人教版數(shù)學(xué)九年級上冊試卷

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

例將方程3x(x-l)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一

次項系數(shù)和常數(shù)項.

練習(xí)

I.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項:

(1)5X2-1=4X；(2)4X2=81；

(3)4x(尤+2)=25；(4)(3x-2)(x+l)=8x-3.

2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：

(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x：

(2)一個矩形的長比寬多2,面積是100,求矩形的長x；

(3)把長為I的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較

短一段的長x.

習(xí)題21.1

復(fù)習(xí)鞏固

1.將下列方程化成?元二次方程的?般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、-次項系數(shù)和常數(shù)項:

(1)3X2+I=6X；(2)4X2+5X=8I；

(3)x(x+5)=0；(4)(2.r-2)(x-l)=0：

(5).r(x+5)=5x-10：(6)(3x-2)(x+l)=x(2x-l).

2.根據(jù)下列問題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：

(1)—個圓的面積是23tm2,求半徑；

(2)一個直角二角形的兩條直角邊相差3cm,面積是9cm2,求較長的直角邊的長.

3.下列哪些數(shù)是方程f+x-12=0的根？

-4,-3,-2,-I,0,1,2,3,4.

綜合運用

根據(jù)下列問題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式(第4~6題)：

4.一個矩形的長比寬多1cm,面積是132cm2,矩形的長和寬各是多少？

5.有一根1m長的鐵絲，怎樣用它圍成一個面積為0.06n12的矩形？

6.參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加聚會？

拓廣探索

7.如果2是方程Y-c=U的一個根，那么常數(shù)c是多少？求出這個方程的其他根.

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

練習(xí)

解下列方程：

(1)2X2-8=0：(2)9X2-5=3；(3)(x+6)2-9=0；

(4)3(X-1)2-6=0：(5)X2-4X+4=5；(6)9x2+5=l.

例l解下列方程：

(I)x2-8x+l=0；(2)2X2+I=3X：(3)3x2-6x+4=0.

練習(xí)

1.填空：

(1)x2+\Ox+==(x+『：(2)X2-\2X+=(x-

>2

(3)x2+5x4-=(x+『；(4)x2=(x_)2.

2.解下列方程：

(1)X2+10X+9=0；(2)A2-X--=O；

4

(3)3X2+6X-4=0；(4)4X2-6X-3=0；

(5)x2+4x-9=2x-l1；(5)x(x+4)=8x+12.

21.2.2公式法

例2用公式法解下列方程：

(1)X2-4X-7=0：(2)2<-2>/2x+l=0：

(3)5x2-3x=x+l：(4)x2+17=8x.

練習(xí)

I.解下列方程：

(I)x2+x-6=0：(2)x2-\f3x—=0：

4

(3)3X2-6X-2=0：(4)4X2-6X=0：

(5)x2+4x+8=4x+11；⑹x(2.v-4)=5-8.v.

2.求笫21.1節(jié)中問題I的答案.

21.2.3因式分解法

例3解下列方程：

I3

(1)x(x-2)+x-2=0；(2)5x2-2X--=X2-2X+^.

練習(xí)

1.解下列方程：

(1)x2+x=0；(2)工2-2&=0；

(3)3/-6x=-3；(4)4x2-121=0：

(5)3x(2x+l)=4x+2；(6)(X-4)2=(5-2X)\

2.如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面枳擴大了一倍.求小圓形場地的

半徑.

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

例4根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個根XI，X2的和與枳:

(1)X2-6X-15=0；(2)3X2+7X-9=0：

(3)5x-]=4x2.

練習(xí)

不解方程，求下列方程兩個根的和與積：

(1)X2-3X=15；(2)3X2+2=1-4X；

(3)5.r2-1=4x2+x：(42A2-X+2=3X+\.

習(xí)題21.2

復(fù)習(xí)鞏固

I.解下列方程：

22

(1)36X-1=0；(2)4x=81;

(3)(x+5)~=25；(4)x2+2A-+1=4.

2.填空:

(1)x2+6x+___=(x+___)~；(2)x2-x+___=(x-___)2：

(4)x2--|JV+=(-Y-___)2.

(3)4X2+4X+___=(2x+

3.用配方法解下列方程：

，3八

(1)x2+10x4-16=0；(2)x~-x——=0；

4

(3)3X2+6X-5=O；(4)4X2-X-9=0.

4.利用判別式判斷下列方程的根的情況:

3

(1)2x2-3x——=0；(2)16x2-24x4-9=0：

2

(3)X2-4>/2A+9=0：(4)3X2+10=2X2+8X.

5.用公式法解下列方程：

(1)X2+X-12=0；(2)X2-V2X--=0；

4

(3)x2+4x+8=2x+l1：(4)x(x-4)=2-8x：

(5)X2+2X=0：(6)f+2辰+10=0.

6.用因式分解法解卜.列方程：

(I)3X2-\2X=-\2,(2)4X2-144=0：

(3)3x(x-l)=2(x-l)：(4)(2X-1)2=(3-X)\

7.求下列方程兩個根的和與枳：

(1)x2-3x+2=10；(2)5x2+x-5=0；

(3)x2+x=5JT+6；(4)7x2-5=x+8.

