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文檔簡介
第二十一章一元二次方程
21.1一元二次方程
例將方程3x(x-l)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項系數(shù)、一
次項系數(shù)和常數(shù)項.
練習(xí)
I.將下列方程化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項:
(1)5X2-1=4X;(2)4X2=81;
(3)4x(尤+2)=25;(4)(3x-2)(x+l)=8x-3.
2.根據(jù)下列問題,列出關(guān)于x的方程,并將所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x:
(2)一個矩形的長比寬多2,面積是100,求矩形的長x;
(3)把長為I的木條分成兩段,使較短一段的長與全長的積,等于較長一段的長的平方,求較
短一段的長x.
習(xí)題21.1
復(fù)習(xí)鞏固
1.將下列方程化成?元二次方程的?般形式,并寫出其中的二次項系數(shù)、-次項系數(shù)和常數(shù)項:
(1)3X2+I=6X;(2)4X2+5X=8I;
(3)x(x+5)=0;(4)(2.r-2)(x-l)=0:
(5).r(x+5)=5x-10:(6)(3x-2)(x+l)=x(2x-l).
2.根據(jù)下列問題列方程,并將所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)—個圓的面積是23tm2,求半徑;
(2)一個直角二角形的兩條直角邊相差3cm,面積是9cm2,求較長的直角邊的長.
3.下列哪些數(shù)是方程f+x-12=0的根?
-4,-3,-2,-I,0,1,2,3,4.
綜合運用
根據(jù)下列問題列方程,并將所列方程化成一元二次方程的一般形式(第4~6題):
4.一個矩形的長比寬多1cm,面積是132cm2,矩形的長和寬各是多少?
5.有一根1m長的鐵絲,怎樣用它圍成一個面積為0.06n12的矩形?
6.參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人參加聚會?
拓廣探索
7.如果2是方程Y-c=U的一個根,那么常數(shù)c是多少?求出這個方程的其他根.
21.2解一元二次方程
21.2.1配方法
練習(xí)
解下列方程:
(1)2X2-8=0:(2)9X2-5=3;(3)(x+6)2-9=0;
(4)3(X-1)2-6=0:(5)X2-4X+4=5;(6)9x2+5=l.
例l解下列方程:
(I)x2-8x+l=0;(2)2X2+I=3X:(3)3x2-6x+4=0.
練習(xí)
1.填空:
(1)x2+\Ox+==(x+『:(2)X2-\2X+=(x-
>2
(3)x2+5x4-=(x+『;(4)x2=(x_)2.
2.解下列方程:
(1)X2+10X+9=0;(2)A2-X--=O;
4
(3)3X2+6X-4=0;(4)4X2-6X-3=0;
(5)x2+4x-9=2x-l1;(5)x(x+4)=8x+12.
21.2.2公式法
例2用公式法解下列方程:
(1)X2-4X-7=0:(2)2<-2>/2x+l=0:
(3)5x2-3x=x+l:(4)x2+17=8x.
練習(xí)
I.解下列方程:
(I)x2+x-6=0:(2)x2-\f3x—=0:
4
(3)3X2-6X-2=0:(4)4X2-6X=0:
(5)x2+4x+8=4x+11;⑹x(2.v-4)=5-8.v.
2.求笫21.1節(jié)中問題I的答案.
21.2.3因式分解法
例3解下列方程:
I3
(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2X--=X2-2X+^.
練習(xí)
1.解下列方程:
(1)x2+x=0;(2)工2-2&=0;
(3)3/-6x=-3;(4)4x2-121=0:
(5)3x(2x+l)=4x+2;(6)(X-4)2=(5-2X)\
2.如圖,把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地,場地面枳擴大了一倍.求小圓形場地的
半徑.
21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
例4根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,求下列方程兩個根XI,X2的和與枳:
(1)X2-6X-15=0;(2)3X2+7X-9=0:
(3)5x-]=4x2.
練習(xí)
不解方程,求下列方程兩個根的和與積:
(1)X2-3X=15;(2)3X2+2=1-4X;
(3)5.r2-1=4x2+x:(42A2-X+2=3X+\.
習(xí)題21.2
復(fù)習(xí)鞏固
I.解下列方程:
22
(1)36X-1=0;(2)4x=81;
(3)(x+5)~=25;(4)x2+2A-+1=4.
2.填空:
(1)x2+6x+___=(x+___)~;(2)x2-x+___=(x-___)2:
(4)x2--|JV+=(-Y-___)2.
(3)4X2+4X+___=(2x+
3.用配方法解下列方程:
,3八
(1)x2+10x4-16=0;(2)x~-x——=0;
4
(3)3X2+6X-5=O;(4)4X2-X-9=0.
4.利用判別式判斷下列方程的根的情況:
3
(1)2x2-3x——=0;(2)16x2-24x4-9=0:
2
(3)X2-4>/2A+9=0:(4)3X2+10=2X2+8X.
5.用公式法解下列方程:
(1)X2+X-12=0;(2)X2-V2X--=0;
4
(3)x2+4x+8=2x+l1:(4)x(x-4)=2-8x:
(5)X2+2X=0:(6)f+2辰+10=0.
