=0

設(shè)平面MNG的法向量為根=(x,y,z),則｛，即〈cn，

m-NQ=0[-x+y+2z=Q

令尤=2,則y=0,z=l,于是根=(2,0,1),

設(shè)直線B￡與平面C,MN所成角為a,

Iiruuuin

I,iruionxi%4G

貝Qsina—cos(tn,BXCX)=M|uuum-=----,

?"「忸。5

故直線B￡與平面QMN所成角的正弦值為半.

14.在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2A/2,ZABC=90°,。為89中點，如圖(1).把

沿網(wǎng)＞翻折，使得平面ABD,平面3CD,如圖(2).

A

，「

---------------------XCM

圖⑴圖⑵

⑴求證：OALCD-

⑵若M為線段BC的中點，求點M到平面ACD的距離.

【答案】⑴證明見解析；⑵9.

【分析】(1)先根據(jù)面面垂直證線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；

(2)建系，利用空間向量求點到面的距離.

【詳解】(1)在415。中，AB^AD,且。為BD中點，則。

平面ABD_1_平面BCD,平面ABDc平面BCD=BD,OAu平面ABD,

所以平面BCD,

且CDu平面BCD,

所以。LLCD.

(2)在直角梯形A3CD中，BC=2AD=2AB=2^/2,ZABC=90°,

所以BD=CD=2,BC=2日貝|?+5=叱,

0CD1BD,

又回0、M分別為9、BC的中點

^\OM//CD,00M1BD

以。為原點，以03、OM、0A所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系,

則0(0,0,0),A(0,0,1),0(-1,0,0),M(0,1,0),C(-l,2,0),

可得MC=(-1,1,0),DC=(0,2,0),ZM=(1,0,1),

平面AC。的一個法向量為"=(x,y,z),

n-DC=2y=0人,,

由，,令％=1,則y=0,z=-l,可得〃=(1,0,-1),

n?DA=x+z=0

則點M到平面的距離人等北￥

15.如圖，在三棱臺ABC-DEF中,已知平面AB￡D，平面BCFE,BA±BC,BC=3,

⑴求證:直線AE_L平面8CFE；

⑵求平面CDF與平面AEF所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑵,

【分析】⑴由平面ABED，平面BCFE,若證直線AEJ_平面8CFE,只需AEL3E即可，在等腰梯形

口即中，根據(jù)邊和角的關(guān)系即可得到；

⑵由⑴的結(jié)論可證明根據(jù)線面垂直判定定理,和面面垂直判定定理即可證明平面

ASC1平面ABED,即可以3為原點建立合適空間直角坐標系，找出點的坐標，分別求出平面CDF

與平面A跖的法向量，求出法向量夾角的余弦值的絕對值即面面角的余弦值，根據(jù)同角的三角函

數(shù)的關(guān)系，即可得出正弦值.

【詳解】（1）證明:在等腰梯形ABE。中，

過E作￡0，四于點6,畫圖如下：

所以BG=；,4EG=30。且EG=0AG=；,

所以ZAEG=60,

即NAEB=90,

即

因為平面，平面BCFE,

平面AB￡Dc平面3CFE=BE,

AEu平面ABED,

AELBE,

所以平面8CFE;

（2）由⑴知AE，平面8CFE,

所以AELBC,

又因為BCLBA,

"■cBA=A,AEu平面ABED,BAu平面ABED,

所以平面A5EO,

因為BCu平面ABC,

所以平面ABC人平面ABED,

以B為原點，以BCM方向分別為無，，軸，過點B在平面ABED內(nèi)，做垂直于BA的線為z軸,建立如

則C（3,0,0）,/0。，#1,E\*，*],4（。，2,0）,

k227kZ27

由麗=揮可得尸（13科

所以8=「3怖,#]江=@,-1,0）,

研。，-1,用，防」|,。可,

設(shè)平面CDF與平面AEF的一個法向量分別為4=(4%,zj,%=(%，%，Z?),

所以“-CD=O

[4-DF=O

，373

-3%+5M+5Z1=0

即＜

3

5玉f=0

、乙

取為=2,可得4=(2,3，⑹

n-AE=0

由，2

〃2衣二0'

13y+走Z.0

2%+2Z2-U

可得

3

-=0

12

取=1,可得%=僅,1，3),

設(shè)平面CDP與平面A肝所成角為e,

所以"二〃1局?.=63

A/4+9+3-^+34

故sin8=.