綜合運用

8.一個直角三角形的兩條直角邊相差5cm,面積是7cm2.求斜邊的長.

9.參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共

有多少家公司參加商品交易會？

10.分別用公式法和因式分解法解方程/一6戈+9=(5—2不)2.

11.有一根20m長的繩，怎樣用它圍成一個面積為24m2的矩形？

拓廣探索

12.一個凸多邊形共有20條對光絨，它是幾邊形？是否存在有18條對角線的多邊形？如果存在,

它是幾邊形？如果不存在，說明得出結(jié)論的道理.

13.無論P取何值，方程(x—3)(x—2)—p2=0總有兩個不等的實數(shù)根嗎？給出答案并說明理

由.

21.3實際問題與一元二次方程

習(xí)題21.3

復(fù)習(xí)鞏固

1.解下列方程：

(1)%2+10x4-21=0；(2)x2-x-l=0；

(3)3x2+6x-4=0；(4)3x(x+l)=3x+3；

(5)4x2-4x+1=x2+6x+9：(6)7x2-V6A-5=0.

2.兩個相鄰偶數(shù)的積是168.求這兩個偶數(shù).

3.?個直角-：角形的兩條直角邊的和是14cm,面積是24cm2.求兩條直角邊的長.

綜合運用

4.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小

分支的總數(shù)是91,每個支干長出多少小分支？

5.一個菱形兩條對角線長的和是10cm,面積是12cm＜求菱形的周長，

6.參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？

7.青山村種的水稻2010年平均每公頃產(chǎn)7200kg,2012年平均每公頃產(chǎn)8450kg.求水稻每公頃產(chǎn)

量的年平均增長率.

8.要為一幅長29cm,寬22cm的照片配一個相框，要求相框的四條邊寬度相等，且相框所占面

積為照片面積的四分之一，相框邊的寬度應(yīng)是多少厘米(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)？

拓廣探索

9.如圖，要設(shè)計一幅寬20cm,長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比

為3：2.如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度(結(jié)果保留小數(shù)

點后一位)？

（第94）

10.如圖，線段AB的長為I.

AE~DCB

(第108)

(I)線段AB上的點C滿足關(guān)系式AC2=BC-AB,求線段AC的長度：

(2)線段AC上的點D滿足關(guān)系式AD?=CD?AC,求線段AD的長度：

(3)線段AD上的點E滿足關(guān)系式AE'DE*AD,求線段AE的長度.

上面各小題的結(jié)果反映了什么規(guī)律？

復(fù)習(xí)題

21復(fù)習(xí)鞏固

I.解下列方程：

22

(I)196X-1=0;(2)4x+12x4-9=81；

(3)X2-7X-1=0：(4)2.r+3x=3；

(5)x2-2x+l=25：(6)x(2x-5)=4x-10：

(7)x2+5.r+7=3x+\1：(8)I-8x+16x2=2-8x.

2.兩個數(shù)的和為8,枳為9.75.求這兩個數(shù).

3.一個矩形的長和寬相差3cm,面積是4cm2.求這個矩形的長和寬.

4.求下列方程兩個根的和與積：

(I)X2-5X-10=0；(2)2X2+7X+1=0；

(3)3犬-l=2x+5；(4)工-1)=3X+7.

綜合運用

5.一個直角梯形的下底比上底長2cm,高比上底短1cm,面積是8cm2.畫出這個梯形.

6.一個長方體的長與寬的比為5：2,高為5cm,表面積為40cm2.畫出這個長方體的展開圖.

7.要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都賽一場)，計劃安排15場比賽，應(yīng)

邀請多少個球隊參加比賽？

8.如下頁圖，利用一面墻(墻的長度不限)，用20m長的籬笆，怎樣圍成一個面積為50m2的矩

形場地？

（第8題）

9.某銀行經(jīng)過最近的兩次降息，使?年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,平均每次降息的仃

分率是多少（結(jié)果寫成a%的形式，其中a保留小數(shù)點后兩位）？

10.向陽村2010年的人均收入為12000元，2012年的人均收入為14520元.求人均收入的年平均

增長率.

11.用一條長40cm的繩子怎樣圍成一個面積為75cm2的矩形？能回成一個面積為lOlcn?的矩形

嗎？如能，說明圍法；如不能，說明理由.

拓廣探索

12.如圖,要設(shè)計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長100m,下底長1gom，上下底相距80m.在兩

腰中點連線處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等.甬道的面枳是

梯形面積的六分之一.甬道的寬應(yīng)是多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）？

可利用梯形的中位線求解.梯形的中位線是連接梯形兩腰中點的線段，其長度等于兩底和的一半.

（第12題）

13.一個小球以5m/s的速度開始向前滾動，并且均勻減速，4s后小球停止?jié)L動.

