10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)_第1頁(yè)
10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)_第2頁(yè)
10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)_第3頁(yè)
10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)_第4頁(yè)
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人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第十章“二元一次方程組”的起始課10.1二元一次方程組的概念。主要內(nèi)容包括:從實(shí)際問題中抽象出含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程(即二元一次方程)的概念;理解兩個(gè)二元一次方程組合在一起(即二元一次方程組)的概念;理解二元一次方程的解和二元一次方程組的解的含義,并會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是否是某個(gè)方程或方程組的解。2.內(nèi)容解析本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握一元一次方程概念、解法及其應(yīng)用的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)含有兩個(gè)未知數(shù)的方程(組)。通過分析包含兩個(gè)等量關(guān)系的實(shí)際問題(如課本中的采棉機(jī)問題),引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到單一的一元一次方程有時(shí)不足以描述復(fù)雜情境,自然引入二元一次方程及方程組的概念。理解二元一次方程(組)及其解的概念是后續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程組解法(代入消元法、加減消元法)和應(yīng)用的基礎(chǔ),是溝通一元與多元、方程與函數(shù)的重要橋梁,也是培養(yǎng)學(xué)生模型思想和應(yīng)用意識(shí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為:二元一次方程(組)及其解的概念。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出二元一次方程和二元一次方程組的過程,理解二元一次方程和二元一次方程組的概念,初步發(fā)展抽象能力和模型思想。(2)理解二元一次方程解和二元一次方程組解的含義,會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是否是某個(gè)二元一次方程或二元一次方程組的解,感悟解的多樣性與唯一性。(3)能根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題列出二元一次方程組,并根據(jù)問題的實(shí)際意義找出其解,進(jìn)一步發(fā)展分析問題和解決問題的能力。2.目標(biāo)解析在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中,學(xué)生需要從含有兩個(gè)未知量的現(xiàn)實(shí)問題出發(fā),識(shí)別其中的兩個(gè)等量關(guān)系,并用數(shù)學(xué)語言(方程)精確表達(dá)這些關(guān)系,從而抽象出二元一次方程和二元一次方程組的概念,體會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本過程。學(xué)生需要通過具體實(shí)例,理解“二元一次方程的解有無數(shù)對(duì)”和“二元一次方程組的解是這兩個(gè)方程的公共解(通常唯一)”的含義,掌握檢驗(yàn)解的方法。通過解決貼近生活的實(shí)際問題(如課本中的加工天數(shù)、籃球比賽勝負(fù)場(chǎng)次問題),學(xué)生能將所學(xué)概念應(yīng)用于新情境,提升應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力,為后續(xù)系統(tǒng)學(xué)習(xí)方程組的解法與應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)可能面臨以下問題:從實(shí)際問題抽象等量關(guān)系存在困難:部分學(xué)生可能難以在復(fù)雜情境中準(zhǔn)確識(shí)別出兩個(gè)獨(dú)立的等量關(guān)系,并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)表示出來。