【江蘇省期末真題匯編】熱點(diǎn)題型分類(lèi)突破：解答題（含解析）數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)蘇科版

【江蘇省期末真題匯編】熱點(diǎn)題型分類(lèi)突破：解答題數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)蘇科版1．（2024秋?惠山區(qū)期末）為了解八年級(jí)學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間的情況、從全區(qū)八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生每天完成課外作業(yè)的時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下圖表：時(shí)間x（小時(shí)）頻數(shù)y（人數(shù)）頻率0≤x≤0.580.20.5＜x≤1c0.31＜x≤1.5120.31.5＜x≤26b2＜x≤2.520.05合計(jì)a1（1）表中a，b所表示的數(shù)分別為a＝，b＝；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）根據(jù)規(guī)定，學(xué)生每天完成課外作業(yè)的時(shí)間不超過(guò)1.5小時(shí)，那么全區(qū)4800名八年級(jí)學(xué)生中每天完成課外作業(yè)時(shí)間超過(guò)規(guī)定的學(xué)生約有多少人？2．（2024秋?興化市期末）有甲、乙兩只不透明的袋子，每只袋子中裝有紅球和黃球若干，各袋中所裝球的總個(gè)數(shù)相同，這些球除顏色外都相同．實(shí)踐組用甲袋、創(chuàng)新組用乙袋各自做摸球試驗(yàn)：兩人一組，一人從袋中任意摸出1個(gè)球，另一人記下顏色后將球放回并攪勻，各組連續(xù)做這樣的試驗(yàn)，將記錄的數(shù)據(jù)繪制成如下兩種條形統(tǒng)計(jì)圖：（1）圖能更好地反各組試驗(yàn)的總次數(shù)，圖能更好地反映各組試驗(yàn)摸到紅球的頻數(shù)（填“A”或“B”）；（2）求實(shí)踐組摸到黃球的頻率；（3）實(shí)踐組摸到黃球的頻率創(chuàng)新組摸到黃球的頻率（填“大于”、“小于”或“等于”）．3．（2024春?響水縣期末）每年的6月5日是“世界環(huán)境日”．某中學(xué)“環(huán)保小衛(wèi)士”研學(xué)小組對(duì)周邊小區(qū)部分居民開(kāi)展了以“愛(ài)護(hù)環(huán)境，從我做起”為主題的問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查內(nèi)容如下：A：能將垃圾放到規(guī)定地點(diǎn)，并會(huì)考慮垃圾分類(lèi)；B：能將垃圾放到規(guī)定地點(diǎn)，但不會(huì)考慮垃圾分類(lèi)；C：基本能將垃圾放到規(guī)定地點(diǎn)，偶爾會(huì)亂扔垃圾；每人都選且只選一項(xiàng)，研學(xué)小組將調(diào)查結(jié)果制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）研學(xué)小組一共調(diào)查了人；請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中C對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；（3）如果你是“環(huán)保小衛(wèi)士”，請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，談?wù)勀愕南敕ǎ?．（2024秋?寶應(yīng)縣期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個(gè)除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．如表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5996b295480601摸到白球的頻率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝，b＝；（2）“摸到白球的”的概率的估計(jì)值是（精確到0.1）；（3）如果袋中有12個(gè)白球，那么袋中除了白球外，還有多少個(gè)其它顏色的球？5．（2024春?廣陵區(qū)期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1000200030005000800010000摸到黑球的次數(shù)m65011801890310048206013摸到黑球的頻率m0.650.590.630.620.60250.6013（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)接近（精確到0.1）；（2）試估計(jì)袋子中有黑球個(gè)；（3）若學(xué)習(xí)小組通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果，想使得在這個(gè)不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為50%，則可以在袋子中增加相同的白球個(gè)或減少黑球個(gè)．6．（2024春?姑蘇區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊上的中線(xiàn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接CF．（1）求證：BD＝AF；（2）判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．7．（2023春?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AF、CD．