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文檔簡介
16.2.4整式的除法第十六章
整式的乘法【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)
八年級(jí)上冊(cè)
幻燈片1:封面標(biāo)題:16.2.4整式的除法:探索整式運(yùn)算的逆向之旅背景圖:以浩瀚的宇宙為背景,閃爍的星辰組成整式除法的式子,如\(6x^3?·2x\)、\((4a^2+2a)?·2a\)等,搭配流星劃過特效,營造出神秘的知識(shí)探索氛圍,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)整式除法的興趣幻燈片2:目錄復(fù)習(xí)回顧,引入新課單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的探究與推導(dǎo)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的應(yīng)用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的探究與推導(dǎo)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的應(yīng)用整式除法的綜合應(yīng)用與易錯(cuò)點(diǎn)分析課堂練習(xí)與互動(dòng)課堂小結(jié)課后作業(yè)布置幻燈片3:復(fù)習(xí)回顧,引入新課整式乘法復(fù)習(xí):提問學(xué)生“單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則分別是什么?”,引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知。展示題目如\(3x^2y??(-2xy^3)\)、\(2a(3a-4b)\)、\((x+3)(x-2)\),讓學(xué)生快速計(jì)算,鞏固整式乘法運(yùn)算
。問題引入:提出問題“已知長方形的面積為\(6x^2\),寬為\(2x\),如何求長方形的長?”引導(dǎo)學(xué)生列出算式\(6x^2?·2x\),再如“若一個(gè)多項(xiàng)式\(4a^2+2a\)除以單項(xiàng)式\(2a\),結(jié)果是多少?”從而引出本節(jié)課整式除法的學(xué)習(xí)內(nèi)容
?;脽羝?:單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的探究與推導(dǎo)實(shí)例計(jì)算:計(jì)算\(6x^3?·2x\),將其變形為\(\frac{6x^3}{2x}\),根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和同底數(shù)冪的除法法則,\(\frac{6}{2}??\frac{x^3}{x}=3??x^{3-1}=3x^2\)。計(jì)算\(-12a^3b^2?·3ab\),變形為\(\frac{-12a^3b^2}{3ab}\),\(\frac{-12}{3}??\frac{a^3}{a}??\frac{b^2}=-4??a^{3-1}??b^{2-1}=-4a^2b\)。觀察思考:引導(dǎo)學(xué)生觀察上述計(jì)算過程,思考單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí),系數(shù)、相同字母的冪分別是如何運(yùn)算的
。小組討論:組織學(xué)生小組討論,交流自己的發(fā)現(xiàn),教師巡視各小組,傾聽學(xué)生的想法,并適時(shí)給予引導(dǎo)
。猜想歸納:鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算規(guī)律,各小組代表發(fā)言分享猜想結(jié)果,引導(dǎo)學(xué)生歸納出:單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式,對(duì)于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式
。法則推導(dǎo):對(duì)于單項(xiàng)式\(ma^pb^q\)除以單項(xiàng)式\(na^rb^s\)(\(m\)、\(n\)為系數(shù),\(p\)、\(q\)、\(r\)、\(s\)為正整數(shù),\(n\neq0\))