理解“二元”與“一次”的約束易混淆:學(xué)生容易忽略“含有兩個(gè)未知數(shù)”且“含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1”這兩個(gè)關(guān)鍵條件,可能將如xy=1或x理解“方程組解”的概念存在偏差:學(xué)生可能僅滿足于找到某個(gè)方程的解,而忽略“同時(shí)滿足兩個(gè)方程”這一公共解的要求;對(duì)于實(shí)際問題中解的合理性(如人數(shù)、天數(shù)不能為負(fù)或分?jǐn)?shù))也需要特別關(guān)注?;谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為:理解二元一次方程組解的含義(公共解),并根據(jù)實(shí)際問題列出二元一次方程組。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)情景引入問題1回顧本章引言:一個(gè)種棉大戶租用采棉機(jī)采摘棉花。已知租用了大型采棉機(jī)和小型采棉機(jī)共6臺(tái),1臺(tái)大型采棉機(jī)1小時(shí)采摘2畝,1臺(tái)小型采棉機(jī)1小時(shí)采摘1畝。所有采棉機(jī)同時(shí)工作1小時(shí)共采摘棉花8畝。請(qǐng)問他租用了大型采棉機(jī)和小型采棉機(jī)各多少臺(tái)?設(shè)租用大型采棉機(jī)x臺(tái),小型采棉機(jī)y臺(tái)。根據(jù)題意,你能找到哪些必須同時(shí)滿足的相等關(guān)系?(引導(dǎo)學(xué)生回答:(1)總臺(tái)數(shù)關(guān)系:x+y=6;(2)問題2方程x+y=6和問題3你能再舉一個(gè)生活中包含兩個(gè)未知量,并且需要兩個(gè)等量關(guān)系才能解決的問題嗎?(例如:購(gòu)買不同價(jià)格的兩種文具的數(shù)量和總費(fèi)用問題;行程問題中的速度、時(shí)間與兩段路程的關(guān)系等。)設(shè)計(jì)意圖:以課本引言中的采棉機(jī)問題為起點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)單一方程描述的局限性,自然引出含有兩個(gè)未知數(shù)的方程。通過對(duì)比一元一次方程,觀察新方程的特征,初步感知二元一次方程的概念。鼓勵(lì)學(xué)生列舉生活實(shí)例,體會(huì)二元一次方程模型的普遍性,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和模型思想,對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)。(二)合作探究1探究1觀察方程x+y=6問:這兩個(gè)方程有什么共同特征?答:都含有兩個(gè)未知數(shù)(x和y),含有未知數(shù)的項(xiàng)(例如x,y,2x)的次數(shù)都是1。問:像這樣,含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程,叫做什么?答:二元一次方程。追問:判斷下列方程是否為二元一次方程?為什么?(1)3x?5y(2)x2+y=1(3)s=4t(是,可看作(4)1x+y=3(否,1x(5)xy+2x=5(三)鞏固練習(xí)1下列方程中,是二元一次方程的有______(填序號(hào))。(1)2a?b=0(2)x+y答:(1),(4),(5)((2)y2次數(shù)為2,(3)mn知識(shí)點(diǎn)分析:考查二元一次方程的定義:兩個(gè)未知數(shù)、整式方程、未知數(shù)項(xiàng)次數(shù)為1。已知方程(m?2)x|m|?1+(n+3)解:由二元一次方程定義,需滿足:未知數(shù)x,y的指數(shù)均為1:|m|?1=系數(shù)不為零:m?2≠0解|m|?1=1得|m|=2,所以m=2或m解n2?8=1得n2=9,所以n=3或n答:m=?2,知識(shí)點(diǎn)分析:深化對(duì)二元一次方程定義的理解,特別是未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為1和系數(shù)非零的條件。(四)合作探究2探究2回到問題1:種棉大戶租用采棉機(jī)的問題。未知數(shù)x(大型),y(小型)需要同時(shí)滿足哪兩個(gè)方程?問:把這兩個(gè)方程合在一起寫,通常用什么形式表示?問:像這樣,把兩個(gè)二元一次方程合在一起,就組成了什么?答:二元一次方程組。探究3什么叫做二元一次方程的解?什么叫做二元一次方程組的解?問:滿足方程x+y=6的x答:如x=1,y=5;x=2,y=4;x結(jié)論:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做這個(gè)二元一次方程的解。