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）當(dāng)ABAC=時(shí)，四邊形8．（2024春?邗江區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，∠ABD的平分線(xiàn)BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線(xiàn)DF交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝DB，求證：四邊形DFBE是矩形．9．（2023春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，?ABCD對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且DE＝OC，連接CE，OE，OE＝CD．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的長(zhǎng)．10．（2024秋?如東縣期末）【追本溯源】題（1）來(lái)自于課本中的習(xí)題，請(qǐng)你完成解答，提煉方法并完成題（2）．（1）如圖1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB＝AD．【方法應(yīng)用】（2）如圖2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的長(zhǎng)．11．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)期末）隨著人們“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識(shí)的增強(qiáng)，越來(lái)越多的人喜歡騎自行車(chē)出行，也給自行車(chē)商家?guī)?lái)商機(jī)．某自行車(chē)行經(jīng)營(yíng)的A型自行車(chē)去年銷(xiāo)售總額為8萬(wàn)元．今年該型自行車(chē)每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元．若該型車(chē)的銷(xiāo)售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷(xiāo)售總額將比去年減少10%，求：A型自行車(chē)去年每輛售價(jià)多少元？12．（2024秋?宿城區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的解，則稱(chēng)這兩個(gè)方程為“相似方程”；②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱(chēng)這兩個(gè)方程為“相伴方程”．（1）判斷方程6﹣4（1﹣x）＝2x與3x?1x+2（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整數(shù)m的值．13．（2022秋?海安市期末）閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，若關(guān)于x的分式(x?a)(x?b)x的值為零，則解得x1＝a，x2＝b．又因?yàn)?x?a)(x?b)x=x2?(a+b)x+abx=x+abx?（a+b），所以關(guān)于x的方程x+abx=（（1）理解應(yīng)用：方程x2+2x=3+23的解為：x1＝（2）知識(shí)遷移：若關(guān)于x的方程x+3x=5的解為x1＝a，x2＝b，求a2+（3）拓展提升：若關(guān)于x的方程4x?1=k﹣x的解為x1，x2，且x1x2＝1，求14．（2024春?姑蘇區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx(x＞0)的圖象交于A(yíng)（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)，與x（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．15．（2022春?宿遷期末）如圖，一次函數(shù)y1＝ax+b與反比例函數(shù)y2=kx的圖象相交于A(yíng)（2，8），B（8，2）兩點(diǎn)，連接AO，BO，延長(zhǎng)AO交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)（1）求一次函數(shù)y1的表達(dá)式與反比例函數(shù)y2的表達(dá)式；（2）當(dāng)y1＜y2，時(shí)，直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍為；（3）點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)S△PAC=45S△AOB時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為16．（2024春?連云港期末）心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課中，學(xué)生的注意力隨學(xué)習(xí)時(shí)間的變化而變化．開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中AB、BC分別為線(xiàn)段，CD為雙曲線(xiàn)的一部分）．（1）開(kāi)始學(xué)習(xí)后第5分鐘時(shí)與第35分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？為什么？（2）某些數(shù)學(xué)內(nèi)容的課堂學(xué)習(xí)大致可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：即“教師引導(dǎo)，回顧舊知﹣﹣?zhàn)灾魈剿?