《教無憂》2026屆高三高考總復習講義數(shù)學(人教a版)第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第5節(jié)古典概型、概率的基本性質(zhì)

第5節(jié)古典概型、概率的基本性質(zhì)課標要求1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件發(fā)生的概率.3.當直接求某一事件的概率較為復雜時,可轉(zhuǎn)化為求幾個互斥事件的概率之和或其對立事件的概率.【知識梳理】1.古典概型(1)兩個特征有限性(2)計算公式設試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則定義事件A的概率P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).2.概率的性質(zhì)性質(zhì)1:對任意的事件A,都有0≤P(A)≤1;性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0;性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B);性質(zhì)5:如果A?B,那么P(A)≤P(B),由該性質(zhì)可得,對于任意事件A,因為??A?Ω,所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6:設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).[常用結(jié)論與微點提醒]互斥事件概率加法公式的推廣:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其樣本點是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.()(2)“在區(qū)間[-3,2]上任取一個數(shù),求它取自[-3,0]的概率屬于古典概型.()(3)不可能事件發(fā)生的概率為0,必然事件發(fā)生的概率為1.()(4)若P(A)+P(B)=1,則A,B互相對立.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析對于(1),兩個樣本點是“發(fā)芽”與“發(fā)不發(fā)芽”,因在適宜條件下,所以一定發(fā)芽,樣本點不具備等可能性;對于(2),樣本空間是無限的,故都不屬于古典概型;(4)P(A)+P(B)=1時,A,B不一定對立,如擲骰子一次A為“擲出偶數(shù)點”,B為“擲出點數(shù)不大于3”,P(A)+P(B)=1,但A,B不對立.2.(蘇教必修二P283T1原題)某班準備到郊外野營,為此向商店訂了帳篷,如果下雨與不下雨是等可能的,能否準時收到帳篷也是等可能的,只要帳篷如期運到,他們就不會淋雨,那么下列說法中正確的是()A.一定不會淋雨 B.淋雨機會為3C.淋雨機會為12 D.淋雨機會為答案D解析樣本點為“下雨帳篷到”、“不下雨帳篷到”、“下雨帳篷未到”、“不下雨帳篷未到”是等可能的,而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨,故淋雨機會為143.(湘教必修二P224例5改編)從1,2,3,…,30中任意選一個數(shù),則這個數(shù)是偶數(shù)或能被3整除的概率為()A.16 B.1C.12 D.答案D解析設A=“選到偶數(shù)”,B=“選到能被3整除的數(shù)”,則P(A)=1530=1P(B)=1030=1P(AB)=530=1則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=234.(人教A必修二P245練習T1改編)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3且B?A,則P(A∪B)=,P(AB)=.

答案0.50.3解析P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3.考點一古典概型例1(1)(2024·全國甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,則丙不在排頭,且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.C.12 D.答案B解析法一畫出樹狀圖:甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24種排法,其中丙不在排頭,且甲或乙在排尾的排法共有8種,所以所求概率為824=13,法二甲、乙、丙、丁四人排成一列共有A44=24其中甲或乙在排尾有C21·A3而丙在排頭且甲或乙在排尾有C21A故丙不在排頭且甲或乙在排尾有12-4=8種排法,故由古典概型所求概率為824=1(2)(2024·東莞調(diào)研)甲、乙、丙、丁四人在足球訓練中進行傳球訓練,從甲開始傳球,甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個人,以此類推,則經(jīng)過3次傳球后乙恰好接到1次球的概率為()A.1427 B.C.1627 D.答案C解析按接球人分類:①不含甲,三人時,乙丙丁,乙丁丙,丙乙丁,丙丁乙,丁乙丙,丁丙乙,共6種;兩人時,乙丙乙,丙乙丙,乙丁乙,丁乙丁,丁丙丁,丙丁丙,共6種;②含甲,乙甲乙,丙甲丙,丁甲丁,乙丙甲,乙甲丙,乙丁甲,乙甲丁,丙乙甲,丙甲乙,丁乙甲,丁甲乙,丙丁甲,丙甲丁,丁甲丙,丁丙甲,共15種,故共計27種.其中乙恰好接到1次球的情況有16種,所以所求概率為1627思維建模求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法(1)枚舉法:適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題,注意在確定樣本點時(x,y)可看成是有序的,如(1,2)與(2,1)不同;有時也可看成是無序的,如(1,2)與(2,1)相同.(3)排列組合法:在求一些較復雜的樣本點個數(shù)時,可利用排列或組合的知識.訓練1(1)(2025·1月八省聯(lián)考)有8張卡片,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8.現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.

答案3解析根據(jù)題意,8張卡片上的所有數(shù)字之和為36,所以抽取的3張卡片上的數(shù)字之和為18,只有三種情況:3+7+8,4+6+8,5+6+7,所以所求概率為p=3C83(2)(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標有一個數(shù)字,甲的卡片上分別標有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,8.兩人進行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為.