。根據(jù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系,\(\frac{ma^pb^q}{na^rb^s}=\frac{m}{n}??\frac{a^p}{a^r}??\frac{b^q}{b^s}\)。再依據(jù)同底數(shù)冪除法法則,\(\frac{a^p}{a^r}=a^{p-r}\),\(\frac{b^q}{b^s}=b^{q-s}\),所以\(\frac{ma^pb^q}{na^rb^s}=\frac{m}{n}??a^{p-r}??b^{q-s}\)。法則總結(jié):得出單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則:單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式,對(duì)于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式
。強(qiáng)調(diào)要點(diǎn):強(qiáng)調(diào)系數(shù)相除時(shí)要注意符號(hào);同底數(shù)冪相除依據(jù)同底數(shù)冪除法法則;不要遺漏只在被除式里含有的字母及其指數(shù)
?;脽羝?:單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的應(yīng)用-基礎(chǔ)應(yīng)用例題講解:“計(jì)算:\(15x^4y^3?·5x^3y\);\((-8a^4b^3)?·(-2a^2b)\)?!敝v解過程:對(duì)于\(15x^4y^3?·5x^3y\),根據(jù)法則,系數(shù)相除\(15?·5=3\),相同字母的冪分別相除\(x^4?·x^3=x\),\(y^3?·y=y^2\),所以\(15x^4y^3?·5x^3y=3xy^2\)。對(duì)于\((-8a^4b^3)?·(-2a^2b)\),系數(shù)相除\((-8)?·(-2)=4\),相同字母的冪分別相除\(a^4?·a^2=a^2\),\(b^3?·b=b^2\),所以\((-8a^4b^3)?·(-2a^2b)=4a^2b^2\)。課堂練習(xí):給出類似題目,如“計(jì)算:\(24m^5n^3?·6m^4n\),\((-12x^3y^2)?·(-3x^2y)\)”,讓學(xué)生獨(dú)立完成,教師巡視指導(dǎo),及時(shí)糾正學(xué)生在應(yīng)用法則過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤
?;脽羝?:單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的應(yīng)用-含乘方運(yùn)算的應(yīng)用例題講解:“計(jì)算:\((12a^3b^2)^2?·(3ab)^2\);\((-2x^2y)^3?·(4x^3y^2)\)?!敝v解過程:對(duì)于\((12a^3b^2)^2?·(3ab)^2\),先根據(jù)積的乘方法則計(jì)算乘方,\((12a^3b^2)^2=144a^6b^4\),\((3ab)^2=9a^2b^2\),再進(jìn)行單項(xiàng)式除法,\(144a^6b^4?·9a^2b^2=(144?·9)??(a^6?·a^2)??(b^4?·b^2)=16a^4b^2\)。對(duì)于\((-2x^2y)^3?·(4x^3y^2)\),先計(jì)算乘方\((-2x^2y)^3=-8x^6y^3\),再進(jìn)行除法\(-8x^6y^3?·4x^3y^2=(-8?·4)??(x^6?·x^3)??(y^3?·y^2)=-2x^3y\)。思路點(diǎn)撥:引導(dǎo)學(xué)生遇到含有乘方運(yùn)算的單項(xiàng)式除法時(shí),要先根據(jù)冪的乘方、積的乘方法則計(jì)算乘方,再進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算,注意運(yùn)算順序和符號(hào)變化
?;脽羝?:多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的探究與推導(dǎo)實(shí)例分析:計(jì)算\((4a^2+2a)?·2a\),根據(jù)除法的分配律,\((4a^2+2a)?·2a=4a^2?·2a+2a?·2a=2a+1\)。計(jì)算\((12x^3-6x^2+3x)?·3x\),同樣根據(jù)除法分配律,\(12x^3?·3x-6x^2?·3x+3x?·3x=4x^2-2x+1\)。觀察思考:引導(dǎo)學(xué)生觀察上述計(jì)算過程,思考多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí),是如何將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的
。小組討論:組織學(xué)生小組討論,交流自己的發(fā)現(xiàn),教師巡視各小組,傾聽學(xué)生的想法,并適時(shí)給予引導(dǎo)
。猜想歸納:鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算規(guī)律,各小組代表發(fā)言分享猜想結(jié)果,引導(dǎo)學(xué)生歸納出:多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式,再把所得的商相加