，合作交流﹣﹣總結(jié)歸納，鞏固提高”．其中重點(diǎn)環(huán)節(jié)“自主探索，合作交流”這一過(guò)程一般需要30分鐘才能完成，為了確保效果，要求學(xué)習(xí)時(shí)的注意力指標(biāo)數(shù)不低于40．請(qǐng)問(wèn)這樣的課堂學(xué)習(xí)安排是否合理？并說(shuō)明理由．17．（2024春?泗陽(yáng)縣期末）已知反比例函數(shù)y=k?2x（k常數(shù)，（1）若點(diǎn)A（1，2）在這個(gè)函數(shù)的圖象上，求k的值；（2）若這個(gè)函數(shù)圖象的每一支上，y都隨x的增大而增大，求k的取值范圍；（3）若k＝8，試寫(xiě)出當(dāng)﹣3≤y≤﹣2時(shí)x的取值范圍．18．（2022春?淮陰區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y1＝k1x+b與雙曲線(xiàn)y2=k2x相交于A(yíng)（﹣2，3），B（1）求y1、y2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)B作BP∥x軸交y軸于點(diǎn)P，求△ABP的面積．19．（2024秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)：有時(shí)候兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，如a?a=a請(qǐng)運(yùn)用有理化因式的知識(shí)，解決下列問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：17?2=（2）比較大?。?025?2024（3）設(shè)有理數(shù)a、b滿(mǎn)足：a2+1+b2?1=?6（4）已知12?x?6?x=220．（2023秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)期末）定義：若一個(gè)三角形存在兩邊平方和等于第三邊平方的3倍，則稱(chēng)此三角形為“平方倍三角形”．（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，11和2，這個(gè)三角形是否為平方倍三角形？請(qǐng)你作出判斷并說(shuō)明理由．（2）若一個(gè)直角三角形是平方倍三角形，求該直角三角形的三邊之比（結(jié)果按從小到大的順序排列）．

【江蘇省期末真題匯編】熱點(diǎn)題型分類(lèi)突破：解答題數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)蘇科版參考答案與試題解析一．解答題（共20小題）1．（2024秋?惠山區(qū)期末）為了解八年級(jí)學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間的情況、從全區(qū)八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生每天完成課外作業(yè)的時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下圖表：時(shí)間x（小時(shí)）頻數(shù)y（人數(shù)）頻率0≤x≤0.580.20.5＜x≤1c0.31＜x≤1.5120.31.5＜x≤26b2＜x≤2.520.05合計(jì)a1（1）表中a，b所表示的數(shù)分別為a＝40，b＝0.15；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）根據(jù)規(guī)定，學(xué)生每天完成課外作業(yè)的時(shí)間不超過(guò)1.5小時(shí)，那么全區(qū)4800名八年級(jí)學(xué)生中每天完成課外作業(yè)時(shí)間超過(guò)規(guī)定的學(xué)生約有多少人？【解答】解：（1）a＝8÷0.2＝40，b＝6÷40＝0.15，故答案為：40、0.15；（2）c＝0.3×40＝12，補(bǔ)全圖形如下：（3）4800×（0.15+0.05）＝960（人），答：全區(qū)4800名八年級(jí)學(xué)生中每天完成課外作業(yè)時(shí)間超過(guò)規(guī)定的學(xué)生約有960人．2．（2024秋?興化市期末）有甲、乙兩只不透明的袋子，每只袋子中裝有紅球和黃球若干，各袋中所裝球的總個(gè)數(shù)相同，這些球除顏色外都相同．實(shí)踐組用甲袋、創(chuàng)新組用乙袋各自做摸球試驗(yàn)：兩人一組，一人從袋中任意摸出1個(gè)球，另一人記下顏色后將球放回并攪勻，各組連續(xù)做這樣的試驗(yàn)，將記錄的數(shù)據(jù)繪制成如下兩種條形統(tǒng)計(jì)圖：（1）B圖能更好地反各組試驗(yàn)的總次數(shù)，A圖能更好地反映各組試驗(yàn)摸到紅球的頻數(shù)（填“A”或“B”）；（2）求實(shí)踐組摸到黃球的頻率；（3）實(shí)踐組摸到黃球的頻率小于創(chuàng)新組摸到黃球的頻率（填“大于”、“小于”或“等于”）．【解答】解：（1）B圖能更好地反映各組試驗(yàn)的總次數(shù)，A圖能更好地反映各組試驗(yàn)摸到紅球的頻數(shù)；故答案為：B，A．（2）實(shí)踐組摸到黃球的頻率＝（500﹣372）÷500＝0.256；（3）實(shí)踐組摸到黃球的頻率小于創(chuàng)新組摸到黃球的頻率（答案不唯一）．3．（2024春?響水縣期末）每年的6月5日是“世界環(huán)境日”．