答案1解析因為甲出卡片1一定輸,出其他卡片有可能贏,所以四輪比賽后,甲的總得分最多為3.若甲的總得分為3,則甲出卡片3,5,7時都贏,所以只有1種組合:3-2,5-4,7-6,1-8.若甲的總得分為2,有以下三類情況:第一類,當甲出卡片3和5時贏,只有1種組合,為3-2,5-4,1-6,7-8;第二類,當甲出卡片3和7時贏,有3-2,7-4,1-6,5-8或3-2,7-4,1-8,5-6或3-2,7-6,1-4,5-8,共3種組合;第三類,當甲出卡片5和7時贏,有5-2,7-4,1-6,3-8或5-2,7-4,1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6,1-8,3-4或5-4,7-6,1-2,3-8,共7種組合.綜上,甲的總得分不小于2共有12種組合,而所有不同的組合共有4×3×2×1=24(種),所以甲的總得分不小于2的概率P=1224=1考點二概率基本性質(zhì)的應用例2從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里,遇到紅燈個數(shù)的概率如表所示:紅燈個數(shù)0123456個及6個以上概率0.020.1a0.350.20.10.03求:(1)表中字母a的值;(2)至少遇到4個紅燈的概率;(3)至多遇到5個紅燈的概率.解(1)由題意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.(2)設事件A為“遇到紅燈的個數(shù)為4”,事件B為“遇到紅燈的個數(shù)為5”,事件C為“遇到紅燈的個數(shù)為6個及6個以上”,則事件“至少遇到4個紅燈”為A∪B∪C,因為事件A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4個紅燈的概率為0.33.(3)設事件D為“遇到6個及6個以上紅燈”,則“至多遇到5個紅燈”為事件D.則P(D)=1-P(D)=1-0.03=0.97.思維建模復雜事件概率的求解方法(1)對于一個較復雜的事件,一般將其分解成幾個簡單的事件,當這些事件彼此互斥時,原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和.(2)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時,常?？紤]其對立事件,通過求其對立事件的概率,然后轉(zhuǎn)化為所求問題.訓練2(1)(2025·濟南質(zhì)檢)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗中,事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”,則在一次試驗中,事件A∪B發(fā)生的概率為()A.13 B.1C.23 D.答案C解析擲一枚骰子的試驗有6種等可能的結(jié)果,依題意知P(A)=26=13,P(B)=46所以P(B)=1-P(B)=1-23=1因為B表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件,所以事件A與B互斥,從而P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+13=(2)(多選)已知事件A,B發(fā)生的概率分別為P(A)=13,P(B)=16,則(A.P(A)=2B.13≤P(A+B)≤C.若A與B互斥,則P(A∪B)=4D.一定有B?A答案AB解析對于A,因為P(A)=13所以P(A)=1-P(A)=1-13=23,故A對于B,因為P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=12-P(AB)又0≤P(AB)≤P(A),且0≤P(AB)≤P(B),則0≤P(AB)≤16,所以13≤12-P(AB)即13≤P(A+B)≤12,故B對于C,因為A與B互斥,所以P(AB)=0,由B項知P(A∪B)=12≠49,故C對于D,記事件A=“拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)小于3”,事件B=“拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為4”,則滿足P(A)=13,P(B)=1但B?A不成立,故D錯誤.考點三古典概型的綜合應用例3(2025·黑龍江聯(lián)考)2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會為廣大觀眾獻上了一場精彩紛呈的文化盛宴.某中學寒假社會勞動與實踐活動小組對某市市民發(fā)放了3000份問卷,調(diào)查市民對春節(jié)聯(lián)歡晚會的滿意度情況,從收回的問卷中隨機抽取300份進行分析,其中女性與男性市民的人數(shù)之比為1∶1,統(tǒng)計結(jié)果如表所示:女性男性合計滿意120不滿足60合計用樣本估計總體,將頻率視為概率.(1)完成2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,判斷能否認為市民對春節(jié)聯(lián)歡晚會的滿意度情況與性別有關(guān)系;(2)分別估計該市女性與男性市民對春節(jié)聯(lián)歡晚會滿意的概率;(3)在該市對春節(jié)聯(lián)歡晚會滿意的市民中按性別以分層隨機抽樣的方式抽取7人,再從這7人中隨機抽取2人進行電話采訪,求恰好有1男1女被電話采訪的概率.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(α0.100.050.01xα2.7063.8416.635解(1)依題意得2×2列聯(lián)表:女性男性合計滿意12090210不滿足306090合計150150300所以χ2=300×(120×60-30×90)2對照臨界值表知,依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,認為市民對春節(jié)聯(lián)歡晚會的滿意度情況與性別有關(guān)系.(2)由(1)得該市女性市民對春節(jié)聯(lián)歡晚會滿意的概率p1=120150=4男性市民對春節(jié)聯(lián)歡晚會滿意的概率p2=90150=3(3)根據(jù)2×2列聯(lián)表可得這7人中男性市民有3人,女性市民有4人,再從這7人中隨機抽取2人,樣本點的個數(shù)為C72設事件M為“恰好有1男1女被電話采訪”,則事件M包含的樣本點的個數(shù)為C31故所求概率P(M)=1221=4思維建模有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型.