10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第十章“二元一次方程組”的起始課10.1二元一次方程組的概念。主要內(nèi)容包括：從實(shí)際問題中抽象出含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程（即二元一次方程）的概念；理解兩個(gè)二元一次方程組合在一起（即二元一次方程組）的概念；理解二元一次方程的解和二元一次方程組的解的含義，并會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是否是某個(gè)方程或方程組的解。2.內(nèi)容解析本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握一元一次方程概念、解法及其應(yīng)用的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)含有兩個(gè)未知數(shù)的方程（組）。通過分析包含兩個(gè)等量關(guān)系的實(shí)際問題（如課本中的采棉機(jī)問題），引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到單一的一元一次方程有時(shí)不足以描述復(fù)雜情境，自然引入二元一次方程及方程組的概念。理解二元一次方程（組）及其解的概念是后續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程組解法（代入消元法、加減消元法）和應(yīng)用的基礎(chǔ)，是溝通一元與多元、方程與函數(shù)的重要橋梁，也是培養(yǎng)學(xué)生模型思想和應(yīng)用意識(shí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：二元一次方程（組）及其解的概念。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出二元一次方程和二元一次方程組的過程，理解二元一次方程和二元一次方程組的概念，初步發(fā)展抽象能力和模型思想。(2)理解二元一次方程解和二元一次方程組解的含義，會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是否是某個(gè)二元一次方程或二元一次方程組的解，感悟解的多樣性與唯一性。(3)能根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題列出二元一次方程組，并根據(jù)問題的實(shí)際意義找出其解，進(jìn)一步發(fā)展分析問題和解決問題的能力。2.目標(biāo)解析在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要從含有兩個(gè)未知量的現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，識(shí)別其中的兩個(gè)等量關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言（方程）精確表達(dá)這些關(guān)系，從而抽象出二元一次方程和二元一次方程組的概念，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本過程。學(xué)生需要通過具體實(shí)例，理解“二元一次方程的解有無數(shù)對(duì)”和“二元一次方程組的解是這兩個(gè)方程的公共解（通常唯一）”的含義，掌握檢驗(yàn)解的方法。通過解決貼近生活的實(shí)際問題（如課本中的加工天數(shù)、籃球比賽勝負(fù)場(chǎng)次問題），學(xué)生能將所學(xué)概念應(yīng)用于新情境，提升應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力，為后續(xù)系統(tǒng)學(xué)習(xí)方程組的解法與應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)可能面臨以下問題：從實(shí)際問題抽象等量關(guān)系存在困難：部分學(xué)生可能難以在復(fù)雜情境中準(zhǔn)確識(shí)別出兩個(gè)獨(dú)立的等量關(guān)系，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)表示出來。理解“二元”與“一次”的約束易混淆：學(xué)生容易忽略“含有兩個(gè)未知數(shù)”且“含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1”這兩個(gè)關(guān)鍵條件，可能將如xy=1或x理解“方程組解”的概念存在偏差：學(xué)生可能僅滿足于找到某個(gè)方程的解，而忽略“同時(shí)滿足兩個(gè)方程”這一公共解的要求；對(duì)于實(shí)際問題中解的合理性（如人數(shù)、天數(shù)不能為負(fù)或分?jǐn)?shù)）也需要特別關(guān)注?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：理解二元一次方程組解的含義（公共解），并根據(jù)實(shí)際問題列出二元一次方程組。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）情景引入問題1回顧本章引言：一個(gè)種棉大戶租用采棉機(jī)采摘棉花。已知租用了大型采棉機(jī)和小型采棉機(jī)共6臺(tái)，1臺(tái)大型采棉機(jī)1小時(shí)采摘2畝，1臺(tái)小型采棉機(jī)1小時(shí)采摘1畝。所有采棉機(jī)同時(shí)工作1小時(shí)共采摘棉花8畝。請(qǐng)問他租用了大型采棉機(jī)和小型采棉機(jī)各多少臺(tái)？設(shè)租用大型采棉機(jī)x臺(tái)，小型采棉機(jī)y臺(tái)。