專升本數(shù)學試題及答案

專升本數(shù)學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt0\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(y=x^3\)的導數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(3\)4.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)5.設(shè)\(A\)、\(B\)為兩事件，\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(AB)=0.1\)，則\(P(A\cupB)=\)（）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.96.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.1B.2C.-1D.-27.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m=\)（）A.1B.2C.3D.48.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)9.不等式\(\vertx-1\vert\lt2\)的解集是（）A.\((-1,3)\)B.\((-3,1)\)C.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)D.\((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\)10.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，且\(f(3)=5\)，則\(f(-3)=\)（）A.5B.-5C.0D.無法確定二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\sinx\)D.\(\lim_{x\to\infty}\cosx\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導的充分必要條件是（）A.函數(shù)在該點連續(xù)B.左導數(shù)等于右導數(shù)C.極限\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.函數(shù)在該點有定義4.下列積分計算正確的是（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln\vertx\vert+C\)5.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，下列等式成立的是（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）6.下列直線中，與直線\(y=3x-2\)平行的是（）A.\(y=3x+1\)B.\(y=-\frac{1}{3}x+2\)C.\(y=3(x+1)\)D.\(6x-2y+3=0\)7.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質(zhì)正確的是（）A.長軸長為6B.短軸長為4C.焦點在\(x\)軸D.離心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)8.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\frac{1}{x^2}\)D.\(y=x^3\)9.關(guān)于數(shù)列極限，以下說法正確的是（）A.收斂數(shù)列必有界B.有界數(shù)列一定收斂C.單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必收斂D.單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必收斂10.已知向量\(\vec{a}=(1,-1)\)，\(\vec=(2,1)\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=1\)B.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2}\)C.\(\vec{a}+\vec=(3,0)\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角余弦值為\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處連續(xù)。（）2.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點。（）3.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（\(f(x)\)為奇函數(shù)）。（）4.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)。（）5.兩條直線斜率相等，則這兩條直線一定平行。（）6.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的周期是\(\pi\)。（）7.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=B\)，則\(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B\)。（）8.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)共線。（）9.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。（）10.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對\(y\)求導得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\int(x^2+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x+C\)，則\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}+1)-(0+0)=\frac{4}{3}\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣。答案：先求行列式\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)垂直的直線方程。答案：已知直線斜率\(k_1=2\)，所求直線與之垂直，則斜率\(k=-\frac{1}{2}\)。由點斜式得\(y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\)，整理得\(x+2y-5=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\0,&x=0\\x-1,&x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導性。答案：\(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1\)，\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1\)，左右極限不相等且\(f(0)=0\)，所以在\(x=0\)處不連續(xù)，不連續(xù)則不可導。2.討論極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3+2x-1}\)的值，并說明理由。答案：分子分母同時除以\(x^3\)，則原式\(=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}{1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}\)。當\(x\to\infty\)時，\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{1}{x^3}\)、\(\frac{2}{x^2}\)都趨于0，所以極限值為0。3.討論在實際問題中，如何利用導數(shù)求函數(shù)的最值。答案：先根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系，再對函數(shù)求導，令導數(shù)為0求出駐點，結(jié)合實際問題的定義域，判斷駐