。法則推導(dǎo):對(duì)于多項(xiàng)式\(ma^p+na^q+pa^r\)除以單項(xiàng)式\(sa^t\)(\(s\neq0\))
。根據(jù)除法分配律,\((ma^p+na^q+pa^r)?·sa^t=ma^p?·sa^t+na^q?·sa^t+pa^r?·sa^t\)。再根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則分別計(jì)算各項(xiàng),所以\((ma^p+na^q+pa^r)?·sa^t\)最終結(jié)果是把所得的商相加
。法則總結(jié):得出多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則:多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式,再把所得的商相加
。強(qiáng)調(diào)要點(diǎn):強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算過程中,要確保多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都除以單項(xiàng)式,不能漏除;每一項(xiàng)相除時(shí)遵循單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則;注意符號(hào)問題
?;脽羝?:多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的應(yīng)用-基礎(chǔ)應(yīng)用例題講解:“計(jì)算:\((9x^2y-6xy^2)?·3xy\);\((8a^3b^2-4a^2b^3)?·(-2a^2b)\)?!敝v解過程:對(duì)于\((9x^2y-6xy^2)?·3xy\),根據(jù)法則,\(9x^2y?·3xy-6xy^2?·3xy=3x-2y\)。對(duì)于\((8a^3b^2-4a^2b^3)?·(-2a^2b)\),\(8a^3b^2?·(-2a^2b)-4a^2b^3?·(-2a^2b)=-4ab+2b^2\)。課堂練習(xí):給出類似題目,如“計(jì)算:\((12m^3n-8m^2n^2)?·4mn\),\((6x^4y^3-9x^3y^4)?·(-3x^3y^3)\)”,讓學(xué)生獨(dú)立完成,教師巡視指導(dǎo),及時(shí)糾正學(xué)生在應(yīng)用法則過程中出現(xiàn)的漏除、符號(hào)錯(cuò)誤等問題
?;脽羝?:多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的應(yīng)用-含加減混合運(yùn)算的應(yīng)用例題講解:“計(jì)算:\([(2x+y)^2-y(y+4x)-8x]?·2x\)?!敝v解過程:先根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開式子,\((2x+y)^2-y(y+4x)-8x=4x^2+4xy+y^2-y^2-4xy-8x=4x^2-8x\);再進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算,\((4x^2-8x)?·2x=4x^2?·2x-8x?·2x=2x-4\)。思路點(diǎn)撥:引導(dǎo)學(xué)生遇到含有加減混合運(yùn)算的多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式題目時(shí),要先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行化簡,再運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算,注意運(yùn)算順序和公式的正確運(yùn)用
?;脽羝?0:整式除法的綜合應(yīng)用與易錯(cuò)點(diǎn)分析綜合應(yīng)用例題:“計(jì)算:\((18x^4y^3-3x^2y^2)?·(-6x^2y)-(2xy)^2\)?!敝v解過程:先計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,\((18x^4y^3-3x^2y^2)?·(-6x^2y)=18x^4y^3?·(-6x^2y)-3x^2y^2?·(-6x^2y)=-3x^2y^2+\frac{1}{2}y\);再計(jì)算乘方\((2xy)^2=4x^2y^2\);最后進(jìn)行減法運(yùn)算\(-3x^2y^2+\frac{1}{2}y-4x^2y^2=-7x^2y^2+\frac{1}{2}y\)。易錯(cuò)點(diǎn)分析:單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí),漏除只在被除式里含有的字母及其指數(shù)。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí),漏除多項(xiàng)式的某一項(xiàng)。運(yùn)算過程中符號(hào)錯(cuò)誤,特別是在系數(shù)相除和去括號(hào)時(shí)。通過展示錯(cuò)誤案例,引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因,加深對(duì)法則的理解