根據(jù)題意，你能找到哪些必須同時(shí)滿足的相等關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生回答：(1)總臺(tái)數(shù)關(guān)系：x+y=6；(2)問題2方程x+y=6和問題3你能再舉一個(gè)生活中包含兩個(gè)未知量，并且需要兩個(gè)等量關(guān)系才能解決的問題嗎？（例如：購(gòu)買不同價(jià)格的兩種文具的數(shù)量和總費(fèi)用問題；行程問題中的速度、時(shí)間與兩段路程的關(guān)系等。）設(shè)計(jì)意圖：以課本引言中的采棉機(jī)問題為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)單一方程描述的局限性，自然引出含有兩個(gè)未知數(shù)的方程。通過對(duì)比一元一次方程，觀察新方程的特征，初步感知二元一次方程的概念。鼓勵(lì)學(xué)生列舉生活實(shí)例，體會(huì)二元一次方程模型的普遍性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和模型思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)。（二）合作探究1探究1觀察方程x+y=6問：這兩個(gè)方程有什么共同特征？答：都含有兩個(gè)未知數(shù)（x和y），含有未知數(shù)的項(xiàng)（例如x,y,2x）的次數(shù)都是1。問：像這樣，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程，叫做什么？答：二元一次方程。追問：判斷下列方程是否為二元一次方程？為什么？(1)3x?5y(2)x2+y=1(3)s=4t（是，可看作(4)1x+y=3（否，1x(5)xy+2x=5（三）鞏固練習(xí)1下列方程中，是二元一次方程的有______(填序號(hào))。(1)2a?b=0(2)x+y答：(1),(4),(5)（(2)y2次數(shù)為2，(3)mn知識(shí)點(diǎn)分析：考查二元一次方程的定義：兩個(gè)未知數(shù)、整式方程、未知數(shù)項(xiàng)次數(shù)為1。已知方程(m?2)x|m|?1+(n+3)解：由二元一次方程定義，需滿足：未知數(shù)x,y的指數(shù)均為1：|m|?1=系數(shù)不為零：m?2≠0解|m|?1=1得|m|=2，所以m=2或m解n2?8=1得n2=9，所以n=3或n答：m=?2,知識(shí)點(diǎn)分析：深化對(duì)二元一次方程定義的理解，特別是未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為1和系數(shù)非零的條件。（四）合作探究2探究2回到問題1：種棉大戶租用采棉機(jī)的問題。未知數(shù)x(大型),y(小型)需要同時(shí)滿足哪兩個(gè)方程？問：把這兩個(gè)方程合在一起寫，通常用什么形式表示？問：像這樣，把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了什么？答：二元一次方程組。探究3什么叫做二元一次方程的解？什么叫做二元一次方程組的解？問：滿足方程x+y=6的x答：如x=1,y=5;x=2,y=4;x結(jié)論：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的解。一個(gè)二元一次方程有無數(shù)多組解。問：滿足方程2x+y答：如x=1,y=6;x=2,y追問：有沒有哪一對(duì)數(shù)x,y的值，既能滿足方程x+y=6答：有。當(dāng)x=2,y=4時(shí)，左邊2結(jié)論：二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。聯(lián)系實(shí)際可知，租用了2臺(tái)大型采棉機(jī)和4臺(tái)小型采棉機(jī)。方程組x+y=62x驗(yàn)證練習(xí)：檢驗(yàn)下列各組數(shù)是否是方程組x+y(1)x=3(2)x=4(3)x=2設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例（采棉機(jī)問題）引導(dǎo)學(xué)生理解二元一次方程組的概念。重點(diǎn)探究“解”的概念：通過列舉單個(gè)方程的多組解，體會(huì)二元一次方程解的不唯一性；通過尋找兩個(gè)方程的公共解，深刻理解二元一次方程組解的含義（唯一公共解），掌握檢驗(yàn)解的方法。強(qiáng)調(diào)解的表示方法。對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)。（五）典例分析例1(課本練習(xí))在籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分。某隊(duì)在10場(chǎng)比賽中得到16分，這個(gè)隊(duì)的勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？分析：?jiǎn)栴}包含兩個(gè)未知量（勝場(chǎng)數(shù)、負(fù)場(chǎng)數(shù)）和兩個(gè)等量關(guān)系。等量關(guān)系1：勝場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)=總場(chǎng)數(shù)(10場(chǎng))等量關(guān)系2：勝場(chǎng)得分+負(fù)場(chǎng)得分=總得分(16分)[勝場(chǎng)得分=2×勝場(chǎng)數(shù)，負(fù)場(chǎng)得分=1×負(fù)場(chǎng)數(shù)]解：設(shè)該隊(duì)勝了x場(chǎng)，負(fù)了y場(chǎng)。根據(jù)總場(chǎng)數(shù)：x+根據(jù)總得分：2x+y=16②列出方程組：x尋找公共解（根據(jù)題目要求，解應(yīng)為非負(fù)整數(shù)）：發(fā)現(xiàn)x=檢驗(yàn)：勝6場(chǎng)得12分，負(fù)4場(chǎng)得4分，總分16分，場(chǎng)次10場(chǎng)，符合題意。答：這個(gè)隊(duì)勝了6場(chǎng)，負(fù)了4場(chǎng)。