（1）小球的滾動速度平均每秒減少多少？

（2）小球滾動5m約用了多少秒（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？

（提示：勻變速直線運動中，每個時間段內(nèi)的平均速度,（初速度與末速度的算術(shù)平均數(shù)）與

路程s,時間i的關(guān)系為$一點.）

第二十二章二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.1.1二次函數(shù)

練習(xí)

1.一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表而枳S與底面半徑r之間的關(guān)系式.

2.如圖，矩形綠地的長、寬各增加xm,寫出擴充后的綠地的面積y與x的關(guān)系式.

22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

例1在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù))，=y=2W的圖象

練習(xí)

說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：

(1)y=3x2；(2)y=-3x2；

(3)y=-x2：(4)y=--x2.

3-3

22.1.3二次函數(shù)y=。"一M的圖象和性質(zhì)

例2在同一直角坐標(biāo)系中，畫H二次函數(shù))，=2/+1,的圖象.

練習(xí)

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象:

1,12r12c

)，=-f,y=-x+2,y=-x-2.

2-22

觀察三條拋物線的位置關(guān)系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點.你能說出拋物線

),=L/+&的開口方向、對稱軸和頂點嗎？它與拋物線),=!9有什么關(guān)系？

22

練習(xí)

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象：

2

),=#,y=i(%+2),)'=*—2『.

觀察三條拋物線的位置關(guān)系，并分別指出它們的開口方向、對稱釉和頂點.

例3畫出函數(shù))，=-3(刀+1『-1的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點.怎樣移動拋物

2

線)，=-lx就可以得到拋物線y=-g(x+1)?-1?

例4要修建?個圓形噴水池，在池中心豎直安裝?根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴

出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m,水柱落地處離池中心

3m,水管應(yīng)多長？

練習(xí)

說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：

(1)y=2(x+3『+5：(2))，=-3(1『-2：

(3)y=4(x-3)2+7：(4)y=-5(x+2)2-6.

22.1.4二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c的圖象和性質(zhì)

練習(xí)

寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：

(1)y=3f+2x；(2)y=-x2-2A；

(3)y=-2x2+8x-8；(4)y=x2-4.v+3.

練習(xí)

I.一個二次函數(shù)，當(dāng)自變量x=0時，函數(shù)值y=-l,當(dāng)x=-2與;時，y=0.求這個二次函數(shù)的解析

式.

2.一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,0),(-1,-1),(1,9)三點.求這個二次函數(shù)的解析式.

習(xí)題22.1

復(fù)習(xí)鞏固

I.-■個矩形的長是寬的2倍，寫出這個矩形的面積關(guān)于寬的函數(shù)缽析式.

2.某種商品的價格是2元，準(zhǔn)備進行兩次降價.如果每次降價的百分率都是x,經(jīng)過兩次降價后

的價格y(單位：元)隨每次降價的百分率x的變化而變化，y與x之間的關(guān)系可以用怎樣的函

數(shù)來表示？

3.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象：

y=4x2,y=-4x2,),=.

4.分別寫出拋物線v=5/與y=—的開口方向、對稱軸和頂點.

5.分別在同一直角坐標(biāo)系中，插點畫出下列各組二次函數(shù)的圖象，并寫出對稱軸和頂點:

119I9

(1)y=5x2+3,y=-x2-2；(2)y=--(x+2),y=--(%-1)"；

(3)y=-(x+2)2-2,y=-(x-l)?-2.

22

6.先確定下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點，再描點畫圖：

(1)y=-3x2+\2x-3；(2)y=4x2-24x+26；

(3)y=2x2+8x-6；(4)y=5x2-2x-l.

綜合運用

7.填空：

(I)已知函數(shù)y=2"+l『+l,當(dāng)x<時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>時，y隨

x的增大而增大：

(2)己知函數(shù))，=-2f+x-4,當(dāng)xv時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>時，y隨

x的增大而減小.

8.如圖,在aABC中，ZB=9OC,AB=12mm.BC=24mm,動點P從點A開始沿邊AB向點B

以2mm/s的速度移P動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動.如果P,Q

兩點分別從A,B兩點同時出發(fā)，那么aPliQ的面積S隨出發(fā)時間t如何變化？寫出S關(guān)于1

的函數(shù)解析式及t的取值范圍.

9.一輛汽車的行駛距離s(單位：m)關(guān)于行駛時間t(單位：s)的函數(shù)解析式是5=9/+2〃，

2

經(jīng)過12s汽車行駛了多遠？行駛380m需要多少時間？

*10.根據(jù)二次函數(shù)圖象上三個點的坐標(biāo)，求出函數(shù)的解析式:

(I)(-b3),(1,3),(2,6):(2)(-1,-1),(0,-2),(I,I)；

(3)(-1,0),(3,0),(1,-5)；(4)(1,2),(3,0),(-2,20).

*11.拋物線)，二以2+法+。經(jīng)過(-1,-22),(0,-8),(2,8)三點，求它的開口方向、對稱軸

和頂點.

拓廣探索

12.如圖，鋼球從斜面頂端由靜上開始沿斜面滾下，速度每秒增加L5m/s.

