2025年北師版數(shù)學九年級下冊專項復習：垂徑定理

第3章圓3垂徑定理

一、選擇題

1、如圖，已知。。的直徑力6,弦。于點E,下列結論中一定正確的是（）

A.AE=OEB.CE=DEC..OE=-CED.N/OU60。

答案：B

解析：解答：根據(jù)O。的直徑?弦8于點E

：.CE=DE.

故選B.

分析：根據(jù)直徑，旦L弦。于點E,由垂徑定理求出，CE=DE,即可得出答案.

2、。0的一條弦長AB=12cm,直徑CDLAB千E,則Z廠的長為（）

A.12cmB.6cmC.7cmD.8cm

答案：B

解析：解答：如圖：

。是直徑，CD±AB,/6=12cm,

AE=—AB=^cr（\（垂徑定理）.

2

故選B.

分析：根據(jù)垂徑定理解答即可，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.

3、如圖，在。0中，弦的長為8cm,圓心0到的距離為3cm,則。0的直徑為（）

A.5cmB.10cmC.6cmD.14cm

答案：B

解析：解答：如圖，

過0作直徑CDLAB于E,連接OA,

則g3cm,AE=BE=—AB=4cm,

一2

在RtA/EO中，由勾股定理得：OA=vOE;+AE:=、恭不手=5（cm）,

則直徑8=20/=10cm,

故選B.

分析：過0作直徑于E,連接0Z,則g3cm,AE=BE=—/B=4cm,在RtA/EO中，由勾股定

2

理求出0/,即可得出答案.

4、如圖，已知。。弦46的長6cm,OC±AB,0C=4cm,則。。的半徑為（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

答案：B

解析：解答：如圖：

連接0/.

OC±AB,/6=6cm,

AC=BC=-AB=3cm（垂徑定理）；

2

在RtAA0C中,根據(jù)勾股定理知，AO：=0C：+AC：,

.?.0A;=16+9=25,

Q4=5cm.

故選B.

分析：連接儀構建RtAAOC,然后在RtAZOC中利用勾股定理求O。的半徑OA的長即可.

5、如圖，已知。。的半徑為13,弦長為24,則點。到/夕的距離是（)

A.6B.5C.4D.3

解析：解答：如圖：

???。。過圓心。，，8=24,

AC=BC=-AB=12,

2

在RtAZOC中，由勾股定理得：0C=vAO2-AC*=\13:-12:=5.

故選：B.

分析：過。作OJAB于C,根據(jù)垂徑定理求出AC.根據(jù)勾股定理求出即可.

6、如圖，O。的半徑為2,弦Z81。。于則。。等于（）

A.2\2B.v3C.1D.2-y3

A

答案：C

解析：解答:AB±OC,AB=2yj3,

1.

:.AC=BC=]AB=3；

又二O0的半徑為2,

OB=2,

：.在RtABOC中,g\0B二一BC：=1;

故選C.

分析：利用垂徑定理求得RtA6。。的直角邊6c的長度，然后利用勾股定理可以求得的長度.

7、如圖，Z6是O。的弦，ODLAB于口，若47=10,OD=6,則的長為（）

A.8B.16C.18D.20

解析：解答：：:是。。的弦，ODLAB于D,

=/。=加=』/6（垂徑定理），

2

:.AB=2AD,

在RtA中,ODVAB=^D,若/CM0,0g6,

心\AO：-OD、=vlO:-62=8（勾股定理）；

：.AB=16.

故選B.

分析：先根據(jù)勾股定理求出力。的長，再根據(jù)垂徑定理求出46的長.

8、如圖，46是O。的直徑，弦于點&連接0C,若0G=5,68,則tanzCOE=（）

434

AB.-C.一D.

-i54

答案：D

解析：解答：:Z6是。。的直徑,弦CZU/I6于點E,CD=8,

：舊工。=4（垂徑定理）；

2

在RtA0"中：0c=5,CE=4,

：g3（勾股定理）.

CE4

tan/COE=----——

0E3

故選D.

分析：先由垂徑定理求得CE=4,然后在直角三角形OCE中，根據(jù)勾股定理求得0E,再根據(jù)三角函數(shù)的定

義求解.

9、已知O。的半徑為15,弦AB的長為18,點P在弦AB上且0P=13,則AP的長為（）

A.4B.14C.4或14D.6或14

答案：C

解析：解答：如圖：

作OCLAB于點C,

1

AC=—AB=9,

2

0C=yOA*-AC-=12,又OP=13,

?PC=、OP：-oc：=5,

當點P在線段AC上時,AP=9-5=4,

當點P在線段BC上時,AP=9+5=14.

故選：C.

分析：作OC,AB于點C,根據(jù)垂徑定理求出OC的長,根據(jù)勾股定理求出PC的長，分當點P在線段AC上

和當點P在線段BC上兩種情況計算即可.