6.用因式分解法解卜.列方程:
(I)3X2-\2X=-\2,(2)4X2-144=0:
(3)3x(x-l)=2(x-l):(4)(2X-1)2=(3-X)\
7.求下列方程兩個根的和與枳:
(1)x2-3x+2=10;(2)5x2+x-5=0;
(3)x2+x=5JT+6;(4)7x2-5=x+8.
綜合運用
8.一個直角三角形的兩條直角邊相差5cm,面積是7cm2.求斜邊的長.
9.參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同,所有公司共簽訂了45份合同,共
有多少家公司參加商品交易會?
10.分別用公式法和因式分解法解方程/一6戈+9=(5—2不)2.
11.有一根20m長的繩,怎樣用它圍成一個面積為24m2的矩形?
拓廣探索
12.一個凸多邊形共有20條對光絨,它是幾邊形?是否存在有18條對角線的多邊形?如果存在,
它是幾邊形?如果不存在,說明得出結(jié)論的道理.
13.無論P取何值,方程(x—3)(x—2)—p2=0總有兩個不等的實數(shù)根嗎?給出答案并說明理
由.
21.3實際問題與一元二次方程
習(xí)題21.3
復(fù)習(xí)鞏固
1.解下列方程:
(1)%2+10x4-21=0;(2)x2-x-l=0;
(3)3x2+6x-4=0;(4)3x(x+l)=3x+3;
(5)4x2-4x+1=x2+6x+9:(6)7x2-V6A-5=0.
2.兩個相鄰偶數(shù)的積是168.求這兩個偶數(shù).
3.?個直角-:角形的兩條直角邊的和是14cm,面積是24cm2.求兩條直角邊的長.
綜合運用
4.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支,主干、支干和小
分支的總數(shù)是91,每個支干長出多少小分支?
5.一個菱形兩條對角線長的和是10cm,面積是12cm<求菱形的周長,
6.參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽,共要比賽90場,共有多少個隊參加比賽?
7.青山村種的水稻2010年平均每公頃產(chǎn)7200kg,2012年平均每公頃產(chǎn)8450kg.求水稻每公頃產(chǎn)
量的年平均增長率.
8.要為一幅長29cm,寬22cm的照片配一個相框,要求相框的四條邊寬度相等,且相框所占面
積為照片面積的四分之一,相框邊的寬度應(yīng)是多少厘米(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?
拓廣探索
9.如圖,要設(shè)計一幅寬20cm,長30cm的圖案,其中有兩橫兩豎的彩條,橫、豎彩條的寬度比
為3:2.如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一,應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度(結(jié)果保留小數(shù)
點后一位)?
(第94)
10.如圖,線段AB的長為I.
AE~DCB
(第108)
(I)線段AB上的點C滿足關(guān)系式AC2=BC-AB,求線段AC的長度:
(2)線段AC上的點D滿足關(guān)系式AD?=CD?AC,求線段AD的長度:
(3)線段AD上的點E滿足關(guān)系式AE'DE*AD,求線段AE的長度.
上面各小題的結(jié)果反映了什么規(guī)律?
復(fù)習(xí)題
21復(fù)習(xí)鞏固
I.解下列方程:
22
(I)196X-1=0;(2)4x+12x4-9=81;
(3)X2-7X-1=0:(4)2.r+3x=3;
(5)x2-2x+l=25:(6)x(2x-5)=4x-10:
(7)x2+5.r+7=3x+\1:(8)I-8x+16x2=2-8x.
2.兩個數(shù)的和為8,枳為9.75.求這兩個數(shù).
3.一個矩形的長和寬相差3cm,面積是4cm2.求這個矩形的長和寬.
4.求下列方程兩個根的和與積:
(I)X2-5X-10=0;(2)2X2+7X+1=0;
(3)3犬-l=2x+5;(4)工-1)=3X+7.
綜合運用
5.一個直角梯形的下底比上底長2cm,高比上底短1cm,面積是8cm2.畫出這個梯形.
6.一個長方體的長與寬的比為5:2,高為5cm,表面積為40cm2.畫出這個長方體的展開圖.
7.要組織一次籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都賽一場),計劃安排15場比賽,應(yīng)
邀請多少個球隊參加比賽?
8.如下頁圖,利用一面墻(墻的長度不限),用20m長的籬笆,怎樣圍成一個面積為50m2的矩
形場地?
(第8題)
9.某銀行經(jīng)過最近的兩次降息,使?年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,平均每次降息的仃
分率是多少(結(jié)果寫成a%的形式,其中a保留小數(shù)點后兩位)?
10.向陽村2010年的人均收入為12000元,2012年的人均收入為14520元.求人均收入的年平均
增長率.
11.用一條長40cm的繩子怎樣圍成一個面積為75cm2的矩形?能回成一個面積為lOlcn?的矩形
嗎?如能,說明圍法;如不能,說明理由.
拓廣探索
12.如圖,要設(shè)計一個等腰梯形的花壇,花壇上底長100m,下底長1gom,上下底相距80m.在兩
腰中點連線處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等.甬道的面枳是
梯形面積的六分之一.甬道的寬應(yīng)是多少米(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)?
可利用梯形的中位線求解.梯形的中位線是連接梯形兩腰中點的線段,其長度等于兩底和的一半.
(第12題)
13.一個小球以5m/s的速度開始向前滾動,并且均勻減速,4s后小球停止?jié)L動.
(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少?
(2)小球滾動5m約用了多少秒(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?