(1)寫出滾動的距離s(單位：m)關(guān)于滾動的時間I(單位：s〕的函數(shù)解析式.(提示：本題

距離=平均速度時間I,工二用三，其中，%是開始時速度，斗是t秒時的速度.)

(2)如果斜面的長是3m,鋼球從斜面頂端滾到底端用多長時間？

22.2二次函數(shù)與一元二次方程

例利用函數(shù)圖象求方程/-21-2=0的實數(shù)根(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).

習(xí)題22.2

復(fù)習(xí)鞏固

I.已知函數(shù)y=/-4x+3.

(1)畫出這個函數(shù)的圖象：

(2)觀察圖象，當(dāng)x取哪些值時，函數(shù)值為0?

2.用函數(shù)的圖象求下列方程的解：

(1)X2-3X+2=0；(2)-X2-6X-9=0.

綜合運用

3.如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關(guān)系

(1)畫出上述函數(shù)的圖象；

(2)觀察圖象，指出鉛球推出的距離.

(第3題)，

4.拋物線y=at2+/?x+c,與x軸的公共點是(-L0),(3,0),求這條拋物線的對稱釉.

拓廣探索

5.畫出函數(shù)y=d—2.r—3的圖象，利用圖象回答：

(1)方程f-2%-3=0的解是什么？

(2)x取什么值時,函數(shù)值大于0?

(3)x取什么值時，函數(shù)值小于0?

6.如果aX),拋物線y=ax2+瓜+。的頂點在什么位置時，

(1)方程aF+法+。=0有兩個不等的實數(shù)根？

(2)方程ad+"+c=0有兩個相等的實數(shù)根？

(3)方程ad+"+c=0無實數(shù)根？

如果a<0呢？

22.3實際問題與二次函數(shù)

習(xí)題22.3

復(fù)習(xí)鞏固

I.下列拋物線有最高點或最低點嗎？如果有，寫出這些點的坐標(biāo)：

(1)y=-4x2+3x；(2)y=3x2+x+6.

2.某種商品每件的進價為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(l(X)-x)件，應(yīng)如何

定價才能使利潤最大？

3.飛機著陸后滑行的距離s(單位:m)關(guān)于滑行的時間1(單位:s)的函數(shù)解析式是s=60/-I.5/2.

匕機著陸后滑行多遠才能停下又？

4.已知直角三角形兩條直角邊的和等于8,兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最

大？最大值是多少？

5.如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD互相垂直，AC+BD=IO.當(dāng)AC,BD的長是多少

時，四邊形ABCD的面積最大？

（第5題）

綜合運用

6.一塊三角形材料如圖所示，N'A=30°,ZC=90°,AB=12用這塊材料剪出一個矩形CDEF,

其中，點D,E,F分別在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形CDEF的面積最大，點E應(yīng)選在何

7.如圖，點E,F,G,H分別位于正方形ABCD的四條邊上.四邊形EFGH也是正方形.當(dāng)點E

位于何處時，正方形EFGH的面積最??？

（第7題）

8.某賓館有50個房間供游客居住.當(dāng)每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當(dāng)每個

房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑.如果游客居住房間，賓館需對每個房間

每天支出20元的各種費用.房價定為多少時，賓館利潤最大？

拓廣探索

9.分別用定長為L的線段用成矩形和網(wǎng)，哪種圖形的面積大？為什么？

復(fù)習(xí)題22

復(fù)習(xí)鞏固

I.如圖，正方形ABCD的邊長是4.E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上的一點，BE=DF.四邊形

AEGF是矩形，矩形AEGF的面枳y隨BE的長x的變化而變化，y與x之間的關(guān)系可以用怎樣

的函數(shù)來表示？

2.某商場第1年銷售計算機5(X：0臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x,寫出第

3年的銷售量y關(guān)于每年增加的百分率x的函數(shù)解析式.

3.選擇題.

在拋物線丁=/一4犬一4上的一個點是().

(A)(4,4)(B)(3,-I)

(C)(-2,-8)(D)--)

24

4.先確定下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點，再描點畫圖：

(1)y=x2+2x-3；(2)y=l+6x-x2：

(3)y=5x2+2x+l：(4)y=-^x2+x-4.

5.汽車剎車后行駛的距離s(單位：m)關(guān)于行駛的時間1(單位：s)的函數(shù)解析式是S=15/-6/2.

汽車剎車后到停下來前進了多遠？

綜合運用

*6.根據(jù)下列條件，分別確定二次函數(shù)的解析式：

(1)拋物線)，=0￥2+云+。過點(32),(-1,-1),(1,3)；

(2)拋物線)，naP+Izr+c與x軸的兩交點的橫坐標(biāo)分別是與y軸交點的縱坐標(biāo)

22

是-5.

7.如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊奇墻的18m矩形菜園,墻長為18m.這個矩形的長、

寬各為多少墻時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

18m

墻

菜園

（第7題）

8.已知矩形的周長為36cm,矩形繞它的?條邊旋轉(zhuǎn)形菜園成一個圓柱.矩形的長、寬各為多少時,

旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？

拓廣探索

9.如圖，點E,F,G,H分別在菱形ABCD的四條邊上，BE=BF=DG=DH,連接EF,FG,GH,

HE,得到四邊形EFGH.

