圖數(shù)形結(jié)合題目和答案

圖數(shù)形結(jié)合題目和答案1.題目：已知函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)，求函數(shù)的頂點坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的圖像。答案：首先，我們需要找到函數(shù)的頂點。對于二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)，其頂點的\(x\)坐標(biāo)可以通過公式\(x=-\frac{2a}\)得到。在本題中，\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。計算\(x\)坐標(biāo)：\[x=-\frac{-4}{2\times1}=2\]然后，將\(x=2\)代入函數(shù)中求得\(y\)坐標(biāo)：\[y=f(2)=2^2-4\times2+3=4-8+3=-1\]所以，頂點坐標(biāo)為\((2,-1)\)。接下來，畫出函數(shù)的圖像。由于\(a=1>0\)，拋物線開口向上。頂點為最低點，位于\((2,-1)\)。圖像可以通過頂點和幾個其他點（例如\(x=0\)和\(x=4\)時的點）來繪制。\(x=0\)時：\[y=f(0)=0^2-4\times0+3=3\]所以點為\((0,3)\)。\(x=4\)時：\[y=f(4)=4^2-4\times4+3=16-16+3=3\]所以點為\((4,3)\)。綜上所述，函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)的頂點坐標(biāo)為\((2,-1)\)，圖像是一個開口向上的拋物線，頂點最低，通過點\((0,3)\)和\((4,3)\)。2.題目：已知直線\(y=2x+3\)和\(y=-\frac{1}{2}x+1\)，求兩直線的交點，并畫出兩直線的圖像。答案：為了找到兩直線的交點，我們需要解這個方程組：\[y=2x+3\]\[y=-\frac{1}{2}x+1\]將兩個方程設(shè)置為相等：\[2x+3=-\frac{1}{2}x+1\]解\(x\)：\[2x+\frac{1}{2}x=1-3\]\[\frac{5}{2}x=-2\]\[x=-\frac{4}{5}\]將\(x=-\frac{4}{5}\)代入任一方程求\(y\)：\[y=2\left(-\frac{4}{5}\right)+3=-\frac{8}{5}+3=\frac{7}{5}\]所以，兩直線的交點為\(\left(-\frac{4}{5},\frac{7}{5}\right)\)。接下來，畫出兩直線的圖像。直線\(y=2x+3\)的斜率為2，截距為3，是一條通過點\((0,3)\)且斜率為正的直線。直線\(y=-\frac{1}{2}x+1\)的斜率為\(-\frac{1}{2}\)，截距為1，是一條通過點\((0,1)\)且斜率為負(fù)的直線。兩直線在\(\left(-\frac{4}{5},\frac{7}{5}\right)\)相交。3.題目：已知圓的方程\((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求圓心坐標(biāo)和半徑，并畫出圓的圖像。答案：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，其中\(zhòng)((h,k)\)是圓心坐標(biāo)，\(r\)是半徑。對于給定的圓方程\((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，我們可以直接讀出圓心坐標(biāo)為\((2,3)\)，半徑\(r\)為\(\sqrt{9}=3\)。畫出圓的圖像，以\((2,3)\)為中心，半徑為3的圓。圓將通過點\((2+3,3)=(5,3)\)，\((2-3,3)=(-1,3)\)，\((2,3+3)=(2,6)\)，和\((2,3-3)=(2,0)\)。4.題目：已知拋物線\(y^2=4x\)，求焦點坐標(biāo)，并畫出拋物線的圖像。答案：對于拋物線\(y^2=4ax\)，焦點坐標(biāo)為\((a,0)\)。在本題中，\(4a=4\)，所以\(a=1\)。因此，焦點坐標(biāo)為\((1,0)\)。畫出拋物線的圖像，這是一個向右開口的拋物線，頂點在原點\((0,0)\)，焦點在\((1,0)\)。拋物線通過點\((0,0)\)，\((1,2)\)，和\((1,-2)\)。5.題目：已知雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)，求雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線的圖像。答案：對于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。在本題中，\(a^2=4\)，\(b^2=9\)，所以\(a=2\)，\(b=3\)。因此，漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。畫出雙曲線的圖像，這是一個以原點為中