(提示:勻變速直線運動中,每個時間段內(nèi)的平均速度,(初速度與末速度的算術(shù)平均數(shù))與
路程s,時間i的關(guān)系為$一點.)
第二十二章二次函數(shù)
22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
22.1.1二次函數(shù)
練習(xí)
1.一個圓柱的高等于底面半徑,寫出它的表而枳S與底面半徑r之間的關(guān)系式.
2.如圖,矩形綠地的長、寬各增加xm,寫出擴充后的綠地的面積y與x的關(guān)系式.
22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)
例1在同一直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)),=y=2W的圖象
練習(xí)
說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點:
(1)y=3x2;(2)y=-3x2;
(3)y=-x2:(4)y=--x2.
3-3
22.1.3二次函數(shù)y=。"一M的圖象和性質(zhì)
例2在同一直角坐標(biāo)系中,畫H二次函數(shù)),=2/+1,的圖象.
練習(xí)
在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列二次函數(shù)的圖象:
1,12r12c
),=-f,y=-x+2,y=-x-2.
2-22
觀察三條拋物線的位置關(guān)系,并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點.你能說出拋物線
),=L/+&的開口方向、對稱軸和頂點嗎?它與拋物線),=!9有什么關(guān)系?
22
練習(xí)
在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列二次函數(shù)的圖象:
2
),=#,y=i(%+2),)'=*—2『.
觀察三條拋物線的位置關(guān)系,并分別指出它們的開口方向、對稱釉和頂點.
例3畫出函數(shù)),=-3(刀+1『-1的圖象,并指出它的開口方向、對稱軸和頂點.怎樣移動拋物
2
線),=-lx就可以得到拋物線y=-g(x+1)?-1?
例4要修建?個圓形噴水池,在池中心豎直安裝?根水管,在水管的頂端安一個噴水頭,使噴
出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高,高度為3m,水柱落地處離池中心
3m,水管應(yīng)多長?
練習(xí)
說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點:
(1)y=2(x+3『+5:(2)),=-3(1『-2:
(3)y=4(x-3)2+7:(4)y=-5(x+2)2-6.
22.1.4二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c的圖象和性質(zhì)
練習(xí)
寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點:
(1)y=3f+2x;(2)y=-x2-2A;
(3)y=-2x2+8x-8;(4)y=x2-4.v+3.
練習(xí)
I.一個二次函數(shù),當(dāng)自變量x=0時,函數(shù)值y=-l,當(dāng)x=-2與;時,y=0.求這個二次函數(shù)的解析
式.
2.一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,0),(-1,-1),(1,9)三點.求這個二次函數(shù)的解析式.
習(xí)題22.1
復(fù)習(xí)鞏固
I.-■個矩形的長是寬的2倍,寫出這個矩形的面積關(guān)于寬的函數(shù)缽析式.
2.某種商品的價格是2元,準(zhǔn)備進行兩次降價.如果每次降價的百分率都是x,經(jīng)過兩次降價后
的價格y(單位:元)隨每次降價的百分率x的變化而變化,y與x之間的關(guān)系可以用怎樣的函
數(shù)來表示?
3.在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象:
y=4x2,y=-4x2,),=.
4.分別寫出拋物線v=5/與y=—的開口方向、對稱軸和頂點.
5.分別在同一直角坐標(biāo)系中,插點畫出下列各組二次函數(shù)的圖象,并寫出對稱軸和頂點:
119I9
(1)y=5x2+3,y=-x2-2;(2)y=--(x+2),y=--(%-1)";
(3)y=-(x+2)2-2,y=-(x-l)?-2.
22
6.先確定下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點,再描點畫圖:
(1)y=-3x2+\2x-3;(2)y=4x2-24x+26;
(3)y=2x2+8x-6;(4)y=5x2-2x-l.
綜合運用
7.填空:
(I)已知函數(shù)y=2"+l『+l,當(dāng)x<時,y隨x的增大而減小,當(dāng)x>時,y隨
x的增大而增大:
(2)己知函數(shù)),=-2f+x-4,當(dāng)xv時,y隨x的增大而增大,當(dāng)x>時,y隨
x的增大而減小.
8.如圖,在aABC中,ZB=9OC,AB=12mm.BC=24mm,動點P從點A開始沿邊AB向點B
以2mm/s的速度移P動,動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動.如果P,Q
兩點分別從A,B兩點同時出發(fā),那么aPliQ的面積S隨出發(fā)時間t如何變化?寫出S關(guān)于1
的函數(shù)解析式及t的取值范圍.
9.一輛汽車的行駛距離s(單位:m)關(guān)于行駛時間t(單位:s)的函數(shù)解析式是5=9/+2〃,
2
經(jīng)過12s汽車行駛了多遠?行駛380m需要多少時間?
*10.根據(jù)二次函數(shù)圖象上三個點的坐標(biāo),求出函數(shù)的解析式:
(I)(-b3),(1,3),(2,6):(2)(-1,-1),(0,-2),(I,I);
(3)(-1,0),(3,0),(1,-5);(4)(1,2),(3,0),(-2,20).
*11.拋物線),二以2+法+。經(jīng)過(-1,-22),(0,-8),(2,8)三點,求它的開口方向、對稱軸
和頂點.
拓廣探索
12.如圖,鋼球從斜面頂端由靜上開始沿斜面滾下,速度每秒增加L5m/s.