（1）求證：四邊形EFGH是矩形.

（2）設(shè)AB=a,ZA=60°,當(dāng)BE為何值時，矩形EFGH的面積最大？

10.對某條路線的長度進行n次測量，得到n個結(jié)果Xi，X2,…，X，如果用x作為這條路線長度

的近似值，當(dāng)X取什么值時，|>3）2+（工一電）2++（尸/）2最?。縓所取的這個值是哪個

常用的統(tǒng)計量？

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

練習(xí)

1.請你舉出一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中旋轉(zhuǎn)的實例，并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

2.時鐘的時針在不停地旋轉(zhuǎn)，從上午6時到上午9時，時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角是多少度？從上午9

時到上午10時呢？

3.如圖，杠桿繞支點轉(zhuǎn)動插起重物，杠桿的旋轉(zhuǎn)中心在哪里？旋轉(zhuǎn)角是哪個角？

A

B（第3題）

例如圖23.14E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把4ADE順時針旋

轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

練習(xí)

1.如圖，小明坐在秋千上，秋千旋轉(zhuǎn)了80。.請在圖中小明身上任意選一點P,利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì),

標(biāo)出點P的對應(yīng)點.

（1）這兩個點到旋轉(zhuǎn)中過的距離有怎樣的關(guān)系？

（2）這兩個點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角是多少度？

（第1題）

2.如圖，用左面的三角形經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)，可以得到右面的圖形?

（第2題）

3.找出圖中扳手擰螺母時的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

V\J

（第3題）

練習(xí)

把一個三:角形進行旋轉(zhuǎn)：

（1）選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心、不同的旋轉(zhuǎn)角，看著旋轉(zhuǎn)的效果：

（2）改變?nèi)切蔚男螤?，看看旋轉(zhuǎn)的效果.

習(xí)題23.1

復(fù)習(xí)鞏固

1.任意畫一個AABC,作下列旋轉(zhuǎn)：

（1）以點A為中心，把AABC逆時針旋轉(zhuǎn)40°；

（2）以點B為中心，把△ABC順時針旋轉(zhuǎn)60°：

（3）在AABC外任取一點為中心，把△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120°；

（4）以AC的中點為中心,把ZXABC旋轉(zhuǎn)中0°.

2.說出如圖所示的壓水機壓水時的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

（第2題）

3.Z\ABC中，AB=AC,P是BC邊上任意一點.以點A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于NBAC,把△ABP

逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

（第3題）

4.分別畫出△ABC繞點0逆時噌旋轉(zhuǎn)90°和180°后的圖形.

5.下面的圖形是由一個基本的圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的，分別指出它們的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

綜合運用

6.把圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時，旋轉(zhuǎn)后的五角星能與自

身重合？對等邊三角形進行類似的討論.

7.圖中的風(fēng)車圖案，可以由哪個基本的圖形、經(jīng)過什么樣的旋轉(zhuǎn)得到？

8.如圖，用一個等腰三角形，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，制作一個五角星圖案.（提示：選擇旋轉(zhuǎn)中心，計算旋

轉(zhuǎn)角.）

（第8題）

9.如圖,△ABC中，ZC=90°.

（1）將AABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90",畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形：

（2）若BC=3,AC=4,點A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為Al求AA的長.

拓廣探索

10.如圖，△ABD,AAEC都是等邊三角形.BE與DC有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述

關(guān)系成立的理由嗎？

D

A

(第10題)

11.以原點為中心，把點A(4,5)逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到點B,求點B的坐標(biāo).

23.2中心對稱

23.2.1中心對稱

例1(1)如圖23.2-4,選擇點O為對稱中心，畫出點A關(guān)于點O的對稱點A,；

(2)如圖2325,選擇點O為對稱中心，畫出與AABC關(guān)于點0對稱的△ABC.

C

A.

6

圖23.2-4國23.2-5

練習(xí)

1.分別畫出下列圖形關(guān)于點O對稱的圖形.

0?。

(第1題)

2.圖中的兩個四邊形關(guān)于某點龍稱，找出它們的對稱中心.

(第2題)

23.2.2中心對稱圖形

練習(xí)

1.在我們學(xué)過的圖形中，你能說出一些中心對稱圖形嗎？

2.在以下的圖案中，哪些是中心對稱圖形？再舉出幾個自然界以及生活、生產(chǎn)中中心對稱圖形

的實例.

血

23.2.3關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)

例2如圖23.2-12所示，利在關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系，作出與aABC關(guān)于原點對稱

1.卜列各點中哪兩個點關(guān)于原點0對稱？

A(-5,0),B(0,2),C(2,-1),D(2,0),E(O,5),F(-2,1),G(-2,-1).

2.寫出下列各點關(guān)于原點的對稱點AlB',C,D的坐標(biāo)：

A(3,1),B(-2,3),C(-1,-2),D(2,-3)

3.如圖，已知點A的坐標(biāo)為(-2,2),點B的坐標(biāo)為(-1,-G),菱形ABCD的對角線

交于坐標(biāo)原點O.求C,D兩點的坐標(biāo).

