湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2025學(xué)年上期高一年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（含答案）

第1頁/共5頁雅禮教育集團(tuán)2025年上期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷A.2B.1C.-1D.-23.下列四組函數(shù)中f(x)與g(x)是同一函數(shù)的是()A.B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2A.1B.2C.D.5.牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時間y(h)與儲藏溫度x(。C)的關(guān)系為y=kerx（k、r為常量）.若牛奶在0。C的冰箱中，保鮮時間約是100h，在5。C的冰箱中，保鮮時間約是80h，那么在10。C中的保鮮時間約是()A49hB.56hC.64hD.76h.6若函數(shù)fA.7.已知函數(shù)若對于任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()第2頁/共5頁A.8.在ΔABC中，若則ΔABC的形狀是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)內(nèi)的學(xué)生有60人，則下列說法正確的是()A.樣本中支出在[50，60)內(nèi)的頻率為0.03B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132C.n的值為200D.若該校有2000名學(xué)生，則估計(jì)有600人支出在[50，60)內(nèi)10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)是奇函數(shù)，f(x+1)是偶函數(shù).則下列選項(xiàng)中說法正確的有A.f(2)=0B.f(x)周期為2C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱D.f(x-2)是奇函數(shù)11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為棱A1D1上的動點(diǎn)（不包括兩個端點(diǎn)M為線段AP的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()第3頁/共5頁A.CM與PN是異面直線C.過P，A，C三點(diǎn)的正方體的截面一定不是等腰梯形D.平面PAN⊥平面BDD1B1則其外接球的表面積為_________．14.已知圓O的半徑為2，弦長，C為圓O上一動點(diǎn)，則AC.BC的最大值為_______.15.某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量（單位：kg并繪制頻率分布直方圖如下：（1）請根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該水果店蘋果日銷售量的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）（2）一次進(jìn)貨太多，水果會變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能90%地滿足顧客的需求（在10天中，大約有9天可以滿足顧客的需求）.請問每天應(yīng)該進(jìn)多少千克蘋果？第4頁/共5頁（2）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且VABC的面積S=18sinC，求a和b的值．17.《九章算術(shù)》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，EA丄平面ABCD，F(xiàn)CⅡEA，四邊形ABCD中，ABⅡCD，AB丄AD，AB=AD=AE=（1）證明：四面體BCFD為鱉臑；（2）求點(diǎn)C到平面BDF的距離．18.已知VABC中，AB=2，AC=1，上BAC=120O，點(diǎn)D在邊BC上且滿足C（1）用AB、AC表示AD，并求AD；（2）若點(diǎn)E為邊AB中點(diǎn)，求CE與AD夾角的余弦值.19.如圖，在五棱錐S—ABCDE中，平面SAE丄平面AED，AE丄ED，SE丄AD．四邊形ABCD為矩形，且SE=AB=1，AD=3，BN=2NC．（1）證明：SE丄平面AED；（2）若AE=、/3，求二面角E—SA—D的余弦值；第5頁/共5頁（3）求直線DN與平面SAD所成角的正弦值的最小值．第1頁/共17頁雅禮教育集團(tuán)2025年上期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷【答案】C【解析】【分析】利用具體函數(shù)的定義域的求法求解即可.故選：CA.2B.1C.-1D.-2【答案】B【解析】【分析】先求出平均數(shù)和眾數(shù)，再求差即可【詳解】解:平均數(shù)為眾數(shù)為12，差為1．故選：B3.下列四組函數(shù)中f(x)與g(x)是同一函數(shù)的是()A.B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2【答案】C第2頁/共17頁【解析】【分析】函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同時才是同一函數(shù)，再逐一判斷即可.【詳解】解：對于定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B，f(x)=2lgx,g(x)=lgx2定義域不同，不是同一函數(shù)；對于定義域相同，對應(yīng)法則也相同，滿足題意；對于定義域不同，不是同一函數(shù)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.A.1B.2D.【答案】D【解析】【分析】先由條件有，求出復(fù)數(shù)z，再求復(fù)數(shù)z的模.所以故選：D.5.牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時間y(h)與儲藏溫度x(。C)的關(guān)系為y=kerx（k、r為常量）.若牛奶在0。C的冰箱中，保鮮時間約是100h，在5。C的冰箱中，保鮮時間約是80h，那么在10。C中的保鮮時間約是()A.49hB.56hC.64hD.76h【答案】C第3頁/共17頁【解析】【分析】由題意，建立方程組，結(jié)合指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，利用整體思想，可得答案.