一個(gè)二元一次方程有無數(shù)多組解。問:滿足方程2x+y答:如x=1,y=6;x=2,y追問:有沒有哪一對(duì)數(shù)x,y的值,既能滿足方程x+y=6答:有。當(dāng)x=2,y=4時(shí),左邊2結(jié)論:二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解,叫做這個(gè)二元一次方程組的解。聯(lián)系實(shí)際可知,租用了2臺(tái)大型采棉機(jī)和4臺(tái)小型采棉機(jī)。方程組x+y=62x驗(yàn)證練習(xí):檢驗(yàn)下列各組數(shù)是否是方程組x+y(1)x=3(2)x=4(3)x=2設(shè)計(jì)意圖:通過具體實(shí)例(采棉機(jī)問題)引導(dǎo)學(xué)生理解二元一次方程組的概念。重點(diǎn)探究“解”的概念:通過列舉單個(gè)方程的多組解,體會(huì)二元一次方程解的不唯一性;通過尋找兩個(gè)方程的公共解,深刻理解二元一次方程組解的含義(唯一公共解),掌握檢驗(yàn)解的方法。強(qiáng)調(diào)解的表示方法。對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)。(五)典例分析例1(課本練習(xí))在籃球聯(lián)賽中,每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù),每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分,負(fù)1場(chǎng)得1分。某隊(duì)在10場(chǎng)比賽中得到16分,這個(gè)隊(duì)的勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少?分析:?jiǎn)栴}包含兩個(gè)未知量(勝場(chǎng)數(shù)、負(fù)場(chǎng)數(shù))和兩個(gè)等量關(guān)系。等量關(guān)系1:勝場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)=總場(chǎng)數(shù)(10場(chǎng))等量關(guān)系2:勝場(chǎng)得分+負(fù)場(chǎng)得分=總得分(16分)[勝場(chǎng)得分=2×勝場(chǎng)數(shù),負(fù)場(chǎng)得分=1×負(fù)場(chǎng)數(shù)]解:設(shè)該隊(duì)勝了x場(chǎng),負(fù)了y場(chǎng)。根據(jù)總場(chǎng)數(shù):x+根據(jù)總得分:2x+y=16②列出方程組:x尋找公共解(根據(jù)題目要求,解應(yīng)為非負(fù)整數(shù)):發(fā)現(xiàn)x=檢驗(yàn):勝6場(chǎng)得12分,負(fù)4場(chǎng)得4分,總分16分,場(chǎng)次10場(chǎng),符合題意。答:這個(gè)隊(duì)勝了6場(chǎng),負(fù)了4場(chǎng)。方程組的解是x=設(shè)計(jì)意圖:選取課本貼近學(xué)生生活的籃球比賽問題作為例題,示范如何分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列二元一次方程組。重點(diǎn)展示尋找公共解的過程(列舉法或簡(jiǎn)單的代入嘗試),強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)解的步驟和實(shí)際意義的合理性(場(chǎng)數(shù)為非負(fù)整數(shù))。鞏固目標(biāo)(3),提升應(yīng)用能力。(六)鞏固練習(xí)(課本練習(xí))某村鄉(xiāng)村振興項(xiàng)目計(jì)劃把28t黃桃加工成罐頭,剛開始每天加工2t,后在技術(shù)顧問的指導(dǎo)下改進(jìn)加工方法,每天加工4t,前后共用8天完成全部加工任務(wù)。這個(gè)項(xiàng)目改進(jìn)加工方法前、后各用了多少天?解:設(shè)改進(jìn)方法前用了x天,改進(jìn)方法后用了y天。等量關(guān)系1:總天數(shù)x等量關(guān)系2:總加工量2x+4y=28方程組:或x尋找公共解:嘗試或代入。由①得y=8?x,代入②(簡(jiǎn)化式)x+2(檢驗(yàn):前2天加工4t,后6天加工24t,共28t,總天數(shù)8天,符合題意。答:改進(jìn)方法前用了2天,改進(jìn)方法后用了6天。知識(shí)點(diǎn)分析:實(shí)際問題抽象為方程組(兩個(gè)等量關(guān)系:時(shí)間和工作量),求解并檢驗(yàn)合理性(天數(shù)為正整數(shù))。