習(xí)題23.2

嵬習(xí)鞏固

I.分別畫出下列圖形關(guān)于點O對稱的圖形.

oo

2.下列圖形是中心對稱圖形嗎？如果是中心對稱圖形，指出其對稱中心.

3.四邊形ABCD各頂點坐標(biāo)分別為A(5,0),B(-2,3),C(-1,0),D(-1,-5),作出與四

邊形ABCD關(guān)于原點對稱的圖形.

4.已知點A(a.I)與點A，(5,b)關(guān)于原點對稱，求a,b的值.

綜合運用

5.如圖,Oi，O2分別是兩個半圓的圓心,這個圖形是中心對稱圖形嗎?如果不是,請說明理由;

如果是，請指出對稱中心.

6.已知△ABC,能否通過平移、軸對稱或旋轉(zhuǎn)，得到另一個三角形，使得這兩個三角形能夠拼

成一個以AC,AB為鄰邊的平行四邊形？

7.如圖，能否通過平移、軸對稱或旋轉(zhuǎn)，由AABC得到ADEC?

拓廣探索

8.如圖，過菱形對角線交點的一條直線，把菱形分成了兩個梯形，這兩個梯形全等嗎？為什么？

9.如圖，由兩個全等的梯形可以拼成一個菱形嗎？符合什么條件的兩個全等梯形可以拼成一個

菱形？

（第9題）

1（）.如圖，4ADE和ABCF是「八灰?。外的兩個等邊三角形，用旋轉(zhuǎn)的知識說明AADE^llABCF

成中心對稱.

（第10題）

23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計

復(fù)習(xí)題23

復(fù)習(xí)鞏固

I.如圖，把RlZXABC以點S為中心順時針旋轉(zhuǎn)30°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

2.如圖，上面的圖案是由什么基本圖案經(jīng)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的？

（第2題）

3.在美術(shù)字中，有些漢字或字母是中心對稱圖形.下面的漢字或字母是中心對稱圖形嗎？如果是,

請標(biāo)出它們的對稱中心.

（第3題）

綜合運用

4.已知線段AB,用平移、軸對稱或旋轉(zhuǎn)完成以下各題：

A<-----------------B

（第I題）

（1）畫出一個以這條線段為一邊的正方形：

（2）畫出一個以這條線段為一邊的等邊三角形：

（3）畫出一個以這條線段為一邊，一個內(nèi)角是30°的菱形.

5.如圖，AABC和4ECD都是等邊三角形，△EBC可以看作是aDAC經(jīng)過平移、軸對稱或旋

轉(zhuǎn)得到.說明得到4EBC的過程.

6.能否通過平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)把右邊傾斜的樹放在左邊直立的位置？

（第6題）

7.如圖，有一張紙片，若連接EB,則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD.請你畫一條直線把這

張紙片分成面積相等的兩部分，并說明理由.

8.如圖，（］）中的梯形符合什么條件時，可以經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和軸對稱形成（2）中的圖案？

（第8題）

第二十四章圓

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

例1矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0.求證：A,B,C,D四個點在以點O為圓心

的同一個圓上.

練習(xí)

L如何在操場上畫一個半徑是5m的圓？說出你的理由

2.你見過樹木的年輪嗎？從樹木的年輪，可以知道樹木的年齡.把樹干的橫截面看成是圓形的,

如果一棵20年樹齡的樹的樹干直徑是23cm,這棵樹的半徑平均每年增加多少？

3.ZXABC中，NC=90°.求證：A,B,C三點在同一個圓上.

24.1.2垂直于弦的直徑

例2趙州橋（圖24.1-7）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人

民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m,拱高（弧的

中點到弦的距離）為7.23m,求趙州橋主:橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

圖21.1-7

練習(xí)

1.如圖，在。O中，弦AB的長為8cm,圓心O到AB的距離為3cm.求。。的半徑.

（第I出

2.如圖，在。O中，AB,AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODJ_AB,0E1AC,垂足分別為D,

E.求證：四邊形ADOE是正方形.

(第2題)

24.1.3弧、弦、圓心角

例3如圖24.1-10,在。O中，AB=AC,NACB=60".求證：ZAOB=ZBOC=ZAOC.

圖24.1-10

練習(xí)

1.如圖，AB,CD是。O的兩條弦.

(1)如果AB=CD,那么,.

(2)如果AB=C力，那么,.

(3)如果NAOB=NCOD,那么,.

(4)如I果AB=CD,OE±AB,OF_LCD,垂足分別為E,F,OE與OF相等嗎？為什么？

(第1題)

2.如圖，AB是。O的直徑，BC=CD=DE,NCOD=35°.求NAOE的度數(shù).

D

（第2題）

24.1.4圓周角

例4如圖24.1-14,。0的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,NACB的平分線交。O于點D,

求BC,AD,BD的長.