【詳解】由題意，可得解得則y=1C6若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?110)，則函數(shù)的值域?yàn)?)A.【答案】C【解析】【分析】令通過換元法將g(x)表示為(t-2)2-3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出g(x)的值域.令r-,TF.得t∈(03)，f(x)=t2+1，則g(x)=h(t)=t2-4t+1=(t-2)2-3，,所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇-3,1).故選：C./t)-.若對于任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為“a>-x2-4x在[1,+∞)上恒成立”，再根據(jù)a>(-x2-4x)max求解出a的范圍.【詳解】因?yàn)閷τ谌我鈞∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，所以x2+4x+a>0對x∈[1,+∞)恒成立，又因?yàn)閥=-x2-4x的對稱軸為x=-2，所以y=-x2-4x在[1,+∞)上單調(diào)遞減，第4頁/共17頁故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一元二次不等式在指定區(qū)間上恒成立求解參數(shù)范圍問題的處理方法：（1）分類討論法：根據(jù)參數(shù)的臨界值作分類討論；（2）分離參數(shù)法：將自變量和參數(shù)分離開來，自變量部分構(gòu)造新函數(shù)，分析新函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系.8.在ΔABC中，若則ΔABC的形狀是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】 “B,C均為ΔABC的內(nèi)角，:2C=2B或2C=形或直角三角形，故選D.9.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)內(nèi)的學(xué)生有60人，則下列說法正確的是()A.樣本中支出在[50，60)內(nèi)的頻率為0.03B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132C.n的值為200D.若該校有2000名學(xué)生，則估計(jì)有600人支出在[50，60)內(nèi)第5頁/共17頁【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)頻率之和為1即可求解A，進(jìn)而根據(jù)選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】樣本中支出在[50，60)內(nèi)的頻率為1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，所以A錯誤；樣本容量為支出在[40，50)內(nèi)的人數(shù)為200×0.036×10=72，支出不少于40元的人數(shù)為72+60=132，所以B，C正確；若該校有2000名學(xué)生，則估計(jì)有2000×0.3=600人支出在[50，60)內(nèi)，故D正確．故選：BCD.10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)是奇函數(shù)，f(x+1)是偶函數(shù).則下列選項(xiàng)中說法正確的有A.f(2)=0B.f(x)周期為2C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱D.f(x-2)是奇函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件可得f(x)關(guān)于(0,0)和直線x=1對稱，從而f(x)的周期T=4，f(2)=f(0)=0，進(jìn)而可判ABC，對于D，由于f(x)關(guān)于(0,0)和直線x=1對稱，可得f(x)關(guān)于(2,0)對稱，再結(jié)合周期可得結(jié)論【詳解】由f(x)是奇函數(shù)，f(x+1)是偶函數(shù)，可得f(x)關(guān)于(0,0)和直線x=1對稱，從而f(x)的周期T=4，所以選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)C正確；對選項(xiàng)A：由對稱性及奇函數(shù)的性質(zhì)可知f(2)=f(0)=0,A正確；對選項(xiàng)D：有已知f(x)關(guān)于(0,0)和直線x=1對稱，從而f(x)關(guān)于(2,0)對稱，又因?yàn)閒(x)的周期T=4，可得f(x)關(guān)于(-2,0)對稱，所以f(x-2)是奇函數(shù)，D正確，故選：ACD.11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為棱A1D1上的動點(diǎn)（不包括兩個端點(diǎn)M為線段AP的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()第6頁/共17頁A.CM與PN是異面直線------→C.過P，A，C三點(diǎn)的正方體的截面一定不是等腰梯形D.平面PAN⊥平面BDD1B1【答案】BD【解析】【分析】連接PC，因?yàn)辄c(diǎn)M∈PA，PAC平面PAC可得CMC平面PAC，因?yàn)辄c(diǎn)N∈AC，AC平面PAC可得PNC平面PAC可判斷A；以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x、y、z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，2配方后可判斷B；取C1D1的中點(diǎn)E，可得四邊形PECA是梯形，由AP2=A1P2+AA=C1E2+CC=CE2，可判斷C；由線面垂直的判斷定理可得DD1丄底面ABCD，再由面面垂直的判斷定理可判斷D.【詳解】如上圖，連接PC，因?yàn)辄c(diǎn)M∈PA，PA平面PAC，所以M點(diǎn)在平面PAC，即CM平面PAC，因?yàn)辄c(diǎn)N∈AC，AC平面PAC，所以N點(diǎn)在平面PAC，即PN平面PAC，即PN、CM不是異面直線，故A錯誤；第7頁/共17頁如上圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x、y、z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以即PN>CM，故B正確；如上圖，取C1D1的中點(diǎn)E，連接CE、PE，則PE//AC所以四邊形PECA是梯形，所以此時四邊形PECA是等腰梯形，故C錯誤；第8頁/共17頁如上圖，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC丄BD，因?yàn)镈D1丄底面ABCD，所以DD1丄AC，因?yàn)镈D1IBD=D，所以AC丄平面DD1B1B，且AC平面PAC，所以平面PAC平面DD1B1B，即平面PAN丄平面DD1B1B，故D正確.