(1)寫出滾動的距離s(單位:m)關(guān)于滾動的時間I(單位:s〕的函數(shù)解析式.(提示:本題
距離=平均速度時間I,工二用三,其中,%是開始時速度,斗是t秒時的速度.)
(2)如果斜面的長是3m,鋼球從斜面頂端滾到底端用多長時間?
22.2二次函數(shù)與一元二次方程
例利用函數(shù)圖象求方程/-21-2=0的實數(shù)根(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).
習(xí)題22.2
復(fù)習(xí)鞏固
I.已知函數(shù)y=/-4x+3.
(1)畫出這個函數(shù)的圖象:
(2)觀察圖象,當(dāng)x取哪些值時,函數(shù)值為0?
2.用函數(shù)的圖象求下列方程的解:
(1)X2-3X+2=0;(2)-X2-6X-9=0.
綜合運用
3.如圖,一名男生推鉛球,鉛球行進高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的關(guān)系
(1)畫出上述函數(shù)的圖象;
(2)觀察圖象,指出鉛球推出的距離.
(第3題),
4.拋物線y=at2+/?x+c,與x軸的公共點是(-L0),(3,0),求這條拋物線的對稱釉.
拓廣探索
5.畫出函數(shù)y=d—2.r—3的圖象,利用圖象回答:
(1)方程f-2%-3=0的解是什么?
(2)x取什么值時,函數(shù)值大于0?
(3)x取什么值時,函數(shù)值小于0?
6.如果aX),拋物線y=ax2+瓜+。的頂點在什么位置時,
(1)方程aF+法+。=0有兩個不等的實數(shù)根?
(2)方程ad+"+c=0有兩個相等的實數(shù)根?
(3)方程ad+"+c=0無實數(shù)根?
如果a<0呢?
22.3實際問題與二次函數(shù)
習(xí)題22.3
復(fù)習(xí)鞏固
I.下列拋物線有最高點或最低點嗎?如果有,寫出這些點的坐標(biāo):
(1)y=-4x2+3x;(2)y=3x2+x+6.
2.某種商品每件的進價為30元,在某段時間內(nèi)若以每件x元出售,可賣出(l(X)-x)件,應(yīng)如何
定價才能使利潤最大?
3.飛機著陸后滑行的距離s(單位:m)關(guān)于滑行的時間1(單位:s)的函數(shù)解析式是s=60/-I.5/2.
匕機著陸后滑行多遠才能停下又?
4.已知直角三角形兩條直角邊的和等于8,兩條直角邊各為多少時,這個直角三角形的面積最
大?最大值是多少?
5.如圖,四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD互相垂直,AC+BD=IO.當(dāng)AC,BD的長是多少
時,四邊形ABCD的面積最大?
(第5題)
綜合運用
6.一塊三角形材料如圖所示,N'A=30°,ZC=90°,AB=12用這塊材料剪出一個矩形CDEF,
其中,點D,E,F分別在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形CDEF的面積最大,點E應(yīng)選在何
7.如圖,點E,F,G,H分別位于正方形ABCD的四條邊上.四邊形EFGH也是正方形.當(dāng)點E
位于何處時,正方形EFGH的面積最???
(第7題)
8.某賓館有50個房間供游客居住.當(dāng)每個房間每天的定價為180元時,房間會全部住滿;當(dāng)每個
房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑.如果游客居住房間,賓館需對每個房間
每天支出20元的各種費用.房價定為多少時,賓館利潤最大?
拓廣探索
9.分別用定長為L的線段用成矩形和網(wǎng),哪種圖形的面積大?為什么?
復(fù)習(xí)題22
復(fù)習(xí)鞏固
I.如圖,正方形ABCD的邊長是4.E是AB上一點,F(xiàn)是AD延長線上的一點,BE=DF.四邊形
AEGF是矩形,矩形AEGF的面枳y隨BE的長x的變化而變化,y與x之間的關(guān)系可以用怎樣
的函數(shù)來表示?
2.某商場第1年銷售計算機5(X:0臺,如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x,寫出第
3年的銷售量y關(guān)于每年增加的百分率x的函數(shù)解析式.
3.選擇題.
在拋物線丁=/一4犬一4上的一個點是().
(A)(4,4)(B)(3,-I)
(C)(-2,-8)(D)--)
24
4.先確定下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點,再描點畫圖:
(1)y=x2+2x-3;(2)y=l+6x-x2:
(3)y=5x2+2x+l:(4)y=-^x2+x-4.
5.汽車剎車后行駛的距離s(單位:m)關(guān)于行駛的時間1(單位:s)的函數(shù)解析式是S=15/-6/2.
汽車剎車后到停下來前進了多遠?
綜合運用
*6.根據(jù)下列條件,分別確定二次函數(shù)的解析式:
(1)拋物線),=0¥2+云+。過點(32),(-1,-1),(1,3);
(2)拋物線),naP+Izr+c與x軸的兩交點的橫坐標(biāo)分別是與y軸交點的縱坐標(biāo)
22
是-5.
7.如圖,用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊奇墻的18m矩形菜園,墻長為18m.這個矩形的長、
寬各為多少墻時,菜園的面積最大?最大面積是多少?
18m
墻
菜園
(第7題)
8.已知矩形的周長為36cm,矩形繞它的?條邊旋轉(zhuǎn)形菜園成一個圓柱.矩形的長、寬各為多少時,
旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大?