某中學(xué)“環(huán)保小衛(wèi)士”研學(xué)小組對(duì)周邊小區(qū)部分居民開(kāi)展了以“愛(ài)護(hù)環(huán)境，從我做起”為主題的問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查內(nèi)容如下：A：能將垃圾放到規(guī)定地點(diǎn)，并會(huì)考慮垃圾分類(lèi)；B：能將垃圾放到規(guī)定地點(diǎn)，但不會(huì)考慮垃圾分類(lèi)；C：基本能將垃圾放到規(guī)定地點(diǎn)，偶爾會(huì)亂扔垃圾；每人都選且只選一項(xiàng)，研學(xué)小組將調(diào)查結(jié)果制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）研學(xué)小組一共調(diào)查了1000人；請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中C對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；（3）如果你是“環(huán)保小衛(wèi)士”，請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，談?wù)勀愕南敕ǎ窘獯稹拷猓海?）500÷50%＝1000（人），所以研學(xué)小組一共調(diào)查了1000人；B處理方式的人數(shù)為：1000﹣500﹣100＝400（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：（2）C處理方式的百分比為：100%﹣50%﹣40%＝10%，扇形統(tǒng)計(jì)圖中C對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：360°×10%＝36°．（3）將垃圾放到規(guī)定地點(diǎn)，并分類(lèi)放置，保護(hù)環(huán)境，從自身做起．（答案不唯一）4．（2024秋?寶應(yīng)縣期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個(gè)除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．如表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5996b295480601摸到白球的頻率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝0.59，b＝116；（2）“摸到白球的”的概率的估計(jì)值是0.6（精確到0.1）；（3）如果袋中有12個(gè)白球，那么袋中除了白球外，還有多少個(gè)其它顏色的球？【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．故答案為：0.59，116（2）“摸到白球的”的概率的估計(jì)值是0.6；故答案為：0.6（3）12÷0.6﹣12＝8（個(gè)）．答：除白球外，還有大約8個(gè)其它顏色的小球；5．（2024春?廣陵區(qū)期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1000200030005000800010000摸到黑球的次數(shù)m65011801890310048206013摸到黑球的頻率m0.650.590.630.620.60250.6013（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)接近0.6（精確到0.1）；（2）試估計(jì)袋子中有黑球30個(gè)；（3）若學(xué)習(xí)小組通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果，想使得在這個(gè)不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為50%，則可以在袋子中增加相同的白球10個(gè)或減少黑球10個(gè)．【解答】解：（1）觀(guān)察表格得：當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)接近0.6，故答案為：0.6；（2）黑球的個(gè)數(shù)為50×0.6＝30個(gè)，故答案為：30；（3）想使得在這個(gè)不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為50%，則可以使得黑球和白球的個(gè)數(shù)相同，即：在袋子中增加相同的白球10個(gè)或減少黑球10個(gè)，故答案為：10，10．6．（2024春?姑蘇區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊上的中線(xiàn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接CF．（1）求證：BD＝AF；（2）判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE∴△AFE≌△DBE（AAS），∴BD＝AF；（2）解：四邊形ADCF是菱形；理由如下：由（1）知，AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝DC=12∴四邊形ADCF是菱形．7．（2023春?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AF、CD．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）當(dāng)ABAC=2時(shí)，四邊形【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE∥BC，又∵CF∥AB，∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴CF＝BD，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴CF＝AD，又∵CF∥AB，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D是AB中點(diǎn)，∴CD=1∴CD＝AD．又∵四邊形ADCF是平行四邊形，∴四邊形ADCF是菱形；（2）解：當(dāng)ABAC=2∵∠ACB＝90°，∴設(shè)AB=2k，AC＝k∴BC=AB∴AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，由（1）知，四邊形ADCF是菱形，∴四邊形ADCF是正方形．