方程組的解是x=設(shè)計(jì)意圖：選取課本貼近學(xué)生生活的籃球比賽問題作為例題，示范如何分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列二元一次方程組。重點(diǎn)展示尋找公共解的過程（列舉法或簡(jiǎn)單的代入嘗試），強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)解的步驟和實(shí)際意義的合理性（場(chǎng)數(shù)為非負(fù)整數(shù)）。鞏固目標(biāo)(3)，提升應(yīng)用能力。（六）鞏固練習(xí)(課本練習(xí))某村鄉(xiāng)村振興項(xiàng)目計(jì)劃把28t黃桃加工成罐頭，剛開始每天加工2t，后在技術(shù)顧問的指導(dǎo)下改進(jìn)加工方法，每天加工4t，前后共用8天完成全部加工任務(wù)。這個(gè)項(xiàng)目改進(jìn)加工方法前、后各用了多少天？解：設(shè)改進(jìn)方法前用了x天，改進(jìn)方法后用了y天。等量關(guān)系1：總天數(shù)x等量關(guān)系2：總加工量2x+4y=28方程組：或x尋找公共解：嘗試或代入。由①得y=8?x，代入②(簡(jiǎn)化式)x+2(檢驗(yàn)：前2天加工4t，后6天加工24t，共28t，總天數(shù)8天，符合題意。答：改進(jìn)方法前用了2天，改進(jìn)方法后用了6天。知識(shí)點(diǎn)分析：實(shí)際問題抽象為方程組（兩個(gè)等量關(guān)系：時(shí)間和工作量），求解并檢驗(yàn)合理性（天數(shù)為正整數(shù)）。判斷：方程組2x?y=3x+3y=5解：檢驗(yàn)x=1y=?1:代入①2(檢驗(yàn)x=2y=1:代入①2(知識(shí)點(diǎn)分析：鞏固二元一次方程組解的定義（必須同時(shí)滿足兩個(gè)方程）和檢驗(yàn)方法。填空：已知x=3y=?2是方程組mx+y解：把解x=3代入第一方程：m(3)+(?代入第二方程：(3)?n將①式n=3m?2化簡(jiǎn)：3+6m?4=2m代入①：n答：m=14知識(shí)點(diǎn)分析：利用方程組解的定義，將解代入方程得到關(guān)于新參數(shù)m,n的方程組，并求解?？疾閷?duì)解的概念的理解和解方程的能力。設(shè)計(jì)意圖：通過三個(gè)層次分明的練習(xí)鞏固所學(xué)。練習(xí)1是課本實(shí)際問題建模與求解；練習(xí)2強(qiáng)化解的概念和檢驗(yàn)方法；練習(xí)3提升難度，利用解求參數(shù)，深化對(duì)概念的理解并聯(lián)系方程求解技能。及時(shí)反饋學(xué)習(xí)效果，查漏補(bǔ)缺，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)和(3)。（七）歸納總結(jié)概念定義說明二元一次方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。形式如ax+by=c(a,b,c為常數(shù)，a≠二元一次方程組把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的方程組。方程組中通常有兩個(gè)方程。解是這兩個(gè)方程的公共解。方程組的解二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解。是一對(duì)未知數(shù)的值x=ay=b檢驗(yàn)解將解x=ay=b是判斷一對(duì)數(shù)是否是方程組解的唯一方法。（八）感受中考(2024廣西)下列方程組中，是二元一次方程組的是（）。A.x+2y=5y=答案：C解析：A含三個(gè)未知數(shù)。B中xy項(xiàng)次數(shù)為2。D中x2項(xiàng)次數(shù)為2。C(2023青海)已知x=2y=1是二元一次方程ax+by=A.1.5B.2C.3D.6答案：C解析：把解代入方程：a×2+b×1(2024日照)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞兔各幾何。”設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)題意可列方程組為______。答案：x解析：“頭”數(shù)等量關(guān)系：雞頭+兔頭=總頭數(shù)→x+y=35?！白恪睌?shù)等量關(guān)系：雞足(2x)+兔足(4y)=(2022安徽)已知關(guān)于x,y的二元一次方程組3x?y=5x?2y=k答案：1（注：此題旨在體驗(yàn)中考題型，理解利用解的概念求參數(shù)，具體數(shù)字以理解方法為主。）設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。（九）小結(jié)梳理核心概念相互關(guān)系與應(yīng)用實(shí)際問題包含兩個(gè)未知量和兩個(gè)等量關(guān)系是建立二元一次方程組模型的前提。(例如：采棉機(jī)臺(tái)數(shù)與產(chǎn)量、籃球勝負(fù)數(shù)與積分)二元一次方程描述一個(gè)包含兩個(gè)未知量的等量關(guān)系。解有無數(shù)多組。(例如：x+y二元一次方程組將描述同一問題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)等量關(guān)系的二元一次方程組合在一起。目標(biāo)是找到公共解。方程組的解是唯一滿足方程組中所有方程的一對(duì)未知數(shù)的值(x=ay檢驗(yàn)是驗(yàn)證解的關(guān)鍵步驟，將解代入每一個(gè)方程看是否成立。應(yīng)用根據(jù)實(shí)際問題設(shè)未知數(shù)>找等量關(guān)系>列方程組>找（檢驗(yàn)）解>作答（考慮實(shí)際意義）。（十）布置作業(yè)1.必做題：(課本習(xí)題10.1第1題)填表，使上下每對(duì)x、y的值是方程3x+yx(提示：利用y=5(課本習(xí)題10.1第2題)方程組x+6y=4(A)x=2y=?0.25(B)(要求：檢