4

故平面CDF與平面A肝所成角的正弦值為五.

4

16.如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面ABCD為直角梯形，平面尸CD,平面A8CD,ADLCD,

PDLAC.^.AB=1,CD=2,AD=42

p

⑴證明：PDLBC-

⑵若直線尸3與平面尸8所成角的正弦值為g,求點C到平面尸皿的距離.

【答案】（1）證明過程見解析；（2）半.

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進行證明即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間夾角公式和點到面距離公式進行求解即可.

【詳解】（1）因為平面尸CDJ■平面A8CD,交線為CD,

且平面ABCD中，AB1CD,

所以平面尸CD,

又BDu平面PCD,

所以如，剛,因為「。，4。，AB\AC=A,AB,ACABC,

所以平面ABC,而3Cu平面ABC,

所以PD_L3C；

（2）由（1）知，陽，平面ABC。且A。LCD,

所以ZM、DC、￡＞尸兩兩垂直

因此以。原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

z

p.

出cy

因為AB=1,CD=2,AD=也,設(shè)P￡>=a

所以0（0,0,0）,A（V2,0,0）,B（72,1,0）,C（0,2,0）,P（0,0,a）,

因為平面PCD，平面ABCD,交線為CD,且平面ABCD中，ADVCD,

所以AD,平面PCD,

所以AO為平面尸。的法向量且A。=卜0,0，。）,

PB=（g-a）,

因為直線PB與平面PCD所成角的正弦值為當

所以L叫2

解得:a=#）

"3|PB|.|AD|，2+1+/義垃

所以尸（0,0,6）,又網(wǎng)0,1,0）,C（0,2,0）,0（0,0,0）

平面3DP的法向量分別為：

弭?DB=6%]+%=0

所以令芯=一1,則）=（-1,衣0）,

nl-DP=y/3zl=0

PC=（0,2,->/3）,

設(shè)點C到平面尸5D的距離為d,

所以"=PcH8s〈尸,’公卜歸4^^=二二等=竽?

【綜合運用】

17.如圖，圓錐PO的高為3,48是底面圓。的直徑，PC,為圓錐的母線，四邊形ABC。是底面

圓。的內(nèi)接等腰梯形，且AB=2CD=2,點E在母線依上，且BE=2EP.

P

⑴證明：平面PfiD_L平面POC；

⑵求平面AEC與平面PAB的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）零

【分析】（1）連接可證出菱形03CD中OCJ_3D,結(jié)合可證出2平面POC,再

由平面與平面垂直判定定理即可證出平面PB￡>_L平面POC-

（2）取8中點以。為原點，OM,0B,。尸所在直線分別為x軸、>軸、z軸，建立空間

連接0。，由已知，CD//BO,且CD=3O=OD=1,

回四邊形03CD為菱形，回BDLOC,

在圓錐尸。中，回尸01平面ABCD,SDu平面ABCD,

0PO±BD.

回尸。OC=O,尸Ou平面POC,OCu平面POC,

回平面POC.

又回5￡>u平面PBD,

以。為原點，OM,OB,0P所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系，則4(0,—1,0),5(0,1,0),尸(0,0,3),C手，5,0,

I22J

^BE=2EP,回8￡=|8尸=才0,—1,3)=(0,—|,2),

哂。，則,

回M=10,*2),AC=^,1,0.

設(shè)平面AEC的一個法向量為"=(x,y,z).

4

孔AE-0—^+2z=0,

因為，’所以,[-,令y=3,則x=_3石，z=-2,

n?AC=0,v33

i——x+—y=0.

I22

回幾=(-36,3,—2j,

易知平面即平面yOz,回平面的一個法向量為根=(1,0,0),

設(shè)平面MC與平面RR的夾角為

nm百亞

貝cos0-|cos(九,m^|='_3_3

電“27+9+4x1-20

回平面AEC與平面PAB的夾角的余弦值為迎.

18.如圖，多面體ABCDEP中，ABCD是平行四邊形，A3回平面HIDE,DE^AD,PA±AD,

AB=DE=1,AD=PA=2,點下在棱上.