拓廣探索
9.如圖,點E,F,G,H分別在菱形ABCD的四條邊上,BE=BF=DG=DH,連接EF,FG,GH,
HE,得到四邊形EFGH.
(1)求證:四邊形EFGH是矩形.
(2)設(shè)AB=a,ZA=60°,當(dāng)BE為何值時,矩形EFGH的面積最大?
10.對某條路線的長度進行n次測量,得到n個結(jié)果Xi,X2,…,X,如果用x作為這條路線長度
的近似值,當(dāng)X取什么值時,|>3)2+(工一電)2++(尸/)2最?。縓所取的這個值是哪個
常用的統(tǒng)計量?
第二十三章旋轉(zhuǎn)
23.1圖形的旋轉(zhuǎn)
練習(xí)
1.請你舉出一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中旋轉(zhuǎn)的實例,并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.
2.時鐘的時針在不停地旋轉(zhuǎn),從上午6時到上午9時,時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角是多少度?從上午9
時到上午10時呢?
3.如圖,杠桿繞支點轉(zhuǎn)動插起重物,杠桿的旋轉(zhuǎn)中心在哪里?旋轉(zhuǎn)角是哪個角?
A
B(第3題)
例如圖23.14E是正方形ABCD中CD邊上任意一點,以點A為中心,把4ADE順時針旋
轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.
練習(xí)
1.如圖,小明坐在秋千上,秋千旋轉(zhuǎn)了80。.請在圖中小明身上任意選一點P,利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì),
標(biāo)出點P的對應(yīng)點.
(1)這兩個點到旋轉(zhuǎn)中過的距離有怎樣的關(guān)系?
(2)這兩個點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角是多少度?
(第1題)
2.如圖,用左面的三角形經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn),可以得到右面的圖形?
(第2題)
3.找出圖中扳手擰螺母時的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.
V\J
(第3題)
練習(xí)
把一個三:角形進行旋轉(zhuǎn):
(1)選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心、不同的旋轉(zhuǎn)角,看著旋轉(zhuǎn)的效果:
(2)改變?nèi)切蔚男螤?,看看旋轉(zhuǎn)的效果.
習(xí)題23.1
復(fù)習(xí)鞏固
1.任意畫一個AABC,作下列旋轉(zhuǎn):
(1)以點A為中心,把AABC逆時針旋轉(zhuǎn)40°;
(2)以點B為中心,把△ABC順時針旋轉(zhuǎn)60°:
(3)在AABC外任取一點為中心,把△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120°;
(4)以AC的中點為中心,把ZXABC旋轉(zhuǎn)中0°.
2.說出如圖所示的壓水機壓水時的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.
(第2題)
3.Z\ABC中,AB=AC,P是BC邊上任意一點.以點A為中心,取旋轉(zhuǎn)角等于NBAC,把△ABP
逆時針旋轉(zhuǎn),畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.
(第3題)
4.分別畫出△ABC繞點0逆時噌旋轉(zhuǎn)90°和180°后的圖形.
5.下面的圖形是由一個基本的圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的,分別指出它們的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.
綜合運用
6.把圖中的五角星圖案,繞著它的中心O旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時,旋轉(zhuǎn)后的五角星能與自
身重合?對等邊三角形進行類似的討論.
7.圖中的風(fēng)車圖案,可以由哪個基本的圖形、經(jīng)過什么樣的旋轉(zhuǎn)得到?
8.如圖,用一個等腰三角形,經(jīng)過旋轉(zhuǎn),制作一個五角星圖案.(提示:選擇旋轉(zhuǎn)中心,計算旋
轉(zhuǎn)角.)
(第8題)
9.如圖,△ABC中,ZC=90°.
(1)將AABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90",畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形:
(2)若BC=3,AC=4,點A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為Al求AA的長.
拓廣探索
10.如圖,△ABD,AAEC都是等邊三角形.BE與DC有什么關(guān)系?你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述
關(guān)系成立的理由嗎?
D
A
(第10題)
11.以原點為中心,把點A(4,5)逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到點B,求點B的坐標(biāo).
23.2中心對稱
23.2.1中心對稱
例1(1)如圖23.2-4,選擇點O為對稱中心,畫出點A關(guān)于點O的對稱點A,;
(2)如圖2325,選擇點O為對稱中心,畫出與AABC關(guān)于點0對稱的△ABC.
C
A.
6
圖23.2-4國23.2-5
練習(xí)
1.分別畫出下列圖形關(guān)于點O對稱的圖形.
0?。
(第1題)
2.圖中的兩個四邊形關(guān)于某點龍稱,找出它們的對稱中心.
(第2題)
23.2.2中心對稱圖形
練習(xí)
1.在我們學(xué)過的圖形中,你能說出一些中心對稱圖形嗎?
2.在以下的圖案中,哪些是中心對稱圖形?再舉出幾個自然界以及生活、生產(chǎn)中中心對稱圖形
的實例.
血
23.2.3關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)
例2如圖23.2-12所示,利在關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系,作出與aABC關(guān)于原點對稱
1.卜列各點中哪兩個點關(guān)于原點0對稱?
A(-5,0),B(0,2),C(2,-1),D(2,0),E(O,5),F(-2,1),G(-2,-1).