10、如圖，OO的直徑為10,圓心0到弦AB的距離OM的長為4,則弦AB的長是()

A.3B.6C.4D.8

答案：B

解析：解答：如圖：

連接OA,

。0的直徑為10,

.OA=5,

V圓心0至I」弦AB的距離OM的長為4,

由垂徑定理知，點M是AB的中點，AM=-AB,

2

由勾股定理可得，AM=3,所以AB=6.

故選B.

分析：先根據(jù)垂徑定理求出AM=《AB,再根據(jù)勾股定理求出AD的值.

2

11、如圖，。。過點B、C,圓心0在等腰RtAABC的內部，zBAC=90°,OA=1,BC=6.則。0的半徑為

()

A.6B.13C.\T3D.2.13

答案：C

解析：解答：如圖：

過點A作等腰直角三角形BC邊上的高AD,垂足為D,

所以點D也為BC的中點.

根據(jù)垂徑定理可知0D垂直于BC.所以點A、0、D共線.

。0過B、C,

:。在BC的垂直平分線上，

AB=AC,圓心0在等腰RtAABC的內部,

AD±BC,BD=DC=3,A0平分NBAC,

???ZBAC=90°,

ZADB=90°,ZBAD=45°,

ZBAD=zABD=45°,

AD=BD=3,

OD=3-1=2,

由勾股定理得：0B=\DO：-BD：=13.

故選C.

分析：延長AO交BC于D,接OB,根據(jù)AB=AC,0是等腰RtAABC的內心，推出AD±BC,BD=DC=3,

AO平分zBAC,求出NBAD=NABD=45°,AD=BD=3,由勾月殳定理求出OB即可.

12、坐標網(wǎng)格中一段圓弧經(jīng)過點A、B、C,其中點B的坐標為(4,3)，點C坐標為(6,1),則該圓弧

所在圓的圓心坐標為()

A.(0,0)B.(2,-1)C.(0,1)D.(2,1)

答案：B

解析：解答：如圖：

連接AB、BC,分別作AB和BC的垂直平分線DM、EF,兩線交于M,則M為弧所在的圓的圓心，，

,?點B的坐標為（4,3）,點C坐標為（6,1）,

二A的坐標是（0,3,）,

?-.M點的橫坐標是2,設M的縱坐標為a,

M在AB與BC的垂直平分線的交點，

MA=MB=MC,

即M的坐標是（2,-1）,

故選B.

分析：根據(jù)題意找出圓心M的位置，得出M在AB和BC的垂直平分線的交點上，求出A的坐標，求出M的

橫坐標，根據(jù)AM=BM,根據(jù)勾股定理求出AM和BM,即可得出方程，求出方程的解即可.

13、已知O0的直徑20,OP長為8,則過P的弦中,弦長為整數(shù)的弦共有（）條.

A.1B.9C.17D.16

答案：D

解析：解答：如圖，

AB是直徑，OA=10,0P=8,過點P作CD±AB,交圓于點C,D兩點.

由垂徑定理知，點P是CD的中點，

PC=4,

在直角三角形OPC中，由勾股定理求得，PC=6,

CD=12,則CD是過點P最短的弦長為12；AB是過P最長的弦，長為20.

故過點P的弦的長度都在12~20之間；

因此弦長為12,13,14,15,16,17,18,19,20；

當弦長為12、20時，過P點的弦分別為弦CD和過P點的直徑，分別有一條；

當弦長為13,14,15,16,17,18,19時，根據(jù)圓的對稱性知，符合條件的弦應該有兩條；

故弦長為整數(shù)的弦共有16條.

分析：求出過P點的弦的長度的取值范圍，取特殊解，根據(jù)對稱性綜合求解.

14、如圖所示,圓0的弦AB垂直平分半徑OC,則四邊形OACB()

A.是正方形B.是長方形C.是菱形D.以上答案都不對

答案：C

解析：解答：因為圓0的弦AB垂直平分半徑OC,

由垂徑定理可知，半徑OC垂直平分AB，即OC與AB互相垂直平分,所以四邊形OACB是菱形.

故選C.

分析：根據(jù)垂徑定理和特殊四邊形的判定方法求解.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

15、圓的半徑為13cm,兩弦:ABHCD,AB=24cm,CD=10cm,則兩弦AB、CD的距離是()

A.7cmB.17cmC.12cmD.7cm或17cm

答案：D

解析：解答：如圖：

第一種情況：兩弦在圓心的一側時，已知CD=10cm,

DE=5cm.

???圓的半徑為13cm

0D=13cm,

利用勾股定理可得：0E=12cm.

同理可求0F=5cm,

/.EF=OE-OF=12-5=7cm.

第二種情況：只是EF=0E+0F=17cm.其它和第一種一樣.

故選D.

分析：此題可以分兩種情況，即兩弦在圓心的一側時和在兩側時，所以此題的答案有兩個.

二、填空題

16、如圖,AB是。。的直徑，CD為。。的一條弦，CD_LAB于點E,已知CD=4,AE=1,則。。的半徑為

c.