?;脽羝?1:課堂練習(xí)與互動(dòng)-基礎(chǔ)練習(xí)題目展示:計(jì)算:\(28x^4y^2?·7x^3y\),\((-15a^3b^2)?·5a^2b\),\((6m^2n-3mn^2)?·3mn\)。下面的計(jì)算對(duì)不對(duì)?如果不對(duì),怎樣改正?\(10x^3y^2?·2x^2y=5xy^2\);\((4a^2b-2ab^2)?·2ab=2a-2b\)?;?dòng)環(huán)節(jié):學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí),教師巡視指導(dǎo),選取學(xué)生回答問題,及時(shí)糾正錯(cuò)誤,講解解題思路,強(qiáng)化對(duì)整式除法法則的理解
?;脽羝?2:課堂練習(xí)與互動(dòng)-綜合練習(xí)題目展示:計(jì)算:\((12x^3y^2-9x^2y^3)?·(-3x^2y)+(2xy)^3\)。已知一個(gè)多項(xiàng)式與\(2x^2\)的積為\(6x^5-4x^4+2x^3\),求這個(gè)多項(xiàng)式
?;?dòng)環(huán)節(jié):學(xué)生先獨(dú)立思考,然后小組討論交流解題思路,每組派代表上臺(tái)講解解題過程,教師總結(jié)多種解法,拓展學(xué)生思維,提高學(xué)生綜合運(yùn)用整式除法知識(shí)的能力
?;脽羝?3:課堂小結(jié)知識(shí)回顧:總結(jié)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則,回顧法則的推導(dǎo)過程,強(qiáng)調(diào)整式除法與整式乘法的逆運(yùn)算關(guān)系
。學(xué)習(xí)方法強(qiáng)調(diào):鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)整式除法時(shí),多做練習(xí),熟練掌握運(yùn)算技巧;注意區(qū)分單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的不同;認(rèn)真仔細(xì)運(yùn)算,避免出現(xiàn)漏除、符號(hào)錯(cuò)誤等問題
?;脽羝?4:課后作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè):計(jì)算:\(36x^5y^3?·9x^4y\),\((-24a^4b^3)?·(-8a^3b)\),\((10m^3n^2-5m^2n^3)?·5m^2n\)?;喦笾担寒?dāng)\(x=2\)時(shí),求\((6x^3-4x^2+2x)?·2x\)的值
。拓展作業(yè):已知\((x^3+ax^2+bx+8)?·(x+1)\)的商為\(x^2+3x+8\),求\(a\)和\(b\)的值
。一個(gè)多項(xiàng)式除以\(2x^2-1\),商為\(x+4\),余式為\(3x-2\),求這個(gè)多項(xiàng)式
。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.計(jì)算:復(fù)習(xí)引入22×23=();54×52=()
;72×75=()
;a3·a4=().255677a72.填空:22×()=25;()
×52=56;()
×75=77;a3·()=a7.235472a43.試一試:25÷22=();56÷52=();77÷75=();a7÷a3=().235472a4你是怎樣填的?除法是乘法的逆運(yùn)算25÷22=();56÷52=();77÷75=();a7÷a3=().235472a4觀察計(jì)算過程,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?5–2=36–2=4規(guī)律:①都是同底數(shù)冪的除法;②底數(shù)不變,指數(shù)相減.7–5=2探究新知知識(shí)點(diǎn)一同底數(shù)冪的除法7–3=4你能用上述方法計(jì)算am
÷an
(a
≠0,m,n都是正整數(shù),m>n)嗎?求一個(gè)式子,使它與an
的積等于am因?yàn)閍m–n
·an=a(m–n)+n
=am,所以am÷an=am–n.
