能力提升：等邊三角形的性質(zhì)與判定（解析版）

等邊三角形的性質(zhì)與判定能力提升篇一、單選題：1．如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC的邊AB上，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E．Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】過(guò)點(diǎn)P作PM∥BQ，交AC于點(diǎn)M.

∵△ABC為等邊三角形

∴∠A=∠B=∠ACB=60°

∵PM∥BQ

∴∠MPD=∠Q，∠APM=∠AMP=∠ACB=∠B=60°

∴△APM是等邊三角形

∴PA=MP

又∵PA=CQ

∴MP=CQ

在△PMD和△QCD中

∴△PMD≌△QCD

∴DM=DC=MC

又∵PE⊥AC

∴EM=AE=AM

∴DE=EM+DM=（AM+CM）=AC=×1=.

故答案為：B.

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PM∥BQ，綜合運(yùn)用等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)得出線段的關(guān)系，從而得證。2．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)【解析】【解答】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故答案為：B.【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果.3．如圖，已知：，點(diǎn)、、在射線ON上，點(diǎn)、、在射線OM上，、、均為等邊三角形，若，則的邊長(zhǎng)為（）A．2017 B．2018 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如圖，是等邊三角形，，，，，，又，，，，，、是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：C.【分析】此題考查了等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，圖形、數(shù)字規(guī)律問題，由等邊三角形性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)，找三角形邊的關(guān)系，然后通過(guò)觀察分析，找出規(guī)律，再按規(guī)律求解即可.4．如圖所示，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，OC．以下五個(gè)結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②△AOC≌△BQC;③△APC≌△BOC;④△DPC≌△EQC;⑤∠AOB＝60°．其中正確的是（）A．①②③④⑤ B．①④⑤ C．①④ D．①③④【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：①∵△ACB是等邊三角形，∴AC=BC，

∵△ECD是等邊三角形，CD=CE，

∵∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），符合題意；

②③如圖，連接OC，

∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=180°?60°?60°=60°，

∴∠ACP=∠BCQ=60°，

在△ACP和△BCQ中，

∠ACP=∠BCQ∠PAC=QACAC=BC

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴△AOC和△BQC，△APC和△BOC不全等，②③不符合題意；

④在△DPC和△EQC中，

∠QEC=∠PDC∠PCD=∠QCEDC=CE

∴△DPC≌△EQC（AAS），

符合題意；

⑤∵△ACD≌△BCE，

∴∠EBC=∠OAC，

∵∠ACB=∠CED=60°，

∴AB∥CD，

∴∠EBC=∠BED，

∴∠OAC=∠BED，

∠AOB=∠OAC+∠OEA=∠OEA+∠BED【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，推得∠ACD=∠BCE，然后利用邊角邊定理證明△ACD≌△BCE；

②③由△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由平角的定義推得∠BCQ=60°，然后利用角邊角定理證得△ACP≌△BCQ，從而得出△AOC和△BQC，△APC和△BOC不全等；

④利用角角邊定理即可證明△DPC≌△EQC;

⑤由∠ACB=∠CED=60°，得AB∥CD，∠EBC=∠BED，推得∠OAC=∠BED，則由三角形的外角性質(zhì)求得∠AOB＝60°.二、填空題：5．如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為10，P在AB上，Q在BC延長(zhǎng)線，CQ＝PA，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF∥BQ，交AC邊于點(diǎn)F，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案為：5．【分析】先證明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通過(guò)證明△APF是等邊三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE=AC，即可推出DE的長(zhǎng)度．6．如圖，等邊△ABC的周長(zhǎng)為18cm，BD為AC邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段BC，BD上運(yùn)動(dòng)，連接CQ，PQ，當(dāng)BP長(zhǎng)為cm時(shí)，線段CQ+PQ的和為最?。敬鸢浮?【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】如圖，連接AQ，∵等邊△ABC中，BD為AC邊上的中線，∴BD垂直平分AC，∴CQ＝AQ，∴CQ+PQ＝AQ+PQ，∴當(dāng)A，Q，P三點(diǎn)共線，且AP⊥BC時(shí)，AQ+PQ的最小值為線段AP的長(zhǎng)，此時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，又∵等邊△ABC的周長(zhǎng)為18cm，∴BP＝BC＝×6＝3cm，故答案為：3．【分析】連接AQ，依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可得到CQ＝AQ，依據(jù)當(dāng)A，Q，P三點(diǎn)共線，且AP⊥BC時(shí)，AQ+PQ的最小值為線段AP的長(zhǎng)，即可得到BP的長(zhǎng)．7．如圖△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，連PA，則∠BAP的度數(shù)為．【答案】69°【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】在BC下方取一點(diǎn)D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC∴AD=AB=AC，∠DAC=∠BAC-∠BAD=18°，∴∠ACD=∠ADC=81°，∵AB=AC，∠BAC=78°，∴∠ABC=∠ACB=51°，∴∠CDB=141°=∠BPC，又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∵∠PCD=60°，∴△DPC是等邊三角形，∴△APD≌△APC，∴∠DAP=∠CAP=9°，∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=9°+60°=69°．故答案為：69°【分析】在BC下方取一點(diǎn)D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等量代換得出AD=AB=AC，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都是60o，及角的和差得出∠DAC=∠BAC-∠BAD=18°，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等得出∠ACD=∠ADC=81°，∠ABC=∠ACB=51°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠CDB=141°=∠BPC，然后利用AAS判斷出△BDC≌△BPC，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出PC=DC，由有一個(gè)角是60o的等腰三角形是等邊三角形得出△DPC是等邊三角形，然后利用SSS判斷出△APD≌△APC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠DAP=∠CAP=9°，根據(jù)角的和差即可得出答案。三、解答題：8．如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE。（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）求∠AEB的度數(shù)；（3）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。【答案】（1）∵△ACD和△DCE為等邊三角形

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACD=∠BCE

∴在三角形ACD和三角形BCE中，

AC=BC，DC=CE，∠ACD=∠BCE

∴△ACD≌△BCE（2）根據(jù)（1）可得，△ACD≌△BCE

∴∠ADC=∠BEC

∵∠ADC+∠CDE=180°，∠CDE=60°

∴∠ADC=120°

∴∠BEC=120°

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°（3）略【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到∠ACD=∠BCE，根據(jù)三角形全等的判定定理計(jì)算得到三角形全等即可。

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到∠ADC=∠BEC，根據(jù)鄰補(bǔ)角即可得到∠AEB的度數(shù)。

（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，由三角形的內(nèi)角和為180°即可進(jìn)行求解，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系得到三條線段之間的數(shù)量關(guān)系。9．如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．（1）求證：AE=BD；（2）求證：MN∥AB．【答案】（1）證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE與△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）證明：∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三點(diǎn)共線，∴∠DCN=60°，在△ACM與△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN為等邊三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1））先由△ACD和△BCE是等