2.寫出下列各點關(guān)于原點的對稱點AlB',C,D的坐標(biāo):
A(3,1),B(-2,3),C(-1,-2),D(2,-3)
3.如圖,已知點A的坐標(biāo)為(-2,2),點B的坐標(biāo)為(-1,-G),菱形ABCD的對角線
交于坐標(biāo)原點O.求C,D兩點的坐標(biāo).
習(xí)題23.2
嵬習(xí)鞏固
I.分別畫出下列圖形關(guān)于點O對稱的圖形.
oo
2.下列圖形是中心對稱圖形嗎?如果是中心對稱圖形,指出其對稱中心.
3.四邊形ABCD各頂點坐標(biāo)分別為A(5,0),B(-2,3),C(-1,0),D(-1,-5),作出與四
邊形ABCD關(guān)于原點對稱的圖形.
4.已知點A(a.I)與點A,(5,b)關(guān)于原點對稱,求a,b的值.
綜合運用
5.如圖,Oi,O2分別是兩個半圓的圓心,這個圖形是中心對稱圖形嗎?如果不是,請說明理由;
如果是,請指出對稱中心.
6.已知△ABC,能否通過平移、軸對稱或旋轉(zhuǎn),得到另一個三角形,使得這兩個三角形能夠拼
成一個以AC,AB為鄰邊的平行四邊形?
7.如圖,能否通過平移、軸對稱或旋轉(zhuǎn),由AABC得到ADEC?
拓廣探索
8.如圖,過菱形對角線交點的一條直線,把菱形分成了兩個梯形,這兩個梯形全等嗎?為什么?
9.如圖,由兩個全等的梯形可以拼成一個菱形嗎?符合什么條件的兩個全等梯形可以拼成一個
菱形?
(第9題)
1().如圖,4ADE和ABCF是「八灰?。外的兩個等邊三角形,用旋轉(zhuǎn)的知識說明AADE^llABCF
成中心對稱.
(第10題)
23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計
復(fù)習(xí)題23
復(fù)習(xí)鞏固
I.如圖,把RlZXABC以點S為中心順時針旋轉(zhuǎn)30°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.
2.如圖,上面的圖案是由什么基本圖案經(jīng)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的?
(第2題)
3.在美術(shù)字中,有些漢字或字母是中心對稱圖形.下面的漢字或字母是中心對稱圖形嗎?如果是,
請標(biāo)出它們的對稱中心.
(第3題)
綜合運用
4.已知線段AB,用平移、軸對稱或旋轉(zhuǎn)完成以下各題:
A<-----------------B
(第I題)
(1)畫出一個以這條線段為一邊的正方形:
(2)畫出一個以這條線段為一邊的等邊三角形:
(3)畫出一個以這條線段為一邊,一個內(nèi)角是30°的菱形.
5.如圖,AABC和4ECD都是等邊三角形,△EBC可以看作是aDAC經(jīng)過平移、軸對稱或旋
轉(zhuǎn)得到.說明得到4EBC的過程.
6.能否通過平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)把右邊傾斜的樹放在左邊直立的位置?
(第6題)
7.如圖,有一張紙片,若連接EB,則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD.請你畫一條直線把這
張紙片分成面積相等的兩部分,并說明理由.
8.如圖,(])中的梯形符合什么條件時,可以經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和軸對稱形成(2)中的圖案?
(第8題)
第二十四章圓
24.1圓的有關(guān)性質(zhì)
例1矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0.求證:A,B,C,D四個點在以點O為圓心
的同一個圓上.
練習(xí)
L如何在操場上畫一個半徑是5m的圓?說出你的理由
2.你見過樹木的年輪嗎?從樹木的年輪,可以知道樹木的年齡.把樹干的橫截面看成是圓形的,
如果一棵20年樹齡的樹的樹干直徑是23cm,這棵樹的半徑平均每年增加多少?
3.ZXABC中,NC=90°.求證:A,B,C三點在同一個圓上.
24.1.2垂直于弦的直徑
例2趙州橋(圖24.1-7)是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國古代人
民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的
中點到弦的距離)為7.23m,求趙州橋主:橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).
圖21.1-7
練習(xí)
1.如圖,在。O中,弦AB的長為8cm,圓心O到AB的距離為3cm.求。。的半徑.
(第I出
2.如圖,在。O中,AB,AC為互相垂直且相等的兩條弦,ODJ_AB,0E1AC,垂足分別為D,
E.求證:四邊形ADOE是正方形.
(第2題)
24.1.3弧、弦、圓心角
例3如圖24.1-10,在。O中,AB=AC,NACB=60".求證:ZAOB=ZBOC=ZAOC.
圖24.1-10
練習(xí)
1.如圖,AB,CD是。O的兩條弦.
(1)如果AB=CD,那么,.
(2)如果AB=C力,那么,.
(3)如果NAOB=NCOD,那么,.
(4)如I果AB=CD,OE±AB,OF_LCD,垂足分別為E,F,OE與OF相等嗎?為什么?
(第1題)
2.如圖,AB是。O的直徑,BC=CD=DE,NCOD=35°.求NAOE的度數(shù).
D
(第2題)
24.1.4圓周角
例4如圖24.1-14,。0的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,NACB的平分線交。O于點D,
求BC,AD,BD的長.