I.判斷下列圖形中的角是不是圓周角，并說明理由:

2.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC,BD把它的4個內(nèi)角分成8個角，這些角中哪些相

等？為什么？

D

（第2題）

3.如圖，OA,OB,OC都是。。的半徑，NAOB=2NBOC.求證：ZACB=2ZBAC.

（第3題）

4.如圖，你能用三角尺確定?張圓形紙片的圓心嗎？有幾種方法？與同學(xué)交流一下.

《第4題》

5.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0O,E為CD延長線上一點.若NB=U（）°,求/ADE的度數(shù).

（第5題）

習(xí)題24.1

復(fù)習(xí)鞏固

I.求證：直徑是圓中最長的弦.

2.如圖,在半徑為50mm的€）0中,弦AB長50mm.求:

（I）NAOB的度數(shù)：

（2）點0到AB的距離.

?

（第2題）

3如.圖，。0中，AB=AC,ZC=75a.求NA的度數(shù).

4如.圖，AD=BC,比較A8與CD的長度，并證明你的結(jié)論.

◎

（第4題）

5如.圖，。0中，OA±BC,ZAOB=50L.求NADC的度數(shù).

A

c

D

（第5題）

6如.三圖，用直角曲尺檢行查半圓形的工件，哪個是合格的？為什么？

（第6題）

7.求證：圓內(nèi)接平行四邊形是矩形.

綜合運用

8.如下頁圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點0為圓心的圓的一部分.如果M是。O中弦

CD的中點，EM經(jīng)過圓心0交。O于點E,并且CD=4m,EM=6m.求。0的半徑.

9.如圖，兩個圓都以點0為圓心，大圓的弦AB交小圓于C,D兩點.求證：AC=BD.

10.00的半徑為13cn】，AB,CD是。O的兩條弦，AB/7CD,AB=24cm,CD=IOcm.求AB和

CD之間的距離.

11.如圖，AB,CD是。0的兩條平行弦，MN是AB的垂直平分線.求證：MN垂直平分CD.

（第11題）

12.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋ8）,點0是這段弧所在圓的圓心.AB=300m,C是

A8上一點，OC_LAB,垂足為D,CD=45m.求這段彎路的半徑.

（第12X）

13.如圖，A,B是。0上的兩點，ZAOB=120°,C是AB的中點.求證：四邊形OACB是菱形.

（第13題）

14.如圖，A,P,B,C是OO上的四個點，/APC=NCPB=60°.判斷aABC的形狀，并證明你

的結(jié)論.

（第14題）

拓廣探索

15.如圖,AB和CD分別是G>O上的兩條弦，圓心O到它們.的距離分別是OM和ON.如果AB>CD,

OM和ON的大小有什么關(guān)系？為什么？

（第】5題）

16.如圖，鐵路MN和公路PQ在點O處交會，NQON=3（『，在點A處有一棟居民樓，AO=2（X）m.

如果火車行駛時，周圍200m以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么火車在鐵路MN上沿ON方向行駛

時，居民樓是否會受到噪聲的影響？如果火車行駛的速度為72km/h,居民樓受噪聲影響的時間

約為多少秒（不考慮火車長度，結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？

17.如圖，一個海港在XY范圍內(nèi)是淺灘.為了使深水船只不進入淺灘，需要測量船所在的位置與

兩個燈塔的視角NXPY,并把它與已知的危險角NXZY（XV上任意一點乙與兩個燈塔所成的

角）相比較，航行中保持NXPYcNXZY.你知道這樣做的道理嗎？

（第】7題）

24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系

24.2.1點和圓的位置關(guān)系

練習(xí)

I.畫出由所有到已知點O的距離大于或等于2cm,并且小于或等于3cm的點組成的圖形.

2.體育課上，小明和小麗的鉛球成績分別是6.4m和5.1m,他們投出的鉛球分別落在圖中哪個區(qū)

域內(nèi)？

《第2題》

3.如圖，CD所在的直線垂直平分線段AB,怎樣用這樣的工具找到圓形工件的圓心？

D

（第3題）

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系

練習(xí)

圓的直徑是13cm,如果圓心與直線的距離分別是:

(1)4.5cm：(2)6.5cm；(3)8cin.

那么直線和圓分別是什么位置關(guān)系？有幾個公共點？

例1如圖24211,Z^ABC為等腰三角形，0是底邊BC的中點，腰AB與OO相切于點D.

求證：AC是。。的切線.

I.如圖，AB是。0的直徑，ZABT=45°,AT=AB.求證：AT是00的切線.

（第1題）

2.如圖，AB是。O的直徑，直線h，12是。。的切線，A,B是切點.h，L有怎樣的位置關(guān)系？

證明你的結(jié)論.

A

(第2題)

例2如圖24217,ZXABC的內(nèi)切圓。O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=9,

BC=14.CA=13.求AF.BD.CE的長一

圖24.2-17

練習(xí)

1.如圖,4ABC中,ZABC=50°，ZACB=75°，點O是△ABC的內(nèi)心.求NBOC的度數(shù).