故答案為：2．8．（2024春?邗江區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，∠ABD的平分線(xiàn)BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線(xiàn)DF交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝DB，求證：四邊形DFBE是矩形．【解答】證明：（1）∵∠ABD的平分線(xiàn)BE交AD于點(diǎn)E，∴∠ABE=12∠∵∠CDB的平分線(xiàn)DF交BC于點(diǎn)F，∴∠CDF=12∠∵在平行四邊形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CDF＝∠ABE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，∠A＝∠C，即∠A=∠CAB=DC∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴DE∥BF，DE＝BF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵AB＝DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°．∴平行四邊形DFBE是矩形．9．（2023春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，?ABCD對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且DE＝OC，連接CE，OE，OE＝CD．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，DE＝OC，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵OE＝CD，∴平行四邊形OCED是矩形，∴∠COD＝90°，∴AC⊥BD，∴?ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=CD2由（1）可知，四邊形OCED是矩形，∴CE＝OD＝23，∠OCE＝90°，∴AE=AC2即AE的長(zhǎng)為27．10．（2024秋?如東縣期末）【追本溯源】題（1）來(lái)自于課本中的習(xí)題，請(qǐng)你完成解答，提煉方法并完成題（2）．（1）如圖1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB＝AD．【方法應(yīng)用】（2）如圖2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD；（2）解：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAF＝∠F，∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝3.5，由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB，AB＝AE，∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴DF＝AD＝6，∴CF＝DF﹣CD＝6﹣3.5＝2.5．11．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)期末）隨著人們“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識(shí)的增強(qiáng)，越來(lái)越多的人喜歡騎自行車(chē)出行，也給自行車(chē)商家?guī)?lái)商機(jī)．某自行車(chē)行經(jīng)營(yíng)的A型自行車(chē)去年銷(xiāo)售總額為8萬(wàn)元．今年該型自行車(chē)每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元．若該型車(chē)的銷(xiāo)售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷(xiāo)售總額將比去年減少10%，求：A型自行車(chē)去年每輛售價(jià)多少元？【解答】解：設(shè)去年A型車(chē)每輛售價(jià)x元，則今年售價(jià)每輛為（x﹣200）元，由題意，得80000x解得：x＝2000．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2000是原方程的根．答：去年A型車(chē)每輛售價(jià)為2000元．12．（2024秋?宿城區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的解，則稱(chēng)這兩個(gè)方程為“相似方程”；②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱(chēng)這兩個(gè)方程為“相伴方程”．（1）判斷方程6﹣4（1﹣x）＝2x與3x?1x+2（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整數(shù)m的值．【解答】解：（1）方程6﹣4（1﹣x）＝2x與方程3x?1x+2解方程6﹣4（1﹣x）＝2x得：x＝﹣1，解方程3x?1x+2=?4得：檢驗(yàn)：x＝﹣1是該分式方程得解．∴兩個(gè)方程是“相似方程”；（2）由條件可知mx+6＝x+4m，x=4m?6∵x，y，m均為整數(shù)，∴m﹣1＝±1，m﹣1＝±2，∴m1＝0，m2＝2，m3＝﹣1，m4＝3，又∵m為正整數(shù)，∴m＝2或m＝3．13．（2022秋?海安市期末）閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，若關(guān)于x的分式(x?a)(x?b)x的值為零，則解得x1＝a，x2＝b．