I.判斷下列圖形中的角是不是圓周角,并說明理由:
2.如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC,BD把它的4個內(nèi)角分成8個角,這些角中哪些相
等?為什么?
D
(第2題)
3.如圖,OA,OB,OC都是。。的半徑,NAOB=2NBOC.求證:ZACB=2ZBAC.
(第3題)
4.如圖,你能用三角尺確定?張圓形紙片的圓心嗎?有幾種方法?與同學(xué)交流一下.
《第4題》
5.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于0O,E為CD延長線上一點.若NB=U()°,求/ADE的度數(shù).
(第5題)
習(xí)題24.1
復(fù)習(xí)鞏固
I.求證:直徑是圓中最長的弦.
2.如圖,在半徑為50mm的€)0中,弦AB長50mm.求:
(I)NAOB的度數(shù):
(2)點0到AB的距離.
?
(第2題)
3如.圖,。0中,AB=AC,ZC=75a.求NA的度數(shù).
4如.圖,AD=BC,比較A8與CD的長度,并證明你的結(jié)論.
◎
(第4題)
5如.圖,。0中,OA±BC,ZAOB=50L.求NADC的度數(shù).
A
c
D
(第5題)
6如.三圖,用直角曲尺檢行查半圓形的工件,哪個是合格的?為什么?
(第6題)
7.求證:圓內(nèi)接平行四邊形是矩形.
綜合運用
8.如下頁圖是一個隧道的橫截面,它的形狀是以點0為圓心的圓的一部分.如果M是。O中弦
CD的中點,EM經(jīng)過圓心0交。O于點E,并且CD=4m,EM=6m.求。0的半徑.
9.如圖,兩個圓都以點0為圓心,大圓的弦AB交小圓于C,D兩點.求證:AC=BD.
10.00的半徑為13cn】,AB,CD是。O的兩條弦,AB/7CD,AB=24cm,CD=IOcm.求AB和
CD之間的距離.
11.如圖,AB,CD是。0的兩條平行弦,MN是AB的垂直平分線.求證:MN垂直平分CD.
(第11題)
12.如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋ8),點0是這段弧所在圓的圓心.AB=300m,C是
A8上一點,OC_LAB,垂足為D,CD=45m.求這段彎路的半徑.
(第12X)
13.如圖,A,B是。0上的兩點,ZAOB=120°,C是AB的中點.求證:四邊形OACB是菱形.
(第13題)
14.如圖,A,P,B,C是OO上的四個點,/APC=NCPB=60°.判斷aABC的形狀,并證明你
的結(jié)論.
(第14題)
拓廣探索
15.如圖,AB和CD分別是G>O上的兩條弦,圓心O到它們.的距離分別是OM和ON.如果AB>CD,
OM和ON的大小有什么關(guān)系?為什么?
(第】5題)
16.如圖,鐵路MN和公路PQ在點O處交會,NQON=3(『,在點A處有一棟居民樓,AO=2(X)m.
如果火車行駛時,周圍200m以內(nèi)會受到噪聲的影響,那么火車在鐵路MN上沿ON方向行駛
時,居民樓是否會受到噪聲的影響?如果火車行駛的速度為72km/h,居民樓受噪聲影響的時間
約為多少秒(不考慮火車長度,結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?
17.如圖,一個海港在XY范圍內(nèi)是淺灘.為了使深水船只不進入淺灘,需要測量船所在的位置與
兩個燈塔的視角NXPY,并把它與已知的危險角NXZY(XV上任意一點乙與兩個燈塔所成的
角)相比較,航行中保持NXPYcNXZY.你知道這樣做的道理嗎?
(第】7題)
24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系
24.2.1點和圓的位置關(guān)系
練習(xí)
I.畫出由所有到已知點O的距離大于或等于2cm,并且小于或等于3cm的點組成的圖形.
2.體育課上,小明和小麗的鉛球成績分別是6.4m和5.1m,他們投出的鉛球分別落在圖中哪個區(qū)
域內(nèi)?
《第2題》
3.如圖,CD所在的直線垂直平分線段AB,怎樣用這樣的工具找到圓形工件的圓心?
D
(第3題)
24.2.2直線和圓的位置關(guān)系
練習(xí)
圓的直徑是13cm,如果圓心與直線的距離分別是:
(1)4.5cm:(2)6.5cm;(3)8cin.
那么直線和圓分別是什么位置關(guān)系?有幾個公共點?
例1如圖24211,Z^ABC為等腰三角形,0是底邊BC的中點,腰AB與OO相切于點D.
求證:AC是。。的切線.
I.如圖,AB是。0的直徑,ZABT=45°,AT=AB.求證:AT是00的切線.
(第1題)
2.如圖,AB是。O的直徑,直線h,12是。。的切線,A,B是切點.h,L有怎樣的位置關(guān)系?
證明你的結(jié)論.
A
(第2題)
例2如圖24217,ZXABC的內(nèi)切圓。O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=9,
BC=14.CA=13.求AF.BD.CE的長一
圖24.2-17
練習(xí)
1.如圖,4ABC中,ZABC=50°,ZACB=75°,點O是△ABC的內(nèi)心.求NBOC的度數(shù).
的內(nèi)切圓半徑為r,AARC的周K?為I,求AARC的面積(提示:設(shè)AARC的內(nèi)心為
O,連接OA,OB,0C.)