的內(nèi)切圓半徑為r,AARC的周K?為I,求AARC的面積(提示：設(shè)AARC的內(nèi)心為

O,連接OA,OB,0C.)

習(xí)題24.2

復(fù)習(xí)鞏固

1.00的半徑為10cm,根據(jù)下列點P到圓心0的距離，判斷點P和。0的位置關(guān)系：

(1)8cm；(2)10cm：(3)12cm.

2.Rl^ABC中，NC=90°,AC=3cm,BC=4cm,判斷以點C為圓心，下列r為半徑的。C與

AB的位置關(guān)系：

(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm.

3.?根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫裁面如圖所示，鋼管的半徑是2：cm.

(1)如果UV=28cm,VT是多少？

(2)如果NUVW=60°,VT是多少？

4.如圖，直線AB經(jīng)過。0上的點C,并FI.OA=OB,CA=CB.求證：直線AB是。0的切線.

《第4墨》

5.如圖，以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點P為切點.求證：AP=BP.

6.如圖，PA,PB是0O的切線，A,B為切點，AC是。。的直徑，NBAC=25°.求NP的度數(shù).

(第6題)

綜合運用

7.已知AB=6cm,畫半徑為4cm的圓，使它經(jīng)過A,B兩點.這樣的圓能畫出多少個？如果半徑

為3cm,2cm呢？

8.如圖，分別作出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的外接圓，它們外心的位置有什么特

點？

9.如圖是一名考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一塊古代車輪的碎片，你能幫他找出這個輪子的半徑嗎？說出你

的理由.

10.如圖，一個油桶靠在直立的墻邊，量得WY=0.65m,并且XY_LWY.這個油桶的底面半徑是

多少？為什么？

（第10題）

11.如圖,AB,BC,CD分別與00相切于E,F,G三點,且AB〃CD,BO=6cm,CO=8cm.

求BC的長.

12.如圖，AB為?O的直徑，C為。O上一一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D.求證:

AC平分NDAB.

（第12%）

拓廣探索

13.如下頁圖,等圓OOi和。等相交于A,B兩點,OOi經(jīng)過。02的圓心02.求NOiAB的度數(shù).

14.如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.求AABC的內(nèi)切圓半徑

24.3正多邊形和圓

例如圖24.3-4,有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結(jié)果保

留小數(shù)點后一位）.

土

1324.3-4

練習(xí)

I.矩形是正多邊形嗎？菱形呢？正方形呢？為什么？

2.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的國內(nèi)接多邊形呢？如果是，說明為什么：

如果不是，舉出反例.

3.分別求半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距和面枳.

練習(xí)

I.畫一個半徑為2cm的正五邊形，再作出這個正五邊形的各條對甭線，畫出一個五角星.

2.用等分圓周的方法畫出下列圖案：

習(xí)題24.3

復(fù)習(xí)鞏固

1.完成下表中有關(guān)正多邊形的計算:

正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積

360°2>/3

41

66

2.要用圓形鐵片截出邊長為a的正方形鐵片，選用的圓形鐵片的半徑至少是多少？

3.正多邊形都是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸在哪里？正多邊形都是中心對稱圖形嗎？

如果是，它的對稱中心在哪里？

4.如圖，H,I,J,K,L分別是正五邊形ABCDE各邊的中點.求證：五邊形HIJKL是正五邊形.

綜合運用

5.如下頁圖，要擰開一個邊長a=12mm的六角形螺帽，扳手張開的開口b至少要多少？

6.如圖，正方形的邊長為4cm,剪去四個角后成為一個正八邊形.求這個正八邊形的邊長和面積.

（第6題）

7.用48m長的籬笆在空地上圍成一個綠化場地，現(xiàn)有四種設(shè)計方案：正三角形、正方形、正六

邊形、圓.哪種場地的面積最大（可以利用計算器計算）？

拓廣探索

8.把圓分成n（n23）等份，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形叫做這

個圓的外切正n邊形.如圖，。。的半徑是R,分別求它的外切正三角形、外切正方形、外切正

六邊形的邊長.

（第8題）

24.4弧長和扇形面積

例I制造彎形管道時，經(jīng)常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖2441所示的

管道的展直長度L（結(jié)果取整數(shù)）.

例2如圖2443,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m,其中水面高0.3m.求截面上

有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.

1.弧長相等的兩段孤是等孤嗎？

2.如圖，有一段彎道是圓弧形的，道長是12m,弧所對的圓心角是81°.這段圓弧所在圓的半徑

R是多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？

（第2題）

3.如圖，正三角形ABC的邊長為a,D,E,F分別為BC,CA,AB的中點，以A,B,C三點

為圓心，區(qū)長為半徑作圓.求圖中陰影部分的面積.

2

A

(第3題)

例3蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成.如果想用毛氈搭建20個底面積為12m2,高為

3.2m,外圍高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛植(幾取3.142,結(jié)果取整數(shù))？

練習(xí)

1.圓錐的底面直徑是80cm,母線長90cm.求它的側(cè)面展開圖的圓心角和圓錐的全面積.

2.如圖，圓錐形的煙囪帽的底面圓的直徑是8