判斷:方程組2x?y=3x+3y=5解:檢驗(yàn)x=1y=?1:代入①2(檢驗(yàn)x=2y=1:代入①2(知識(shí)點(diǎn)分析:鞏固二元一次方程組解的定義(必須同時(shí)滿足兩個(gè)方程)和檢驗(yàn)方法。填空:已知x=3y=?2是方程組mx+y解:把解x=3代入第一方程:m(3)+(?代入第二方程:(3)?n將①式n=3m?2化簡(jiǎn):3+6m?4=2m代入①:n答:m=14知識(shí)點(diǎn)分析:利用方程組解的定義,將解代入方程得到關(guān)于新參數(shù)m,n的方程組,并求解??疾閷?duì)解的概念的理解和解方程的能力。設(shè)計(jì)意圖:通過三個(gè)層次分明的練習(xí)鞏固所學(xué)。練習(xí)1是課本實(shí)際問題建模與求解;練習(xí)2強(qiáng)化解的概念和檢驗(yàn)方法;練習(xí)3提升難度,利用解求參數(shù),深化對(duì)概念的理解并聯(lián)系方程求解技能。及時(shí)反饋學(xué)習(xí)效果,查漏補(bǔ)缺,對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)和(3)。(七)歸納總結(jié)概念定義說明二元一次方程含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。形式如ax+by=c(a,b,c為常數(shù),a≠二元一次方程組把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的方程組。方程組中通常有兩個(gè)方程。解是這兩個(gè)方程的公共解。方程組的解二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解。是一對(duì)未知數(shù)的值x=ay=b檢驗(yàn)解將解x=ay=b是判斷一對(duì)數(shù)是否是方程組解的唯一方法。(八)感受中考(2024廣西)下列方程組中,是二元一次方程組的是()。A.x+2y=5y=答案:C解析:A含三個(gè)未知數(shù)。B中xy項(xiàng)次數(shù)為2。D中x2項(xiàng)次數(shù)為2。C(2023青海)已知x=2y=1是二元一次方程ax+by=A.1.5B.2C.3D.6答案:C解析:把解代入方程:a×2+b×1(2024日照)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足。問雞兔各幾何。”設(shè)雞有x只,兔有y只,根據(jù)題意可列方程組為______。答案:x解析:“頭”數(shù)等量關(guān)系:雞頭+兔頭=總頭數(shù)→x+y=35?!白恪睌?shù)等量關(guān)系:雞足(2x)+兔足(4y)=(2022安徽)已知關(guān)于x,y的二元一次方程組3x?y=5x?2y=k答案:1(注:此題旨在體驗(yàn)中考題型,理解利用解的概念求參數(shù),具體數(shù)字以理解方法為主。)設(shè)計(jì)意圖:在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí),不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向,熟悉考試題型,檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果,提升應(yīng)考能力,還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。(九)小結(jié)梳理核心概念相互關(guān)系與應(yīng)用實(shí)際問題包含兩個(gè)未知量和兩個(gè)等量關(guān)系是建立二元一次方程組模型的前提。(例如:采棉機(jī)臺(tái)數(shù)與產(chǎn)量、籃球勝負(fù)數(shù)與積分)二元一次方程描述一個(gè)包含兩個(gè)未知量的等量關(guān)系。解有無數(shù)多組。(例如:x+y二元一次方程組將描述同一問題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)等量關(guān)系的二元一次方程組合在一起。目標(biāo)是找到公共解。方程組的解是唯一滿足方程組中所有方程的一對(duì)未知數(shù)的值(x=ay檢驗(yàn)是驗(yàn)證解的關(guān)鍵步驟,將解代入每一個(gè)方程看是否成立。應(yīng)用根據(jù)實(shí)際問題設(shè)未知數(shù)>找等量關(guān)系>列方程組>找(檢驗(yàn))解>作答(考慮實(shí)際意義)。(十)布置作業(yè)1.必做題:(課本習(xí)題10.1第1題)填表,使上下每對(duì)x、y的值是方程3x+yx(提示:利用y=5(課本習(xí)題10.1第2題)方程組x+6y=4(A)x=2y=?0.25(B)(要求:檢

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