習(xí)題24.2
復(fù)習(xí)鞏固
1.00的半徑為10cm,根據(jù)下列點P到圓心0的距離,判斷點P和。0的位置關(guān)系:
(1)8cm;(2)10cm:(3)12cm.
2.Rl^ABC中,NC=90°,AC=3cm,BC=4cm,判斷以點C為圓心,下列r為半徑的。C與
AB的位置關(guān)系:
(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.
3.?根鋼管放在V形架內(nèi),其橫裁面如圖所示,鋼管的半徑是2:cm.
(1)如果UV=28cm,VT是多少?
(2)如果NUVW=60°,VT是多少?
4.如圖,直線AB經(jīng)過。0上的點C,并FI.OA=OB,CA=CB.求證:直線AB是。0的切線.
《第4墨》
5.如圖,以點。為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB是小圓的切線,點P為切點.求證:AP=BP.
6.如圖,PA,PB是0O的切線,A,B為切點,AC是。。的直徑,NBAC=25°.求NP的度數(shù).
(第6題)
綜合運用
7.已知AB=6cm,畫半徑為4cm的圓,使它經(jīng)過A,B兩點.這樣的圓能畫出多少個?如果半徑
為3cm,2cm呢?
8.如圖,分別作出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的外接圓,它們外心的位置有什么特
點?
9.如圖是一名考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一塊古代車輪的碎片,你能幫他找出這個輪子的半徑嗎?說出你
的理由.
10.如圖,一個油桶靠在直立的墻邊,量得WY=0.65m,并且XY_LWY.這個油桶的底面半徑是
多少?為什么?
(第10題)
11.如圖,AB,BC,CD分別與00相切于E,F,G三點,且AB〃CD,BO=6cm,CO=8cm.
求BC的長.
12.如圖,AB為?O的直徑,C為。O上一一點,AD和過點C的切線互相垂直,垂足為D.求證:
AC平分NDAB.
(第12%)
拓廣探索
13.如下頁圖,等圓OOi和。等相交于A,B兩點,OOi經(jīng)過。02的圓心02.求NOiAB的度數(shù).
14.如圖,Rt^ABC中,ZC=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.求AABC的內(nèi)切圓半徑
24.3正多邊形和圓
例如圖24.3-4,有一個亭子,它的地基是半徑為4m的正六邊形,求地基的周長和面積(結(jié)果保
留小數(shù)點后一位).
土
1324.3-4
練習(xí)
I.矩形是正多邊形嗎?菱形呢?正方形呢?為什么?
2.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎?各角相等的國內(nèi)接多邊形呢?如果是,說明為什么:
如果不是,舉出反例.
3.分別求半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距和面枳.
練習(xí)
I.畫一個半徑為2cm的正五邊形,再作出這個正五邊形的各條對甭線,畫出一個五角星.
2.用等分圓周的方法畫出下列圖案:
習(xí)題24.3
復(fù)習(xí)鞏固
1.完成下表中有關(guān)正多邊形的計算:
正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積
360°2>/3
41
66
2.要用圓形鐵片截出邊長為a的正方形鐵片,選用的圓形鐵片的半徑至少是多少?
3.正多邊形都是軸對稱圖形嗎?如果是,它的對稱軸在哪里?正多邊形都是中心對稱圖形嗎?
如果是,它的對稱中心在哪里?
4.如圖,H,I,J,K,L分別是正五邊形ABCDE各邊的中點.求證:五邊形HIJKL是正五邊形.
綜合運用
5.如下頁圖,要擰開一個邊長a=12mm的六角形螺帽,扳手張開的開口b至少要多少?
6.如圖,正方形的邊長為4cm,剪去四個角后成為一個正八邊形.求這個正八邊形的邊長和面積.
(第6題)
7.用48m長的籬笆在空地上圍成一個綠化場地,現(xiàn)有四種設(shè)計方案:正三角形、正方形、正六
邊形、圓.哪種場地的面積最大(可以利用計算器計算)?
拓廣探索
8.把圓分成n(n23)等份,經(jīng)過各分點作圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形叫做這
個圓的外切正n邊形.如圖,。。的半徑是R,分別求它的外切正三角形、外切正方形、外切正
六邊形的邊長.
(第8題)
24.4弧長和扇形面積
例I制造彎形管道時,經(jīng)常要先按中心線計算“展直長度”,再下料,試計算圖2441所示的
管道的展直長度L(結(jié)果取整數(shù)).
例2如圖2443,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m,其中水面高0.3m.求截面上
有水部分的面積(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位).
1.弧長相等的兩段孤是等孤嗎?
2.如圖,有一段彎道是圓弧形的,道長是12m,弧所對的圓心角是81°.這段圓弧所在圓的半徑
R是多少米(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?
(第2題)
3.如圖,正三角形ABC的邊長為a,D,E,F分別為BC,CA,AB的中點,以A,B,C三點
為圓心,區(qū)長為半徑作圓.求圖中陰影部分的面積.
2
A
(第3題)
例3蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成.如果想用毛氈搭建20個底面積為12m2,高為
3.2m,外圍高1.8m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛植(幾取3.142,結(jié)果取整數(shù))?
練習(xí)
1.圓錐的底面直徑是80cm,母線長90cm.求它的側(cè)面展開圖的圓心角和圓錐的全面積.
2.如圖,圓錐形的煙囪帽的底面圓的直徑是8
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