又因?yàn)?x?a)(x?b)x=x2?(a+b)x+abx=x+abx?（a+b），所以關(guān)于x的方程x+abx=（（1）理解應(yīng)用：方程x2+2x=3+23的解為：x1＝3，x（2）知識(shí)遷移：若關(guān)于x的方程x+3x=5的解為x1＝a，x2＝b，求a2+（3）拓展提升：若關(guān)于x的方程4x?1=k﹣x的解為x1，x2，且x1x2＝1，求【解答】解：（1）∵x+abx=a+b的解為x1＝a，x2∴x2+2x=x+2x故答案為：3，23（2）∵x+3∴a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；（3）4x?1=k﹣x可化為x2﹣（k+1）x+4+∵x1x2＝1，∴4+k＝1，∴k＝﹣3．14．（2024春?姑蘇區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx(x＞0)的圖象交于A(yíng)（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)，與x（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx（x＞0）的圖象交于A(yíng)（1，6），B（3，∴m＝6×1＝3×n，∴m＝6，n＝2，∵k+b=63k+b=2解得：k=?2b=8∴一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣2x+8，反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=6（2）∵一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣2x+8圖象交x軸為點(diǎn)C，∴C（4，0），∵△AOB面積＝△AOC面積﹣△COB面積=12×15．（2022春?宿遷期末）如圖，一次函數(shù)y1＝ax+b與反比例函數(shù)y2=kx的圖象相交于A(yíng)（2，8），B（8，2）兩點(diǎn)，連接AO，BO，延長(zhǎng)AO交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)（1）求一次函數(shù)y1的表達(dá)式與反比例函數(shù)y2的表達(dá)式；（2）當(dāng)y1＜y2，時(shí)，直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍為x＞8或0＜x＜2；（3）點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)S△PAC=45S△AOB時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，0）或P【解答】解：（1）將A（2，8），B（8，2）代入y1＝ax+b得2a+b=88a+b=2解得a=?1b=10∴一次函數(shù)為y1＝﹣x+10，將A（2，8）代入y2=kx得8=k∴反比例函數(shù)的解析式為y2=16（2）由圖象可知，當(dāng)y1＜y2時(shí)，自變量x的取值范圍為：x＞8或0＜x＜2，故答案為x＞8或0＜x＜2；（3）由題意可知OA＝OC，∴S△APC＝2S△AOP，把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，∴D（10，0），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD=1∵S△PAC=45S△AOB∴2S△AOP＝24，∴2×12OP×yA＝24，即2∴OP＝3，∴P（3，0）或P（﹣3，0），故答案為P（3，0）或P（﹣3，0）．16．（2024春?連云港期末）心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課中，學(xué)生的注意力隨學(xué)習(xí)時(shí)間的變化而變化．開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中AB、BC分別為線(xiàn)段，CD為雙曲線(xiàn)的一部分）．（1）開(kāi)始學(xué)習(xí)后第5分鐘時(shí)與第35分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？為什么？（2）某些數(shù)學(xué)內(nèi)容的課堂學(xué)習(xí)大致可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：即“教師引導(dǎo)，回顧舊知﹣﹣?zhàn)灾魈剿?，合作交流﹣﹣總結(jié)歸納，鞏固提高”．其中重點(diǎn)環(huán)節(jié)“自主探索，合作交流”這一過(guò)程一般需要30分鐘才能完成，為了確保效果，要求學(xué)習(xí)時(shí)的注意力指標(biāo)數(shù)不低于40．請(qǐng)問(wèn)這樣的課堂學(xué)習(xí)安排是否合理？并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)yAB＝k1x+b，把（0，20），（10，50）代入函數(shù)解析式解得yAB＝3x+20（0≤x≤10），由圖象直接得到y(tǒng)BC＝50（10≤x≤30），設(shè)yCD=kx，把（30，50）代入函數(shù)解析式解得yCD=1500把x＝5代入yAB＝3x+20，得yAB＝35，把x＝35代入yCD=1500x，得yCD因?yàn)閥AB≤yCD，所以第35分鐘時(shí)學(xué)生的注意力更集中；（2）由題意知，注意力指數(shù)不低于40即當(dāng)在3x+20≥40，x≥同時(shí)1500x即x≤1500即當(dāng)開(kāi)始上課203而37.5?20∴該學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)合理．17．（2024春?泗陽(yáng)縣期末）已知反比例函數(shù)y=k?2x（k常數(shù)，（1）若點(diǎn)A（1，