答案：2.5

解析：解答：連接0C,如圖所示：

AB是OO的直徑，CD±AB,

CE=XCD=2,ZOEC=90°,

2

設OC=OA=x,則OE=x-l,

根據(jù)勾股定理得：CE：+OE:=OC;,

即22+01）2=/

解得:x=2.5;

故答案為：2.5.

分析：連接0C,由垂徑定理得出CE=?CD=2,設OC=OA=x,則OE=x-l,由勾股定理得出方程

解方程

2

即可.

17、如圖，O0的直徑AB=12,弦CD±AB于M,且M是半徑0B的中點，則CD的長

是____（結果保留根號）.

答案：

解析：解答：連。c,如圖,

直徑AB=12,M是半徑0B的中點，

二.0C=6,0M=3,

在RtAOCM中，CM=v0C；_0M：_v6：_3：3、口,

CD±AB,

1

CM=-CD,

2

CD=2CM=6,3.

故答案為

6V,3-.

分析：連OC,易得0C=6,0M=3，根據(jù)勾股定理可計算出CM=3-,由于CD^AB，根據(jù)垂徑定理得到

Vu

CM=[cD,即可計算出CD的長.

2

18、如圖，。0的半徑為5,弦AB的長為8,M是弦AB上的動點，則線段0M長的最小值為

答案：3

解析：解答：如圖：

過。作OM_LAB于M,此時線段0M的長最短，連接0A,

.,0M過0,OM±AB,

AM=—AB=—x8=4,

22

在RtAAMO中，由勾股定理得：OM=\o與一二M：=、釬；=3,

故答案為：3.

分析：過。作OMLAB于M,此時線段0M的長最短，連接0A,根據(jù)垂徑定理求出AM,根據(jù)勾股定理求

出0M即可.

19、半徑等于12的圓中，垂直平分半徑的弦長為.

答案：123

解析：解答：如圖，

OD=CD=6,

???由勾股定理得AD=6m,

由垂徑定理得AB=12、我，

vQ

故答案為：12.-.

分析：先畫圖，根據(jù)題意得OD=CD=6,再由勾股定理得AD的長，最后由垂徑定理得出弦AB的長即可.

20、如圖，AB是O0的直徑CD是弦，若AB=10cm,CD=8cm,那么A、B兩點到直線CD的距離之和為

答案：6cm

解析：解答：過。作OG±CD于G,連接0C,如圖所示，

OG±CD,CD=8cm,

G為CD的中點，即CG=DG=4cm,

在RtAOCG中，OC=12AB=5cm,CG=4cm,

根據(jù)勾股定理得：OG=10c，CG：=3cm，

又AELEF,OG±EF,BF±EF,

.AEIIOGIIBF，又。為AB的中點，

G為EF的中點,即OG為梯形AEFB的中位線,

1

OG=-(AE+BF),

2

貝!]AE+BF=2OG=6cm.

故答案為：6cm.

分析：過0作OG垂直于CD于G,由垂徑定理得到G為CD的中點，連接OC,在直角三角形OCG中，由

OC與CG的長求出OG的長,再由AE、OG、BF都與EF垂直，得到三線平行，而。為AB的中點，利用平

行線等分線段定理得到G為EF的中點，利用梯形中位線定理得到AE+BF=2OG,求出即可.

21、已知：如圖,AB是。0的直徑，CD是。。的弦，fiAB±CD,垂足為E,連接0C,0C=5,CD=8,求

BE的長.

答案：2

解析：解答：：.?AB為直徑,AB±CD,

1

CE=DE=-CD=4,

2

在RtACOE中,0E=.0C:,

BE=OB-OE=5-3=2,

故BE=2.

分析：由于ABLCD,而AB是直徑，根據(jù)垂徑定理易求CE,再根據(jù)勾股定理可求CE,進而可求BE.

22、如圖，O0直徑AB和弦CD相交于點E,AE=2,EB=6,ZDEB=30°,求弦CD長.

解析：解答：如圖：

過。作OFJ_CD,交CD于點F,連接OD,

??.F為CD的中點,即CF=DF,

■/AE=2,EB=6,

/.AB=AE+EB=2+6=8,

OA=4,

OE=OA-AE=4-2=2,

在RtAOEF中，NDEB=30°,

1

OF=-OE=1,

2

在RtAODF中，OF=1,0D=4,

根據(jù)勾股定理得：DF=,QQ2-op：=\五，

則CD=2DF=2、正.

分析：過。作OF垂直于CD,連接0D,利用垂徑定理得到F為CD的中點，由AE+EB求出直徑AB的長，

進而確定出半徑0A與0D的長,由OA-AE求出0E的長，在直角三角形OEF中，利用30。所對的直角邊等

于斜邊的一半求出OF的長，在直角三角形ODF中,利用勾股定理求出DF的長,由CD=2DF即可求出CD

的長.

23、已知在以點0為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C,