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江西省贛州市五校協(xié)作體2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期適應(yīng)性月考(一)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線:的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,其中點在第一象限,若弦的長為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或2.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.4.設(shè)點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.5.大衍數(shù)列,米源于我國古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式為()A. B. C. D.6.已知集合,則()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.8.已知等差數(shù)列的公差為,前項和為,,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,若對任意的恒成立,則實數(shù)().A.6 B.5 C.4 D.39.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R,駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗,協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗,每個路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種10.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.11.已知,則()A.5 B. C.13 D.12.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊鎯沙?,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若關(guān)于的不等式在時恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____14.已知向量與的夾角為,||=||=1,且⊥(λ),則實數(shù)_____.15.已知實數(shù)a,b,c滿足,則的最小值是______.16.已知,滿足約束條件則的最小值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)在上最小值.18.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前19.(12分)如圖,在中,,的角平分線與交于點,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)設(shè)其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),.(1)若對于任意實數(shù),恒成立,求實數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時,是否存在實數(shù),使曲線:在點處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.22.(10分)已知橢圓:的左、右焦點分別為,,焦距為2,且經(jīng)過點,斜率為的直線經(jīng)過點,與橢圓交于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點,使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
先根據(jù)弦長求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當(dāng)直線的方程為.,綜上,或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點的距離時,一般考慮拋物線的定義.2.D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.3.D【解析】
由復(fù)數(shù)的綜合運算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),然后由模的定義計算模.【詳解】,.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算,考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.5.B【解析】
直接代入檢驗,排除其中三個即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時B也滿足,,,故選:B.【點睛】本題考查由數(shù)列的項選擇通項公式,解題時可代入檢驗,利用排除法求解.6.C【解析】
解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題,是基礎(chǔ)題.7.C【解析】
由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.8.C【解析】
若對任意的恒成立,則為的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值時的n即可.【詳解】由已知,,又三角形有一個內(nèi)角為,所以,,解得或(舍),故,當(dāng)時,取得最大值,所以.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的最值問題,考查學(xué)生的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.9.C【解析】
先將甲、乙兩人看作一個整體,當(dāng)作一個元素,再將這四個元素分成3個部分,每一個部分至少一個,再將這3部分分配到3個不同的路口,根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體,個人變成了4個元素,再把這4個元素分成3部分,每部分至少有1個人,共有種方法,再把這3部分分到3個不同的路口,有種方法,由分步計數(shù)原理,共有種方案。故選:C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法,插空法,先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題,屬于中檔題.10.A【解析】
根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域為,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項,觀察選項的圖象,可知代入,解得,排除選項,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以的定義域為,則,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,排除選項,且當(dāng)時,,排除選項,所以正確.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.11.C【解析】
先化簡復(fù)數(shù),再求,最后求即可.【詳解】解:,,故選:C【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算,是基礎(chǔ)題.12.C【解析】
由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將不等式去掉對數(shù)符號,再依據(jù)分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問題,進(jìn)而求得的取值范圍。【詳解】由得,兩邊同除以,得到,,,設(shè),,由函數(shù)在上遞減,所以,故實數(shù)的取值范圍是?!军c睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。14.1【解析】
根據(jù)條件即可得出,由即可得出,進(jìn)行數(shù)量積的運算即可求出λ.【詳解】∵向量與的夾角為,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案為:1.【點睛】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式,以及向量垂直的充要條件.15.【解析】
先分離出,應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù),進(jìn)而求出最小值.【詳解】解:若取最小值,則異號,,根據(jù)題意得:,又由,即有,則,即的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值,屬于中檔題.16.【解析】
畫出可行域,通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知:可行域是由三點,,構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,當(dāng)直線過點時,取得最小值.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)當(dāng)時,函數(shù)的最小值是;當(dāng)時,函數(shù)的最小值是【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),并且解出它的零點x=,再分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)分三種情況加以討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較,即可得到當(dāng)0<a<ln2時,函數(shù)f(x)的最小值是-a;當(dāng)a≥ln2時,函數(shù)f(x)的最小值是ln2-2a.【詳解】函數(shù)的定義域
為.
因為,令,可得;
當(dāng)時,;當(dāng)時,,綜上所述:可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),
的最小值是當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),的最小值是當(dāng),即時,函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
又,
當(dāng)時,的最小值是;
當(dāng)時,的最小值為綜上所述,結(jié)論為當(dāng)時,函數(shù)的最小值是;
當(dāng)時,函數(shù)的最小值是.【點睛】求函數(shù)極值與最值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負(fù)(左增右減),那么在處取極大值,如果左負(fù)右正(左減右增),那么在處取極小值.(5)如果只有一個極值點,則在該處即是極值也是最值;(6)如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點值的函數(shù)值與極值的大小18.(1)an=2n【解析】
(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d,結(jié)合題中條件,求出首項和公差,即可得出結(jié)果.(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和.【詳解】解:(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn則:1S則:Tn=1【點睛】本題考查的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用,裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.19.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,進(jìn)而得,在中,由正弦定理得,所以的面積即可得解.試題解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.所以的面積.20.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(I)零點分段法,分,,討論即可;(II),分,,三種情況討論.【詳解】原不等式即.當(dāng)時,化簡得.解得;當(dāng)時,化簡得.此時無解;當(dāng)時,化簡得.解得.綜上,原不等式的解集為由題意,設(shè)方程兩根為.當(dāng)時,方程等價于方程.易知當(dāng),方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.此時方程在上無解.滿足條件.當(dāng)時,方程等價于方程,此時方程在上顯然沒有兩個不相等的實數(shù)根.當(dāng)時,易知當(dāng),方程在上有且只有一個實數(shù)根.此時方程在上也有一個實數(shù)根.滿足條件.綜上,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.21.(1);(2)不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】
(1)分類時,恒成立,時,分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可;(2),導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上有解.再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得.【詳解】解:(1)因為當(dāng)時,恒成立,所以,若,為任意實數(shù),恒成立.若,恒成立,即當(dāng)時,,設(shè),,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值.,所以,要使時,恒成立,的取值范圍為.(2)由題意,曲線為:.令,所以,設(shè),則,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),因此在區(qū)間上的最小值,所以,當(dāng)時,,,所以,曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數(shù)解.而,即方程無實數(shù)解.故不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等式恒成立,考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由導(dǎo)數(shù)幾何把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.本題屬于困難題.22.(1)(2)存在;實數(shù)的取值范圍是【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義計算,再根據(jù),,的關(guān)系計算即可得出橢圓方程;(2)設(shè)直線方程
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