am
÷an
=am–n(a≠0,m,n
為正整數(shù),m>n)即同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減.一般地,我們有a為什么不能為0?0不能作除數(shù),底數(shù)為0無意義.思考練習(xí)計(jì)算:=y10–8=(–x)3–1=(a
–b)4–2=(a
–b)4÷(a
–b)2=y2=(–x)2=(a
–b)2=x2=(a
–b)4–2=(a
–b)2找準(zhǔn)底數(shù)(1)
y10÷y8
; (2)
(–x)3÷(–x);(3)(a
–b)4÷(a
–b)2;
(4)(a
–b)4÷(b
–a)2.當(dāng)
a
≠
0
時(shí),am
÷am
=
=
.am-ma0任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.a0=1于是規(guī)定根據(jù)除法的意義,相同的兩個(gè)不為零的數(shù)相除,商為_____.1
例4計(jì)算:(1)x8
÷
x2;解:(1)x8
÷
x2=x8–2(2)(ab)5
÷
(ab)2=(ab)5–2=x6(2)(ab)5
÷
(ab)2.=(ab)3=a3b3練習(xí)填空:a3=a7–(___)=a(___)÷a3.a3=a7÷a(___)4=a7–(___)44a3=a(___)–36=(___)
÷a3a66根據(jù)乘除法互逆關(guān)系,填空:因?yàn)?4a2x3)·(3ab2)=12a3b2x3
,所以(12a3b2x3)÷(3ab2)=(______),(12a3b2x3)÷(4a2x3)
=(_______).4a2x33ab2商式4a2x3的系數(shù)4=12÷3,a
的指數(shù)2=3–1,b
的指數(shù)0=2–2,而b0=1,x
的指數(shù)3=3–0.
知識(shí)點(diǎn)二單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則:
一般地,單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式,對(duì)于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.4a2x31(12a3b2x3)÷(3ab2)=
例5計(jì)算:(1)(28x4y2)÷
(7x3y);解:(1)(28x4y2)÷
(7x3y)=(28÷7)x4–3y2–1(2)(–5a5b3c)
÷
(15a4b).=4xy(2)(–5a5b3c)
÷
(15a4b)=[(–5)÷15]a5–4b3–1c=如果一個(gè)單項(xiàng)式與–2a2b的積為,那么這個(gè)單項(xiàng)式為__________.練習(xí)
計(jì)算:(am+bm)÷m=___________.知識(shí)點(diǎn)三多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式因?yàn)?a+b)m=am+bm
,所以(am+bm)÷m
=(______).又am÷(___)+bm÷(___)
=a+b,所以(am+bm)÷m
=(__________________)a+bmmam÷m+bm÷ma+b思路:單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則:
一般地,多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加.
例5計(jì)算:(3)(12a3–6a2+3a)
÷
(3a).解:(12a3–6a2+3a)
÷
(3a)=(12a3)÷
(3a)–(6a2)÷
(3a)+(3a)
÷
(3a)=4a2–2a+1(1)
(7a4b+6ab3
–4a2b2)÷(ab);解:
(7a4b+6ab3
–4a2b2)÷(ab)=(7a4b)÷(ab)+(6ab3)÷(ab)–(4a2b2)÷(ab)=7a3+6b2
–4ab(2)
(9ab4+15ab3)÷(3b2);解:
(9ab4+15ab3)÷(3b2)=(9ab4)÷(3b2)+(15ab3)÷(3b2)=3ab2+5ab練習(xí)計(jì)算:(3)(6a2b3
–4a2b2)÷(2a2b2);(4)(9ab3+6a2b)÷(3ab).解:
(6a2b3
–4a2b2)÷(2a2b2)=(6a2b3)÷(2a2b2)–(4a2b2)÷(2a2b2)=3b
–2解:
(9ab3+6a2b)÷(3ab)=(9ab3)÷(3ab)+(6a2b)÷(3ab)=3b2+2a1.下列計(jì)算正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)y8÷y2
=
y4
()(2)(–xy)3÷(–xy)
=(–xy)2 ()(3)(3ab)n+1÷(3ab)n
=
3ab
()(4)24x2y÷(–6xy)
=
4x
()(5)(a
–b)0
=
1
()y6×√√
–4x××a≠b隨堂練習(xí)2.計(jì)算:(1)x7÷x5;
(2)m8÷m8;(3)(–a)10÷(–a)7;
(4)(xy)5÷(xy)3.【教材P109練習(xí)第1題】解:(1)x7
÷
x5=x7–5(2)m8
÷
m8=m0=x2=1(3)(–a)10
÷
(–a)7=(–a)10–7=(–a)3=–a3(4)(xy)5
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