故選：BD.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，得到z=2i，再利用模長的計(jì)算公式，即可求解.故答案為：.則其外接球的表面積為_________．【答案】3π【解析】【分析】根據(jù)勾股定理和它的逆定理，結(jié)合球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖取AD中點(diǎn)E，底面中心為O1，外接球的球心為O，則OO1丄底面ABCD，由因?yàn)镻A=PD=AB=1,PB=PC-BC=五,所以PA2+AB2=PB2，PD2+DC2=PC2，PD2+PA2=AD2第9頁/共17頁即AB丄PA，CD丄PD，PA丄PD，因此有設(shè)球的半徑為R，OO1=d．在直角梯形PEO1O中在直角OO1C中故答案為：3π------14.已知圓O的半徑為2，弦長AB=2·,C為圓O上一動點(diǎn)，則AC.BC的最大值為_______.【答案】6【解析】-【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，OD，計(jì)算AC.BC=DC-3，求出OD，得出CD的最大值，即------可得出AC.BC的最大值．【詳解】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，OD，OA，如圖所示：第10頁/共17頁因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以2222故答案為：6．15.某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量（單位：kg并繪制頻率分布直方圖如下：（1）請根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該水果店蘋果日銷售量的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）（2）一次進(jìn)貨太多，水果會變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能90%地滿足顧客的需求（在10天中，大約有9天可以滿足顧客的需求）.請問每天應(yīng)該進(jìn)多少千克蘋果？【答案】（1）眾數(shù)為85，中位數(shù)89.375，平均數(shù)89.752）102.5千克.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖中最高矩形可求眾數(shù)，利用頻率是0.5可求中位數(shù)，利用區(qū)間中點(diǎn)的值和頻率可求平均數(shù)；（2）先確定進(jìn)貨量的范圍[100,110)，結(jié)合能90%地滿足顧客的需求，可求結(jié)果.第11頁/共17頁【詳解】（1）如圖示：區(qū)間[80，90)頻率最大，所以眾數(shù)為85，.平均數(shù)為：x=(65×0.0025+75×0.01+85×0.04+95×0.035+105×0.01+115×0.0025)×10故所求的量位于[100,110).由0.9-0.025-0.1-0.4-0.35=0.025,得故每天應(yīng)該進(jìn)102.5千克蘋果16.在VABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，（2）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且VABC的面積S=18sinC，求a和b的值．【答案】（1）-【解析】【分析】（1）求出c=7，利用余弦定理即可求解；求出ab=36，從而求出a和b的值.【小問1詳解】由余弦定理得【小問2詳解】由半角公式得即sinA+sinB+sinAcosB+sinBcosA=4sinC，第12頁/共17頁VABC的面積s-absinc-18sinc,故ab=36，17.《九章算術(shù)》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，EA丄平面ABCD，F(xiàn)CⅡEA，四邊形ABCD中，ABⅡCD，AB丄AD，AB=AD=AE=（1）證明：四面體BCFD為鱉臑；（2）求點(diǎn)C到平面BDF的距離．【答案】（1）證明過程見解析【解析】【分析】（1）由余弦定理和勾股定理及逆定理得到BD⊥BC，△BCD為直角三角形，由題目條件得到BD⊥平面BCF，BD⊥BF，VBDF為直角三角形，結(jié)合CDF,BCF為直角三角形，得到結(jié)論；（2）由等體積法進(jìn)行求解，得到點(diǎn)C到平面BDF的距離.【小問1詳解】四邊形ABCD中，ABⅡCD，AB丄AD由勾股定理得且上在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BD.CDcos上故BD2+BC2=CD2，由勾股定理逆定理得BD⊥BC，△BCD為直角三角形.因?yàn)镋A丄平面ABCD，F(xiàn)CⅡEA，故FC丄平面ABCD，第13頁/共17頁因?yàn)锽D平面ABCD，所以FC丄BD，又因?yàn)锽C∩FC=C，BC,FCC平面BCF，所以BD⊥平面BCF，又因?yàn)锽F平面BCF，所以BD⊥BF，故VBDF為直角三角形.因?yàn)镕C丄平面ABCD，BC,CDC平面ABCD，所以FC丄BC，F(xiàn)C丄CD，所以CDF,BCF為直角三角形.綜上，四面體BCFD為鱉臑；【小問2詳解】因?yàn)镕C丄平面ABCD，且CF=4，所以由（1）知BD⊥BF，在RtBCF中，由勾股定理得所以設(shè)點(diǎn)C到平面BDF的距離為d，其中所以點(diǎn)C到平面BDF的距離為.18.已知VABC中，AB=2，AC=1，上BAC=120O，點(diǎn)D在邊BC上且滿足C------（1）用AB、AC表示AD，并求AD（2）若點(diǎn)E為邊AB中點(diǎn)，求CE→與A---夾角的余弦值.【解析】第14頁/共17頁【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解，（2）由向量的線性運(yùn)算表示向量，由數(shù)量積，利用夾角公式即可求解.【小問1詳解】所以,【小問2詳解】2,又19.如圖，在五棱錐S—ABCDE中，平面SAE丄平面AED，AE丄ED，SE丄AD．