概率與統(tǒng)計的結(jié)合題,無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息,準確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}.訓練3某城市100戶居民的月平均用電量(單位:千瓦時)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值;(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);(3)在月平均用電量為[240,260),[260,280),[280,300]的三組用戶中,用分層隨機抽樣的方法抽取6戶居民,并從抽取的6戶中任選2戶參加一個訪談節(jié)目,求參加節(jié)目的2戶來自不同組的概率.解(1)由(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x+0.0050+0.0025)×20=1得x=0.0075,所以直方圖中x的值是0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是220+2402因為(0.0020+0.0095+0.0110)×20=0.45<0.5,且(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125)×20=0.7>0.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi),設中位數(shù)為a,由(0.0020+0.0095+0.0110)×20+0.0125×(a-220)=0.5,解得a=224,所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075×20×100=15(戶),月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005×20×100=10(戶),月平均用電量在[280,300]的用戶有0.0025×20×100=5(戶).所以在[240,260),[260,280),[280,300]中分別抽取3戶、2戶和1戶.設參加節(jié)目的2戶來自不同組為事件A,則P(A)=C31C2一、單選題1.下列試驗是古典概型的是()A.在區(qū)間[-1,5]上任取一個數(shù)x,使x2-3x+2>0B.拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子,向上點數(shù)為6點的概率C.向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點,該點落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學生中任選兩人做典型發(fā)言,甲被選中的概率答案D解析A中,在區(qū)間[-1,5]內(nèi)的數(shù)有無限多個,不滿足有限性;B中,骰子不均勻,不能保證等可能性;C中,圓面內(nèi)的點有無限多個,不滿足有限性;D中,老師從甲、乙、丙三名學生中任選兩人的事件有限,甲、乙、丙被選中的概率是等可能的.2.(2025·濟南模擬)某公司現(xiàn)有員工120人,在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的85人中,有75人是高級工程師,既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人,公司將隨機選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪,被選中的員工是高級工程師的概率為()A.38 B.17C.45 D.答案C解析由題知公司有120人,榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的有85人,則未榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的35人中有35-14=21(人)是高級工程師,所以高級工程師共有75+21=96(人),所以被選中的員工是高級工程師的概率為p=96120=43.(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()A.16 B.C.12 D.答案D解析從7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),共有C72=21(種)取法,取得的2個數(shù)互質(zhì)的情況有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14種,根據(jù)古典概型的概率公式,得這2個數(shù)互質(zhì)的概率為1421=24.從某班學生中任意找出一人,如果該同學的身高小于160cm的概率為0.2,該同學的身高在[160,175](單位:cm)內(nèi)的概率為0.5,那么該同學的身高超過175cm的概率為()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8答案B解析由題意知該同學的身高小于160cm的概率、該同學的身高在[160,175](單位:cm)內(nèi)的概率和該同學的身高超過175cm的概率和為1,故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.5.(2023·全國甲卷)某校文藝部有4名學生,其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學生來自不同年級的概率為()A.16 B.1C.12 D.答案D解析記高一年級2名學生分別為a1,a2,高二年級2名學生分別為b1,b2,則從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演的基本事件有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6個,其中這2名學生來自不同年級的基本事件有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4個,所以這2名學生來自不同年級的概率p=46=26.(2025·南京模擬)有5個形狀大小相同的球,其中3個紅色、2個藍色,從中一次性隨機取2個球,則下列說法正確的是()A.“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球”是互斥事件B.“恰好取到1個紅球”與“至多取到1個藍球”是互斥事件C.“至少取到1個紅球”的概率大于“至少取到1個藍球”的概率D.