⑴求證：BF〃平面CDE；

⑵求二面角C-PE-A的余弦值；

⑶若點尸到平面PCE的距離為:，求線段AF的長.

【答案】⑴證明見解析；（2）彳；（3）不

［分析］（1）先得到AB〃平面CDE,R4〃平面CDE,證明出面面平行，從而證明BP//平面CDE-

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解二面角的余弦值;

(3)設(shè)廠(0,0,。，由點到平面距離公式列出方程，求出線段AF的長.

【詳解】(1)因為ABC。是平行四邊形，所以AB〃CD.

因為平面CDE,CDu平面CDE,

所以AB//平面CDE.

又因為在平面N宏中，DE.LAD,PA±AD,

所以￡>E〃外,

因為PA<Z平面CDE,DEu平面CDE,

所以叢〃平面CDE.

又因為PAu平面PAB,ABu平面PAAB=A,

所以平面248//平面CDE.

因為BFu平面R48,所以BP//平面CDE

（2）因為AB2平面所以AB_LAD,AB±AP,

又因為所以AD,AB,Bl兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-沖？,

則C（l,2,0）,尸（0,0,2）,磯0,2,1）,所以CE=（-1,0』），P￡=（0,2-1）.

n-CE=0,

設(shè)平面PEC的一個法向量為〃=(x,y,z),則，

n?PE=0,

—x+z=0,

即

2y-z=0.

令x=2,貝!Jy=l,z=2.于是〃=（2/,2）.

取平面的的法向量為m=（1,0,0）

m，n22

貝［Jcos（九〃

ImllnllxV4+1+43

由圖可知二面角C-尸E-A為銳角,

所以二面角C-PE-A的余弦值是1

（3）令線段他的長為八則尸（0.0j）,fe[0,2],所以CP=（-1,-2j）

因為點尸到平面尸CE的距離d=歸望邑/

\n\V4+1+43

所以"W，即四一4|=1,得或ug（舍），

所以線段"的長為;.

【拓廣探究】

19.四棱錐P-AfiCD,平面ABCD,底面ABCD是菱形，PA=AB,平面平面P3C.

⑴證明：AB0BC；

⑵設(shè)”為PC上的點，求PC與平面ABM所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明過程見解析；（2）當

【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直證明出線面垂直，得到A￡03C,結(jié)合RiaBC,得到線

面垂直，證明出303平面以3,AB0BC；

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦值的最大值.

【詳解】(1)如圖，過點A作AEHPB于點E,

因為平面叢平面P3C,交線為PB,且AEu平面以3,

所以AEH平面PBC,

因為BCu平面PBC,

所以AEHBC,

因為平面A3CD,BCu平面A3CD,

所以必回3C,

因為PAAE=A,PA,AEu平面

所以803平面PAB,

因為ABu平面PAB,

所以3CW3；

(2)因為底面A3CD是菱形，且

所以四邊形ABCD為正方形，

以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

設(shè)A3=l,則A(0,0,O),B(1,0,O),C(1,1,0),P(0,0,l),

AB=(l,0,0),CP=(-l,-l,l),

設(shè)CA/=2CP,0W"l,

則AM=AC+CM=AC+2CP=(l,l,0)+/(_L_l,l)=(l_；M_4；l),

設(shè)平面ABM的法向量為〃=(x,y,z),

n-AB=(尤,y,z)?(1,0,0)=x=0

n-AAf=(尤,y,—X,1_2,4)=(1—彳)元+(1—X)y+2z=0

解得：x=o,不妨令y=x,則z=2-i,

故〃=(o",x-1),

設(shè)PC與平面ABM所成角大小為e,

_______1

V3XV2A2-2A+1

最大值為sin0=

3

所以PC與平面3所成角的正弦值的最大值為，.

20.如圖，三棱柱ABC-ABC的所有棱長都為2,4c=",AB±BtC.

G

'B

A

⑴求證：平面A陽A回平面ABC；

⑵在棱2g上是否存在點尸，使直線CP與平面ACCM所成角的正弦值為之，若不存在，請說明

理由：若存在，求3尸的長.

【答案】⑴證明見詳解.

⑵在棱8月上存在點尸，使直線CP與平面ACCW所成角的正弦值為之,旅