“至多取到1個紅球”的概率大于“至多取到1個藍球”的概率答案C解析對于A,B,兩事件能同時發(fā)生,不是互斥事件,A,B錯誤;對于C,“至少取到1個紅球”的概率p=C32+C31Cp=C22+C31對于D,“至多取到1個紅球”的概率p=C22+C31C21C52=0.7,“至多取到17.已知二項式2x+1xn(n∈N*)的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大,現(xiàn)從展開式中任取2項A.27 B.3C.14 D.答案A解析因為二項式的展開式中只有第4項的二次項系數(shù)最大,所以展開式的總項數(shù)為7項,故n=6,Tr+1=C6r(2x)6-r1xr=C6r當r=0,2,4,6時,通項為有理項,故所求概率為p=C42C8.整數(shù)集就像一片浩瀚無邊的海洋,充滿了無盡的奧秘.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)220和284具有如下性質(zhì):220的所有真因數(shù)(不包括本身的因數(shù))之和恰好等于284,同時284的所有真因數(shù)之和也等于220,他把具有這種性質(zhì)的兩個整數(shù)叫做一對“親和數(shù)”,“親和數(shù)”的發(fā)現(xiàn)掀起了無數(shù)數(shù)學愛好者的研究熱潮.已知220和284,1184和1210,2924和2620是3對“親和數(shù)”,把這六個數(shù)隨機分成兩組,一組2個數(shù),另一組4個數(shù),則220和284在同一組的概率為()A.115 B.2C.715 D.答案C解析由題意可得一共有C62種分組方法,若要滿足220和284在同一組,①220和284在2個數(shù)這一組中,有C22②220和284在4個數(shù)這一組中,有C42種分組方法.故所求概率p=C2二、多選題9.(2025·南陽模擬)若隨機事件A,B互斥,A,B發(fā)生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,則實數(shù)a的值可以是()A.1312 B.5C.43 D.答案CD解析由題意可知0<即0<2-a<1,解得54<a≤410.(2025·衡水調(diào)研)中國籃球職業(yè)聯(lián)賽中,某男籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如表:投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該運動員在一次投籃中,投中兩分球為事件A,投中三分球為事件B,沒投中為事件C,用頻率估計概率的方法,得到的下述結(jié)論中,正確的是()A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27 D.P(B∪C)=0.55答案ABC解析由題意可知P(A)=55100=0.55P(B)=18100=0.18∵事件A∪B為事件C的對立事件,且事件A,B,C兩兩互斥,∴P(C)=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)=0.27,∴P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.45.11.(2025·西安調(diào)研)黃種人群中各種血型的人所占的比例如表:血型ABABO該血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同種血型的人可以互相輸血,O型血的人可以給任何一種血型的人輸血,任何血型的人都可以給AB型血的人輸血,其他不同血型的人不能互相輸血,則()A.任找一個人,其可以給B型血的人輸血的概率是0.64B.任找一個人,B型血的人能給其輸血的概率是0.29C.任找一個人,其可以給O型血的人輸血的概率為1D.任找一個人,其可以給AB型血的人輸血的概率為1答案AD解析因為B型血、O型血的人可以給B型血的人輸血,所以可以給B型血的人輸血的概率為0.29+0.35=0.64,故A正確;B型血的人能給B型血、AB型血的人輸血,其概率為0.29+0.08=0.37,故B錯誤;O型血的人只能接受O型血的人輸血,故C錯誤;由任何血型的人都可以給AB型血的人輸血,知D正確.三、填空題12.(2022·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為.

答案6解析從正方體的8個頂點中任取4個,有n=C84=704個點同一平面的有6+6=12個結(jié)果(共表面、與共對角面各6個),故p=1270=613.由于夏季炎熱,某小區(qū)用電量過大,據(jù)統(tǒng)計,一天停電的概率為0.3,現(xiàn)在用數(shù)據(jù)0,1,2表示當天停電;用3,4,5,6,7,8,9表示當天不停電,現(xiàn)以兩個隨機數(shù)為一組,表示連續(xù)兩天停電情況,經(jīng)隨機模擬得到以下30組數(shù)據(jù).282179145674068953901457623093786344712867035382472310940243根據(jù)以上模擬數(shù)據(jù)估計連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為.

答案0.4解析由題意可知連續(xù)兩天中恰有一天停電的情況有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23,共12種,所以連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為123014.(2024·全國甲卷)有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中無放回地隨機取3次,每次取1個球,設m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值,n為取出的三個球上數(shù)字的平均值,則m與n之差的絕對值不大于12的概率為.答案7解析設3次取出的球上的數(shù)字依次為a,b,c,則共有A63=120則|m-n|=a+b2-a可得|a+b-2c|≤3.令(a',b',c')=(7-a,7-b,7-c),則|a'+b'-2c'|=|a+b-2c|,由對稱性只須考慮c=1,2,3的情形,再由對稱性,不妨設a<b,則:(1)c=1?1<a+b≤5?(a,b)=(2,3);(2)c=2?1<a+b≤7?a=1,b=3,4,5,6或(a,b)=(3,4);(3)c=3?3≤a+b≤9?(a,b)=(1,2),(4,5)或a=1,2,b=4,5,6.故共有(1+5+8)×2×2=56(種)可能情況,故所求概率p=56120=7四、解答題15.某中學組織了一次數(shù)學